Корреляция (проективная геометрия) - Correlation (projective geometry)

В проективная геометрия, а корреляция является преобразованием d-размерный проективное пространство что отображает подпространства измерения k в подпространства размерности d − k − 1, реверсивный включение и сохранение заболеваемость. Корреляции также называют взаимность или же взаимные преобразования.

В двух измерениях

в реальная проективная плоскость, точки и линии двойной друг другу. По выражению Кокстера,

Корреляция - это прямое и двухточечное преобразование, которое сохраняет отношение инцидентности в соответствии с принципом двойственности. Таким образом он преобразует диапазоны в карандаши, карандаши в диапазоны, четырехугольники в четырехугольники и т. д.^[1]

Учитывая строку м и п точка не на м, простейшее соотношение получается следующим образом: для каждого Q на м сформировать линию PQ. В обратный корреляция начинается с карандаша на п: для любой строки q в этом карандаше возьми точку м ∩ q. В сочинение двух корреляций, принадлежащих одному и тому же карандашу, есть перспективность.

В трех измерениях

В трехмерном проективном пространстве корреляция отображает точку в самолет. Как сказано в одном учебнике:^[2]

Если κ такое соотношение, каждая точка п превращается им в плоскость π′ = κP, и наоборот, каждая точка п возникает из уникальной плоскости π′ Обратным преобразованием κ⁻¹.

Трехмерные корреляции также преобразуют линии в линии, поэтому их можно рассматривать как коллинеации из двух пространств.

В высших измерениях

В целом п-мерное проективное пространство, корреляция приводит точку к гиперплоскость. Этот контекст описал Пол Йель:

Соотношение проективного пространства п(V) является обращающей включение перестановкой собственных подпространств п(V).^[3]

Он доказывает теорему о том, что соотношение φ меняет местами соединения и пересечения, а также для любого проективного подпространства W из п(V) размерность изображения W под φ является (п - 1) - тусклый W, куда п это размер векторное пространство V используется для создания проективного пространства п(V).

Наличие корреляций

Корреляции могут существовать, только если пространство самодуально. Для измерений 3 и выше самодуальность легко проверить: координация тело существует и самодуальность не выполняется тогда и только тогда, когда тело не изоморфно своей противоположности.

Особые виды корреляций

Полярность

Если корреляция φ является инволюция (то есть два применения корреляции равны тождеству: φ²(п) = п по всем пунктам п), то он называется полярность. Полярности проективных пространств приводят к полярные пространства, которые определяются как совокупность всех подпространств, содержащихся в их образе под полярностью.

Естественная корреляция

Между проективным пространством возникает естественная корреляция. п(V) и его двойственный п(V^∗) посредством естественное соединение ⟨⋅,⋅⟩ между лежащими в основе векторными пространствами V и это двойной V^∗, где каждое подпространство W из V^∗ отображается на его ортогональное дополнение W^⊥ в V, определяется как W^⊥ = {v ∈ V | ⟨ш, v⟩ = 0, ∀ш ∈ W}.^[4]

Составление этой естественной корреляции с изоморфизмом проективных пространств, индуцированным полулинейным отображением, дает корреляцию п(V) себе. Таким образом, каждое невырожденное полулинейное отображение V → V^∗ вызывает корреляцию проективного пространства с самим собой.