Конфигурация Гессен - Hesse configuration

Конфигурация Гессена с четырьмя линиями (четыре ломаные диагонали массива точек 3 × 3) в виде кривых

В геометрии Конфигурация Гессен, представлен Колин Маклорен и изучен Гессе  (1844 ),[1] это конфигурация из 9 точек и 12 линий с тремя точками в строке и четырьмя линиями через каждую точку. Это может быть реализовано в комплексная проективная плоскость как набор точки перегиба из эллиптическая кривая, но это не реализуется в Евклидова плоскость.

Описание

Конфигурация Гессе имеет те же отношения инцидентности, что и линии и точки аффинная плоскость над поле из 3 элементов. То есть точки конфигурации Гессе можно отождествить с заказанные пары чисел по модулю 3, и линии конфигурации соответственно можно отождествить с тройками точек (Икс, у) удовлетворяющий линейному уравнению топор + к = c (мод 3). Как вариант, точки конфигурации могут быть обозначены квадратами крестики-нолики доска, и линии могут быть идентифицированы с линиями и ломаные диагонали доски.

Каждая точка принадлежит четырем линиям: в интерпретации конфигурации в стиле крестики-нолики одна линия является горизонтальной, одна вертикальной и две - диагоналями или ломаными диагоналями. Каждая строка содержит три точки, поэтому на языке конфигурации конфигурация Гессе имеет обозначение 94123.

Группа автоморфизмов конфигурации Гессе имеет порядок 216 и известна как группа Гессенская группа.

Связанные конфигурации

Удаление какой-либо одной точки и ее четырех падающих линий из конфигурации Гессе дает другую конфигурацию типа 8.383, то Конфигурация Мебиуса – Кантора.[2][3][4]

В конфигурации Гессе 12 линий могут быть сгруппированы в четыре тройки параллельных (непересекающихся) линий. Удаление из конфигурации Гессе трех линий, принадлежащих одной тройке, дает конфигурацию типа 9.393, то Конфигурация Pappus.[3][4]

Конфигурация Гессе, в свою очередь, может быть расширена путем добавления четырех точек, по одной для каждой тройки непересекающихся линий и одной линии, содержащей четыре новые точки, чтобы сформировать конфигурацию типа 13.4134, множество точек и линий проективная плоскость над трехэлементным полем.

Реализуемость

Конфигурация Гессе может быть реализована в комплексная проективная плоскость как 9 точки перегиба из эллиптическая кривая и 12 линий через тройки точек перегиба. Если данный набор из девяти точек на комплексной плоскости является набором перегибов эллиптической кривой C, это также множество перегибов каждой кривой в карандаш кривых, порожденных C и по Кривая Гессе из C, то Карандаш Гессен.[5]

В Гессенский многогранник представляет собой представление конфигурации Гессе на комплексной плоскости.

Конфигурация Гессе разделяет с конфигурацией Мёбиуса – Кантора свойство иметь сложную реализацию, но не может быть реализована точками и прямыми линиями в Евклидова плоскость. В конфигурации Гессе каждые две точки соединены линией конфигурации (определяющее свойство Конфигурации Сильвестра – Галлая ) и поэтому каждая прямая, проходящая через две его точки, содержит третью точку. Но на евклидовой плоскости каждое конечное множество точек либо коллинеарно, либо включает пару точек, прямая которых не содержит никаких других точек этого множества; это Теорема Сильвестра – Галлаи. Поскольку конфигурация Гессе не подчиняется теореме Сильвестра – Галлаи, она не имеет евклидовой реализации. Этот пример также показывает, что теорема Сильвестра – Галлаи не может быть обобщена на комплексную проективную плоскость. Однако в сложных пространствах конфигурация Гессе и все конфигурации Сильвестра – Галлаи должны находиться внутри двумерного плоского подпространства.[6]

Рекомендации

  1. ^ Гессен, О. (1844), "Über die Elimination der Variabeln aus drei algebraischen Gleichungen vom zweiten Grade mit zwei Variabeln" (PDF), Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком), 28: 68–96, Дои:10.1515 / crll.1844.28.68, ISSN  0075-4102.
  2. ^ Долгачев, Игорь В. (2004), "Абстрактные конфигурации в алгебраической геометрии", Конференция Фано, Univ. Турин, Турин, стр. 423–462, arXiv:math.AG/0304258, МИСТЕР  2112585.
  3. ^ а б Кокстер, Х. С. М. (1950), «Самодуальные конфигурации и регулярные графы», Бюллетень Американского математического общества, 56 (5): 413–455, Дои:10.1090 / S0002-9904-1950-09407-5.
  4. ^ а б Cullinane, Стивен Х. (2011), Конфигурации и квадраты.
  5. ^ Артебани, Микела; Долгачев, Игорь (2009), "Пучок Гессе плоских кубических кривых", L'Enseignement Mathématique, 2-я серия, 55 (3): 235–273, arXiv:математика / 0611590, Дои:10.4171 / lem / 55-3-3, МИСТЕР  2583779.
  6. ^ Лось, Ноам; Преториус, Лу М .; Свейнпол, Конрад Дж. (2006), "Теоремы Сильвестра – Галлаи для комплексных чисел и кватернионов", Дискретная и вычислительная геометрия, 35 (3): 361–373, arXiv:математика / 0403023, Дои:10.1007 / s00454-005-1226-7, МИСТЕР  2202107.