Споры по теории Кантора - Controversy over Cantors theory

В математическая логика, теория бесконечные множества был впервые разработан Георг Кантор. Хотя эта работа стала вполне стандартным приспособлением классической теория множеств, он подвергался критике со стороны математиков и философов в нескольких областях.

Теорема кантора означает, что существуют множества, имеющие мощность больше, чем бесконечная мощность множества натуральные числа. Аргумент Кантора в пользу этой теоремы представлен с одним небольшим изменением. Этот аргумент можно улучшить, используя определение, которое он дал позже. Результирующий аргумент использует только пять аксиом теории множеств.

Вначале теория множеств Кантора вызвала споры, но позже получила широкое признание. В частности, были возражения против использования бесконечных множеств.

Аргумент Кантора

Первое доказательство Кантора что бесконечные множества могут иметь разные мощности был опубликован в 1874 году. Это доказательство демонстрирует, что множество натуральных чисел и множество действительные числа имеют разную мощность. Он использует теорему о том, что ограниченный возрастающий последовательность реальных чисел имеет предел, что может быть доказано с помощью Кантора или Ричард Дедекинд строительство иррациональные числа. Потому что Леопольд Кронекер не принимал эти конструкции, Кантор был мотивирован разработать новое доказательство.^[1]

В 1891 году он опубликовал «гораздо более простое доказательство ... которое не зависит от рассмотрения иррациональных чисел».^[2] Его новое доказательство использует его диагональный аргумент чтобы доказать, что существует бесконечное множество с большим числом элементов (или большей мощностью), чем множество натуральных чисел N = {1, 2, 3, ...}. Этот больший набор состоит из элементов (Икс₁, Икс₂, Икс₃, ...), где каждый Икс_п либо м или же ш.^[3] Каждому из этих элементов соответствует подмножество из N- а именно элемент (Икс₁, Икс₂, Икс₃, ...) соответствует {п ∈ N: Икс_п = ш}. Итак, аргумент Кантора подразумевает, что множество всех подмножеств N имеет большую мощность, чем N. Множество всех подмножеств N обозначается п(N), набор мощности из N.

Кантор обобщил свои аргументы на произвольное множество А и набор, состоящий из всех функций из А на {0, 1}.^[4] Каждая из этих функций соответствует подмножеству А, поэтому из его обобщенных аргументов следует теорема: множество степеней п(А) имеет большую мощность, чем А. Это известно как Теорема кантора.

Приведенный ниже аргумент является современной версией аргумента Кантора, в котором используются наборы степеней (его исходный аргумент см. Диагональный аргумент Кантора ). Представляя современные аргументы, можно увидеть, какие допущения аксиоматическая теория множеств используются. Первая часть аргумента доказывает, что N и п(N) имеют разную мощность:

Существует по крайней мере одно бесконечное множество. Это предположение (формально не определенное Кантором) фиксируется в формальной теории множеств аксиома бесконечности. Из этой аксиомы следует, что N, множество всех натуральных чисел существует.
п(N), множество всех подмножеств N, существуют. В формальной теории множеств это подразумевается аксиома набора мощности, который говорит, что для каждого набора существует набор всех его подмножеств.
Концепцию «иметь одинаковое число» или «иметь одинаковую мощность» можно уловить с помощью идеи индивидуальная переписка. Это (чисто дефинициональное) допущение иногда называют Принцип Юма. В качестве Frege сказал: "Если официант желает быть уверенным, что положит на стол ровно столько ножей, сколько тарелок, ему не нужно считать ни один из них; все, что ему нужно сделать, это сразу же положить справа от каждой тарелки нож, заботясь о том, чтобы каждый нож на столе лежал непосредственно справа от тарелки. Таким образом, тарелки и ножи соотносятся один к одному ".^[5] Множества в таком соотношении называются равномерный, а корреляция называется взаимно однозначным соответствием.
Набор нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие с его набором мощности. Отсюда следует, что N и п(N) имеют разную мощность. Это зависит от очень немногих предположений теория множеств, и, как Джон П. Мэйберри По его словам, это «простой и красивый аргумент», который «чреват последствиями».^[6] Вот аргумент:

Позволять

{ displaystyle A}

быть набором и

{ Displaystyle P (A)}

быть его набором мощности. Будет доказана следующая теорема: если

{ displaystyle f}

это функция от

{ displaystyle A}

к

{ Displaystyle P (A),}

тогда это не на. Из этой теоремы следует, что нет однозначного соответствия между

{ displaystyle A}

и

{ Displaystyle P (A)}

так как такое соответствие должно быть на. Доказательство теоремы: определите диагональное подмножество

{ displaystyle D = {x in A: x notin f (x) }.}

С

{ Displaystyle D in P (A),}

доказывая это для всех

{ Displaystyle х в A, , D neq f (x)}

будет означать, что

{ displaystyle f}

не на. Позволять

{ displaystyle x in A.}

потом

{ Displaystyle х в D Leftrightarrow х notin f (x),}

что подразумевает

{ displaystyle x notin D Leftrightarrow x in f (x).}

Так что если

{ Displaystyle х в D,}

тогда

{ Displaystyle х notin е (х);}

и если

{ Displaystyle х notin D,}

тогда

{ displaystyle x in f (x).}

Поскольку один из этих наборов содержит

{ displaystyle x}

а другой нет,

{ displaystyle D neq f (x).}

Следовательно,

{ displaystyle D}

не в изображение из

{ displaystyle f}

, так

{ displaystyle f}

не на.

Далее Кантор показывает, что ${ displaystyle A}$ равнозначен подмножеству ${ Displaystyle P (A)}$ . Из этого и того, что ${ Displaystyle P (A)}$ и ${ displaystyle A}$ имеют разную мощность, он заключает, что ${ Displaystyle P (A)}$ имеет большую мощность, чем ${ displaystyle A}$ . Этот вывод основан на его определении 1878 года: если А и B имеют разную мощность, то либо B равнозначен подмножеству А (в этом случае, B имеет меньшую мощность, чем А) или же А равнозначен подмножеству B (в этом случае, B имеет большую мощность, чем А).^[7] Это определение не учитывает случай, когда А и B равны подмножеству другого набора, т. е. А одинаково многочисленна с подмножеством B и B равнозначен подмножеству А. Поскольку Кантор неявно предполагал, что мощности линейно упорядоченный, в этом случае не может быть.^[8] Используя свое определение 1878 года, Кантор заявил, что в статье 1883 года он доказал, что мощности хорошо организованный, откуда следует, что они линейно упорядочены.^[9] В этом доказательстве использовался его упорядоченный принцип «каждый набор может быть хорошо упорядочен», который он назвал «законом мысли».^[10] Принцип хорошего упорядочивания эквивалентен аксиома выбора.^[11]

Примерно в 1895 году Кантор начал рассматривать принцип хорошего порядка как теорему и попытался его доказать.^[12] В 1895 году Кантор также дал новое определение «большего, чем», которое правильно определяет это понятие без помощи своего принципа упорядочивания.^[13] Используя новое определение Кантора, современный аргумент, что п(N) имеет большую мощность, чем N можно завершить, используя более слабые предположения, чем его исходный аргумент:

Концепция «имеющая большую мощность» может быть уловлена определением Кантора 1895 года: B имеет большую мощность, чем А если (1) А одинаково многочисленна с подмножеством B, и (2) B не равнозначен подмножеству А.^[13] В пункте (1) говорится B по крайней мере такой же большой, как А, что согласуется с нашим определением «иметь одинаковую мощность». Пункт (2) подразумевает, что случай, когда А и B равноправны с подмножеством другого набора ложно. Поскольку в пункте (2) сказано, что А не по крайней мере такой большой, как B, два предложения вместе говорят, что B больше (имеет большую мощность), чем А.
Набор мощности ${ Displaystyle P (A)}$ имеет большую мощность, чем ${ displaystyle A,}$ откуда следует, что п(N) имеет большую мощность, чем N. Вот доказательство:

(1) Определите подмножество ${ Displaystyle P_ {1} = {, y in P (A): существует x in A , (y = {x }) , }.}$ Определять ${ Displaystyle е (х) = {х },}$ который отображает ${ displaystyle A}$ на ${ displaystyle P_ {1}.}$ С ${ Displaystyle f (x_ {1}) = f (x_ {2})}$ подразумевает ${ Displaystyle x_ {1} = x_ {2}, , f}$ взаимно однозначное соответствие от ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle P_ {1}.}$ Следовательно, ${ displaystyle A}$ равнозначен подмножеству ${ Displaystyle P (A).}$
(2) Использование доказательство от противного, предположить, что ${ displaystyle A_ {1},}$ подмножество ${ displaystyle A,}$ равноденственен ${ Displaystyle P (A) ,.}$ Тогда существует взаимно однозначное соответствие ${ displaystyle g}$ из ${ displaystyle A_ {1}}$ к ${ Displaystyle P (A).}$ Определять ${ displaystyle h}$ из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle P (A) { text {:}}}$ если ${ displaystyle x in A_ {1},}$ тогда ${ Displaystyle ч (х) = г (х);}$ если ${ displaystyle x in A setminus A_ {1},}$ тогда ${ Displaystyle ч (х) = {, }.}$ С ${ displaystyle g}$ карты ${ displaystyle A_ {1}}$ на ${ Displaystyle P (A), , h}$ карты ${ displaystyle A}$ на ${ Displaystyle P (A),}$ что противоречит теореме выше о том, что функция из ${ displaystyle A}$ к ${ Displaystyle P (A)}$ не на. Следовательно, ${ Displaystyle P (A)}$ не равнозначен подмножеству ${ displaystyle A.}$

Помимо аксиом бесконечности и мощности, аксиомы разделение, протяженность, и спаривание использовались в современной аргументации. Например, аксиома разделения была использована для определения диагонального подмножества ${ displaystyle D,}$ аксиома протяженности использовалась для доказательства ${ Displaystyle D neq е (х),}$ а аксиома спаривания использовалась при определении подмножества ${ displaystyle P_ {1}.}$

Прием аргумента

Первоначально теория Кантора вызывала разногласия среди математиков и (позже) философов. В качестве Леопольд Кронекер заявил: «Я не знаю, что преобладает в теории Кантора - философия или теология, но я уверен, что там нет математики».^{[нужна цитата ]} Многие математики соглашались с Кронекером в том, что завершенная бесконечность может быть частью философия или же богословие, но ему нет места в математике. Логик Уилфрид Ходжес (1998 ) прокомментировал энергию, направленную на опровержение этого «маленького безобидного аргумента» (т.е. Диагональный аргумент Кантора ) спрашивая: "Что это сделало с кем-нибудь, чтобы рассердить их?"^[14] Другие также не согласились с доказательством Кантора относительно мощности множества.^[15]^[16] Математик Соломон Феферман назвал теории Кантора «просто не имеющими отношения к повседневной математике».^[17]

До Кантора понятие бесконечности часто воспринималось как полезная абстракция, которая помогала математикам рассуждать о конечном мире; например, использование бесконечных предельных случаев в исчисление. Считалось, что бесконечное имеет в лучшем случае потенциальное существование, а не реальное существование.^[18] «Актуальной бесконечности не существует. То, что мы называем бесконечностью, - это только бесконечная возможность создания новых объектов, независимо от того, сколько их уже существует».^[19] Карл Фридрих Гаусс Взгляды России на этот предмет можно перефразировать так: «Бесконечность - это не что иное, как фигура речи, которая помогает нам говорить об ограничениях. Понятие завершенной бесконечности не принадлежит математике».^[20] Другими словами, единственный доступ к бесконечному, который у нас есть, - это понятие пределов, и, следовательно, мы не должны рассматривать бесконечные множества так, как будто их существование в точности сопоставимо с существованием конечных множеств.

Идеи Кантора в конечном итоге были широко приняты и решительно поддержаны Дэвид Гильберт, среди других. Гильберт предсказал: «Никто не изгонит нас из рая, созданного для нас Кантором».^[21] Которому Витгенштейн ответил: «Если один человек может видеть в этом рай для математиков, почему другой не должен рассматривать это как шутку?»^[22] Отказ от бесконечных идей Кантора повлиял на развитие таких математических школ, как конструктивизм и интуиционизм.

Витгенштейн не возражал против математического формализма в целом, но имел финитистский взгляд на то, что означает доказательство Кантора. Философ утверждал, что вера в бесконечность возникает из-за смешения интенсиональной природы математических законов с экстенсиональной природой множеств, последовательностей, символов и т. Д. По его мнению, серия символов конечна: по словам Витгенштейна: «... Кривая не является составленный из точек, это закон, который подчиняется точкам, или, опять же, закон, согласно которому точки могут быть построены ".

Он также охарактеризовал диагональный аргумент как «фокус-покус» и не доказал, для чего он предназначен.

Возражение против аксиомы бесконечности

Распространенное возражение против теории бесконечного числа Кантора связано с тем, что аксиома бесконечности (что, действительно, аксиома, а не логическая правда ). Мэйберри отметил, что «... теоретико-множественные аксиомы, поддерживающие современную математику, самоочевидны в разной степени. Одна из них - действительно, самая важная из них, а именно аксиома Кантора, так называемая аксиома бесконечности - имеет почти нет никаких претензий на самоочевидность… "^[23]

Другое возражение состоит в том, что использование бесконечных множеств не может быть адекватно оправдано по аналогии с конечными множествами. Герман Вейль написал:

... классическая логика была абстрагирована от математики конечных множеств и их подмножеств ... Забыв об этом ограниченном происхождении, впоследствии ошибочно приняли эту логику за что-то более важное и предшествующее всей математике и, наконец, применили ее без всяких оснований к математике бесконечных множеств. Это грехопадение и первородный грех теории множеств [Кантора] ... "^[24]

Трудность с финитизмом состоит в том, чтобы развить основы математики, используя финитистские допущения, которые включают то, что каждый разумно считает математикой (например, что включает реальный анализ ).

Смотрите также

Преинтуиционизм

Примечания

^ Dauben 1979, стр. 67–68, 165.
^ Кантор 1891, стр. 75; Английский перевод: Ewald p. 920.
^ Dauben 1979, стр. 166.
^ Dauben 1979, стр. 166–167.
^ Frege 1884, пер. 1953, §70.
^ Mayberry 2000, стр. 136.
^ Кантор 1878, стр. 242. Cantor 1891, p. 77; Английский перевод: Ewald p. 922.
^ Халлетт 1984, стр. 59.
^ Кантор 1891, стр. 77; Английский перевод: Ewald p. 922.
^ Мур 1982, стр. 42.
^ Мур 1982, стр. 330.
^ Мур 1982, стр. 51. Обсуждение доказательства Кантора находится в Абсолютная бесконечность, упорядоченная теорема и парадоксы. Часть доказательства Кантора и Цермело его критика в справочной информации.
^ ^а ^б Cantor 1895, стр. 483–484; Английский перевод: Кантор 1954, стр. 89–90.
^ Ходжес, Уилфрид (1998), «Редактор вспоминает некоторые безнадежные статьи», Вестник символической логики, Ассоциация символической логики, 4 (1), стр. 1–16, CiteSeerX 10.1.1.27.6154, Дои:10.2307/421003, JSTOR 421003
^ Перес, Хуан А. (2010). «Устранение математической непоследовательности: опровергнутые Кантором и Гёделем». arXiv:1002.4433 [math.GM ].
^ Зенкин, Александр. «Диагональный аргумент Кантора: новый аспект» (PDF). Вычислительный центр им. Дородницына. Получено 2 октября 2014.
^ Вулховер, Натали. «Спор о бесконечности разделяет математиков». Scientific American. Получено 2 октября 2014.
^ Зенкин, Александр (2004), «Логика актуальной бесконечности и диагональное доказательство несчетности континуума Г. Кантора», Обзор современной логики, 9 (30), стр. 27–80.
^ (Пуанкаре цитата из Kline 1982)
^ Данэм, Уильям (1991). Путешествие сквозь гений: великие теоремы математики. Пингвин. п.254.
^ (Гильберт, 1926)
^ (RFM V. 7)
^ Mayberry 2000, стр. 10.
^ Вейль, 1946 г.

внешняя ссылка

[1] Dauben 1979, стр. 67–68, 165.

[2] Кантор 1891, стр. 75; Английский перевод: Ewald p. 920.

[3] Dauben 1979, стр. 166.

[4] Dauben 1979, стр. 166–167.

[5] Frege 1884, пер. 1953, §70.

[6] Mayberry 2000, стр. 136.

[7] Кантор 1878, стр. 242. Cantor 1891, p. 77; Английский перевод: Ewald p. 922.

[8] Халлетт 1984, стр. 59.

[9] Кантор 1891, стр. 77; Английский перевод: Ewald p. 922.

[10] Мур 1982, стр. 42.

[11] Мур 1982, стр. 330.

[12] Мур 1982, стр. 51. Обсуждение доказательства Кантора находится в Абсолютная бесконечность, упорядоченная теорема и парадоксы. Часть доказательства Кантора и Цермело его критика в справочной информации.

[Cantor1895-13] а ^б Cantor 1895, стр. 483–484; Английский перевод: Кантор 1954, стр. 89–90.

[14] Ходжес, Уилфрид (1998), «Редактор вспоминает некоторые безнадежные статьи», Вестник символической логики, Ассоциация символической логики, 4 (1), стр. 1–16, CiteSeerX 10.1.1.27.6154, Дои:10.2307/421003, JSTOR 421003

[15] Перес, Хуан А. (2010). «Устранение математической непоследовательности: опровергнутые Кантором и Гёделем». arXiv:1002.4433 [math.GM ].

[16] Зенкин, Александр. «Диагональный аргумент Кантора: новый аспект» (PDF). Вычислительный центр им. Дородницына. Получено 2 октября 2014.

[17] Вулховер, Натали. «Спор о бесконечности разделяет математиков». Scientific American. Получено 2 октября 2014.

[18] Зенкин, Александр (2004), «Логика актуальной бесконечности и диагональное доказательство несчетности континуума Г. Кантора», Обзор современной логики, 9 (30), стр. 27–80.

[19] (Пуанкаре цитата из Kline 1982)

[20] Данэм, Уильям (1991). Путешествие сквозь гений: великие теоремы математики. Пингвин. п.254.

[21] (Гильберт, 1926)

[22] (RFM V. 7)

[23] Mayberry 2000, стр. 10.

[24] Вейль, 1946 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

бесконечность ( $\infty$ )
История	Споры по теории Кантора
Отрасли математики	Теория внутреннего множества Нестандартный анализ Теория множеств Синтетическая дифференциальная геометрия
Формализации бесконечности	Количественные числительные Гиперреальные числа Бесконечность + 1 Порядковые номера Сюрреалистические числа Трансфинитные числа Бесконечно малый Абсолютно Бесконечный
Математики	Георг Кантор Готфрид Вильгельм Лейбниц Авраам Робинсон