Гессенский многогранник - Hessian polyhedron

Гессенский многогранник
Ортографическая проекция (3-угольные треугольные края обведены черными краями)
Символ Шлефли	3{3}3{3}3
Диаграмма Кокстера
Лица	27 3{3}3
Края	72 3{}
Вершины	27
Многоугольник Петри	Додекагон
многоугольник ван Осса	12 3{4}2
Группа Шепард	L3 = 3[3]3[3]3, заказ 648
Двойной многогранник	Самодвойственный
Характеристики	Обычный

В геометрия, то Гессенский многогранник это правильный комплексный многогранник ₃{3}₃{3}₃, , в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$. У него 27 вершин, 72 ₃{} ребра, и 27 ₃{3}₃ лица. Он самодвойственный.

Коксетер назвал его в честь Людвиг Отто Гессен за разделение Гессенская конфигурация ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}9&4\\3&12\end{smallmatrix}}\right]}$ или (9₄12₃), 9 точек лежат тройками на двенадцати линиях, по четыре линии через каждую точку.^[1]

это комплексная группа отражений является ₃[3]₃[3]₃ или , заказ 648, также называемый Гессенская группа. Имеет 27 экземпляров порядка 24 в каждой вершине. Он имеет 24 отражения порядка 3. это Число Кокстера равно 12 со степенями фундаментальных инвариантов 3, 6 и 12, что можно увидеть в проективной симметрии многогранников.

В Многогранник Виттинга, ₃{3}₃{3}₃{3}₃, содержит многогранник Гессе в виде клетки и фигуры вершин.

Он имеет реальное представление как 2₂₁ многогранник, в 4-мерном пространстве с одинаковыми 27 вершинами. 216 граней в 2₂₁ можно увидеть как 72 ₃{} ребер представлены как 3 простых ребра.

Координаты

Его 27 вершинам можно дать координаты в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$: для (λ, μ = 0,1,2).

(0, ω^λ, −ω^μ)

(−ω^μ, 0, ω^λ)

(ω^λ, −ω^μ,0)

где ${\displaystyle \omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$.

Как конфигурация

Многогранник Гессе с треугольными 3-гранями, очерченными черными краями, с одной гранью, обозначенной синим.

Один из 12 полигонов Ван осса, 3{4}2, в многограннике Гессе

Его симметрия определяется выражением ₃[3]₃[3]₃ или , заказ 648.^[2]

В матрица конфигурации за ₃{3}₃{3}₃ является:^[3]

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}27&8&8\\3&72&3\\8&8&27\end{smallmatrix}}\right]}$

Количество элементов k-граней (f-векторы ) можно прочитать по диагонали. Количество элементов каждой k-грани указано в строках ниже диагонали. Количество элементов каждой k-фигуры указано в строках над диагональю.

L3		k-лицо	жk	ж0	ж1	ж2	k-Рис	Примечания
L2		( )	ж0	27	8	8	3{3}3	L3/ Л2 = 27*4!/4! = 27
L1L1		3{ }	ж1	3	72	3	3{ }	L3/ Л1L1 = 27*4!/9 = 72
L2		3{3}3	ж2	8	8	27	( )	L3/ Л2 = 27*4!/4! = 27

Изображений

Это 8 симметричных ортогональных проекций, некоторые из которых имеют перекрывающиеся вершины, показанные цветами. Здесь 72 треугольных ребра нарисованы как 3 отдельных ребра.

Самолет Кокстера орфографические проекции

E6 [12]	Авто (E6) [18/2]	D5 [8]	D4 / A2 [6]
(1 = красный, 3 = оранжевый)	(1)	(1,3)	(3,9)
B6 [12/2]	A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]
(1,3)	(1,3)	(1,2)	(1,4,7)

Связанные сложные многогранники

Двойной гессенский многогранник
Символ Шлефли	2{4}3{3}3
Диаграмма Кокстера
Лица	72 2{4}3
Края	216 {}
Вершины	54
Многоугольник Петри	Восьмиугольник
многоугольник ван Осса	{6}
Группа Шепард	M3 = 3[3]3[4]2, заказ 1296
Двойной многогранник	Выпрямленный многогранник Гессе, 3{3}3{4}2
Характеристики	Обычный

В Гессенский многогранник можно рассматривать как чередование , = . Этот двойной гессенский многогранник имеет 54 вершины, 216 простых ребер и 72 лица. Его вершины представляют собой объединение вершин и его двойная .

это комплексная группа отражений является ₃[3]₃[4]₂, или же , заказ 1296. Имеется 54 экз. порядка 24 в каждой вершине. Он имеет 24 отражения порядка 3 и 9 отражений второго порядка. это число Кокстера равно 18, со степенями фундаментальных инвариантов 6, 12 и 18, что видно из проективной симметрии многогранников.

Коксетер заметил, что три сложных многогранника , , похожи на настоящие тетраэдр (), куб (), и октаэдр (). Гессиан аналогичен тетраэдру, как куб - двойной тетраэдр, а октаэдр - выпрямленный тетраэдр. В обоих наборах вершины первого принадлежат двум двойственным парам второго, а вершины третьего находятся в центре ребер второго.^[4]

Его реальное представление 54 вершины содержатся в двух 2₂₁ многогранники в симметричных конфигурациях: и . Его вершины также можно увидеть в двойственном многограннике к 1₂₂.

строительство

Элементы можно увидеть в матрица конфигурации:

M3		k-лицо	жk	ж0	ж1	ж2	k-Рис	Примечания
L2		( )	ж0	54	8	8	3{3}3	M3/ Л2 = 1296/24 = 54
L1А1		{ }	ж1	2	216	3	3{ }	M3/ Л1А1 = 1296/6 = 216
M2		2{4}3	ж2	6	9	72	( )	M3/ М2 = 1296/18 = 72

Изображений

Ортографические проекции

многогранник

многогранник с одной гранью, 2{4}3 выделен синим

многогранник с 54 вершинами, в двух 2 чередующихся цветах

и , показанные здесь с красными и синими вершинами, образуют регулярное соединение

Выпрямленный многогранник Гессе

Выпрямленный многогранник Гессе
Символ Шлефли	3{3}3{4}2
Диаграммы Кокстера	или .
Лица	54 3{3}3
Края	216 3{}
Вершины	72
Многоугольник Петри	Восьмиугольник
многоугольник ван Осса	9 3{4}3
Группа Шепард	M3 = 3[3]3[4]2, заказ 1296 3[3]3[3]3, заказ 648
Двойной многогранник	Двойной гессенский многогранник 2{4}3{3}3
Характеристики	Обычный

В исправление, удваивается по симметрии как правильный комплексный многогранник с 72 вершинами, 216 ₃{} ребра, 54 ₃{3}₃ лица. Его вершина фигура ₃{4}₂, и многоугольник Ван осса ₃{4}₃. Он двойственен двойной гессенский многогранник.^[5]

Он имеет реальное представление как 1₂₂ многогранник , разделяя 72 вершины. Его 216 3-ребер можно нарисовать как 648 простых ребер, что на 72 меньше 1.₂₂720 граней.

или имеет 72 вершины, 216 3-ребер и 54 3{3}3 лица

с одним синим лицом, 3{3}3 выделил

с одним из 9 полигонов ван осса, 3{4}3, выделил

строительство

Элементы можно увидеть в двух матрицы конфигурации, регулярная и квазирегулярная форма.

M₃ = ₃[3]₃[4]₂ симметрия

M3		k-лицо	жk	ж0	ж1	ж2	k-Рис	Примечания
	( )	ж0	72	9	6	3{4}2	M3/ М2 = 1296/18 = 72
L1А1		3{ }	ж1	3	216	2	{ }	M3/ Л1А1 = 1296/3/2 = 216
L2		3{3}3	ж2	8	8	54	( )	M3/ Л2 = 1296/24 = 54

L₃ = ₃[3]₃[3]₃ симметрия

L3		k-лицо	жk	ж0	ж1	ж2		k-Рис	Примечания
L1L1		( )	ж0	72	9	3	3	3{ }×3{ }	L3/ Л1L1 = 648/9 = 72
L1		3{ }	ж1	3	216	1	1	{ }	L3/ Л1 = 648/3 = 216
L2		3{3}3	ж2	8	8	27	*	( )	L3/ Л2 = 648/24 = 27
				8	8	*	27

Рекомендации

1. Кокстер, Комплексные правильные многогранники, стр.123
2. Правильные выпуклые многогранники Кокстера, 12.5 Многогранник Уиттинга
3. Кокстер, Комплексные правильные многогранники, с.132
4. Кокстер, Сложные регулярные многогранники, стр.127.
5. Кокстер, Х. С. М., Регулярные сложные многогранники, второе издание, Cambridge University Press, (1991). стр.30 и стр.47

• Кокстер, Х. С. М. и Moser, W.O.J .; Генераторы и соотношения для дискретных групп (1965), особенно стр 67–80.
• Кокстер, Х. С. М.; Регулярные сложные многогранники, Cambridge University Press, (1974).
• Кокстер, Х. С. М. и Shephard, G.C .; Портреты семейства сложных многогранников, Леонардо Том 25, № 3/4, (1992), стр. 239–244,