Мозаика Амманна – Бенкера - Ammann–Beenker tiling

Часть мозаики апериодического набора плиток А5 Амманна, украшенная конечными локальными правилами сопоставления, которые создают бесконечную глобальную структуру, такую как мозаика Аммана – Бенкера.

В геометрия, Мозаика Амманна – Бенкера непериодический черепица которые могут быть порождены либо апериодическим набором прототипы как сделано Роберт Амманн в 1970-е годы, или методом проектного и независимого Ф. П. М. Бинкер.Поскольку все мозаики, полученные с помощью тайлов, непериодичны, мозаики Аммана – Бенкера считаются апериодическими.^{[нужна цитата ]} Это один из пяти наборов мозаик, открытых Амманном и описанных в Плитки и узоры.^[1]

Разбиения Амманна – Бенкера обладают многими свойствами, аналогичными более известным свойствам Мозаики Пенроуза, в первую очередь:

Они непериодичны, а значит, в них отсутствуют какие-либо поступательная симметрия.
Их непериодичность подразумевается их иерархической структурой: мозаики - это мозаики замещения, возникающие из правил замещения для растущих все больших и больших участков. Эта структура замены также подразумевает, что:
Любая конечная область (участок) в мозаике появляется бесконечно много раз в этом мозаике и, фактически, в любом другом мозаике. Таким образом, все бесконечные мозаики выглядят похожими друг на друга, если смотреть только на конечные участки.
Они есть квазикристаллический: реализованный как физическая структура, мозаика Амманна – Бенкера создаст Брэгговская дифракция; дифрактограмма выявляет как основную восьмикратную симметрию, так и дальний порядок. Этот порядок отражает тот факт, что мозаики организованы не посредством трансляционной симметрии, а скорее посредством процесса, который иногда называют «дефляцией» или «инфляцией».
Вся эта бесконечная глобальная структура вынуждается с помощью правил локального сопоставления на паре плиток, среди самых простых апериодических наборов плиток, когда-либо найденных, набора A5 Амманна. ^[1]

Были предложены различные методы описания мозаик: правила сопоставления, замены, схемы вырезания и проектирования. ^[2] и покрытия.^[3]^[4] В 1987 году Ван, Чен и Куо объявили об открытии квазикристалла с восьмиугольной симметрией.^[5]

Описание плитки

Пара плиток А5 Аммана A и B, украшенная правилами соответствия; любая мозаика этими мозаиками обязательно непериодична, поэтому плитки апериодичны.

Правила замены Ammann A5, используемые для доказательства того, что плитки A5 могут образовывать только непериодические иерархические мозаики и, следовательно, являются апериодическими плитками.

Эта мозаика существует в двумерной ортогональной проекции четырехмерного 8-8 дуопризма построено из 16 октаэдрические призмы.

Плитки А и В Аммана в его паре А5 под углом 45-135 градусов. ромб и треугольник 45-45-90 градусов, украшенный правилами сопоставления, которые допускают только определенные расположения в каждой области, вынуждая непериодические, иерархические и квазипериодические структуры каждого из бесконечного числа отдельных мозаик Аммана – Бенкера.

Альтернативный набор плиток, также обнаруженный Амманном и помеченный «Амманн 4» в Грюнбауме и Шепарде,^[1] состоит из двух невыпуклых прямоугольных деталей. Один состоит из двух квадратов, перекрывающих меньший квадрат, а другой состоит из большого квадрата, прикрепленного к меньшему квадрату. На диаграммах ниже показаны части и часть мозаики.

Это правило замены для альтернативного набора плиток.

Отношения между двумя наборами тайлов.

В дополнение к краевым стрелкам в обычном наборе тайлов, правила сопоставления для обоих наборов тайлов могут быть выражены путем рисования частей больших стрелок в вершинах и требования их соединения в полные стрелки.

Кац^[6] изучил дополнительные мозаики, которые можно разрешить, отбросив ограничения на вершины и наложив только требование, чтобы стрелки на краях совпадали. Поскольку это требование само по себе сохраняется правилами подстановки, любой новый тайлинг имеет бесконечную последовательность «увеличенных» копий, полученных последовательным применением правила подстановки. Каждая мозаика в последовательности неотличима от истинной мозаики Амманна – Бенкера в последовательно увеличивающемся масштабе. Так как некоторые из этих мозаик являются периодическими, отсюда следует, что никакое украшение тайлов, которое действительно вызывает апериодичность, не может быть определено, глядя на любой конечный участок мозаики. Таким образом, ориентация вершинных стрелок, вызывающих апериодичность, может быть выведена только из всей бесконечной мозаики.

Тайлинг обладает еще и экстремальным свойством: среди мозаик, ромбы которых чередовать (то есть, когда два ромба смежны или разделены рядом квадратов, они появляются в разной ориентации), доля квадратов оказывается минимальной в мозаиках Аммана – Бенкера.^[7]

Особенности соотношения пелля и серебра

Разбиения Амманна – Бенкера тесно связаны с соотношение серебра ( ${displaystyle 1+ {sqrt {2}}}$ ) и Числа Пелла.

то замена схема ${displaystyle R o RrR; r o R}$ вводит соотношение как коэффициент масштабирования: его матрица представляет собой матрицу подстановки Пелла, а ряд слов, произведенный подстановкой, обладает тем свойством, что количество слов ${displaystyle r}$ песок ${displaystyle R}$ s равны последовательным числам Пелла.
то собственные значения матрицы подстановки ${displaystyle 1+ {sqrt {2}}}$ и ${displaystyle 1- {sqrt {2}}}$ .
В альтернативном наборе тайлов длинные края имеют ${displaystyle 1+ {sqrt {2}}}$ стороны в разы длиннее, чем короткие края.
Один комплект Конвей черви, образованные короткой и длинной диагоналями ромбов, образуют вышеуказанные струны, где r - короткая диагональ, а R - длинная диагональ. Следовательно Бары Ammann также формируют сетки, заказанные Пеллем.^[8]

В Бары Ammann для обычного тайлсета. Если считать, что жирные внешние линии имеют длину ${displaystyle 2 {sqrt {2}}}$ , стержни разбивают края на сегменты длиной ${displaystyle 1+ {sqrt {2}}}$ и ${displaystyle {sqrt {2}} - 1}$ .

Полосы Амманна для альтернативного набора тайлов. Обратите внимание, что планки асимметричной плитки частично выходят за ее пределы.

Проектное строительство

В тессерактические соты имеет восьмеричную вращательную симметрию, соответствующую восьмикратной вращательной симметрии тессеракт. Матрица вращения, представляющая эту симметрию:

{displaystyle A = {egin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0end {bmatrix}}.}

Преобразование этой матрицы в новые координаты, заданные

{displaystyle B = {egin {bmatrix} -1 / 2 & 0 & -1 / 2 & {sqrt {2}} / 2 1/2 & {sqrt {2}} / 2 & -1 / 2 & 0 -1 / 2 & 0 & -1 / 2 & - {sqrt {2}} / 2 -1 / 2 & {sqrt {2}} / 2 & 1/2 & 0end {bmatrix}}}

произведет:

{displaystyle BAB ^ {- 1} = {egin {bmatrix} {sqrt {2}} / 2 & {sqrt {2}} / 2 & 0 & 0 - {sqrt {2}} / 2 & {sqrt {2}} / 2 & 0 & 0 0 & 0 & - {sqrt {2}} / 2 & {sqrt {2}} / 2 0 & 0 & - {sqrt {2}} / 2 & - {sqrt {2}} / 2end {bmatrix}}.}

Эта третья матрица соответствует повороту как на 45 ° (в первых двух измерениях), так и на 135 ° (в последних двух). Затем мы можем получить мозаику Амманна – Бенкера, спроектировав плиту гиперкубов либо по первым двум, либо по двум последним из новых координат.

В качестве альтернативы мозаичное покрытие Амманна – Бенкера может быть получено путем рисования ромбов и квадратов вокруг точек пересечения пары квадратных решеток равного масштаба, наложенных под углом 45 градусов. Эти два метода были разработаны Бинкером в его статье.

Связанное многомерное вложение в тессерактические соты - это конструкция Клотца, как подробно описано в ее применении здесь, в статье Бааке и Джозефа.^[9] Таким образом, восьмиугольная приемлемая область может быть далее разбита на части, каждая из которых затем дает ровно одну конфигурацию вершины. Более того, относительная площадь любой из этих областей равна частоте соответствующей конфигурации вершин в бесконечном замощении.

Область приема домена и соответствующая конфигурация вершины

Ссылки и примечания

^ ^а ^б ^c Грюнбаум, Б.; Шепард, Г. К. (1986). Плитки и узоры. Нью-Йорк: Фриман. ISBN 0-7167-1193-1.
^ Beenker FPM, Алгебраическая теория непериодических мозаик плоскости двумя простыми строительными блоками: квадратом и ромбом, Отчет TH 82-WSK-04 (1982), Technische Hogeschool, Эйндховен
^ Ф. Гэлер, в Трудах 6-й Международной конференции по квазикристаллам, под редакцией С. Такеучи и Т. Фудзивара, WorldScientific, Сингапур, 1998, с. 95.
^ Ben-Abraham, S.I .; Гэлер, Ф. (1999). «Покрывающее кластерное описание восьмиугольных квазикристаллов MnSiAl» (PDF). Физический обзор B. 60 (2): 860–864. Дои:10.1103 / PhysRevB.60.860. Архивировано из оригинал (PDF) 17 июня 2007 г.
^ Wang, N .; Chen, H .; Куо, К. Х. (1987). «Двумерный квазикристалл с восьмеричной вращательной симметрией» (PDF). Письма с физическими проверками. 59 (9): 1010–1013. Bibcode:1987PhRvL..59.1010W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.59.1010. PMID 10035936.
^ Кац, А (1995). «Правила совпадения и квазипериодичность: восьмиугольные мозаики». In Axel, F .; Gratias, D. (ред.). Помимо квазикристаллов. Springer. С. 141–189. Дои:10.1007/978-3-662-03130-8_6. ISBN 978-3-540-59251-8.
^ Bédaride, N .; Ферник, Т. (2013). «Возвращение к плиткам Амманна-Бенкера». В Schmid, S .; Холка, правая; Лифшиц, Р. (ред.). Апериодические кристаллы. Springer. С. 59–65. arXiv:1208.3545v1. Дои:10.1007/978-94-007-6431-6_8. ISBN 978-94-007-6430-9.
^ Socolar, Дж. Э. С. (1989). «Простые восьмиугольные и додекагональные квазикристаллы». Физический обзор B. 39 (15): 10519–10551. Bibcode:1989PhRvB..3910519S. Дои:10.1103 / PhysRevB.39.10519. PMID 9947860. MR0998533.
^ Бааке, М; Джозеф, Д. (1990). «Идеальные и дефектные конфигурации вершин в плоской восьмиугольной квазирешетке». Физический обзор B. 42 (13): 8091–8102. Bibcode:1990ПхРвБ..42.8091Б. Дои:10.1103 / Physrevb.42.8091.

внешняя ссылка

[ReferenceA-1] а ^б ^c Грюнбаум, Б.; Шепард, Г. К. (1986). Плитки и узоры. Нью-Йорк: Фриман. ISBN 0-7167-1193-1.

[2] Beenker FPM, Алгебраическая теория непериодических мозаик плоскости двумя простыми строительными блоками: квадратом и ромбом, Отчет TH 82-WSK-04 (1982), Technische Hogeschool, Эйндховен

[3] Ф. Гэлер, в Трудах 6-й Международной конференции по квазикристаллам, под редакцией С. Такеучи и Т. Фудзивара, WorldScientific, Сингапур, 1998, с. 95.

[4] Ben-Abraham, S.I .; Гэлер, Ф. (1999). «Покрывающее кластерное описание восьмиугольных квазикристаллов MnSiAl» (PDF). Физический обзор B. 60 (2): 860–864. Дои:10.1103 / PhysRevB.60.860. Архивировано из оригинал (PDF) 17 июня 2007 г.

[5] Wang, N .; Chen, H .; Куо, К. Х. (1987). «Двумерный квазикристалл с восьмеричной вращательной симметрией» (PDF). Письма с физическими проверками. 59 (9): 1010–1013. Bibcode:1987PhRvL..59.1010W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.59.1010. PMID 10035936.

[6] Кац, А (1995). «Правила совпадения и квазипериодичность: восьмиугольные мозаики». In Axel, F .; Gratias, D. (ред.). Помимо квазикристаллов. Springer. С. 141–189. Дои:10.1007/978-3-662-03130-8_6. ISBN 978-3-540-59251-8.

[7] Bédaride, N .; Ферник, Т. (2013). «Возвращение к плиткам Амманна-Бенкера». В Schmid, S .; Холка, правая; Лифшиц, Р. (ред.). Апериодические кристаллы. Springer. С. 59–65. arXiv:1208.3545v1. Дои:10.1007/978-94-007-6431-6_8. ISBN 978-94-007-6430-9.

[8] Socolar, Дж. Э. С. (1989). «Простые восьмиугольные и додекагональные квазикристаллы». Физический обзор B. 39 (15): 10519–10551. Bibcode:1989PhRvB..3910519S. Дои:10.1103 / PhysRevB.39.10519. PMID 9947860. MR0998533.

[9] Бааке, М; Джозеф, Д. (1990). «Идеальные и дефектные конфигурации вершин в плоской восьмиугольной квазирешетке». Физический обзор B. 42 (13): 8091–8102. Bibcode:1990ПхРвБ..42.8091Б. Дои:10.1103 / Physrevb.42.8091.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]