Штайнер инеллипс - Steiner inellipse

Инеллипс Штайнера. Согласно с Теорема мардена, учитывая треугольник с вершинами (1,7), (7,5) и (3,1), фокусы инэллипса равны (3,5) и (13 / 3,11 / 3), так как D_Икс(1 + 7я − Икс)(7 + 5я − Икс)(3 + я − Икс) = -3(13/3 + 11/3я − Икс)(3 + 5я − Икс).

В геометрия, то Штайнер инеллипс,^[1] средняя точка эллипса, или же эллипс средней точки из треугольник уникальный эллипс вписаны в треугольник и касательная по сторонам в их серединах. Это пример неэллипс. Для сравнения вписанный круг и Мандарт инеллипс треугольника - это другие инконики, которые касаются сторон, но не в серединах, если только треугольник равносторонний. Инеллипс Штайнера приписывает Дёрри^[2] к Якоб Штайнер, и доказательство его уникальности дано Дэном Калманом.^[3]

Инеллипс Штайнера контрастирует с Круговорот Штейнера, также называемый просто эллипсом Штейнера, который представляет собой уникальный эллипс, который касается заданного треугольника в его вершинах и чей центр является треугольником центроид.^[4]

Определение и свойства

Определение

Эллипс, касающийся сторон треугольника. ${\displaystyle ABC}$ в его середине ${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3}}$ называется Штайнер инеллипс треугольника ${\displaystyle ABC}$.

Элипс Штейнера (синий) и эллипс Штейнера (красный)

Эллипс Штейнера (синий) и эллипс Штейнера (красный) равностороннего треугольника

Характеристики:
Для произвольного треугольника ${\displaystyle ABC}$ со средними точками ${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3}}$ его сторон верны следующие утверждения:
здесь существуют ровно один эллипс Штайнера.
б) центр эллипса Штайнера - это центроид ${\displaystyle S}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$.
в1) Треугольник ${\displaystyle M_{1}M_{2}M_{3}}$ имеет тот же центр тяжести ${\displaystyle S}$ и эллипс Штейнера треугольника ${\displaystyle ABC}$ эллипс Штейнера треугольника ${\displaystyle M_{1}M_{2}M_{3}}$.
в2) эллипс Штейнера треугольника - это масштабированный Эллипс Штейнера с масштабным коэффициентом 1/2 и центроидом в центре. Следовательно, оба эллипса имеют одинаковые эксцентриситет, находятся похожий.
г) площадь эллипса Штайнера ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$в раз больше площади треугольника.
д) эллипс Штайнера имеет наибольшая площадь всех эллипсов треугольника.^{[5]:стр.146[6]:Следствие 4.2.}

Доказательство

Доказательства свойств а), б), в) основаны на следующих свойствах аффинного отображения: 1) любой треугольник можно рассматривать как аффинный образ равностороннего треугольника. 2) Средние точки сторон отображаются на средние точки, а центроиды - на центроиды. Центр эллипса отображается на центр его изображения.
Следовательно, достаточно доказать свойства а), б), в) для равностороннего треугольника:
а) Для любого равностороннего треугольника существует окружать. Он касается сторон в своих серединах. Другого (невырожденного) конического сечения с такими же свойствами не существует, потому что коническое сечение определяется 5 точками / касательными.
б) Простым расчетом.
c) Описанная окружность отображается с помощью масштабирования с коэффициентом 1/2 и центроидом в качестве центра на вписанную окружность. Эксцентриситет - инвариант.
г) Отношение площадей инвариантно к аффинным преобразованиям. Таким образом, соотношение можно рассчитать для равностороннего треугольника.
д) См. Инеллипс.

Параметрическое представление и полуоси

Параметрическое представление:

• Потому что эллипс Штейнера в треугольнике ${\displaystyle ABC}$ представляет собой масштабированный эллипс Штейнера (коэффициент 1/2, центр - центроид), можно получить параметрическое представление, полученное из тригонометрического представления Эллипс Штейнера  :

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\overrightarrow {OS}}\;+\;{\color {blue}{\frac {1}{2}}}{\overrightarrow {SC}}\;\cos t\;+\;{\frac {1}{{\color {blue}2}{\sqrt {3}}}}{\overrightarrow {AB}}\;\sin t\;,\quad 0\leq t<2\pi \ .}$

• В 4 вершины эллипса Штайнера

${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi ),}$

куда ${\displaystyle t_{0}}$ это решение

${\displaystyle \cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\quad }$ с ${\displaystyle \quad {\vec {f}}_{1}={\frac {1}{2}}{\vec {SC}},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}{\vec {AB}}\ .}$

Полуоси:

• С сокращениями

${\displaystyle M:={\color {blue}{\frac {1}{4}}}({\vec {SC}}^{2}+{\frac {1}{3}}{\vec {AB}}^{2})}$

${\displaystyle N:={\frac {1}{{\color {blue}4}{\sqrt {3}}}}\left|\det({\vec {SC}},{\vec {AB}})\right|}$

получается за полуоси ${\displaystyle a,b,\;a>b}$:

${\displaystyle a={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})}$

${\displaystyle b={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\ .}$

• В линейный эксцентриситет ${\displaystyle c}$ эллипса Штайнера

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=\dotsb ={\sqrt {\sqrt {M^{2}-4N^{2}}}}\ .}$

Трилинейное уравнение

Уравнение эллипса Штейнера в трилинейные координаты для треугольника со сторонами а, б, в (с этими параметрами, имеющими другое значение, чем раньше)^[1]

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0}$

куда Икс - произвольная положительная константа, умноженная на расстояние точки от стороны длины а, и аналогично для б и c с той же мультипликативной константой.

Другие свойства

Длины большой и малой полуосей треугольника со сторонами а, б, в находятся^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},}$

куда

${\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.}$

Согласно с Теорема мардена,^[3] если три вершины треугольника являются сложный нули кубического многочлен, то фокусы эллипса Штейнера - нули производная полинома.

Главная ось эллипса Штайнера - это линия наилучшего ортогонального соответствия для вершин.^{[6]:Следствие 2.4.}

Обозначим как грамм, F₊, и F₋ соответственно центроид и первый и второй Точки Ферма треугольника. Большая ось эллипса Штейнера треугольника - это внутренняя биссектриса ofF₊GF₋. Длины осей |GF₋| ± |GF₊|: то есть сумма и разность расстояний между точками Ферма и центроидом.^{[7]:Thm. 1}

Оси эллипса Штейнера в треугольнике касаются его параболы Киперта, единственной параболы, которая касается сторон треугольника и имеет Линия Эйлера как его директриса.^{[7]:Thm. 3}

Фокусы эллипса Штейнера в треугольнике - это точки пересечения большой оси эллипса и круга с центром на малой оси, проходящие через точки Ферма.^{[7]:Thm. 6}

Как и любой эллипс, вписанный в треугольник ABC, позволяя фокусам быть п и Q у нас есть^[8]

${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$

Обобщение

Эллипс Штейнера треугольника можно обобщить на п-угольники: некоторые п-угольники имеют внутренний эллипс, касающийся каждой стороны в средней точке стороны. Теорема Мардена по-прежнему применима: фокусы эллипса Штейнера - это нули производной многочлена, нули которого являются вершинами п-гон.^[9]

Рекомендации

1. Weisstein, E. "Steiner Inellipse" - из MathWorld, веб-ресурса Wolfram, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html.
2. Х. Дёрри, 100 великих проблем элементарной математики, их история и решение (пер. Д. Антин), Довер, Нью-Йорк, 1965, проблема 98.
3. Кальман, Дэн (2008), «Элементарное доказательство теоремы Мардена» (PDF), Американский математический ежемесячный журнал, 115 (4): 330–338, JSTOR  27642475, Г-Н  2398412, заархивировано из оригинал (PDF) на 2012-08-26.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Круговой круг Штайнера». MathWorld.
5. Чакериан, Г. Д. (1979), «Искаженный взгляд на геометрию», в Honsberger, Ross (ed.), Математические сливы, Математические экспозиции Дольчиани, 4, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, стр. 135–136, 145–146..
6. Минда, Д.; Фелпс, С. (2008), «Треугольники, эллипсы и кубические многочлены» (PDF), Американский математический ежемесячный журнал, 115 (8): 679–689, Г-Н  2456092.
7. Шимеми, Бенедетто, "Простые соотношения относительно инеллипса Штайнера треугольника", Форум Geometricorum 10, 2010: 55–77.
8. Allaire, Patricia R .; Чжоу, Цзюньминь; и Яо, Хайшен, «Доказательство идентичности эллипса девятнадцатого века», Математический вестник 96, март 2012 г., 161–165.
9. Пэриш, Джеймс Л., "О производной вершинного многочлена", Форум Geometricorum 6, 2006, pp. 285–288: Предложение 5.