Крестики-нолики - Tic-tac-toe

«Крестики-нолики» и «Крестики-нолики» перенаправляют сюда. Для использования в других целях см. Tic Tac Toe (значения) и Крестики-нолики (значения).

Крестики-нолики
Крестики-нолики.svg
Завершенная игра в крестики-нолики
Жанр (ы)Игра с бумагой и карандашом
Игроки2
Время установкиМинимальный
Время игры~ 1 минута
Случайный шансНикто
Требуются навыкиСтратегия, тактика, наблюдение
Синоним (ы)Крестики-нолики
Xs и Os

Крестики-нолики (Американский английский ), крестики-нолики (Содружество на английском языке ), или же Xs и Os/ «X’y O’sies» (Ирландия) - это игра с бумагой и карандашом для двух игроков, Икс и О, которые по очереди отмечают места в сетке 3 × 3. Игрок, которому удастся разместить три своих знака в диагональном, горизонтальном или вертикальном ряду, становится победителем. Это решенная игра с принудительной ничьей в предположении лучшая игра от обоих игроков.

Геймплей

Чтобы выиграть игру, игрок должен разместить три своих метки в горизонтальном, вертикальном или диагональном ряду.

В следующем примере игры выигрывает первый игрок, X:

Игра в крестики-нолики, выигранная X

Вскоре игроки обнаруживают, что лучшая игра обеих сторон приводит к рисовать. Следовательно, в крестики-нолики чаще всего играют маленькие дети, которые часто еще не нашли оптимальную стратегию.

Структура заболеваемости для крестиков-ноликов.

Из-за простоты крестики-нолики его часто используют как педагогический инструмент для обучения понятиям добра спортивное мастерство и филиал искусственный интеллект что касается поиска игровые деревья. Просто написать компьютерная программа идеально сыграть в крестики-нолики или перечислить 765 принципиально разных позиций ( сложность пространства состояний ) или 26 830 возможных игр вплоть до вращения и отражения ( сложность игрового дерева ) на этом пространстве.[1] При оптимальной игре обоих игроков игра всегда заканчивается вничью, что превращает крестики-нолики в игру. бесполезная игра.[2]

Игру можно обобщить на м, н, к-игра в котором два игрока по очереди кладут камни своего цвета на м×п доска, с целью получить k своего цвета подряд. Крестики-нолики - это (3,3,3) -игра.[3] Общие крестики-нолики Харари является еще более широким обобщением крестиков-ноликов. Его также можно обобщить как пd игра. Крестики-нолики - это игра, в которой n равно 3, а d равно 2.[4] Его можно обобщить еще больше, играя на произвольной структура заболеваемости, где строки линии и клетки точки. Крестики-нолики - это игра, заданная показанной справа структурой углов, состоящей из девяти точек, трех горизонтальных линий, трех вертикальных линий и двух диагональных линий, каждая из которых состоит как минимум из трех точек.

История

Игры, в которые играют на досках три в ряд, можно проследить до древний Египет,[5] где такие игровые доски были найдены на кровельной черепице примерно 1300 г. до н.э.[6]

Ранняя вариация крестиков-ноликов игралась в Римская империя, примерно в первом веке до нашей эры. Это называлось Терни Лапилли (три камешка за раз) и вместо любого количества фишек у каждого игрока было только три, поэтому им приходилось перемещать их на пустые места, чтобы продолжить игру.[7] Маркировка сетки игры была найдена мелом по всему Риму. Еще одна тесно связанная древняя игра - трое мужчин моррис который также воспроизводится на простой сетке и требует для завершения трех фишек подряд,[8] и Пикария, игра Пуэблоанцы.

Различные названия игры более свежие. Первая печатная ссылка на «крестики-нолики» (ничего как альтернативное слово для нуля), британское название, появившееся в 1858 году в номере журнала Примечания и запросы.[9] Первое печатное упоминание об игре под названием «тик-нолик» произошло в 1884 году, но это была «детская игра на грифельной доске, состоящая в попытке с закрытыми глазами опустить карандаш на одно из чисел знака set, количество попаданий оценивается ". «Крестики-нолики» также могут происходить от «тик-нолика», названия старой версии нарды впервые описан в 1558 году. В США переименование «крестики-нолики» в «крестики-нолики» произошло в 20 веке.[10]

В 1952 г. OXO (или же Крестики-нолики), разработанный британским ученым-компьютерщиком Сэнди Дуглас для EDSAC компьютер в Кембриджский университет, стал одним из первых известных видеоигры.[11][12] Компьютерный игрок мог идеально играть в крестики-нолики против человеческого противника.[11]

В 1975 году крестики-нолики также использовали Массачусетский технологический институт студенты, чтобы продемонстрировать вычислительную мощность Тинкертой элементы. Компьютер Tinkertoy, сделанный из (почти) одних игрушек Tinkertoy, отлично умеет играть в крестики-нолики.[13] В настоящее время он выставлен на Музей науки, Бостон.

Комбинаторика

Если рассматривать только состояние платы и принять во внимание симметрию платы (то есть повороты и отражения), то всего 138 позиций клеммной колодки. А комбинаторика Изучение игры показывает, что когда «Х» каждый раз делает первый ход, исход игры следующий:[14]

  • 91 отличную позицию выиграли (X)
  • 44 различных позиции выиграны (O)
  • Разыгрываются 3 различных позиции (часто называемая «кошачьей игрой»).[15])

Стратегия

Оптимальная стратегия для игрока X, если он начинает игру в углу. В каждой сетке заштрихованный красный X обозначает оптимальный ход, а местоположение следующего хода O дает следующую подсетку для изучения. Обратите внимание, что только две последовательности ходов на O (обе начинаются с центра, вверху-справа, слева-посередине) приводят к ничьей, а остальные последовательности приводят к выигрышам от X.
Оптимальная стратегия для игрока O. Игрок O может добиться победы или ничьей, только играя в центре первым.

Игрок может играть идеальная игра крестики-нолики (чтобы выиграть или хотя бы нарисовать), если каждый раз, когда наступает их очередь играть, они выбирают первый доступный ход из следующего списка, который используется в программе Ньюэлла и Саймона 1972 года в крестики-нолики.[16]

  1. Победить: Если у игрока два в ряду, он может поставить третьего, чтобы получить три в ряд.
  2. Блокировать: Если у соперника две подряд, игрок должен сам сыграть третью, чтобы заблокировать соперника.
  3. Вилка: Создайте возможность, в которой у игрока есть два способа выиграть (две неблокированные линии по 2).
  4. Блокирование вилки соперника: Если существует только одна возможная вилка для оппонента, игрок должен ее заблокировать. В противном случае игрок должен заблокировать все вилки любым способом, который позволяет одновременно создать две вилки подряд. В противном случае игрок должен создать двойку в ряд, чтобы заставить противника защищаться, пока это не приведет к созданию вилки. Например, если «X» имеет два противоположных угла, а «O» - центр, «O» не должен делать угловой ход, чтобы выиграть. (Выполнение углового хода в этом сценарии создает развилку для «X», чтобы выиграть.)
  5. Центр: Игрок отмечает центр. (Если это первый ход в игре, угловой ход дает второму игроку больше возможностей для ошибки и, следовательно, может быть лучшим выбором; однако это не имеет значения для идеальных игроков.)
  6. Противоположный угол: Если противник находится в углу, игрок играет в противоположном углу.
  7. Пустой угол: Игрок играет в угловом квадрате.
  8. Пустая сторона: Игрок играет в среднем квадрате с любой из 4 сторон.

Первый игрок, обозначенный буквой «X», имеет 3 возможных стратегически различных положения, которые он должен отметить в течение первого хода. На первый взгляд может показаться, что существует 9 возможных позиций, соответствующих 9 квадратам в сетке. Однако, вращая доску, мы обнаружим, что в первом повороте каждая угловая метка стратегически эквивалентна любой другой угловой метке. То же самое верно для каждой отметки края (середины стороны). Следовательно, со стратегической точки зрения есть только три возможных первых метки: угол, край или центр. Игрок X может выиграть или заставить ничью с любой из этих начальных отметок; однако розыгрыш угла дает противнику наименьший выбор клеток, которые необходимо разыграть, чтобы избежать проигрыша.[17] Это может означать, что угол - лучший ход для открытия X, однако другое исследование[18] показывает, что если игроки не идеальны, для X лучше всего будет первый ход в центре.

Второй игрок, который должен быть обозначен «О», должен ответить на начальную отметку X таким образом, чтобы избежать принудительной победы. Игрок O должен всегда отвечать на угловой проем с помощью центральной метки и на центральный проем с угловой меткой. Открытие края должно сопровождаться либо отметкой центра, отметкой угла рядом с X, либо отметкой края напротив X. Любые другие ответы позволят X принудительно выиграть. Как только дебют завершен, задача O - следовать приведенному выше списку приоритетов, чтобы форсировать ничью, или же получить выигрыш, если X сделает слабую игру.

Более подробно, чтобы гарантировать ничью, О следует использовать следующие стратегии:

  • Если X выполняет ход, открывающий угол, O должен занять центр, а затем край, заставляя X блокировать в следующем ходу. Это предотвратит возникновение любых вилок. Когда и X, и O являются идеальными игроками и X решает начать с отметки угла, O занимает центр, а X занимает угол, противоположный исходному. В этом случае O может выбрать любое ребро в качестве второго хода. Однако, если X не является идеальным игроком и сыграл угол, а затем ребро, O не должен играть противоположное ребро в качестве своего второго хода, потому что тогда X не будет вынужден блокировать на следующем ходу и может выполнить ответвление.
  • Если X выполняет ход, открывающий край, O должен занять центр или один из углов, примыкающих к X, а затем следовать приведенному выше списку приоритетов, в основном обращая внимание на блокирующие развилки.
  • Если X играет центральный вводный ход, O должен занять угол, а затем следовать приведенному выше списку приоритетов, в основном обращая внимание на блокирующие развилки.

Когда X играет в угловой первым, а O не идеальный игрок, может произойти следующее:

  • Если O отвечает центральной меткой (лучший ход для них), идеальный игрок X займет угол, противоположный исходному. Тогда О должен играть перевес. Однако, если O использует угол в качестве своего второго хода, идеальный игрок X отметит оставшийся угол, блокируя ход 3-в-ряд O и создавая свою собственную вилку.
  • Если O отвечает угловой меткой, X гарантированно выиграет, просто взяв любой из двух других углов, а затем последний, вилку. (поскольку, когда X занимает третий угол, O может занять позицию только между двумя X. Тогда X может занять единственный оставшийся угол, чтобы выиграть)
  • Если O отвечает отметкой края, X гарантированно выиграет, взяв центр, тогда O может занять только угол напротив угла, который X играет первым. Наконец, X может сделать угол, чтобы создать развилку, и тогда X выиграет на следующем ходу.

Более подробная информация

Рассмотрим доску с девятью позициями, пронумерованными следующим образом:

123
456
789

Когда X играет 1 в качестве своего первого хода, тогда O должен взять 5. Затем X берет 9 (в этой ситуации O не должен брать 3 или 7, O должен взять 2, 4, 6 или 8):

  • X1 → O5 → X9 → O2 → X8 → O7 → X3 → O6 → X4, эта игра будет ничьей.

или 6 (в этой ситуации O не должен брать 4 или 7, O должен взять 2, 3, 8 или 9. На самом деле, принятие 9 - лучший ход, так как неидеальный игрок X может взять 4, тогда O может возьмите 7, чтобы выиграть).

  • X1 → O5 → X6 → O2 → X8, тогда O не должно брать 3, или X может взять 7, чтобы выиграть, и O не должен брать 4, или X может взять 9, чтобы выиграть, O должен взять 7 или 9.
    • X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O7 → X3 → O9 → X4, эта игра будет ничьей.
    • X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O9 → X4 (7) → O7 (4) → X3, эта игра будет ничьей.
  • X1 → O5 → X6 → O3 → X7 → O4 → X8 (9) → O9 (8) → X2, эта игра будет ничьей.
  • X1 → O5 → X6 → O8 → X2 → O3 → X7 → O4 → X9, эта игра будет ничьей.
  • X1 → O5 → X6 → O9, тогда X не должен брать 4, или O может взять 7, чтобы выиграть, X должен взять 2, 3, 7 или 8.
    • X1 → O5 → X6 → O9 → X2 → O3 → X7 → O4 → X8, эта игра будет ничьей.
    • X1 → O5 → X6 → O9 → X3 → O2 → X8 → O4 (7) → X7 (4), эта игра будет ничьей.
    • X1 → O5 → X6 → O9 → X7 → O4 → X2 (3) → O3 (2) → X8, эта игра будет ничьей.
    • X1 → O5 → X6 → O9 → X8 → O2 (3, 4, 7) → X4 / 7 (4/7, 2/3, 2/3) → O7 / 4 (7/4, 3/2, 3 / 2) → X3 (2, 7, 4), эта игра будет ничьей.

В обеих этих ситуациях (X берет 9 или 6 в качестве второго хода), X имеет 1/3 свойство побеждать.

Если X не идеальный игрок, X может сделать 2 или 3 второго хода. Тогда эта игра будет ничьей, X не может выиграть.

  • X1 → O5 → X2 → O3 → X7 → O4 → X6 → O8 (9) → X9 (8), эта игра будет ничьей.
  • X1 → O5 → X3 → O2 → X8 → O4 (6) → X6 (4) → O9 (7) → X7 (9), эта игра будет ничьей.

Если X сделает 1 первый ход, а O не идеальный игрок, может произойти следующее:

Хотя O занимает единственно хорошую позицию (5) в качестве первого хода, но O занимает плохую позицию в качестве второго хода:

  • X1 → O5 → X9 → O3 → X7, тогда X может взять 4 или 8, чтобы выиграть.
  • X1 → O5 → X6 → O4 → X3, тогда X может взять 2 или 9, чтобы выиграть.
  • X1 → O5 → X6 → O7 → X3, тогда X может взять 2 или 9, чтобы выиграть.

Хотя O занимает хорошие позиции на первых двух ходах, но O занимает плохую позицию на третьем ходу:

  • X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O3 → X7, тогда X может взять 4 или 9, чтобы выиграть.
  • X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O4 → X9, тогда X может взять 3 или 7, чтобы выиграть.

O занимает плохую позицию первым ходом (кроме 5, все остальные позиции плохие):

  • X1 → O3 → X7 → O4 → X9, тогда X может взять 5 или 8, чтобы выиграть.
  • X1 → O9 → X3 → O2 → X7, тогда X может взять 4 или 5, чтобы выиграть.
  • X1 → O2 → X5 → O9 → X7, тогда X может взять 3 или 4, чтобы выиграть.
  • X1 → O6 → X5 → O9 → X3, тогда X может взять 2 или 7, чтобы выиграть.

Вариации

Основная статья: Варианты крестиков-ноликов

Много настольные игры разделить элемент попытки быть первым, кто получит пподряд, в том числе трое мужчин моррис, девять мужчин моррис, пенте, гомоку, Кубич, Подключите четыре, Кварто, Кубок, Порядок и хаос, Бросить через, и Mojo. Крестики-нолики - это пример м, н, к-игра, где два игрока по очереди по очереди м×п доска, пока один из них не получит k в ряд. Общие крестики-нолики Харари является еще более широким обобщением. Игра может быть еще более обобщена, если играть на произвольной гиперграф, где строки гиперребра и клетки вершины.

Другие варианты крестиков-ноликов включают:

  • Трехмерные крестики-нолики на доске 3 × 3 × 3. В этой игре первый игрок легко выигрывает, играя в центре, если играют 2 человека.

Можно играть на доске из квадратов 4х4, выигрывая несколькими способами. Выигрыш может включать: 4 по прямой, 4 по диагонали, 4 по ромбу или 4 по квадрату.

Другой вариант, Кубич, играется на доске 4 × 4 × 4; это было решено к Орен Паташник в 1980 году (первый игрок может добиться победы).[19] Возможны также более высокие размерные вариации.[4]

  • В Misère крестики-нолики, игрок выигрывает, если противник получает п в ряд.[20] Игра 3 × 3 - это ничья. В более общем смысле, первый игрок может нарисовать или выиграть на любой доске (любого размера) с нечетной длиной стороны, играя сначала в центральной клетке, а затем копируя ходы противника.[4]
Magicsquareexample.svg
  • В «диких» крестиках-ноликах игроки могут ставить крестики или O на каждом ходу.[21][22][23]
  • Number Scrabble или Pick15[24] является изоморфный на крестики-нолики, но на поверхности кажется совершенно другим.[25] Два игрока по очереди произносят число от одного до девяти. Конкретное число не может повторяться. Игра выигрывает игрок, который угадал три числа, сумма которых равна 15.[24][26] Если используются все числа и никто не получает три числа, которые в сумме дают 15, то игра заканчивается вничью.[24] Нанося эти числа на 3 × 3 магический квадрат показывает, что игра в точности соответствует крестику-нолику, поскольку три числа будут расположены в прямую линию тогда и только тогда, когда их общее количество равно 15.[27]
рап япопе→ п
аsряsе sо→ s
теа ятрот→ т
 ↙

е  

↓

а

 ↓

 я

 ↓

 о

↘

  р

  • В другой изоморфной игре используется список из девяти тщательно подобранных слов, например, «попытаться», «или», «быть», «на», «любой», «лодка», «мимо», «десять» и «ухо». . Каждый игрок выбирает одно слово по очереди, и чтобы выиграть, игрок должен выбрать три слова с одной и той же буквой. Слова могут быть нанесены на сетку крестиков-ноликов таким образом, что выигрывает линия «три в ряд».[28]
  • Числовые крестики-нолики - это вариация, изобретенная математиком Рональд Грэм. В этой игре используются числа от 1 до 9. Первый игрок играет с нечетными числами, второй - с четными. Все номера можно использовать только один раз. Выигрывает игрок, поставивший в ряд 15 очков (сумма трех чисел).
  • В 1970-х была игра для двух игроков, созданная Tri-ang Игрушки и игры под названием Проверить линии, в котором доска состояла из одиннадцати отверстий, расположенных геометрический узор из двенадцати прямых линий, каждая из которых содержит три отверстия. Каждый игрок имел ровно пять жетонов и играл по очереди, помещая по одному жетону в любую из лунок. Победителем стал первый игрок, чьи жетоны были размещены в две строки из трех (которые по определению пересекающийся линий). Если ни один из игроков не выиграл к десятому ходу, последующие ходы заключались в перемещении одного из своих жетонов в оставшуюся пустую лунку с ограничением, что этот ход может быть только из соседней лунки.[29]
  • Квантовые крестики-нолики позволяет игрокам размещать квантовую суперпозицию чисел на доске, т.е. ходы игроков являются «суперпозициями» ходов в исходной классической игре. Этот вариант был изобретен Алланом Гоффом из Novatia Labs.[30]

Английские имена

В игре есть несколько английских названий.

Иногда игры в крестики-нолики (где игроки продолжают добавлять «фишки») и трое мужчин моррис (где фигуры начинают двигаться после того, как определенное число было размещено) перепутаны друг с другом.

В популярной культуре

Разные игра показывает были основаны на крестиках-ноликах и их вариантах:[нужна цитата ]

  • На Голливудские площади, девять знаменитостей заполнили ячейки сетки крестиков-ноликов; игроки кладут символы на доску, правильно соглашаясь или не соглашаясь с ответом знаменитости на вопрос. Вариации шоу включают Квадраты из сборника рассказов и Площади для хип-хопа. Британская версия была Площади знаменитостей. В Австралии были разные версии под названиями Celebrity Squares, Квадраты личности & Все Звездные площади.
  • В Крестики-нолики игроки раскладывают символы на доске, отвечая на вопросы различных категорий, которые перемешиваются после того, как оба игрока сделают оба хода.
  • В Победить учителя, участники отвечают на вопросы, чтобы выиграть ход, чтобы повлиять на сетку крестиков-ноликов.
  • На Цена правильная, несколько национальных вариантов имеют ценовая игра называется «Секретный X», в котором игроки должны угадать цены двух небольших призов, чтобы выиграть Xs (в дополнение к одному бесплатному X) и разместить их на пустой доске. Они должны разместить крестики в таком положении, чтобы угадать расположение титульного "секретного X", спрятанного в центральном столбце доски, и сформировать линию крестиков-ноликов по горизонтали (поперек) или диагонали (вертикальные линии не допускаются). В этом варианте игры нет О.
  • На Минута, чтобы выиграть, в игре Ping Tac Toe один участник играет с девятью стаканами с водой и белыми и оранжевыми шарами для пинг-понга, пытаясь собрать по три подряд любого цвета. Он должен менять цвета после каждого успешного приземления и не блокировать себя.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Шефер, Стив (2002). «Решения MathRec (крестики-нолики)». Математические развлечения. Получено 18 сентября 2015.
  2. ^ В., Вайсштейн, Эрик. "Крестики-нолики". mathworld.wolfram.com. Получено 12 мая 2017.
  3. ^ Фам, Дык-Нгиа; Пак, Сон-Бэ (12 ноября 2014 г.). PRICAI 2014: Тенденции в области искусственного интеллекта: 13-я Международная конференция стран Тихоокеанского региона по искусственному интеллекту. Springer. п. 735. ISBN  978-3-319-13560-1.
  4. ^ а б c Голомб, Соломон В .; Хейлз, Альфред В. (2002). "Гиперкуб крестики-нолики" (PDF). Больше игр без шанса (Беркли, Калифорния, 2000). Математика. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge Univ. Нажмите. 42: 167–182. МИСТЕР  1973012.
  5. ^ Заславский, Клавдия (1982). Крестики-нолики: и другие игры «три в ряд» от Древнего Египта до современных компьютеров. Кроуэлл. ISBN  0-690-04316-3.
  6. ^ Паркер, Марла (1995). Она занимается математикой !: Реальные проблемы женщин на работе. Математическая ассоциация Америки. п. 153. ISBN  978-0-88385-702-1.
  7. ^ "Крестики-нолики в Древнем Риме 1 век до н.э.". Компания Sweetooth Design. Получено 4 декабря 2016.
  8. ^ "Игры Морриса". www-cs.canisius.edu.
  9. ^ Примечания и запросы . Серия 2. VI. п. 152 - через Wikisource. [сканировать Ссылка на Wikisource]
  10. ^ Оксфордский словарь английского языка записи для «Крестики-нолики», «Тик-нолик» и «Тик-нолик», Dictionary.oed.com
  11. ^ а б Вольф, Марк Дж. П. (16 августа 2012 г.). Энциклопедия видеоигр: культура, технологии и искусство игр. Издательская группа "Гринвуд". С. 3–7. ISBN  978-0-313-37936-9.
  12. ^ Коэн, Д.С. (12 марта 2019 г.). "OXO aka Noughts and Crosses". Lifewire. Получено 29 августа 2019.
  13. ^ "Игрушки и крестики-нолики". Архивировано из оригинал 24 августа 2007 г.. Получено 27 сентября 2007.
  14. ^ Болон, Томас (2013). Как никогда не проиграть в крестики-нолики. BookCountry. п. 7. ISBN  978-1-4630-0192-6.
  15. ^ Делински, Берни (21 января 2014 г.). «В поисках кота в крестики-нолики». timesdaily.com. Раз в день.
  16. ^ Кевин Кроули, Роберт С. Сиглер (1993). «Гибкое использование стратегии в крестики-нолики для детей младшего возраста». Наука о мышлении. 17 (4): 531–561. Дои:10.1016 / 0364-0213 (93) 90003-Q.
  17. ^ Гарднер, Мартин (1988). Гексафлексагоны и другие математические отклонения. Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-28254-1.
  18. ^ Кучера, Муравей (7 апреля 2018 г.). «Лучший дебютный ход в игре в крестики-нолики». Кухня в зоопарке. Получено 29 августа 2019.
  19. ^ Паташник, Орен (1 сентября 1980 г.). «Кубик: 4 × 4 × 4 Крестики-нолики». Математический журнал. 53 (4): 202–216. Дои:10.2307/2689613. ISSN  0025-570X. JSTOR  2689613.
  20. ^ Авербах, Бонни; Чейн, Орин (2000). Решение задач с помощью развлекательной математики. Dover Publications. п. 252. ISBN  978-0-486-40917-7.
  21. ^ Мендельсон, Эллиотт (2016). Введение в теорию игр и ее приложения. CRC Press. п. 19. ISBN  978-1-4822-8587-1.
  22. ^ "Дикие крестики-нолики". Пазлы в образовании. 11 декабря 2007 г.. Получено 29 августа 2019.
  23. ^ Эпштейн, Ричард А. (28 декабря 2012 г.). Теория азартных игр и статистическая логика. Академическая пресса. п. 450. ISBN  978-0-12-397870-7.
  24. ^ а б c Юул, Джеспер (2011). Half-Real: видеоигры между реальными правилами и вымышленными мирами. MIT Press. п. 51. ISBN  978-0-262-51651-8.
  25. ^ Мишон, Джон А. (1 января 1967 г.). «Игра JAM: изоморф крестики-нолики». Американский журнал психологии. 80 (1): 137–140. Дои:10.2307/1420555. JSTOR  1420555. PMID  6036351.
  26. ^ "Крестики-нолики" (PDF). Получено 17 декабря 2016.
  27. ^ «Крестики-нолики как волшебный квадрат». О, парень! Я займусь математикой!. 30 мая 2015. Получено 29 августа 2019.
  28. ^ Шумер, Питер Д. (2004). Математические путешествия. Джон Вили и сыновья. С. 71–72. ISBN  978-0-471-22066-4.
  29. ^ «Контрольные линии». НастольнаяИграГик. Получено 29 августа 2019.
  30. ^ Гофф, Аллан (ноябрь 2006 г.). «Квантовые крестики-нолики: обучающая метафора суперпозиции в квантовой механике». Американский журнал физики. Колледж-Парк, Мэриленд: Американская ассоциация учителей физики. 74 (11): 962–973. Bibcode:2006AmJPh..74..962G. Дои:10.1119/1.2213635. ISSN  0002-9505.
  31. ^ "Сиська, тату, палец на ноге". Библиотека Конгресса. Получено 29 августа 2019.
  32. ^ "452: Poultry Slam 2011". Эта американская жизнь. 2 декабря 2011 г.. Получено 28 мая 2016.
  33. ^ Триллин, Кальвин (1 февраля 1999 г.). "Цыпленок исчезает". Житель Нью-Йорка. ISSN  0028-792X. Получено 29 августа 2019.
  34. ^ «Почему курица выиграла игру?. Звездная трибуна. 28 августа 2018 г.. Получено 15 сентября 2019.

внешняя ссылка