Теорема бабочки - Butterfly theorem

По поводу «леммы о бабочке» теории групп см. Лемма Цассенхауза.

Теорема бабочки

В теорема бабочка классический результат Евклидова геометрия, что можно сформулировать так:^{[1]:п. 78}

Позволять M быть середина из аккорд PQ из круг, через которые два других аккорда AB и CD нарисованы; ОБЪЯВЛЕНИЕ и до н.э пересечение хорды PQ в Икс и Y соответственно. потом M это середина XY.

Доказательство

Доказательство теоремы бабочки

Формальное доказательство теоремы выглядит следующим образом. Пусть перпендикуляры XX ′ и XX ″ быть сброшенным с точки Икс на прямых ЯВЛЯЮСЬ и DM соответственно. Аналогично пусть YY ′ и ГГ ″ быть сброшенным с точки Y перпендикулярно прямым BM и СМ соответственно.

С

${\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY',}$

${\displaystyle {MX \over MY}={XX' \over YY'},}$

${\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY'',}$

${\displaystyle {MX \over MY}={XX'' \over YY''},}$

${\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY'',}$

${\displaystyle {XX' \over YY''}={AX \over CY},}$

${\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY',}$

${\displaystyle {XX'' \over YY'}={DX \over BY}.}$

Из предыдущих уравнений и теорема о пересечении хорд, видно, что

${\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},}$

${\displaystyle {}={AX\cdot DX \over CY\cdot BY},}$

${\displaystyle {}={PX\cdot QX \over PY\cdot QY},}$

${\displaystyle {}={(PM-XM)\cdot (MQ+XM) \over (PM+MY)\cdot (QM-MY)},}$

${\displaystyle {}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},}$

поскольку ВЕЧЕРА = MQ.

Так

${\displaystyle {(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.}$

Перемножая в последнем уравнении,

${\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}.}$

Отмена общего термина

${\displaystyle {-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}}$

с обеих сторон полученного уравнения дает

${\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}},}$

следовательно MX = МОЙ, поскольку MX, MY и PM - положительные действительные числа.

Таким образом, M это середина XY.

Есть и другие доказательства,^[2] в том числе с использованием проективной геометрии.^[3]

История

Проблема доказательства теоремы о бабочке была поставлена Уильям Уоллес в Математический товарищ джентльменов (1803). Три решения были опубликованы в 1804 г., а в 1805 г. Сэр Уильям Гершель снова задал вопрос в письме Уоллесу. Преподобный Томас Скурр снова задал тот же вопрос в 1814 г. Джентльменский дневник или математический репозиторий.^[4]

Рекомендации

1. Джонсон, Роджер А., Продвинутая евклидова геометрия, Dover Publ., 2007 (ориг. 1929 г.).
2. Мартин Челли, «Доказательство теоремы о бабочке с использованием фактора подобия двух крыльев», Форум Geometricorum 16, 2016, 337–338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf
3. [1], проблема 8.
4. Утверждение Уильяма Уоллеса 1803 года теоремы о бабочке, завязать узел, получено 7 мая 2015.

внешняя ссылка

• Теорема бабочки в завязать узел
• Лучшая теорема о бабочке в завязать узел
• Доказательство теоремы о бабочке в PlanetMath
• Теорема бабочки Джея Варендорфа, Вольфрам Демонстрационный проект.
• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема бабочки". MathWorld.