Формула Бретшнайдера - Bretschneiders formula

Четырехугольник.

В геометрия, Формула Бретшнайдера следующее выражение для площадь генерала четырехугольник:

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

${\displaystyle ={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.}$

Здесь, а, б, c, d стороны четырехугольника, s это полупериметр, и α и γ два противоположных угла.

Формула Бретшнайдера работает на любом четырехугольнике, будь то циклический или нет.

Немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер открыл формулу в 1842 году. Формула была также выведена в том же году немецким математиком Карл Георг Кристиан фон Штаудт.

Доказательство

Обозначим площадь четырехугольника через K. Тогда у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\text{area of }}\triangle ADB+{\text{area of }}\triangle BDC\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}}$

Следовательно

${\displaystyle 2K=(ad)\sin \alpha +(bc)\sin \gamma .}$

${\displaystyle 4K^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .}$

В закон косинусов подразумевает, что

${\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,}$

потому что обе стороны равны квадрату длины диагонали BD. Это можно переписать как

${\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .}$

Добавляя это к приведенной выше формуле для 4K² дает

${\displaystyle {\begin{aligned}4K^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd(\cos(\alpha +\gamma )+1)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\left({\frac {\cos(\alpha +\gamma )+1}{2}}\right)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что: ${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {1+\cos(\alpha +\gamma )}{2}}}$ (тригонометрическое тождество верно для всех ${\displaystyle {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}$)

Следуя тем же шагам, что и в Формула Брахмагупты, это можно записать как

${\displaystyle 16K^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).}$

Представляем полупериметр

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},}$

выше становится

${\displaystyle 16K^{2}=16(s-d)(s-c)(s-b)(s-a)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

${\displaystyle K^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

а формула Бретшнайдера следует после извлечения квадратного корня из обеих частей:

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

Связанные формулы

Формула Бретшнайдера обобщает Формула Брахмагупты для площади циклический четырехугольник, что, в свою очередь, обобщает Формула Герона для площади треугольник.

Тригонометрическая поправка в формуле Бретшнайдера для нецикличности четырехугольника может быть переписана нетригонометрически в терминах сторон и диагоналей. е и ж давать^[1][2]

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}.\end{aligned}}}$

Примечания

1. Дж. Л. Кулидж, «Исторически интересная формула для определения площади четырехугольника», Американский математический ежемесячный журнал, 46 (1939) 345–347. (JSTOR )
2. Э. В. Хобсон: Трактат о плоской тригонометрии. Издательство Кембриджского университета, 1918, стр. 204-205.

Ссылки и дополнительная литература

• Аюб Б. Аюб: Обобщения теорем Птолемея и Брахмагупты. Математика и компьютерное образование, Том 41, номер 1, 2007 г., ISSN  0730-8639
• Э. В. Хобсон: Трактат о плоской тригонометрии. Cambridge University Press, 1918, стр. 204–205 (онлайн-копия )
• К. А. Бретшнайдер. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 (онлайн-копия, немецкий )
• Ф. Штрелке: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 (онлайн-копия, немецкий )

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Формула Бретшнайдера». MathWorld.
• Формула Бретшнайдера на proofwiki.org