Дрожащая рука идеальное равновесие - Trembling hand perfect equilibrium

(Нормальная форма) дрожащая рука идеальное равновесие
А концепция решения в теория игры
Отношение
Подмножество	Равновесие по Нэшу
Надмножество	Правильное равновесие
Значимость
Предложено	Райнхард Зельтен

В теория игры, дрожащая рука идеальное равновесие это уточнение равновесие по Нэшу из-за Райнхард Зельтен.^[1] Совершенное равновесие при дрожании руки - это равновесие, в котором учитывается возможность игры вне равновесия, предполагая, что игроки посредством «промаха руки» или дрожать может выбирать непреднамеренные стратегии, хотя и с незначительной вероятностью.

Определение

Сначала определите взволнованная игра. Возмущенная игра - это копия базовой игры с ограничением, что только полностью смешанный Полностью смешанная стратегия - это смешанная стратегия, в которой каждый стратегия (как чистая, так и смешанная) разыгрывается с ненулевой вероятностью. Это «дрожащие руки» игроков; Иногда они используют другую стратегию, отличную от той, которую они намеревались использовать. Затем определите набор стратегий S (в основной игре) как идеальный для дрожащих рук, если есть последовательность возмущенных игр, которые сходятся к основной игре, в которой есть серия Равновесия Нэша которые сходятся к S.

Примечание: Все полностью перемешанные равновесия по Нэшу идеальны.

Заметка 2: Расширение смешанной стратегии любой конечной игры в нормальной форме имеет по крайней мере одно совершенное равновесие.^[2]

Пример

Игра представлена ​​в следующем матрица нормальной формы имеет две чистые стратегии Равновесия Нэша, а именно ${\displaystyle \langle {\text{Up}},{\text{Left}}\rangle }$ и ${\displaystyle \langle {\text{Down}},{\text{Right}}\rangle }$. Однако только ${\displaystyle \langle {\text{U}},{\text{L}}\rangle }$ Дрожащая рука идеальна.

	Оставили	Правильно
Вверх	1, 1	2, 0
Вниз	0, 2	2, 2
Дрожащая рука идеальное равновесие

Предположим, что игрок 1 (игрок ряда) играет смешанная стратегия ${\displaystyle (1-\varepsilon ,\varepsilon )}$, за ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$.

Ожидаемый выигрыш игрока 2 от игры L составляет:

${\displaystyle 1(1-\varepsilon )+2\varepsilon =1+\varepsilon }$

Ожидаемый выигрыш игрока 2 от игры по стратегии R составляет:

${\displaystyle 0(1-\varepsilon )+2\varepsilon =2\varepsilon }$

Для малых значений ${\displaystyle \varepsilon }$, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, помещая минимальный вес на R и максимальный вес на L. В силу симметрии игрок 1 должен установить минимальный вес на D, если игрок 2 использует смешанную стратегию ${\displaystyle (1-\varepsilon ,\varepsilon )}$. Следовательно ${\displaystyle \langle {\text{U}},{\text{L}}\rangle }$ Дрожащая рука идеальна.

Однако аналогичный анализ не подходит для профиля стратегии. ${\displaystyle \langle {\text{D}},{\text{R}}\rangle }$.

Предположим, игрок 2 играет смешанная стратегия ${\displaystyle (\varepsilon ,1-\varepsilon )}$. Ожидаемый выигрыш игрока 1 от игры U:

${\displaystyle 1\varepsilon +2(1-\varepsilon )=2-\varepsilon }$

Ожидаемый выигрыш игрока 1 от игры D составляет:

${\displaystyle 0(\varepsilon )+2(1-\varepsilon )=2-2\varepsilon }$

Для всех положительных значений ${\displaystyle \varepsilon }$игрок 1 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, помещая минимальный вес на D и максимальный вес на U. Следовательно ${\displaystyle \langle {\text{D}},{\text{R}}\rangle }$ не идеальна для дрожащих рук, потому что игрок 2 (и, по симметрии, игрок 1) максимизирует свой ожидаемый выигрыш, чаще всего отклоняясь к L, если есть небольшая вероятность ошибки в поведении игрока 1.

Дрожащая рука идеальное равновесие двух игроков

Для игр 2x2 набор совершенных равновесий с дрожащей рукой совпадает с набором равновесий, состоящих из двух недоминируемых стратегий. В приведенном выше примере мы видим, что равновесие <Вниз, Вправо> несовершенно, поскольку Левый (слабо) доминирует Правый для Игрока 2, а Вверх (слабо) доминирует Вниз для Игрока 1.^[3]

Дрожащая рука совершенное равновесие обширных игр формы

Дрожащая рука обширной формы идеальное равновесие
А концепция решения в теория игры
Отношение
Подмножество	Подигра идеальное равновесие, Идеальное байесовское равновесие, Последовательное равновесие
Значимость
Предложено	Райнхард Зельтен
Используется для	Игры с расширенной формой

Есть два возможных способа расширить определение «совершенной дрожащей руки» на игры с расширенной формой.

• Можно интерпретировать расширенную форму как просто краткое описание игры с нормальной формой и применить концепции, описанные выше, к этой игре с нормальной формой. В результирующих возмущенных играх каждые стратегия игры в расширенной форме должны проводиться с ненулевой вероятностью. Это приводит к понятию нормальная форма дрожащая рука идеальное равновесие.
• В качестве альтернативы можно вспомнить, что дрожание следует интерпретировать как ошибки моделирования, совершаемые игроками с некоторой незначительной вероятностью во время игры. Такая ошибка, скорее всего, будет заключаться в совершении игроком другого двигаться чем предполагалось в какой-то момент во время игры. Вряд ли это будет заключаться в выборе игроком другого стратегия чем предполагалось, то есть неправильный план прохождения всей игры. Чтобы уловить это, можно определить нарушенную игру, потребовав, чтобы каждый двигаться на каждом набор информации берется с ненулевой вероятностью. Пределы равновесия таких возмущенных игр, когда вероятность дрожания стремится к нулю, называются Дрожащая рука обширной формы идеальное равновесие.

Идеи совершенного равновесия нормальной и обширной дрожащей руки несопоставимы, т. Е. Равновесие в расширенной игре может быть совершенной дрожащей рукой нормальной формы, но не совершенной дрожащей рукой обширной формы, и наоборот. пример этого, Жан-Франсуа Мертенс дал пример игры с расширенной формой для двух игроков, в которой не допускается совершенное равновесие с дрожащей рукой с расширенной формой и идеальным равновесием с дрожащей рукой для этой игры, т. е. множества совершенных равновесий с дрожащей рукой расширенной формы и нормальной формы для этой игры не пересекаются.^{[нужна цитата ]}

Дрожащая рука обширной формы - идеальное равновесие - также последовательное равновесие. Дрожащая рука нормальной формы совершенное равновесие в расширенной игре может быть последовательной, но не обязательно так. Фактически, идеальное равновесие нормальной формы дрожащей руки даже не должно быть подигра идеальна.

Проблемы с совершенством

Майерсон (1978)^[4] указал, что совершенство зависит от добавления строго доминируемой стратегии, и вместо этого предложил другое уточнение, известное как правильное равновесие.

Рекомендации

1. Селтен, Р. (1975). «Пересмотр концепции совершенства для точек равновесия в обширных играх». Международный журнал теории игр. 4 (1): 25–55. Дои:10.1007 / BF01766400.
2. Селтен, Р .: Пересмотр концепции совершенства для точек равновесия в обширных играх. Int. J. Теория игр 4, 1975, 25–55.
3. Ван Дамм, Эрик (1987). Устойчивость и совершенство равновесий по Нэшу. Дои:10.1007/978-3-642-96978-2. ISBN  978-3-642-96980-5.
4. Майерсон, Роджер Б. "Уточнения концепции равновесия по Нэшу". Международный журнал теории игр 7.2 (1978): 73-80.

дальнейшее чтение

• Осборн, Мартин Дж .; Рубинштейн, Ариэль (1994). Курс теории игр. MIT Press. С. 246–254. ISBN  9780262650403.