Инеллипс - Inellipse

Пример неэллипса

В геометрия треугольника, инэллипс является эллипс что касается трех сторон треугольник. Самый простой пример - это окружать. Следующие важные эллипсы - это Штайнер инеллипс, который касается треугольника в серединах его сторон, Мандарт инеллипс и Brocard inellipse (видеть раздел примеров ). Для любого треугольника существует бесконечное количество эллипсов.

Инэллипс Штайнера играет особую роль: его площадь самая большая из всех эллипсов.

Поскольку невырожденный коническая секция однозначно определяется пятью элементами из множества вершин и касательных, в треугольнике, три стороны которого заданы как касательные, можно указать только точки соприкосновения с двух сторон. Затем однозначно определяется третья точка контакта.

Параметрические изображения, центр, сопряженные диаметры

Неэллипс треугольника однозначно определяется вершинами треугольника и двумя точками соприкосновения. ${\displaystyle U,V}$.

Неэллипс треугольника с вершинами

${\displaystyle O=(0,0),\;A=(a_{1},a_{2}),\;B=(b_{1},b_{2})}$

и точки связи

${\displaystyle U=(u_{1},u_{2}),\;V=(v_{1},v_{2})}$

на ${\displaystyle OA}$ и ${\displaystyle OB}$ соответственно можно описать рациональный параметрическое представление

• ${\displaystyle \left({\frac {4u_{1}\xi ^{2}+v_{1}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}},{\frac {4u_{2}\xi ^{2}+v_{2}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}}\right)\ ,\ -\infty <\xi <\infty \ ,}$

куда ${\displaystyle a,b}$ однозначно определяются выбором точек соприкосновения:

${\displaystyle a={\frac {1}{s-1}},\ u_{i}=sa_{i},\quad b={\frac {1}{t-1}},\ v_{i}=tb_{i}\;,\ 0<s,t<1\;.}$

В третье контактное лицо является

${\displaystyle W=\left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+2}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+2}}\right)\;.}$

В центр инэллипса

${\displaystyle M={\frac {ab}{ab-1}}\left({\frac {u_{1}+v_{1}}{2}},{\frac {u_{2}+v_{2}}{2}}\right)\;.}$

Векторы

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {ab}}{ab-1}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {ab}{ab-1}}}\;(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2})\;}$

два сопряженные полудиаметры а у инеллипса более общий тригонометрический параметрическое представление

• ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {OM}}+{\vec {f}}_{1}\cos \varphi +{\vec {f}}_{2}\sin \varphi \;.}$

Точка Брианшон ${\displaystyle K}$

В Точка Брианшон инэллипса (общая точка ${\displaystyle K}$ линий ${\displaystyle {\overline {AV}},{\overline {BU}},{\overline {OW}}}$) является

${\displaystyle K:\left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+1}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+1}}\right)\ .}$

Различный ${\displaystyle s,t}$ это простой вариант прописать две точки соприкосновения ${\displaystyle U,V}$. Приведенные оценки для ${\displaystyle s,t}$ гарантируют, что точки соприкосновения расположены по сторонам треугольника. Они предусматривают ${\displaystyle a,b}$ границы ${\displaystyle -\infty <a,b<-1}$.

Замечание: Параметры ${\displaystyle a,b}$ не являются ни полуосями эллипса, ни длинами двух сторон.

Примеры

Мандарт инеллипс

Штайнер инеллипс

За ${\displaystyle s=t={\tfrac {1}{2}}}$ точки контакта ${\displaystyle U,V,W}$ - середины сторон, а эллипс - Штайнер инеллипс (его центр - центроид треугольника).

Incircle

За ${\displaystyle s={\tfrac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OA|}},\;t={\tfrac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OB|}}}$каждый получает окружать треугольника с центром

${\displaystyle {\vec {OM}}={\frac {|OB|{\vec {OA}}+|OA|{\vec {OB}}}{|OA|+|OB|+|AB|}}\;.}$

Мандарт инеллипс

За ${\displaystyle s={\tfrac {|OA|-|OB|+|AB|}{2|OA|}},\;t={\tfrac {-|OA|+|OB|+|AB|}{2|OB|}}}$инэллипс - это Мандарт инеллипс треугольника. Он касается сторон в точках контакта вне окружности (см. диаграмму).

Brocard inellipse

Brocard inellipse

За ${\displaystyle \ s={\tfrac {|OB|^{2}}{|OB|^{2}+|AB|^{2}}}\;,\quad t={\tfrac {|OA|^{2}}{|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\;}$ каждый получает Brocard inellipse. Он однозначно определяется своей точкой Брианшона, указанной в трилинейные координаты ${\displaystyle \ K:(|OB|:|OA|:|AB|)\ }$.

Выводы заявлений

Определение эллипса путем решения задачи для гиперболы в ${\displaystyle \xi }$-${\displaystyle \eta }$-плоскость и дополнительное преобразование решения в Икс-у-самолет. ${\displaystyle M}$ центр искомого эллипса и ${\displaystyle D_{1}D_{2},\;E_{1}E_{2}}$ два сопряженных диаметра. В обеих плоскостях существенные точки обозначены одними и теми же символами. ${\displaystyle g_{\infty }}$ линия на бесконечности Икс-у-самолет.

Новые координаты

Для доказательства утверждений рассмотрим задачу проективно и вводит удобную новую неоднородность ${\displaystyle \xi }$-${\displaystyle \eta }$-координаты такие, что желаемое коническое сечение отображается как гипербола и точки ${\displaystyle U,V}$ становятся бесконечно удаленными точками новых координатных осей. Точки ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2}),\;B=(b_{1},b_{2})}$ будет описываться в новой системе координат как ${\displaystyle A=[a,0],B=[0,b]}$ и соответствующая линия имеет уравнение ${\displaystyle {\frac {\xi }{a}}+{\frac {\eta }{b}}=1}$. (Ниже окажется, что ${\displaystyle a,b}$ действительно имеют тот же смысл, что и в приведенном выше утверждении.) Теперь ищется гипербола с осями координат в качестве асимптот, которая касается линии ${\displaystyle {\overline {AB}}}$. Это простая задача. Путем несложного расчета получается гипербола с уравнением ${\displaystyle \eta ={\frac {ab}{4\xi }}}$. Он касается линии ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ в точке ${\displaystyle W=[{\tfrac {a}{2}},{\tfrac {b}{2}}]}$.

Преобразование координат

Превращение решения в Икс-у-самолет будет выполнен с использованием однородные координаты и матрица

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}&v_{1}&0\\u_{2}&v_{2}&0\\1&1&1\end{bmatrix}}\quad }$.

Точка ${\displaystyle [x_{1},x_{2},x_{3}]}$ отображается на

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}&v_{1}&0\\u_{2}&v_{2}&0\\1&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}x_{1}+v_{1}x_{2}\\u_{2}x_{1}+v_{2}x_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}\end{pmatrix}}\rightarrow \left({\frac {u_{1}x_{1}+v_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}+x_{3}}}\;,\;{\frac {u_{2}x_{1}+v_{2}x_{2}}{x_{1}+x_{2}+x_{3}}}\right),\quad {\text{if }}x_{1}+x_{2}+x_{3}\neq 0.}$

Точка ${\displaystyle [\xi ,\eta ]}$ из ${\displaystyle \xi }$-${\displaystyle \eta }$-плоскость представлена ​​вектором-столбцом ${\displaystyle [\xi ,\eta ,1]^{T}}$ (видеть однородные координаты ). Бесконечная точка представлена ​​как ${\displaystyle [\cdots ,\cdots ,0]^{T}}$.

Преобразование координат существенных точек

${\displaystyle U:\ [1,0,0]^{T}\ \rightarrow \ (u_{1},u_{2})\ ,\quad V:\ [0,1,0]^{T}\ \rightarrow \ (v_{1},v_{2})\ ,}$

${\displaystyle O:\ [0,0]\ \rightarrow \ (0,0)\ ,\quad A:\ [a,0]\rightarrow \ (a_{1},a_{2})\ ,\quad B:\ [0,b]\rightarrow \ (b_{1},b_{2})\ ,}$

(Следует учитывать: ${\displaystyle \ a={\tfrac {1}{s-1}},\ u_{i}=sa_{i},\quad b={\tfrac {1}{t-1}},\ v_{i}=tb_{i}\;}$; см. выше.)

${\displaystyle g_{\infty }:\xi +\eta +1=0\ }$ уравнение бесконечно удаленной прямой Икс-у-самолет; его точка в бесконечности ${\displaystyle [1,-1,0]^{T}}$.

${\displaystyle [1,-1,{\color {red}0}]^{T}\ \rightarrow \ (u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2},{\color {red}0})^{T}}$

Следовательно, бесконечно удаленная точка ${\displaystyle g_{\infty }}$ (в ${\displaystyle \xi }$-${\displaystyle \eta }$-плоскость) отображается в бесконечно удаленную точку Икс-у-самолет. Это означает: две касательные гиперболы, параллельные ${\displaystyle g_{\infty }}$, параллельны в Икс-у-самолет тоже. Их контактные лица

${\displaystyle D_{i}:\left[{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{2}},{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{2}}\right]\ \rightarrow \ {\frac {1}{2}}{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{1\pm {\sqrt {ab}}}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2}),\;}$

Поскольку касательные к эллипсу в точках ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$ параллельны, хорда ${\displaystyle D_{1}D_{2}}$ это диаметр и его середина центр ${\displaystyle M}$ эллипса

${\displaystyle M:\ {\frac {1}{2}}{\frac {ab}{ab-1}}\left(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2}\right)\;.}$

Легко проверяется, что ${\displaystyle M}$ имеет ${\displaystyle \xi }$-${\displaystyle \eta }$-координаты

${\displaystyle \ M:\;\left[{\frac {-ab}{2}},{\frac {-ab}{2}}\right]\;.}$

Для определения диаметра эллипса, сопряженного с ${\displaystyle D_{1}D_{2}}$, в ${\displaystyle \xi }$-${\displaystyle \eta }$-плоскость нужно определить общие точки ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$ гиперболы с линией, проходящей через ${\displaystyle M}$ параллельно касательным (его уравнение ${\displaystyle \xi +\eta +ab=0}$). Один получает ${\displaystyle E_{i}:\left[{\tfrac {-ab\pm {\sqrt {ab(ab-1)}}}{2}},{\tfrac {-ab\mp {\sqrt {ab(ab-1)}}}{2}}\right]}$. И в Икс-у-координаты:

${\displaystyle \ E_{i}={\frac {1}{2}}{\frac {ab}{ab-1}}\left(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2}\right)\pm {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {ab(ab-1)}}{ab-1}}\left(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2}\right)\;,}$

Из двух сопряженных диаметров ${\displaystyle D_{1}D_{2},E_{1}E_{2}}$ можно получить два векторных сопряженные полудиаметры

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {f}}_{1}&={\vec {MD_{1}}}={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {ab}}{ab-1}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})\\[6pt]{\vec {f}}_{2}&={\vec {ME_{1}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {ab}{ab-1}}}\;(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2})\;\end{aligned}}}$

и по крайней мере тригонометрическое параметрическое представление инэллипса:

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {OM}}+{\vec {f}}_{1}\cos \varphi +{\vec {f}}_{2}\sin \varphi \;.}$

Аналогично случаю Эллипс Штейнера можно определить полуоси, эксцентриситет, вершины, уравнение в Икс-у-координаты и площадь эллипса.

В третья точка соприкосновения ${\displaystyle W}$ на ${\displaystyle AB}$ является:

${\displaystyle W:\left[{\frac {a}{2}},{\frac {b}{2}}\right]\ \rightarrow \ \left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+2}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+2}}\right)\;.}$

В Точка Брианшон инэллипса - общая точка ${\displaystyle K}$ из трех строк ${\displaystyle {\overline {AV}},{\overline {BU}},{\overline {OW}}}$. в ${\displaystyle \xi }$-${\displaystyle \eta }$-плоскости эти линии имеют уравнения: ${\displaystyle \xi =a\;,\;\eta =b\;,\;a\eta -b\xi =0}$. Следовательно, точка ${\displaystyle K}$ имеет координаты:

${\displaystyle K:\ [a,b]\ \rightarrow \ \left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+1}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+1}}\right)\ .}$

Преобразование гиперболы ${\displaystyle \ \eta ={\frac {ab}{4\xi }}}$ дает рациональное параметрическое представление инэллипса:

${\displaystyle \left[\xi ,{\frac {ab}{4\xi }}\right]\ \rightarrow \ \left({\frac {4u_{1}\xi ^{2}+v_{1}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}},{\frac {4u_{2}\xi ^{2}+v_{2}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}}\right)\ ,\ -\infty <\xi <\infty \ .}$

Incircle

Вписанная в треугольник

Для вписанного круга есть ${\displaystyle |OU|=|OV|}$, что эквивалентно

(1)${\displaystyle \;s|OA|=t|OB|\;.\ }$ Кроме того

(2)${\displaystyle \;(1-s)|OA|+(1-t)|OB|=|AB|}$. (см. диаграмму)

Решая эти два уравнения относительно ${\displaystyle s,t}$ один получает

(3)${\displaystyle \;s={\frac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OA|}},\;t={\frac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OB|}}\;.}$

Чтобы получить координаты центра, сначала вычисляют с помощью (1) унд (3)

${\displaystyle 1-{\frac {1}{ab}}=1-(s-1)(t-1)=-st+s+t=\cdots ={\frac {s}{2(|OB|}}(|OA|+|OB|+|AB|)\;.}$

Следовательно

${\displaystyle {\vec {OM}}={\frac {|OB|}{s(|OA|+|OB|+|AB|)}}\;(s{\vec {OA}}+t{\vec {OB}})=\cdots ={\frac {|OB|{\vec {OA}}+|OA|{\vec {OB}}}{|OA|+|OB|+|AB|}}\;.}$

Мандарт инеллипс

Параметры ${\displaystyle s,t}$ для Мандарта inellipse можно получить из свойств точек контакта (см. de: Ankreis ).

Brocard inellipse

Эллипс треугольника Брокара однозначно определяется его точкой Брианшона, указанной в трилинейные координаты ${\displaystyle \ K:(|OB|:|OA|:|AB|)\ }$.^[1] Преобразование трилинейных координат в более удобное представление ${\displaystyle \ K:k_{1}{\vec {OA}}+k_{2}{\vec {OB}}\ }$ (видеть трилинейные координаты ) дает ${\displaystyle \ k_{1}={\tfrac {|OB|^{2}}{|OB|^{2}+|OA|^{2}+|AB|^{2}}},\;k_{2}={\tfrac {|OA|^{2}}{|OB|^{2}+|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\ }$. С другой стороны, если параметры ${\displaystyle s,t}$ эллипса, вычисляется по формуле выше для ${\displaystyle K}$: ${\displaystyle \ k_{1}={\tfrac {s(t-1)}{st-1}},\;k_{2}={\tfrac {t(s-1)}{st-1}}\ }$. Уравнивая оба выражения для ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$ и решение для ${\displaystyle s,t}$ дает

${\displaystyle s={\frac {|OB|^{2}}{|OB|^{2}+|AB|^{2}}}\;,\quad t={\frac {|OA|^{2}}{|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\;.}$

Инеллипс с наибольшей площадью

• В Штайнер инеллипс имеет наибольшую площадь из всех эллипсов треугольника.

Доказательство

Из Теорема Аполлония по свойствам сопряженных полудиаметров ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ эллипса получается:

${\displaystyle F=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|\quad }$ (см. статью о Эллипс Штейнера ).

Для инэллипса с параметрами ${\displaystyle s,t}$ один получает

${\displaystyle \det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})={\frac {1}{4}}{\frac {ab}{(ab-1)^{3/2}}}\det(s{\vec {a}}+t{\vec {b}},s{\vec {a}}-t{\vec {b}})}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {s{\sqrt {s-1}}\;t{\sqrt {t-1}}}{(1-(s-1)(t-1))^{3/2}}}\det({\vec {b}},{\vec {a}})\;,}$

куда ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2}),\;{\vec {b}}=(b_{1},b_{2}),\;{\vec {u}}=(u_{1},u_{2}),{\vec {v}}=(v_{1},v_{2}),\;{\vec {u}}=s{\vec {a}},\;{\vec {v}}=t{\vec {b}}}$.
Чтобы опустить корни, достаточно исследовать экстремумы функции ${\displaystyle G(s,t)={\tfrac {s^{2}(s-1)\;t^{2}(t-1)}{(1-(s-1)(t-1))^{3}}}}$:

${\displaystyle G_{s}=0\ \rightarrow \ 3s-2+2(s-1)(t-1)=0\;.}$

Потому что ${\displaystyle G(s,t)=G(t,s)}$ один получает от обмена s и т:

${\displaystyle G_{t}=0\ \rightarrow \ 3t-2+2(s-1)(t-1)=0\;.}$

Решая оба уравнения для s и т дает

${\displaystyle s=t={\frac {1}{2}}\;,\quad }$ которые являются параметрами эллипса Штейнера.

Три соприкасающихся друг с другом эллипса треугольника

Смотрите также

• Циркумконический и инконический

Рекомендации

1. Имре Юхас: Представление эллипсов треугольников на основе контрольных точек, Annales Mathematicae et Informaticae 40 (2012) стр. 37–46, стр. 44

внешняя ссылка

• Дарий Гринберг: Über einige Sätze und Aufgaben aus der Dreiecksgeometrie
• Круговой в MathWorld
• Инконик в MathWorld