Звездчатый октаэдр - Stellated octahedron

Звездчатый октаэдр
Соединение двух тетраэдров.png
Рассматривается как соединение двух правильных тетраэдров (красного и желтого)
ТипОбычное соединение
Символ Кокстера{4,3}[2{3,3}]{3,4}[1]
Символы Шлефли{{3,3}}
а {4,3}
ß {2,4}
ßr {2,2}
Диаграммы КокстераCDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngУзлы CDel 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel узел h3.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel узел h3.pngCDel 2x.pngCDel узел h3.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel узел h3.pngCDel 2x.pngCDel узел h3.pngCDel 2x.pngCDel узел h3.png
Звездчатость основнойОктаэдр
Выпуклый корпусКуб
ИндексUC4, W19
Многогранники2 тетраэдры
Лица8 треугольники
Края12
Вершины8
ДвойнойСамодвойственный
Группа симметрии
Группа Коксетера
Очас, [4,3], порядок 48
D, [4,2], порядок 16
D, [2,2], порядок 8
D3D, [2+, 6], порядок 12
Подгруппа ограничение
одной составляющей
Тd, [3,3], порядок 24
D2d, [2+, 4], порядок 8
D2, [2,2]+, заказ 4
C, [3], порядок 6

В звездчатый октаэдр единственный звездчатость из октаэдр. Его еще называют Stella Octangula (На латыни «восьмиконечная звезда»), имя, данное ей Иоганн Кеплер в 1609 г., хотя раньше было известно геометры. Он был изображен в Пачоли с De Divina Proportione, 1509.[2]

Это самый простой из пяти обычных полиэдрические соединения, и единственный регулярный соединение двух тетраэдров. Это также наименее плотное из обычных полиэдрических соединений, имеющее плотность 2.

Его можно рассматривать как трехмерное расширение гексаграмма: гексаграмма представляет собой двумерную фигуру, образованную двумя перекрывающимися равносторонними треугольниками, центрально-симметричный друг к другу, и таким же образом звездчатый октаэдр может быть образован из двух центрально-симметричных перекрывающихся тетраэдров. Это можно обобщить на любое желаемое количество более высоких измерений; четырехмерная эквивалентная конструкция - это соединение двух 5-ти ячеек. Также это можно рассматривать как один из этапов построения 3D Коха снежинка, фрактальная форма, образованная повторным присоединением меньших тетраэдров к каждой треугольной грани большей фигуры. Первый этап построения Снежинки Коха - это единственный центральный тетраэдр, а второй этап, образованный добавлением четырех меньших тетраэдров к граням центрального тетраэдра, - это звездчатый октаэдр.

Строительство

Декартовы координаты звездчатого октаэдра следующие: (± 1/2, ± 1/2, 0) (0, 0, ± 1 / √2) (± 1, 0, ± 1 / √2) (0, ± 1, ± 1 / √2)

Звездчатый октаэдр можно построить несколькими способами:

Звездчатый октаэдр stellation plane.png
В перспективе
Звёздчатость of octahedron facets.png
Звездчатая плоскость
Единственная звездчатая форма правильного октаэдра с одной звездчатой ​​плоскостью желтого цвета.
CubeAndStel.svg
Огранка куба
Диагональная грань куба.png
Одиночный диагональный треугольник, ограненный красным

Связанные понятия

Звездчатый октаэдр - это первая итерация трехмерного аналога Коха снежинка.

Соединение двух сферических тетраэдров может быть построено, как показано.

Два тетраэдра составного вида звездчатого октаэдра являются «десмическими», что означает, что (при интерпретации как линия в проективное пространство ) каждое ребро одного тетраэдра пересекает два противоположных ребра другого тетраэдра. Одно из этих двух пересечений видно в звездчатом октаэдре; другое пересечение происходит в бесконечно удаленной точке проективного пространства между двумя параллельными ребрами двух тетраэдров. Эти два тетраэдра можно дополнить до десмическая система трех тетраэдров, где третий тетраэдр имеет четыре вершины, три бесконечно удаленных точки пересечения и центроид двух конечных тетраэдров. Те же двенадцать вершин тетраэдра также образуют точки Конфигурация Рея.

В числа stella octangula находятся фигуральные числа которые подсчитывают количество шаров, которые можно расположить в форме звездчатого октаэдра. Они есть

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, .... (последовательность A007588 в OEIS )

В популярной культуре

Как сферическая черепица совмещенные ребра в соединении двух тетраэдров образуют ромбический додекаэдр.

Звездчатый октаэдр появляется с несколькими другими многогранниками и полиэдрическими соединениями в М. К. Эшер печать "Звезды ",[3] и представляет собой центральную форму в книге Эшера Двойной планетоид (1949).[4]

Некоторые современные мистики связывают эту форму с «меркабой»,[5] что, по их мнению, является «противоположно вращающимся энергетическим полем», названным от древнеегипетского слова.[6]Однако слово «меркаба» на самом деле иврит, а точнее относится к колесница в видениях Иезекииль.[7]Сходство этой формы с двухмерным звезда Давида также часто отмечалось.[8]

Звездчатый октаэдр также является общей формой дрона "Призрак", найденного в видеоигре. Судьба.

Галерея

Звездчатый октаэдр 3-fold-axis.pngЗвездчатый октаэдр persp 6.svgЗвездчатый октаэдр persp 2.svg
Stellated octahedron-edge 3-fold-axis.pngЗвездчатый октаэдр persp 4.svgЗвездчатый октаэдр persp 3.svg

Рекомендации

  1. ^ H.S.M. Coxeter, Правильные многогранники, (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN  0-486-61480-8, 3.6 Пять обычных соединений, стр.47-50, 6.2 Звездчатые тела Платоновых тел, стр.96-104
  2. ^ Барнс, Джон (2009), «Фигуры и твердые тела», Самоцветы геометрии, Springer, стр. 25–56, Дои:10.1007/978-3-642-05092-3_2, ISBN  978-3-642-05091-6.
  3. ^ Харт, Джордж У. (1996), "Многогранники М. К. Эшера", Виртуальные многогранники.
  4. ^ Кокстер, Х. С. М. (1985), "Специальная рецензия на книгу: М. К. Эшер: Его жизнь и полная графическая работа", Математический интеллект, 7 (1): 59–69, Дои:10.1007 / BF03023010. См., В частности, стр. 61.
  5. ^ Даннелли, Ричард (1995), Седона: За пределами вихря: активация программы вознесения планет с помощью сакральной геометрии, вихря и Меркабы, Издательство «Световые технологии», стр. 14, ISBN  9781622336708
  6. ^ Мелхиседек, Друнвало (2000), Древний секрет Цветка Жизни: Отредактированная стенограмма семинара «Цветок Жизни», представленного в прямом эфире Матери Земле с 1985 по 1994 - Том 1, Издательство «Световые технологии», стр. 4, ISBN  9781891824173
  7. ^ Патция, Артур Дж .; Петротта, Энтони Дж. (2010), Карманный словарь библейских исследований: более 300 терминов с четким и кратким определением, Серия карманных справочников IVP, InterVarsity Press, стр. 78, ISBN  9780830867028
  8. ^ Бриссон, Дэвид В. (1978), Гиперграфика: визуализация сложных отношений в искусстве, науке и технологиях, Westview Press для Американской ассоциации содействия развитию науки, стр. 220, Стелла octangula - 3-й аналог Звезды Давида.

внешняя ссылка