Уравнение коллинеарности - Collinearity equation

Лучи света, проходящие через отверстие в камеры-обскуры

В уравнения коллинеарности представляют собой систему двух уравнений, используемых в фотограмметрия и компьютерное стереозрение, чтобы связать координаты в датчик плоскость (в двух измерениях) в координаты объекта (в трех измерениях). Уравнения происходят из центральная проекция точки объект сквозь оптический центр из камера к изображению на плоскости сенсора.^[1]

Три точки P, Q и R проецируются на плоскость S через центр проекции C.

Ось x и z проекции точки P через центр проекции C

Определение

Пусть x, y и z относятся к система координат с осями x и y в плоскости датчика. Обозначим координаты точки P на объекте как ${ displaystyle x_ {P}, y_ {P}, z_ {P}}$ , координаты точки изображения P на плоскости датчика на Икс и у а координаты проекционного (оптического) центра - на ${ displaystyle x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}}$ . Как следствие метода проецирования есть такие же фиксированные соотношение ${ displaystyle lambda}$ между ${ displaystyle x-x_ {0}}$ и ${ displaystyle x_ {0} -x_ {P}}$ , ${ displaystyle y-y_ {0}}$ и ${ displaystyle y_ {0} -y_ {P}}$ , а расстояние от центра проекции до плоскости датчика ${ displaystyle z_ {0} = c}$ и ${ displaystyle z_ {P} -z_ {0}}$ . Отсюда:

{ displaystyle x-x_ {0} = - lambda (x_ {P} -x_ {0})}

{ displaystyle y-y_ {0} = - lambda (y_ {P} -y_ {0})}

{ displaystyle c = lambda (z_ {P} -z_ {0}),}

Решение для ${ displaystyle lambda}$ в последнем уравнении и ввод его в другие дает:

{ displaystyle x-x_ {0} = - c { frac {x_ {P} -x_ {0}} {z_ {P} -z_ {0}}}}

{ displaystyle y-y_ {0} = - c { frac {y_ {P} -y_ {0}} {z_ {P} -z_ {0}}}}

Точка P обычно задается в некоторой системе координат "вне" камеры через координаты Икс, Y и Z, а центр проекции - на ${ displaystyle X_ {0}, Y_ {0}, Z_ {0}}$ . Эти координаты могут быть преобразованы через вращение и перевод к системе на камере. Перевод не влияет на разницу координат, а вращение, часто называемое преобразование камеры, задается 3 × 3-матрица р, преобразование ${ displaystyle (X-X_ {0}, Y-Y_ {0}, Z-Z_ {0})}$ в:

{ displaystyle x_ {P} -x_ {0} = R_ {11} (X-X_ {0}) + R_ {21} (Y-Y_ {0}) + R_ {31} (Z-Z_ {0} )}

{ displaystyle y_ {P} -y_ {0} = R_ {12} (X-X_ {0}) + R_ {22} (Y-Y_ {0}) + R_ {32} (Z-Z_ {0} )}

и

{ displaystyle z_ {P} -z_ {0} = R_ {13} (X-X_ {0}) + R_ {23} (Y-Y_ {0}) + R_ {33} (Z-Z_ {0} )}

Подстановка этих выражений приводит к набору двух уравнений, известных как уравнения коллинеарности:

{ displaystyle x-x_ {0} = - c { frac {R_ {11} (X-X_ {0}) + R_ {21} (Y-Y_ {0}) + R_ {31} (Z- Z_ {0})} {R_ {13} (X-X_ {0}) + R_ {23} (Y-Y_ {0}) + R_ {33} (Z-Z_ {0})}}}

{ displaystyle y-y_ {0} = - c { frac {R_ {12} (X-X_ {0}) + R_ {22} (Y-Y_ {0}) + R_ {32} (Z- Z_ {0})} {R_ {13} (X-X_ {0}) + R_ {23} (Y-Y_ {0}) + R_ {33} (Z-Z_ {0})}}}

Наиболее очевидное использование этих уравнений - для изображений, записанных камерой. В этом случае уравнение описывает преобразования из пространства объекта (X, Y, Z) в координаты изображения (x, y). Он составляет основу уравнений, используемых в регулировка связки. Они указывают на то, что точка изображения (на сенсорной пластине камеры), наблюдаемая точка (на объекте) и центр проекции камеры были совмещены при съемке изображения.

Смотрите также

использованная литература

^ Т. Шенк, Введение в фотограмметрию

[1] Т. Шенк, Введение в фотограмметрию

[1]