Звездчатость - Stellation

Строительство звездчатого двенадцатигранник: обычный многоугольник с Символ Шлефли {12/5}.

В геометрия, звездчатость это процесс расширения многоугольник в двоем размеры, многогранник в трех измерениях, или, в общем, многогранник в п размеры, чтобы сформировать новую фигуру. Начиная с исходной фигуры, процесс расширяет определенные элементы, такие как ее края или грани, обычно симметрично, до тех пор, пока они снова не встретятся друг с другом, чтобы сформировать замкнутую границу новой фигуры. Новая фигура представляет собой звездообразную форму оригинала. Слово звездчатость происходит от латинского Stellātus, "отмеченный звездой", что, в свою очередь, происходит от латинского Стелла, "звезда".

Определение Кеплера

В 1619 г. Кеплер определил звёздчатую форму для многоугольников и многогранников как процесс расширения ребер или граней до тех пор, пока они не встретятся, чтобы сформировать новый многоугольник или многогранник.

Он звездный регулярный додекаэдр для получения двух правильных звездных многогранников малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр. Он также получил звание регулярного октаэдр получить Stella Octangula, правильное соединение двух тетраэдров.

Звездчатые многоугольники

Симметричная звездчатость правильного многоугольника создает правильный звездный многоугольник или же многоугольное соединение. Эти многоугольники характеризуются количеством раз м что полигональная граница наматывается вокруг центра фигуры. Как и у всех правильных многоугольников, их вершины лежат на окружности. м также соответствует количеству вершин по кругу, чтобы добраться от одного конца данного ребра до другого, начиная с 1.

Правильный звездный многоугольник представлен своим Символ Шлефли {п/м}, куда п - количество вершин, м это шаг используется для упорядочивания краев вокруг него, и м и п находятся совмещать (не имеют общего фактор ). Дело м = 1 дает выпуклый многоугольник {п}. м также должно быть меньше половины п; в противном случае линии будут либо параллельны, либо расходятся, не позволяя фигуре когда-либо сомкнуться.

Если п и м действительно есть общий фактор, тогда фигура - обычное соединение. Например, {6/2} - это правильное соединение двух треугольников {3} или гексаграмма, а {10/4} представляет собой соединение двух пентаграмм {5/2}.

Некоторые авторы используют символ Шлефли для таких регулярных соединений. Другие считают, что этот символ указывает на единственный путь, который извилист. м раз вокруг п/м точки вершин, такие, что одно ребро накладывается на другое, и каждая точка вершины посещается м раз. В этом случае для соединения может использоваться модифицированный символ, например 2 {3} для гексаграммы и 2 {5/2} для обычного соединения двух пентаграмм.

Обычный п-gon имеет п – 4/2 звездочки, если п является четное (при условии, что соединения многократного вырожденного дигоны не рассматриваются), и п – 3/2 звездочки, если п является странный.

Пентаграмма green.svg
В пентаграмма, {5/2}, это единственная звездочка пятиугольник		Обычная звездочка 2 (3,1) .svg
В гексаграмма, {6/2}, звездчатая форма шестиугольник и соединение двух треугольников.		Enneagon stellations.svg
В девятиугольник (nonagon) {9} имеет 3 эннеаграмматический формы:
{9/2}, {9/3}, {9/4}, где {9/3} представляет собой соединение трех треугольников.
Тупой heptagram.svgОстрая гептаграмма.svg


В семиугольник имеет два гептаграмматический формы:
{7/2}, {7/3}

Словно семиугольник, то восьмиугольник также есть два октаграмматический звездочки, один, {8/3} быть звездный многоугольник, а другой, {8/2}, представляет собой соединение двух квадраты.


Звездчатые многогранники

Первая звездчатая форма octahedron.pngПервая звездчатая форма додекаэдра.pngВторая звёздчатая форма додекаэдра.pngТретья звездочка додекаэдра.pngШестнадцатая звездочка икосаэдра.pngПервая звездчатая форма икосаэдра.pngСемнадцатая звездчатость икосаэдра.png

Многогранник образует звёздочку, расширяя грани или грани многогранника до тех пор, пока они снова не встретятся, чтобы сформировать новый многогранник или соединение. Внутренность нового многогранника разбита гранями на ряд ячеек. Плоскости граней многогранника могут разделять пространство на множество таких ячеек, и по мере продолжения звездчатого процесса все больше этих ячеек будет заключено в них. Для симметричного многогранника эти ячейки будут разделены на группы или множества конгруэнтных ячеек - мы говорим, что ячейки в таком конгруэнтном множестве относятся к одному типу. Распространенный метод поиска звездчатых звездочек включает выбор одного или нескольких типов клеток.

Это может привести к огромному количеству возможных форм, поэтому часто вводятся дополнительные критерии, чтобы сократить набор до тех звездчатых, которые в некотором роде значительны и уникальны.

Набор ячеек, образующих замкнутый слой вокруг его ядра, называется оболочкой. Для симметричного многогранника оболочка может состоять из одного или нескольких типов ячеек.

На основе таких идей было выделено несколько ограничительных категорий интересов.

  • Основные звёздчатые. Добавление последовательных оболочек к сердцевинному многограннику приводит к набору звездчатых звеньев основных линий.
  • Полностью поддерживаемые звездчатые формы. Нижние грани ячейки могут выглядеть снаружи как «выступ». В полностью поддерживаемой звёздчатой ​​форме такие выступы отсутствуют, и все видимые части лица видны с одной и той же стороны.
  • Моноакральные звездочки. Буквально «однопостовый». Если в звёздчатой ​​форме есть только один вид пика или вершины (т.е.все вершины конгруэнтны в пределах одной симметрийной орбиты), звёздчатость является моноакральной. Все такие звёздчатые формы полностью поддерживаются.
  • Первичные звездчатые. Если многогранник имеет плоскости зеркальной симметрии, ребра, попадающие в эти плоскости, считаются лежащими в первичных линиях. Если все ребра лежат в основных линиях, звездчатость является первичной. Полностью поддерживаются все основные звездчатые формы.
  • Звездочки Миллера. В "Пятьдесят девять икосаэдров" Coxeter, Дю Валь, Флатер и Петри записывают пять правил, предложенных Миллер. Хотя эти правила относятся конкретно к геометрии икосаэдра, они были адаптированы для работы с произвольными многогранниками. Они гарантируют, среди прочего, что вращательная симметрия исходного многогранника сохраняется, и что каждая звездочка отличается по внешнему виду. Четыре только что определенные формы звездчатости являются подмножествами звездчатых звезд Миллера.

Мы также можем выделить некоторые другие категории:

  • А частичная звездчатость это тот, где не все элементы данной размерности расширены.
  • А субсимметричная звездчатость это тот, в котором не все элементы расширены симметрично.

В Архимедовы тела и их двойники также могут быть звездчатыми. Здесь мы обычно добавляем правило, согласно которому все исходные плоскости граней должны присутствовать в звездчатой ​​форме, т.е. мы не рассматриваем частичные звездчатые формы. Например, куб обычно не считается звездочкой кубооктаэдр.

Обобщая правила Миллера, можно выделить:

Семнадцать из невыпуклых однородных многогранников являются звездчатыми архимедовыми телами.

Правила Миллера

В книге Пятьдесят девять икосаэдров, J.C.P. Миллер предложил список правил для определения того, какие звездчатые формы следует считать «должным образом значимыми и отличными».

Эти правила были адаптированы для использования со звёздчатыми элементами многих других многогранников. По правилам Миллера мы находим:

Многие «звездочки Миллера» нельзя получить напрямую с помощью метода Кеплера. Например, у многих есть полые центры, в которых полностью отсутствуют исходные грани и ребра многогранника ядра: не остается ничего, что могло бы быть звездчатым. С другой стороны, метод Кеплера также дает звездчатые формы, которые запрещены правилами Миллера, поскольку их ячейки связаны ребрами или вершинами, даже если их грани представляют собой одиночные многоугольники. Это несоответствие не привлекало особого внимания до Inchbald (2002).

Другие правила звездчатости

Правила Миллера никоим образом не представляют собой «правильный» способ перечисления звёздчатых чисел. Они основаны на объединении частей внутри звездчатая диаграмма определенным образом, и не принимают во внимание топологию результирующих граней. Таким образом, есть некоторые вполне разумные звездчатые формы икосаэдра, которые не входят в их список - одна была идентифицирована Джеймсом Бриджем в 1974 году, в то время как некоторые "звездчатые формы Миллера" вызывают сомнения относительно того, следует ли их вообще рассматривать как звездчатые - одна из набор икосаэдров состоит из нескольких совершенно разрозненных ячеек, симметрично плавающих в пространстве.

Пока еще не полностью разработан альтернативный набор правил, учитывающий это. Наибольший прогресс был достигнут на основе представления о том, что звездчатость - это взаимный или двойной процесс огранка, при этом части многогранника удаляются без создания новых вершин. Для каждой звёздчатой ​​формы многогранника существует двойной огранка двойственный многогранник, наоборот. Изучая грани дуального, мы получаем представление о звездчатых формах оригинала. Бридж обнаружил свою новую звездчатую форму икосаэдра, изучив грани его дуального, додекаэдра.

Некоторые многогранники придерживаются точки зрения, что звездчатость - это двусторонний процесс, так что любые два многогранника, имеющие одну и ту же плоскость граней, являются звездообразными друг относительно друга. Это понятно, если кто-то разрабатывает общий алгоритм, подходящий для использования в компьютерной программе, но в остальном он не особенно полезен.

Многие примеры звездчатых форм можно найти в список звездчатых моделей Веннингера.

Звездчатые многогранники

Звездчатый процесс можно применить и к многогранникам более высокой размерности. А звездчатая диаграмма из п-полигранник существует в (п - 1) -мерный гиперплоскость данного грань.

Например, в четырехмерном пространстве большой звездчатый 120-элементный это последняя звездочка правильный 4-многогранник 120 ячеек.

Именование звездчатых знаков

Первое систематическое наименование звездчатых многогранников было Кэли название правильных звездных многогранников (ныне известных как Многогранники Кеплера – Пуансо ). Эта система широко, но не всегда систематически применялась для других многогранников и высших многогранников.

Джон Конвей разработал терминологию для звездчатых полигоны, многогранники и полихора (Coxeter 1974). В этой системе процесс расширения краев для создания новой фигуры называется звездчатость, расширение граней называется приветствие и расширение клеток называется возвышение (последнее не относится к многогранникам). Это позволяет систематически использовать такие слова, как «звездчатый», «великий» и «великий» при разработке названий для полученных фигур. Например, Конвей предложил несколько незначительных вариаций имен Многогранники Кеплера – Пуансо.

Звёздчатость до бесконечности

Веннингер заметил, что некоторые многогранники, например куб, не имеют конечных звёздчатых элементов. Однако звездчатые ячейки могут быть сконструированы как призмы, простирающиеся до бесконечности. Фигуру, состоящую из этих призм, можно назвать звёздчатость до бесконечности. Однако по большинству определений многогранников эти звёздчатые формы не являются строго многогранниками.

Цифры Веннингера возникли как двойники однородных гемиполиэдров, где грани, проходящие через центр, отправляются в вершины «на бесконечность».

От математики к искусству

Магнус Веннингер с некоторыми из своих моделей звездчатых многогранников в 2009 году
Дальнейшая информация: Математика и искусство

Помимо своего вклада в математику, Магнус Веннингер описывается в контексте отношений математика и искусство как изготовление «особо красивых» моделей сложных звездчатых многогранников.[1]

Мраморный пол мозаика к Паоло Уччелло, Базилика Святого Марка, Венеция, c. 1430

В Итальянский ренессанс художник Паоло Уччелло создал мозаику пола, показывающую небольшой звездчатый додекаэдр в Базилика Сан-Марко, Венеция, c. 1430. Изображение Уччелло использовалось как символ для Венецианская биеннале в 1986 г. по теме «Искусство и наука».[2] Одна и та же звездочка является центральной для двух литографии к М. К. Эшер: Контраст (порядок и хаос), 1950, и Гравитация, 1952.[3]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Малькевич, Иосиф. «Математика и искусство. 5. Многогранники, мозаики и разрезы». Американское математическое общество. Получено 1 сентября 2015.
  2. ^ Эммер, Микеле (2 декабря 2003 г.). Математика и культура I. Springer Science & Business Media. п. 269. ISBN  978-3-540-01770-7.
  3. ^ Лочер, Дж. Л. (2000). Магия М. К. Эшера. Гарри Н. Абрамс, Inc. ISBN  0-810-96720-0.
  • Бридж, Н. Дж .; Ограняя додекаэдр, Acta Crystallographica A30 (1974), стр. 548–552.
  • Coxeter, H.S.M .; Правильные сложные многогранники (1974).
  • Coxeter, H.S.M .; Du Val, P .; Flather, H.T .; и Петри, Дж. Ф. Пятьдесят девять икосаэдров, 3-е издание. Стрэдброк, Англия: Публикации Тарквин (1999).
  • Inchbald, G .; В поисках потерянных икосаэдров, Математический вестник 86 (2002), стр. 208-215.
  • Messer, P .; Звездчатые формы ромбического триаконтаэдра и выше, Симметрия: культура и наука, 11 (2000), стр. 201–230.
  • Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09859-9.
  • Веннингер, Магнус (1983). Двойные модели. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-24524-9.

внешняя ссылка