Усеченная тетраоктагональная мозаика - Truncated tetraoctagonal tiling

Усеченная тетраоктагональная мозаика
Модель диска Пуанкаре из гиперболическая плоскость
Тип	Гиперболическая равномерная мозаика
Конфигурация вершины	4.8.16
Символ Шлефли	tr {8,4} или ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}8\\4\end{Bmatrix}}}$
Символ Wythoff	2 8 4 |
Диаграмма Кокстера	или же
Группа симметрии	[8,4], (*842)
Двойной	Заказать-4-8 облицовка кисромбиллом
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В геометрия, то усеченная тетраоктагональная мозаика является полуправильным замощением гиперболической плоскости. Есть один квадрат, один восьмиугольник, и один шестиугольник на каждой вершина. Она имеет Символ Шлефли тр {8,4}.

Двойная черепица

Двойственный тайлинг называется Заказ-4-8 мозаика кисромбиля, выполненный как полное деление пополам Восьмиугольная черепица порядка 4, здесь треугольниками показаны чередующимися цветами. Эта мозаика представляет собой фундаментальные треугольные области симметрии [8,4] (* 842).

Симметрия

Усеченная четырехугольная черепица с * 842, , зеркальные линии

Всего 15 подгрупп, построенных из [8,4] путем зеркального удаления и чередования. Зеркала могут быть удалены, если все заказы его филиалов равны, что сокращает заказы соседних филиалов вдвое. Удаление двух зеркал оставляет точку вращения половинного порядка, где встречаются снятые зеркала. На этих изображениях основные области попеременно окрашены в черный и белый цвета, а на границах между цветами существуют зеркала. В индекс подгруппы -8 группа, [1⁺,8,1⁺,4,1⁺] (4242) - это коммутаторная подгруппа из [8,4].

Большая подгруппа строится как [8,4 *], индекс 8, как [8,4⁺], (4 * 4) с удаленными точками вращения становится (* 4444) или (* 4⁴), а другой [8 *, 4], индекс 16 как [8⁺, 4], (8 * 2) с удаленными точками вращения как (* 22222222) или (* 2⁸). И их прямые подгруппы [8,4 *]⁺, [8*,4]⁺, индексы подгрупп 16 и 32 соответственно, могут быть даны в орбифолдной нотации как (4444) и (22222222).

Подгруппы малых индексов [8,4] (* 842)
Индекс	1	2			4
Диаграмма
Coxeter	[8,4] =	[1^+,8,4] =	[8,4,1^+] = =	[8,1^+,4] =	[1^+,8,4,1^+] =	[8^+,4^+]
Орбифолд	*842	*444	*882	*4222	*4242	42×
Полупрямые подгруппы
Диаграмма
Coxeter		[8,4^+]	[8^+,4]	[(8,4,2^+)]	[8,1^+,4,1^+] = = = =	[1^+,8,1^+,4] = = = =
Орбифолд		4*4	8*2	2*42	2*44	4*22
Прямые подгруппы
Индекс	2	4			8
Диаграмма
Coxeter	[8,4]^+ =	[8,4^+]^+ =	[8^+,4]^+ =	[8,1^+,4]^+ =	[8^+,4^+]^+ = [1^+,8,1^+,4,1^+] = = =
Орбифолд	842	444	882	4222	4242
Радикальные подгруппы
Индекс		8	16		32
Диаграмма
Coxeter		[8,4*] =	[8*,4]	[8,4*]^+ =	[8*,4]^+
Орбифолд		*4444	*22222222	4444	22222222

Связанные многогранники и мозаики

Из Строительство Wythoff четырнадцать гиперболических однородные мозаики это может быть основано на обычном восьмиугольном замощении порядка 4.

Рисуя плитки красного цвета на исходных гранях, желтого цвета в исходных вершинах и синего цвета вдоль исходных краев, мы получаем 7 форм с полной [8,4] симметрией и 7 с подсимметрией.

Равномерная восьмиугольная / квадратная мозаика [ v т е ]
[8,4], (*842) (с подсимметрией [8,8] (* 882), [(4,4,4)] (* 444), [∞, 4, ∞] (* 4222) индекса 2) (И [(∞, 4, ∞, 4)] (* 4242) подсимметрия индекса 4)
= = =	=	= = =	=	= =	=
{8,4}	т {8,4}	г {8,4}	2t {8,4} = t {4,8}	2r {8,4} = {4,8}	рр {8,4}	tr {8,4}
Униформа двойников
V8^4	V4.16.16	V (4,8)^2	V8.8.8	V4^8	V4.4.4.8	V4.8.16
Чередования
[1^+,8,4] (*444)	[8^+,4] (8*2)	[8,1^+,4] (*4222)	[8,4^+] (4*4)	[8,4,1^+] (*882)	[(8,4,2^+)] (2*42)	[8,4]^+ (842)
=	=	=	=	=	=
ч {8,4}	с {8,4}	ч. {8,4}	с {4,8}	ч {4,8}	чрр {8,4}	sr {8,4}
Двойное чередование
V (4,4)^4	V3. (3.8)^2	V (4.4.4)^2	V (3,4)^3	V8^8	V4.4^4	V3.3.4.3.8

*п42 мутации симметрии полностью усеченных мозаик: 4.8.2n [ v т е ]
Симметрия *п42 [n, 4]	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Paracomp.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Усеченный фигура	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Усеченный двойники	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

*nn2 мутации симметрии полностью усеченных мозаик: 4.2п.2п [ v т е ]
Симметрия *nn2 [п, п]	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Paracomp.
	*222 [2,2]	*332 [3,3]	*442 [4,4]	*552 [5,5]	*662 [6,6]	*772 [7,7]	*882 [8,8]...	*∞∞2 [∞,∞]
Фигура
Конфиг.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
Двойной
Конфиг.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Смотрите также

• Замощения правильных многоугольников
• Список однородных плоских мозаик

Рекомендации

• Джон Х. Конвей, Хайди Берджель, Хаим Гудман-Штрасс, Симметрии вещей 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
• «Глава 10: Обычные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать эссе. Dover Publications. 1999 г. ISBN  0-486-40919-8. LCCN  99035678.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболическая мозаика». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболический диск Пуанкаре». MathWorld.
• Галерея гиперболических и сферических плиток
• KaleidoTile 3: обучающая программа для создания сферических, плоских и гиперболических мозаик
• Гиперболические плоские мозаики, Дон Хэтч