Список апериодических наборов плиток - List of aperiodic sets of tiles

Щелкните "показать" для описания.
А периодическая мозаика с выделенной основной единицей (треугольник) и примитивной ячейкой (шестиугольник). Мозаика всей плоскости может быть создана путем совмещения копий этих треугольных фрагментов. Для этого базовый треугольник нужно повернуть на 180 градусов, чтобы подогнать его от края до края к соседнему треугольнику. Таким образом треугольная черепица основных единиц будет сгенерировано, то есть взаимно локально производные от облицовки цветной плиткой. Другая фигура, нанесенная на мозаику, белый шестиугольник, представляет собой примитивную ячейку мозаики. Копии соответствующего участка цветной плитки могут быть переведено чтобы образовать бесконечную мозаику плоскости. Для этого нет необходимости вращать этот патч.

В геометрия, а черепица представляет собой разбиение плоскости (или любого другого геометрического объекта) на замкнутые множества (называемые плитка), без пропусков и нахлёстков (кроме границ плитки).[1] Тайлинг считается периодическим, если существуют сдвиги в двух независимых направлениях, которые отображают тайлинг на себя. Такая плитка состоит из одного основная единица или же примитивная клетка который повторяется бесконечно и регулярно в двух независимых направлениях.[2] Пример такой мозаики показан на диаграмме рядом (дополнительную информацию см. В описании изображения). Мозаика, которую невозможно построить из одной примитивной ячейки, называется непериодической. Если данный набор плиток допускает только непериодические мозаики, то этот набор плиток называется апериодический.[3] Замощения, полученные из апериодического набора плиток, часто называют апериодические мозаики, хотя, строго говоря, апериодическими являются сами плитки. (Сама мозаика называется «непериодической».)

В первой таблице поясняются сокращения, используемые во второй таблице. Вторая таблица содержит все известные апериодические наборы плиток и дает некоторую дополнительную базовую информацию о каждом наборе. Этот список плиток еще неполный.

Пояснения

СокращениеСмыслОбъяснение
E2Евклидова плоскостьнормальная плоская плоскость
ЧАС2гиперболическая плоскостьсамолет, где параллельный постулат не держит
E3Евклидово пространство 3пространство, определяемое тремя перпендикулярными осями координат
MLDВзаимно локально выводимыедве мозаики называются взаимно локально производными друг от друга, если одна мозаика может быть получена из другой с помощью простого локального правила (например, удаления или вставки ребра)

Список

Это динамический список и, возможно, никогда не сможет удовлетворить определенные стандарты полноты. Вы можете помочь добавление недостающих предметов с надежные источники.
ИзображениеИмяКоличество плитокКосмосДата публикацииСсылкаКомментарии
Trilobite and cross.svg
Трилобиты и крестовые плитки2E21999[4]Плитки МЛД от стула
Penrose P1.svg
Плитка Penrose P16E21974[5][6]Плитки MLD из мозаик P2 и P3, треугольников Робинсона и "Морская звезда, лист плюща, шестигранник"
Kite Dart.svg
Плитка Penrose P22E21977[7][8]Тайлинги MLD из мозаик P1 и P3, треугольников Робинсона и "Морская звезда, лист плюща, шестигранник"
Пенроуз P3 arcs.svg
Плитка Penrose P32E21978[9][10]Плитки MLD из мозаик P1 и P2, треугольников Робинсона и "Морская звезда, лист плюща, шестигранник"
Двоичный тайлинг arcs.svg
Бинарные плитки2E21988[11][12]Хотя мозаики похожи по форме на плитки P3, они не отличаются друг от друга MLD. Разработан в попытке смоделировать расположение атомов в бинарных сплавах.
Робинзон tile.svg
Плитки Робинзона6E21971[13][14]Плитки усиливают апериодичность, образуя бесконечную иерархию квадратных решеток.
Нет изображенияПлитка Ammann A16E21977[15][16]Плитки усиливают апериодичность, формируя бесконечное иерархическое двоичное дерево.
Ammann A2.svg
Плитка Ammann A22E21986[17][18]
Ammann A3.svg
Плитка Ammann A33E21986[17][18]
Ammann A4.svg
Плитка Ammann A42E21986[17][18][19]Плитки MLD с Ammann A5.
Ammann A5.svg
Плитка Ammann A52E21982[20][21][22]Плитки MLD с Ammann A4.
Нет изображенияШестиугольник-треугольник Пенроуза2E21997[23][23][24]
Goldren Triangle 200px.png
Золотой треугольник плитка10E22001[25][26]дата предназначена для обнаружения правил соответствия. Двойной к Ammann A2
Socolar.svg
Социальные плитки3E21989[27][28][29]Плитки МЛД из плиток Щит
Shield.svg
Щитовые плитки4E21988[30][31][32]Тайлинги MLD из мозаик соколарными плитками
Квадратный треугольник tile.svg
Квадратные треугольные плитки5E21986[33][34]
Морская звезда ivyleaf hex.svg
Морская звезда, лист плюща и шестигранные плитки3E2[35][36][37]Мозаика - это MLD в треугольники Пенроуза P1, P2, P3 и Робинсона.
Разложение треугольника Робинсона .svg
Треугольник Робинсона4E2[17]Мозаика - это MLD для P1, P2, P3 Пенроуза и «Морская звезда, лист плюща, шестигранник».
Danzer triangles.svg
Данцеровские треугольники6E21996[38][39]
Вертушка 1.svg
Вертушка плиткиE21994[40][41][42][43]Дата публикации правил соответствия.
Socolar-Taylor tile.svg
Плитка Socolar – Taylor1E22010[44][45]Не подключенный набор. Апериодическая иерархическая мозаика.
Нет изображенияВанская плитка20426E21966[46]
Нет изображенияВанская плитка104E22008[47]
Нет изображенияВанская плитка52E21971[13][48]Плитки усиливают апериодичность, образуя бесконечную иерархию квадратных решеток.
Ван 32 tile.svg
Ванская плитка32E21986[49]Производится локально из плиток Пенроуза.
Нет изображенияВанская плитка24E21986[49]Локально выводится из тайлинга A2
Ван 16 tile.svg
Ванская плитка16E21986[17][50]Получено из тайлинга A2 и его стержней Аммана
Ван 14 tile.svg
Ванская плитка14E21996[51][52]
Ван 13 tile.svg
Ванская плитка13E21996[53][54]
Ван 11 tile.svg
Ванская плитка11E22015[55]
Нет изображенияДесятиугольная плитка из губки1E22002[56][57]Пористая плитка, состоящая из неперекрывающихся наборов точек
Нет изображенияСильно апериодические плитки Гудмана-Штрауса85ЧАС22005[58]
Нет изображенияСильно апериодические плитки Гудмана-Штрауса26ЧАС22005[59]
Гиперболическая плитка Гудмана-Штрауса.svg
Гиперболическая черепица Бёрёчки1ЧАСп1974[60][61][59][62]Только слабо апериодический
Нет изображенияПлитка Шмитта1E31988[63]Винтовой периодический
SCD tile.svg
Плитка Шмитта – Конвея – Данцера1E3[63]Винтовой периодический и выпуклый
Socolar Тейлор 3D.svg
Плитка Socolar – Taylor1E32010[44][45]Периодический в третьем измерении
Нет изображенияРомбоэдры Пенроуза2E31981[64][65][66][67][68][69][70][71]
Сетки для икосаэдральной апериодической плитки set.svg
Ромбоэдры Маккая – Аммана4E31981[35]Икосаэдрическая симметрия. Это декорированные ромбоэдры Пенроуза с правилом согласования, обеспечивающим апериодичность.
Нет изображенияКубики Ванга21E31996[72]
Нет изображенияКубики Ванга18E31999[73]
Нет изображенияДанцеровские тетраэдры4E31989[74][75]
I и L tile.png
I и L плитки2Eп для всех n ≥ 31999[76]

Рекомендации

  1. ^ Грюнбаум, Бранко; Шепард, Джеффри К. (1977), "Замощения правильными многоугольниками", Математика. Mag., 50 (5): 227–247, Дои:10.2307/2689529, JSTOR  2689529
  2. ^ Эдвардс, Стив, «Фундаментальные области и примитивные клетки», Самолет плитки и фантазии, Государственный университет Кеннесо, в архиве из оригинала от 16.09.2010, получено 2017-01-11
  3. ^ Вагон, Стив (2010), Mathematica в действии (3-е изд.), Springer Science & Business Media, стр. 268, ISBN  9780387754772
  4. ^ Гудман-Штраус, Хаим (1999), "Небольшой апериодический набор плоских плиток", Европейский J. Combin., 20 (5): 375–384, Дои:10.1006 / eujc.1998.0281 (препринт доступен )
  5. ^ Пенроуз, Роджер (1974), «Роль эстетики в чисто и прикладных математических исследованиях», Бык. Inst. Математика. И его приложение., 10 (2): 266–271
  6. ^ Михаэль, Жюль (2010), Коллоидные монослои на квазипериодических лазерных полях. (PDF) (Докторская диссертация), стр. 23, Дои:10.18419 / opus-4924, в архиве (PDF) из оригинала 28.09.2010
  7. ^ Гарднер, Мартин (Январь 1977 г.), «Математические игры: необычные непериодические мозаики, обогащающие теорию плиток», Scientific American, 236 (1): 110–121, Bibcode:1977SciAm.236a.110G, Дои:10.1038 / scientificamerican0177-110
  8. ^ Гарднер, Мартин (1997), Плитки Пенроуза для тайных шифров (Пересмотренное издание), The Mathematical Association of America, p. 86, ISBN  9780883855218
  9. ^ Пенроуз, Роджер (1978), «Пентаплексичность», Эврика, 39: 16–22
  10. ^ Пенроуз, Роджер (1979), «Пентаплексити», Математика. Intell., 2 (1): 32–37, Дои:10.1007 / bf03024384, S2CID  120305260, в архиве из оригинала от 23.09.2010, получено 2010-07-26
  11. ^ Lançon, F .; Биллард, Л. (1988), «Двумерная система с квазикристаллическим основным состоянием» (PDF), Journal de Physique, 49 (2): 249–256, CiteSeerX  10.1.1.700.3611, Дои:10.1051 / jphys: 01988004902024900, в архиве (PDF) из оригинала от 29.09.2010
  12. ^ Годреш, С .; Лансон, Ф. (1992), «Простой пример мозаики Пизо с пятикратной симметрией» (PDF), Journal de Physique I, 2 (2): 207–220, Bibcode:1992JPhy1 ... 2..207G, Дои:10.1051 / jp1: 1992134, в архиве (PDF) из оригинала от 29.09.2010
  13. ^ а б Робинсон, Рафаэль М. (1971), "Неразрешимость и непериодичность мозаик на плоскости", Inventiones Mathematicae, 12 (3): 177–209, Bibcode:1971InMat..12..177R, Дои:10.1007 / BF01418780, S2CID  14259496
  14. ^ Goodman-Strauss, Chaim (1999), Sadoc, J. F .; Ривье, Н. (ред.), "Апериодические иерархические мозаики", Серия НАТО ASI, Серия E: Прикладные науки, 354 (Пены и эмульсии): 481–496, Дои:10.1007/978-94-015-9157-7_28, ISBN  978-90-481-5180-6
  15. ^ Гарднер, Мартин (2001), Колоссальная книга математики, W. W. Norton & Company, стр. 76, ISBN  978-0393020236
  16. ^ Грюнбаум, Бранко И Шепард, Джеффри К. (1986), Плитки и узоры, Нью-Йорк: В. Х. Фриман, ISBN  978-0-7167-1194-0, в соответствии с Датч, Стивен (2003), Апериодические мозаики, Университет Висконсина - Грин Бэй, архивировано из оригинал на 2006-08-30, получено 2011-04-02; ср. Савард, Джон Дж. Г., Апериодические мозаики внутри обычных решеток
  17. ^ а б c d е Грюнбаум, Бранко И Шепард, Джеффри К. (1986), Плитки и узоры, Нью-Йорк: В. Х. Фриман, ISBN  978-0-7167-1194-0
  18. ^ а б c Амманн, Роберт; Грюнбаум, Бранко; Шепард, Джеффри К. (июль 1992 г.), «Апериодические плитки», Дискретная и вычислительная геометрия, 8 (1): 1–25, Дои:10.1007 / BF02293033, S2CID  39158680
  19. ^ Харрис, Эдмунд; Фреттлё, Дирк, «Амманн А4», Энциклопедия Тилингса, Билефельдский университет
  20. ^ Бинкер, Ф. П. М. (1982), Алгебраическая теория непериодических мозаик плоскости двумя простыми кирпичиками: квадратом и ромбом, Отчет TH, 82-WSK04, Технологический университет Эйндховена
  21. ^ Комацу, Казуши; Номакучи, Кентаро; Сакамото, Кунико; Токито, Такаши (2004), "Представление мозаик Амманна-Бенкера автоматом", Nihonkai Math. Дж., 15 (2): 109–118, в архиве из оригинала от 29.09.2010, получено 2017-01-12
  22. ^ Харрис, Эдмунд; Фреттлё, Дирк, «Амманн-Бенкер», Энциклопедия Тилингса, Билефельдский университет
  23. ^ а б Пенроуз, Р. (1997), "Замечания о мозаике: детали (1 + ε + ε2) апериодический набор. ", Серия НАТО ASI, Серия C: Математические и физические науки, 489 (Математика дальнего апериодического порядка): 467–497, Дои:10.1007/978-94-015-8784-6_18, ISBN  978-0-7923-4506-0
  24. ^ Гудман-Штраус, Хаим (2003), Апериодическая пара плиток (PDF), Университет Арканзаса
  25. ^ Данцер, Людвиг; van Ophuysen, Gerrit (2001), "Вид плоских треугольных плиток с коэффициентом инфляции ", Res. Бык. Panjab Univ. Sci., 50 (1–4): 137–175, МИСТЕР  1914493
  26. ^ Гелбрих, G (1997), "Фрактальные плитки Пенроуза II. Плитки с фрактальной границей как двойники треугольников Пенроуза", Aequationes Mathematicae, 54 (1–2): 108–116, Дои:10.1007 / bf02755450, МИСТЕР  1466298, S2CID  120531480
  27. ^ Соколар, Джошуа Э. С. (1989), "Простые восьмиугольные и додекагональные квазикристаллы", Физический обзор B, 39 (15): 10519–51, Bibcode:1989PhRvB..3910519S, Дои:10.1103 / PhysRevB.39.10519, PMID  9947860
  28. ^ Гелер, Франц; Люк, Рейнхард; Бен-Авраам, Шеломо I .; Гуммельт, Петра (2001), "Додекагональные мозаики как максимальные кластерные покрытия", Сегнетоэлектрики, 250 (1): 335–338, Дои:10.1080/00150190108225095, S2CID  123171399
  29. ^ Савард, Джон Дж. Г., Социальная мозаика
  30. ^ Гелер, Франц (1988), «Кристаллография додекагональных квазикристаллов."" (PDF), в Janot, Christian (ed.), Квазикристаллические материалы: Труды I.L.L. / Codest Workshop, Гренобль, 21–25 марта 1988 г., Сингапур: World Scientific, стр. 272–284.
  31. ^ Гелер, Франц; Фреттлё, Дирк, "Щит", Энциклопедия Тилингса, Билефельдский университет
  32. ^ Гелер, Франц (1993), «Правила согласования для квазикристаллов: метод разложения по составу». (PDF), Журнал некристаллических твердых тел, 153–154 (Протоколы Четвертой Международной конференции по квазикристаллам): 160–164, Bibcode:1993JNCS..153..160G, CiteSeerX  10.1.1.69.2823, Дои:10.1016 / 0022-3093 (93) 90335-у, в архиве (PDF) с оригинала от 01.10.2010
  33. ^ Stampfli, P. (1986), "Додекагональная квазипериодическая решетка в двух измерениях", Helv. Phys. Acta, 59: 1260–1263
  34. ^ Гермиссон, Иоахим; Ричард, Кристоф; Бааке, Майкл (1997), "Руководство по структуре симметрии квазипериодических классов тайлинга", Journal de Physique I, 7 (8): 1003–1018, Bibcode:1997JPhy1 ... 7.1003H, CiteSeerX  10.1.1.46.5796, Дои:10.1051 / jp1: 1997200
  35. ^ а б Господи, Эрик. А. (1991), «Квазикристаллы и узоры Пенроуза» (PDF), Текущая наука, 61 (5): 313–319, в архиве (PDF) из оригинала 27 сентября 2010 г.
  36. ^ Олами, З .; Клеман, М. (1989), «Двумерный апериодический плотный тайлинг» (PDF), Journal de Physique, 50 (1): 19–33, Дои:10.1051 / jphys: 0198900500101900, в архиве (PDF) из оригинала 01.11.2010
  37. ^ Михалкович, М .; Henley, C.L .; Видом, М. (2004), "Комбинированное уточнение данных дифракции энергии декагонального AlNiCo", Журнал некристаллических твердых телС. 334–335 (8-я Международная конференция по квазикристаллам): 177–183, arXiv:cond-mat / 0311613, Bibcode:2004JNCS..334..177M, Дои:10.1016 / j.jnoncrysol.2003.11.034, S2CID  18958430
  38. ^ Nischke, K.-P .; Данзер, Л. (1996), "Построение правил инфляции на основе п-кратная симметрия », Дискретная и вычислительная геометрия, 15 (2): 221–236, Дои:10.1007 / bf02717732, S2CID  22538367
  39. ^ Хаяси, Хироко; Кавачи, Юу; Комацу, Казуши; Конда, Ая; Курозоэ, Михо; Накано, Фумихико; Одавара, Наоми; Онда, Рика; Сугио, Акинобу; Ямаути, Масатэцу (2009), "Аннотация: Примечания к атласу вершин плоской мозаики Данцера" (PDF), Японская конференция по вычислительной геометрии и графам, Канадзава, 11–13 ноября 2009 г.
  40. ^ Радин, Чарльз (1994), "Вертушки на плоскости", Анналы математики, Вторая серия, 139 (3): 661–702, CiteSeerX  10.1.1.44.9723, Дои:10.2307/2118575, JSTOR  2118575, МИСТЕР  1283873
  41. ^ Радин, Чарльз (1993), "Симметрия мозаик на плоскости", Бык. Амер. Математика. Soc., 29 (2): 213–217, arXiv:математика / 9310234, Bibcode:1993математика ..... 10234R, CiteSeerX  10.1.1.45.5319, Дои:10.1090 / s0273-0979-1993-00425-7, S2CID  14935227
  42. ^ Радин, Чарльз; Вольф, Мэйхью (1992), "Пространственные мозаики и локальный изоморфизм", Геом. Dedicata, 42 (3): 355–360, Дои:10.1007 / bf02414073, МИСТЕР  1164542, S2CID  16334831
  43. ^ Радин, C (1997), "Апериодические мозаики, эргодическая теория и вращения", Серия НАТО ASI, Серия C: Математические и физические науки, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 489 (Математика дальнего апериодического порядка), МИСТЕР  1460035
  44. ^ а б Socolar, Джошуа Э. С .; Тейлор, Джоан М. (2011), «Апериодическая шестиугольная плитка», Журнал комбинаторной теории, серия А, 118 (8): 2207–2231, arXiv:1003.4279v1, Дои:10.1016 / j.jcta.2011.05.001, S2CID  27912253
  45. ^ а б Socolar, Джошуа Э. С .; Тейлор, Джоан М. (2011), «Принудительная непериодичность с помощью одной плитки», Математический интеллект, 34 (1): 18–28, arXiv:1009.1419v1, Дои:10.1007 / s00283-011-9255-у, S2CID  10747746
  46. ^ Бургер, Роберт (1966), "Неразрешимость проблемы домино", Мемуары Американского математического общества, 66 (66), Дои:10.1090 / memo / 0066, ISBN  978-0-8218-1266-2
  47. ^ Оллингер, Николас (2008), «Системы подстановки два на два и неразрешимость проблемы домино» (PDF), Логика и теория алгоритмов, Конспект лекций по информатике, 5028, Springer, стр. 476–485, CiteSeerX  10.1.1.371.9357, Дои:10.1007/978-3-540-69407-6_51, ISBN  978-3-540-69405-2
  48. ^ Кари, Дж.; Папасоглу П. (1999), "Детерминированные апериодические мозаичные наборы", Геометрический и функциональный анализ, 9 (2): 353–369, Дои:10.1007 / с000390050090, S2CID  8775966
  49. ^ а б Лагаэ, Арес; Кари, Яркко; Дютре, Филипп (2006), Апериодические наборы квадратных плиток с цветными углами, Отчет CW, 460, KU Leuven, п. 15, CiteSeerX  10.1.1.89.1294
  50. ^ Карбоне, Алессандра; Громов, Михаил; Прусинкевич, Пшемыслав (2000), Формирование паттернов в биологии, зрении и динамике, Сингапур: World Scientific, ISBN  978-981-02-3792-9
  51. ^ Кари, Яркко (1996), "Небольшой апериодический набор плиток Ванга", Дискретная математика, 160 (1–3): 259–264, Дои:10.1016 / 0012-365X (95) 00120-L
  52. ^ Лагаэ, Арес (2007), Тайловые методы в компьютерной графике (PDF) (Кандидатская диссертация), KU Leuven, п. 149, ISBN  978-90-5682-789-2, заархивировано из оригинал (PDF) на 2010-10-06
  53. ^ Кулик, Карел; Кари, Яркко (1997), "Об апериодических наборах плиток Ванга", Основы информатики, Конспект лекций по информатике, 1337, стр. 153–162, Дои:10.1007 / BFb0052084, ISBN  978-3-540-63746-2
  54. ^ Кулик, Карел (1996), "Апериодический набор из 13 плиток Ванга", Дискретная математика, 160 (1–3): 245–251, CiteSeerX  10.1.1.53.5421, Дои:10.1016 / S0012-365X (96) 00118-5
  55. ^ Джендель, Эммануэль; Рао, Майкл (2015), «Апериодический набор из 11 плиток Ванга», CoRR, arXiv:1506.06492, Bibcode:2015arXiv150606492J
  56. ^ Чжу, Фэн (2002), В поисках универсальной плитки (PDF) (Дипломная работа), Колледж Уильямса
  57. ^ Bailey, Duane A .; Чжу, Фэн (2001), Губчатая (почти) универсальная плитка (PDF), CiteSeerX  10.1.1.103.3739
  58. ^ Гудман-Штраус, Хаим (2010), «Иерархический сильно апериодический набор плиток в гиперболической плоскости» (PDF), Теоретическая информатика, 411 (7–9): 1085–1093, Дои:10.1016 / j.tcs.2009.11.018
  59. ^ а б Гудман-Штраус, Хаим (2005), "Сильно апериодический набор плиток в гиперболической плоскости", Изобретать. Математика., 159 (1): 130–132, Bibcode:2004InMat.159..119G, CiteSeerX  10.1.1.477.1974, Дои:10.1007 / s00222-004-0384-1, S2CID  5348203
  60. ^ Бёрёчки К. (1974), "Gömbkitöltések állandó görbületü terekben I", Математикай Лапок, 25: 265–306
  61. ^ Бёрёчки К. (1974), "Gömbkitöltések állandó görbületü terekben II", Математикай Лапок, 26: 67–90
  62. ^ Долбилин, Никколай; Фреттлё, Дирк (2010), «Свойства мозаик Бёрёчки в гиперболических пространствах большой размерности» (PDF), Европейский J. Combin., 31 (4): 1181–1195, arXiv:0705.0291, CiteSeerX  10.1.1.246.9821, Дои:10.1016 / j.ejc.2009.11.016, S2CID  13607905
  63. ^ а б Радин, Чарльз (1995), «Апериодические мозаики в высших измерениях» (PDF), Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 123 (11): 3543–3548, Дои:10.2307/2161105, JSTOR  2161105, получено 2013-09-25
  64. ^ Маккей, Алан Л. (1981), "De Nive Quinquangula: На пятиугольной снежинке" (PDF), Сов. Phys. Кристаллогр., 26 (5): 517–522, в архиве (PDF) с оригинала от 06.10.2010
  65. ^ Мейстерернст, Гётц, Experimente zur Wachstumskinetik Dekagonaler Quasikristalle (PDF) (Диссертация), Мюнхенский университет Людвига-Максимилиана, стр. 18–19, в архиве (PDF) из оригинала от 08.10.2010
  66. ^ Джиронг, Сан (1993), "Структурный переход трехмерной мозаики Пенроуза в фазовом поле деформации", Китайская физ. Lett., 10 (8): 449–452, Bibcode:1993ЧФЛ..10..449С, Дои:10.1088 / 0256-307x / 10/8/001
  67. ^ Инчбальд, Гай (2002), Трехмерная квазикристаллическая структура
  68. ^ Лорд, Э. А .; Ranganathan, S .; Кулькарни, У. Д. (2001), «Квазикристаллы: мозаика против кластеризации» (PDF), Философский журнал А, 81 (11): 2645–2651, Bibcode:2001ПМагА..81.2645Л, CiteSeerX  10.1.1.487.2640, Дои:10.1080/01418610108216660, S2CID  138403519, в архиве (PDF) с оригинала от 06.10.2010
  69. ^ Рудхарт, Кристоф Пол (июнь 1999 г.), Zur numerischen Simulation des Bruchs von Quasikristallen (Тезис), Штутгартский университет, п. 11, Дои:10.18419 / opus-4639
  70. ^ Лорд, Э. А .; Ranganathan, S .; Кулькарни, У. Д. (2000), «Тайлинги, покрытия, кластеры и квазикристаллы» (PDF), Текущая наука, 78 (1): 64–72, в архиве (PDF) из оригинала 01.11.2010
  71. ^ Кац, А. (1988), "Теория соответствия правил для трехмерных мозаик Пенроуза", Коммуникации по математической физике, 118 (2): 263–288, Bibcode:1988CMaPh.118..263K, Дои:10.1007 / BF01218580, S2CID  121086829
  72. ^ Кулик, Карел; Кари, Яркко (1995), «Апериодический набор кубиков Ванга», Журнал универсальных компьютерных наук, 1 (10), CiteSeerX  10.1.1.54.5897, Дои:10.3217 / jucs-001-10-0675
  73. ^ Вальтер. Герд; Селтер, Кристоф, ред. (1999), Математика и наука о дизайне: Festschrift für Erich Christian Wittmann, Лейпциг: Ernst Klett Grundschulverlag, ISBN  978-3-12-200060-8
  74. ^ Данзер, Л. (1989), "Трехмерные аналоги плоских мозаик Пенроуза и квазикристаллов", Дискретная математика, 76 (1): 1–7, Дои:10.1016 / 0012-365X (89) 90282-3
  75. ^ Церхузен, Аарон (1997), Трехмерная плитка Данцера, Университет Кентукки
  76. ^ Гудман-Штраус, Хаим (1999), "Апериодическая пара плиток в Eп для всех n ≥ 3 ", Европейский J. Combin., 20 (5): 385–395, Дои:10.1006 / eujc.1998.0282 (препринт доступен )

внешняя ссылка