Пятиугольная черепица - Pentagonal tiling

В 15-й моноэдральный выпуклый пятиугольный тип, обнаружен в 2015 г.

В геометрия, а пятиугольная черепица это облицовка плоскости где каждая отдельная деталь имеет форму пятиугольник.

А обычный пятиугольник облицовка Евклидова плоскость невозможно, потому что внутренний угол из правильный пятиугольник, 108 °, не является делителем 360 °, угловой меры целого повернуть. Однако правильные пятиугольники могут выложить гиперболическая плоскость и сфера; последний порождает мозаику, топологически эквивалентную додекаэдр.

Моноэдральные выпуклые пятиугольные мозаики

Пример пятиугольной плитки с метками углов A, B, C, D и E и метками длины кромки a, b, c, d и e

Известно пятнадцать типов выпуклых пятиугольников, покрывающих плоскость. моноэдрально (т.е. с одним типом плитки).^[1] Самый последний из них был обнаружен в 2015 году. Этот список был подтвержден Рао (2017) (результат подлежит экспертной оценке). Багина (2011) показал, что всего восемь от края до края выпуклые типы, результат, полученный независимо Сугимото (2012).

Микаэль Рао из École normale supérieure de Lyon в мае 2017 года заявили, что нашли доказательство того, что на самом деле не существует выпуклых пятиугольников, выходящих за пределы этих 15 типов.^[2] По состоянию на 11 июля 2017 г. первая половина доказательства Рао была проверена независимо (имеется компьютерный код).^[3]) Томаса Хейлза, профессора математики Питтсбургского университета.^[4] По состоянию на декабрь 2017 года доказательства еще не прошли полную рецензию.

Каждое перечисленное семейство листов содержит пятиугольники, не принадлежащие ни к какому другому типу; однако некоторые отдельные пятиугольники могут принадлежать к нескольким типам. Кроме того, некоторые из пятиугольников в известных типах листов также допускают альтернативные шаблоны мозаики помимо стандартной мозаики, представленной всеми членами этого типа.

Стороны длины а, б, c, d, е находятся прямо по часовой стрелке от углов при вершинах А, B, C, D, E соответственно. (Таким образом,А, B, C, D, E противоположны d, е, а, б, c соответственно.)

15 одноугольных пятиугольных плиток
1	2	3	4	5
В + С = 180 ° A + D + E = 360 °	с = е B + D = 180 °	а = б, д = с + е А = С = D = 120 °	б = с, г = д B = D = 90 °	а = б, г = д А = 60 °, D = 120 °
6	7	8	9	10
а = г = д, б = с B + D = 180 °, 2B = E	б = с = д = е B + 2E = 2C + D = 360 °	б = с = д = е 2B + C = D + 2E = 360 °	б = с = д = е 2A + C = D + 2E = 360 °	а = б = с + е A = 90 °, B + E = 180 ° B + 2C = 360 °
11	12	13	14	15
2a + c = d = e А = 90 °, С + Е = 180 ° 2B + C = 360 °	2а = г = с + е А = 90 °, С + Е = 180 ° 2B + C = 360 °	d = 2a = 2e B = E = 90 ° 2A + D = 360 °	2a = 2c = d = e A = 90 °, B ≈ 145,34 °, C ≈ 69,32 ° D ≈ 124,66 °, E ≈ 110,68 ° (2B + C = 360 °, C + E = 180 °)	а = с = е, Ь = 2а A = 150 °, B = 60 °, C = 135 ° D = 105 °, E = 90 °

Многие из этих типов одногранной плитки имеют степени свободы. Эти свободы включают варианты внутренние углы и длины кромок. В пределе края могут иметь длину, приближающуюся к нулю, или углы, приближающиеся к 180 °. Типы 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 13 позволяют параметрические возможности с невыпуклыми прототипами.

Периодические мозаики характеризуются группа обоев симметрия, например p2 (2222) определяется четырьмя точками двукратного вращения. Эта номенклатура используется на диаграммах ниже, где плитки также окрашены в соответствии с их k-изоэдральный позиции в пределах симметрии.

А примитивная единица - это минимально возможная часть мозаики, которая генерирует всю мозаику с использованием только переводов.

Рейнхардт (1918)

Рейнхардт (1918) нашли первые пять видов пятиугольной плитки. Все пятеро могут создавать равногранный мозаики, что означает, что симметрии мозаики могут привести любую плитку к любой другой плитке (более формально группа автоморфизмов действует транзитивно на плитке).

Б. Грюнбаум и Г. К. Шепард показали, что существует ровно двадцать четыре различных «типа» равногранных мозаик плоскости пятиугольниками в соответствии с их классификационной схемой.^[5] Все используют плитки Рейнхардта, обычно с дополнительными условиями, необходимыми для облицовки. Есть две мозаики всех плиток типа 2 и по одной плитки всех остальных четырех типов. Пятнадцать из остальных восемнадцати плиток относятся к частным случаям плиток типа 1. Девять из двадцати четырех плиток - от края до края.^[6]

Существуют также 2-равногранные мозаики частными случаями плиток типа 1, типа 2 и 4, а также 3-равногранные мозаики, все рёберные, на особые случаи плиток типа 1. Не существует верхней границы k для k-изоэдральных мозаик определенными плитками, которые относятся как к типу 1, так и к типу 2, и, следовательно, ни на количество плиток в примитивной единице.

В группа обоев симметрия для каждого тайлинга дана, с орбифолдная запись в скобках. Вторая более низкая группа симметрии дается, если плитка хиральность существует, где зеркальные изображения считаются различными. В таких случаях они отображаются желтыми и зелеными плитками.

Тип 1

Существует множество мозаичных топологий, содержащих пятиугольники типа 1. Ниже приведены пять примеров топологий.

Тайлинги пятиугольника типа 1
p2 (2222)	см (2 * 22)	см (* ×)	pmg (22 *)	пгг (22 ×)	p2 (2222)	см (2 * 22)
p2 (2222)	см (2 * 22)	p1 (°)	p2 (2222)	p2 (2222)	p2 (2222)	см (2 * 22)

2-х плитный примитив			Примитивный блок из 4 плиток
В + С = 180 ° A + D + E = 360 °		а = с, д = е А + В = 180 ° C + D + E = 360 °	а = с А + В = 180 ° C + D + E = 360 °	а = е В + С = 180 ° A + D + E = 360 °	d = c + e А = 90 °, 2В + С = 360 ° C + D = 180 °, B + E = 270 °

Тип 2

Эти примеры типа 2 изоэдральны. Второй вариант - от края до края. Оба они обладают симметрией pgg (22 ×). Если зеркальные отражательные плитки (желтый и зеленый) считаются разными, симметрия равна p2 (2222).

Тип 2
пгг (22 ×)
p2 (2222)

Примитивный блок из 4 плиток
с = е B + D = 180 °	c = e, d = b B + D = 180 °

Типы 3, 4 и 5

Тип 3		Тип 4		Тип 5
п3 (333)	p31m (3 * 3)	п4 (442)	p4g (4 * 2)	p6 (632)


Примитивный блок из 3 плиток		Примитивный блок из 4 плиток		6-ти тайловый примитив	Примитивный блок из 18 плиток
а = б, д = с + е А = С = D = 120 °		б = с, г = д B = D = 90 °		а = б, г = д А = 60 °, D = 120 °	а = б = с, д = е A = 60 °, B = 120 °, C = 90 ° D = 120 °, E = 150 °

Кершнер (1968) Типы 6, 7, 8

Кершнер (1968) нашли еще три типа пятиугольной плитки, в результате чего общее количество достигло восьми. Он ошибочно утверждал, что это был полный список пятиугольников, которые могут выложить плоскость.

Эти примеры являются 2-равногранными и сквозными. Типы 7 и 8 имеют хиральные пары плиток, которые окрашены в пары желто-зеленого цвета, а остальные - в два оттенка синего. Симметрия pgg снижается до p2, когда киральные пары считаются различными.

Тип 6	Тип 6 (Также введите 5)	Тип 7	Тип 8
p2 (2222)		пгг (22 ×)	пгг (22 ×)
p2 (2222)		p2 (2222)	p2 (2222)


а = г = д, б = с B + D = 180 °, 2B = E	a = d = e, b = c, B = 60 ° A = C = D = E = 120 °	б = с = д = е B + 2E = 2C + D = 360 °	б = с = д = е 2B + C = D + 2E = 360 °
Примитивный блок из 4 плиток	Примитивный блок из 4 плиток	Примитивный блок из 8 плиток	Примитивный блок из 8 плиток

Джеймс (1975) Тип 10

В 1975 году Ричард Э. Джеймс III обнаружил девятый тип, прочитав о результатах Кершнера в Мартин Гарднер "s"Математические игры "столбец в Scientific American журнал от июля 1975 г. (перепечатано в Гарднер (1988) ). Он индексируется как тип 10. Мозаика является 3-равногранной и не сквозной.

Тип 10
p2 (2222)	см (2 * 22)


а = б = с + е А = 90, В + Е = 180 ° B + 2C = 360 °	а = b = 2c = 2e A = B = E = 90 ° C = D = 135 °
6-ти тайловый примитив

Рис (1977) Типы 9,11,12,13

Марджори Райс математик-любитель открыл четыре новых типа мозаика пятиугольники в 1976 и 1977 гг.^[6]^[7]

Все четыре мозаики 2-равногранны. Хиральные пары плиток окрашены в желтый и зеленый цвета для одного равногранного набора и два оттенка синего для другого набора. Симметрия pgg снижается до p2, когда киральные пары считаются различными.

Укладка плиткой типа 9 идет от края до края, а остальные - нет.

Каждая примитивная единица содержит восемь плиток.

Тип 9	Тип 11	Тип 12	Тип 13
пгг (22 ×)
p2 (2222)


б = с = д = е 2A + C = D + 2E = 360 °	2a + c = d = e А = 90 °, 2В + С = 360 ° C + E = 180 °	2а = г = с + е А = 90 °, 2В + С = 360 ° C + E = 180 °	d = 2a = 2e B = E = 90 °, 2A + D = 360 °
Примитивный блок из 8 плиток	Примитивный блок из 8 плиток	Примитивный блок из 8 плиток	Примитивный блок из 8 плиток

Stein (1985) Тип 14

14-й тип выпуклого пятиугольника был обнаружен Рольфом Штайном в 1985 году.^[8]

Мозаика 3-равногранная и не сквозная. Он имеет полностью определенные плитки без степеней свободы. Точные пропорции указаны ${displaystyle {frac {b} {a}} = {sqrt {frac {11 {sqrt {57}} - 25} {8}}}}$ и угол B тупой с ${displaystyle sin (B) = {frac {{sqrt {57}} - 3} {8}}}$ . Легко вывести другие отношения.

Примитивные блоки содержат шесть плиток соответственно. Он имеет симметрию p2 (2222).

Тип 14
	2a = 2c = d = e A = 90 °, B≈145,34 °, C≈69,32 °, D≈124,66 °, E≈110,68 ° (2B + C = 360 °, C + E = 180 °).	6-ти тайловый примитив

Манн / Маклауд / Фон Дерау (2015) Тип 15

Вашингтонский университет Ботелла математики Кейси Манн, Дженнифер Маклауд-Манн, а Дэвид фон Дерау открыл 15-й моноэдрический мозаичный выпуклый пятиугольник в 2015 году, используя компьютерный алгоритм.^[9]^[10] Он 3-равногранный и не сквозной, нарисованный 6 цветами, 2 оттенками 3 цветов, представляющими хиральные пары трех равногранных позиций. Симметрия pgg снижается до p2, когда киральные пары считаются различными. Он имеет полностью определенные плитки без степеней свободы. Примитивные блоки содержат соответственно двенадцать плиток. Он имеет симметрию pgg (22 ×) и p2 (2222), если киральные пары считаются различными.

В июле 2017 года Михаэль Рао завершил компьютерное доказательство, показывающее, что нет других типов выпуклых пятиугольников, которые могли бы выложить плоскость. Полный список выпуклых многоугольников, которые могут покрывать плоскость, включает указанные выше 15 пятиугольников, три типа шестиугольников и все четырехугольники и треугольники.^[4] Следствием этого доказательства является то, что не существует выпуклого многоугольника, который бы мозаично делил плоскость только апериодически, поскольку все вышеперечисленные типы допускают периодическое мозаичное покрытие.

Тип 15
(Изображение большего размера)	a = c = e, b = 2a, d = $а + \sqrt 2 / \sqrt 3 -1$ A = 150 °, B = 60 °, C = 135 ° D = 105 °, E = 90 °	Примитивный блок из 12 плиток

Непериодические моноэдральные мозаики пятиугольников

Непериодические моноэдральные пятиугольные мозаики также могут быть построены, как в приведенном ниже примере, с 6-кратными вращательная симметрия пользователя Michael Hirschhorn. Углы: A = 140 °, B = 60 °, C = 160 °, D = 80 °, E = 100 °.^[11]^[12]

В 2016 году Бернхард Клаассен смог показать, что каждый дискретный тип вращательной симметрии может быть представлен моноэдральным пятиугольным замощением из того же класса пятиугольников.^[13] Примеры 5-кратной и 7-кратной симметрии показаны ниже. Такие мозаики возможны для любого типа п-кратная вращательная симметрия с п>2.

Пятикратная вращательная симметрия в моноэдральной пятиугольной мозаике	Моноэдральная пятиугольная мозаика Хиршхорна с 6-кратной вращательной симметрией	7-кратная вращательная симметрия в моноэдральной пятиугольной мозаике

Двойные однородные мозаики

Есть три равногранный пятиугольные мозаики, порожденные как двойники из однородные мозаики, с 5-валентными вершинами. Они представляют собой особые случаи высшей симметрии 15 моноэдральных мозаик, указанных выше. Однородные мозаики и их двойники - все сквозные. Эти двойственные мозаики также называют Лавес плитки. Симметрия однородных двойственных мозаик такая же, как и у равномерных мозаик. Поскольку однородные мозаики изогональный, двойники равногранный.

см (2 * 22)	p4g (4 * 2)	p6 (632)

Призматическая пятиугольная черепица Экземпляр Тип 1^[14]	Каир пятиугольная черепица Экземпляр тип 4^[14]^[15]	Пятиугольная черепица Floret Экземпляр типы 1, 5 и 6^[14]
120°, 120°, 120°, 90°, 90° V3.3.3.4.4	120°, 120°, 90°, 120°, 90° V3.3.4.3.4	120°, 120°, 120°, 120°, 60° V3.3.3.3.6

Двойной k-однородные мозаики

В k-однородные мозаики вершины с валентностью-5 также имеют пятиугольные двойственные мозаики, содержащие те же трехугольные пятиугольники, что и полуправильные дуальные элементы выше, но содержат смесь пятиугольных типов. А k-однородная мозаика имеет k-изоэдральная двойная черепица и представлены ниже разными цветами и оттенками цветов.

Например, эти 2, 3, 4 и 5-однородные двойники пятиугольные:^[16]^[17]

2-равногранный		3-равногранный
p4g (4 * 2)	пгг (22 ×)		p2 (2222)	p6 (* 632)


4-равногранный			5-равногранный
пгг (22 ×)		p2 (2222)		p6m (* 632)


5-равногранный
пгг (22 ×)			p2 (2222)

Пятиугольная / шестиугольная мозаика

Пятиугольные подразделения шестиугольника

Пентагоны имеют особые отношения с шестиугольниками. Как показано ниже графически, некоторые типы шестиугольников можно разделить на пятиугольники. Например, правильный шестиугольник делится пополам на два пятиугольника типа 1. Также возможно разделение выпуклых шестиугольников на три (тип 3), четыре (тип 4) и девять (тип 3) пятиугольников.

Расширяя это соотношение, плоскость может быть замощена одной пятиугольной формой прототипа способами, которые создают шестиугольные наложения. Например:

Планарная мозаика с помощью одного пятиугольного прототипа (тип 1) с наложением правильных шестиугольников (каждый из которых состоит из двух пятиугольников).	Планарная мозаика с помощью одного пятиугольного прототипа (тип 3) с наложением правильных шестиугольников (каждый из которых состоит из трех пятиугольников).	Планарная мозаика с помощью одного пятиугольного прототипа (тип 4) с наложением полуправильных шестиугольников (каждый из которых состоит из четырех пятиугольников).	Планарная мозаика с помощью одного пятиугольного прототипа (тип 3) с наложением двух размеров правильных шестиугольников (состоящих из 3 и 9 пятиугольников соответственно).

Невыпуклые пятиугольники

Периодическая черепица сфинксом

С пятиугольниками, которые необязательно выпуклый возможны дополнительные виды облицовки. Примером может служить плитка сфинкс, апериодическая мозаика образованный пятиугольником реплика.^[18] Сфинкс также может периодически мозаить плоскость, соединяя две плитки сфинкса вместе, чтобы сформировать параллелограмм а затем замощить плоскость сдвигами этого параллелограмма,^[18] узор, который может быть расширен до любого невыпуклого пятиугольника, который имеет два последовательных угла, добавляющих к 2 $π$ , таким образом удовлетворяя условию (ям) выпуклости Тип 1 над.

Можно разделить равносторонний треугольник на три конгруэнтных невыпуклых пятиугольника, встречающихся в центре треугольника, и соединить плоскость плиткой с полученной единицей трех пятиугольников.^[19]Аналогичный метод можно использовать для подразделения квадраты на четыре конгруэнтных невыпуклых пятиугольника, или правильные шестиугольники на шесть конгруэнтных невыпуклых пятиугольников, а затем выложите плоскость получившейся единицей.

Правильные пятиугольные мозаики в неевклидовой геометрии

А додекаэдр можно рассматривать как правильную мозаику из 12 пятиугольников на поверхности сфера, с Символ Шлефли {5,3} с тремя пятиугольниками вокруг каждой вершины.

в гиперболическая плоскость, есть мозаики правильных пятиугольников, например Пятиугольная черепица порядка 4, {5,4} с четырьмя пятиугольниками вокруг каждой вершины. Регулярные мозаики более высокого порядка {5, n} могут быть построены на гиперболической плоскости, заканчивающейся на {5, ∞}.

Сфера	Гиперболическая плоскость
{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	...{5,∞}

Неправильные гиперболические плоские пятиугольные мозаики

Есть бесконечное количество двойных равномерные мозаики в гиперболической плоскости с изогональными неправильными пятиугольными гранями. У них есть конфигурации лица как V3.3.п.3.q.

Заказ п-q Пятиугольная черепица цветочек
7-3	8-3	9-3	...	5-4	6-4	7-4	...	5-5
V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.9	...	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	...	V3.3.5.3.5

Полигональный гиперболический двоичная мозаика с пятиугольниками 60-120-60-120-120 градусов

В двоичная мозаика можно превратить в пятиугольную мозаику, если заменить орициклические ребра отрезками прямых.

внешняя ссылка

[FOOTNOTEGrünbaumShephard1987Sec._9.3_Other_Monohedral_tilings_by_convex_polygons-1] Грюнбаум и Шепард 1987, Разд. 9.3. Другие моноэдральные мозаики выпуклыми многоугольниками.

[FOOTNOTERao2017-2] Рао 2017.

[3] "Код Mathematica, проверяющий классификацию выпуклых пятиугольников Рао", GitHub

[FOOTNOTEWolchover2017-4] а ^б Wolchover 2017.

[FOOTNOTEGrünbaumShephard1978-5] Грюнбаум и Шепард 1978.

[FOOTNOTESchattschneider1978-6] а ^б Schattschneider 1978.

[7] Марджори Райс, «Тесселяции», Интригующие мозаики, получено 22 августа 2015 - через Сайты Google

[FOOTNOTESchattschneider1985-8] Schattschneider 1985.

[FOOTNOTEBellos2015-9] Беллос 2015.

[FOOTNOTEMannMcLoud-MannVon_Derau2018-10] Манн, Маклауд-Манн и фон Дерау 2018.

[FOOTNOTESchattschneider1978Fig_12-11] Schattschneider 1978, Рис 12.

[FOOTNOTEHirschhornHunt1985-12] Хиршхорн и Хант 1985.

[FOOTNOTEKlaassen2016-13] Клаассен 2016.

[Reinhardt1918-14] а ^б ^c Рейнхардт 1918, стр.77–81 (Внимание: в этой статье есть как минимум одна очевидная ошибка, т.е. сумма углов γ + δ должна равняться π, а не 2π для первых двух типов мозаики, определенных на странице 77)

[15] Пятиугольная мозаика Каира, порожденная пятиугольник 4 запрос и по пятиугольник 2 черепица запрос на wolframalpha.com (осторожно: определение вольфрама пятиугольник тип 2 черепица не соответствует тип 2 определен Райнхардтом в 1918 г.)

[FOOTNOTEChavey1989-16] Чави 1989.

[17] Брайан Галебах, "Добро пожаловать в мою коллекцию n-однородных мозаик!", вероятностьsports.com

[FOOTNOTEGodrèche1989-18] а ^б Годреш 1989.

[FOOTNOTEGerver2003-19] Гервер 2003.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]