Бинарная мозаика - Binary tiling

Часть двоичная мозаика отображается в Модель полуплоскости Пуанкаре. Горизонтальные линии соответствуют орициклы в гиперболической плоскости, а отрезки вертикальных прямых соответствуют линии в гиперболической плоскости.
Альтернативный вариант бинарной мозаики с многоугольными плитками (также показанный в модели полуплоскости Пуанкаре). Это делает плитку подходящей пятиугольная черепица.

В геометрия, то двоичная мозаика (иногда называют Плитка Бёрёчки)[1] это черепица из гиперболическая плоскость, напоминающий квадродерево над Модель полуплоскости Пуанкаре гиперболической плоскости. Впервые он был изучен в 1974 г. Кароли Бёрёчки [ху ].[2][3][4]

Плитки

Плитки имеют форму, ограниченную тремя орициклический сегментов (два из которых являются частью одного орицикла) и два отрезки линии. Все плитки совпадают. Хотя они моделируются квадратами или прямоугольниками модели Пуанкаре, плитки имеют пять сторон, а не четыре, и не являются гиперболическими многоугольниками, поскольку их орициклические края не прямые.[2] В качестве альтернативы комбинаторно эквивалентная мозаика использует гиперболические пятиугольники, которые соединяют одни и те же вершины в одном образце. В этой форме мозаики плитки не отображаются в виде прямоугольников в модели полуплоскости, а орициклы, образованные последовательностями ребер, заменяются на апейрогоны.

Перечисление и апериодичность

Эти плитки создают несчетное количество различных мозаик гиперболической плоскости, даже когда они изменяются путем добавления выступов и углублений, чтобы заставить их пересекаться от края до края. Ни одна из этих мозаик не является периодической (имеющей компактный группа симметрии),[2][5] хотя некоторые (например, та, в которой существует линия, полностью покрытая краями плитки) имеют одномерную бесконечную группу симметрии.

Заявление

Этот тайлинг может использоваться, чтобы показать, что гиперболическая плоскость имеет мозаики конгруэнтными плитками произвольно малой площади.[3]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Долбилин, Николай; Фреттлё, Дирк. «Свойства мозаик Бёрёчки в многомерных гиперболических пространствах» (PDF). Европейский журнал комбинаторики. 31 (4): 1181–1195. Дои:10.1016 / j.ejc.2009.11.016.
  2. ^ а б c Радин, Чарльз (2004). "Орбиты сфер: упаковка сфер встречает плитки Пенроуза" (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 111 (2): 137–149. Дои:10.2307/4145214. JSTOR  4145214.
  3. ^ а б Агол, Ян (26 января 2018 г.). «Наименьшая плитка для мозаики гиперболической плоскости». MathOverflow.
  4. ^ Böröczky, Кароли (1974). "Gömbkitöltések állandó görbületű terekben I". Математикай Лапок (на венгерском). 25: 265–306. Цитирует Радин.
  5. ^ Пенроуз, Р. (1979–1980). «Пентаплексичность: класс непериодических мозаик плоскости». Математический интеллект. 2 (1): 32–37. Дои:10.1007 / BF03024384. МИСТЕР  0558670.