Баллы Brocard - Brocard points

Точка Брокара треугольника, построенного в точке пересечения трех окружностей

В геометрия, Баллы Brocard особые точки в треугольник. Они названы в честь Анри Брокар (1845–1922), французский математик.

Определение

В треугольнике ABC с боков а, б, и c, где вершины помечены А, B и C против часовой стрелки ровно одна точка п такие, что отрезки AP, BP, и CP образуют один и тот же угол ω с соответствующими сторонами c, а, и б, а именно, что

${displaystyle angle PAB=angle PBC=angle PCA=omega .,}$

Точка п называется первая точка Брокара треугольника ABC, а угол ω называется Угол Брокара треугольника. Этот угол обладает тем свойством, что

${displaystyle cot omega =cot alpha +cot eta +cot gamma ,,}$

куда ${displaystyle alpha ,,eta ,,gamma }$ углы при вершинах ${displaystyle angle CAB,,angle ABC,,angle BCA}$ соответственно.

Также есть вторая точка Брокара, Q, в треугольнике ABC такие, что отрезки линии AQ, BQ, и CQ образуют равные углы со сторонами б, c, и а соответственно. Другими словами, уравнения ${displaystyle angle QCB=angle QBA=angle QAC}$ подать заявление. Примечательно, что эта вторая точка Брокара имеет тот же угол Брокара, что и первая точка Брокара. Другими словами, угол ${displaystyle angle PBC=angle PCA=angle PAB}$ такой же как ${displaystyle angle QCB=angle QBA=angle QAC.}$

Две точки Брокара тесно связаны друг с другом; На самом деле разница между первым и вторым зависит от того, в каком порядке углы треугольника ABC принимаются. Так, например, первая точка треугольника Брокара ABC совпадает со второй точкой треугольника Брокара ACB.

Две точки Брокара в треугольнике ABC находятся изогональные конъюгаты друг друга.

Строительство

Самая изящная конструкция точек Брокара выглядит следующим образом. В следующем примере представлена ​​первая точка Брокара, но конструкция второй точки Брокара очень похожа.

Как и на диаграмме выше, через точки A и B сформируйте окружность, касательную к краю BC треугольника (центр этой окружности находится в точке, где серединный перпендикуляр AB пересекает прямую, проходящую через точку B, перпендикулярную BC) . Симметрично сформируйте окружность через точки B и C, касательную к ребру AC, и окружность через точки A и C, касательные к ребру AB. Эти три круга имеют общую точку, первую точку треугольника Брокара. ABC. Смотрите также Касательные линии к окружностям.

Только что построенные три окружности также обозначены как эпициклы треугольника ABC. Аналогично строится вторая точка Брокара.

Трилинейки и барицентрики первых двух точек Брокара

Однородный трилинейные координаты для первой и второй точек Brocard ${displaystyle c/b:a/c:b/a}$ и ${displaystyle b/c:c/a:a/b}$ соответственно. Таким образом, их барицентрические координаты соответственно^[1] ${displaystyle c^{2}a^{2}:a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}}$ и ${displaystyle a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}:c^{2}a^{2}.}$

Отрезок между первыми двумя точками Брокара

Точки Брокара являются примером бицентрической пары точек, но они не центры треугольников потому что ни одна точка Брокара не инвариантна относительно преобразования подобия: отражение разностороннего треугольника, частного случая подобия, превращает одну точку Брокара в другую. Тем не менее неупорядоченная пара образованный обеими точками, инвариантен относительно подобия. Середина двух точек Брокара, называемая Средняя точка Брокара, имеет трилинейные координаты

${displaystyle sin(A+omega ):sin(B+omega ):sin(C+omega )=a(b^{2}+c^{2}):b(c^{2}+a^{2}):c(a^{2}+b^{2}),}$^[2]

и является центром треугольника. В третья точка Брокара, заданную в трилинейных координатах как

${displaystyle csc(A-omega ):csc(B-omega ):csc(C-omega )=a^{-3}:b^{-3}:c^{-3},}$^[3]

это середина Брокара антикомплементарный треугольник а также изотомный конъюгат из симедианная точка.

Расстояние между первыми двумя точками Брокара п и Q всегда меньше или равно половине радиуса р треугольника описанный круг:^[1][4]

${displaystyle PQ=2Rsin omega {sqrt {1-4sin ^{2}omega }}leq {frac {R}{2}}.}$

Отрезок между первыми двумя точками Брокара равен перпендикулярно пополам в средней точке Брокара линией, соединяющей точки треугольника центр окружности и это Точка Лемуана. Кроме того, центр описанной окружности, точка Лемуана и первые две точки Брокара равны конциклический - все они попадают в одну и ту же окружность, отрезок которой соединяет центр описанной окружности и точку Лемуана. диаметр.^[1]

Расстояние от центра окружности

Баллы Брокара п и Q равноудалены от треугольника центр окружности О:^[4]

${displaystyle PO=QO=R{sqrt {{frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}-1}}=R{sqrt {1-4sin ^{2}omega }}.}$

Сходства и совпадения

В педальные треугольники первой и второй точек Брокара равны конгруэнтный друг к другу и похожий к исходному треугольнику.^[4]

Если строки AP, BP, и CP, каждая из которых проходит через одну из вершин треугольника и его первую точку Брокара, пересекает вершины треугольника. описанный круг в точках L, M, и N, то треугольник LMN конгруэнтно исходному треугольнику ABC. То же самое верно, если первая точка Брокара п заменяется второй точкой Брокара Q.^[4]

Примечания

1. Скотт, Дж. А. "Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника", Математический вестник 83, ноябрь 1999 г., стр. 472–477.
2. Запись X (39) в Энциклопедия центров треугольников В архиве 12 апреля 2010 г. Wayback Machine
3. Запись X (76) в Энциклопедия центров треугольников В архиве 12 апреля 2010 г. Wayback Machine
4. Вайсштейн, Эрик В. «Очки Брокара». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/BrocardPoints.html

Рекомендации

• Акопян, А. В .; Заславский, А.А. (2007), Геометрия коник, Математический мир, 26, Американское математическое общество, стр. 48–52, ISBN  978-0-8218-4323-9.
• Хонсбергер, Росс (1995), "Глава 10. Точки Брокара", Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки..

внешняя ссылка

• Третья точка Брокара в MathWorld
• Бицентрические пары точек и связанные центры треугольников
• Бицентрические пары точек
• Бицентрические точки в MathWorld