De Longchamps Point - de Longchamps point

Точка де Лоншам L треугольника ABC, образованный как отражение ортоцентра ЧАС около центра окружности О или как ортоцентр антикомплементарного треугольника A'B'C '

В геометрия, то de Longchamps Point треугольника - это центр треугольника назван в честь французского математика Гастон Альбер Гохьер де Лоншам. Это отражение из ортоцентр треугольника о центр окружности.^[1]

Определение

Пусть данный треугольник имеет вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, и ${\displaystyle C}$, напротив соответствующих сторон ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, и ${\displaystyle c}$, как это принято в геометрии треугольника. В статье 1886 года, в которой он представил эту точку, де Лоншам первоначально определил ее как центр круга. ${\displaystyle \Delta }$ перпендикулярно трем окружностям ${\displaystyle \Delta _{a}}$, ${\displaystyle \Delta _{b}}$, и ${\displaystyle \Delta _{c}}$, куда ${\displaystyle \Delta _{a}}$ сосредоточен в ${\displaystyle A}$ с радиусом ${\displaystyle a}$ а две другие окружности определены симметрично. Затем де Лоншам также показал, что ту же точку, теперь известную как точка де Лоншам, можно эквивалентно определить как ортоцентр антикомплементарный треугольник из ${\displaystyle ABC}$, и что это отражение ортоцентра ${\displaystyle ABC}$ вокруг центра окружности.^[2]

В Круг Штейнера треугольника концентричен круг из девяти точек и имеет радиус 3/2 описанного радиуса треугольника; точка де Лоншам гомотетический центр окружности Штейнера и описанной окружности.^[3]

Дополнительные свойства

Как отражение ортоцентра вокруг центра описанной окружности, точка де Лоншама принадлежит линии, проходящей через обе эти точки, которая является Линия Эйлера данного треугольника. Таким образом, он коллинеарен всем остальным треугольникам с центрами на линии Эйлера, которые наряду с ортоцентром и центром описанной окружности включают центроид и центр круг из девяти точек.^[1][3][4]

Точка де Лоншана также коллинеарна по другой линии с точкой стимулятор и Точка Жергонна своего треугольника.^[1][5] Три круга с центром в ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, и ${\displaystyle C}$, с радиусами ${\displaystyle s-a}$, ${\displaystyle s-b}$, и ${\displaystyle s-c}$ соответственно (где ${\displaystyle s}$ это полупериметр ) касаются друг друга, и есть еще две окружности, касающиеся всех трех из них: внутренняя и внешняя окружности Содди; центры этих двух кругов также лежат на одной линии с точкой де Лоншана и центром.^[1][3] Точка де Лоншана - это точка совпадения этой линии с линией Эйлера, а также с тремя другими линиями, определенными аналогично линии, проходящей через центр, но с использованием вместо этого трех превосходители треугольника.^[3][5]

В Кубический Дарбу можно определить от точки де Лоншам, как геометрическое место точек ${\displaystyle X}$ такой, что ${\displaystyle X}$, то изогональный конъюгат из ${\displaystyle X}$, и точка де Лоншана коллинеарны. Это единственный инвариант кубической кривой треугольника, который одновременно изогонально самосопряжен и центрально-симметричен; его центр симметрии - это центр описанной окружности треугольника.^[6] Сама точка де Лоншана лежит на этой кривой, как и ее отражение в ортоцентре.^[1]

Рекомендации

1. Кимберлинг, Кларк, «X (20) = точка Лоншама», Энциклопедия центров треугольников.
2. де Лоншам, Г. (1886 г.), "Sur un nouveau cercle remarquable du plan du треугольник", Journal de Mathématiques spéciales, 2. Sér. (На французском), 5: 57–60. См. Особенно раздел 4, «Определение центра Δ», стр. 58–59.
3. Вандеген А. (1964), «Математические заметки: круги Содди и точка треугольника Де Лоншампа», Американский математический ежемесячник, 71 (2): 176–179, Дои:10.2307/2311750, JSTOR  2311750, МИСТЕР  1532529.
4. Кокстер, Х. С. М. (1995), "Некоторые приложения трилинейных координат", Линейная алгебра и ее приложения, 226/228: 375–388, Дои:10.1016 / 0024-3795 (95) 00169-Р, МИСТЕР  1344576. См., В частности, раздел 5 «Шесть примечательных точек на прямой Эйлера», стр. 380–383.
5. Лонге-Хиггинс, Майкл (2000), "Точка четырехкратного совпадения, лежащая на линии Эйлера треугольника", Математический интеллект, 22 (1): 54–59, Дои:10.1007 / BF03024448, МИСТЕР  1745563.
6. Гиберт, Бернар, "K004 Кубика Дарбу = pK (X6, X20)", Кубики в плоскости треугольника, получено 2012-09-06.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «де Лоншамп-Пойнт». MathWorld.