Равномерные мутации симметрии мозаики - Uniform tiling symmetry mutations

Пример *п32 мутации симметрии

Сферические мозаики (п = 3..5)
*332	*432	*532
Евклидова плоская мозаика (п = 6)
*632
Гиперболические плоские мозаики (п = 7...∞)
*732	*832	... *∞32

В геометрия, а мутация симметрии это отображение фундаментальные области между двумя группами симметрии.^[1] Они компактно выражены в орбифолдная запись. Эти мутации могут происходить от сферические мозаики к Евклидовы мозаики к гиперболические мозаики. Гиперболические мозаики также можно разделить на компактные, паракомпактные и дивергентные.

В однородные мозаики представляют собой простейшее применение этих мутаций, хотя более сложные паттерны могут быть выражены в фундаментальной области.

В этой статье выражены прогрессивные последовательности однородных мозаик внутри семейств симметрии.

Мутации орбифолдов

Орбифолды с одинаковой структурой могут изменяться между разными классами симметрии, в том числе в областях кривизны от сферической до евклидовой и гиперболической. В этой таблице показаны классы мутаций.^[1] Эта таблица не является полной для возможных гиперболических орбифолдов.

Орбифолд	Сферический	Евклидово	Гиперболический
о	-	о	-
pp	22, 33 ...	∞∞	-
* пп	*22, *33 ...	*∞∞	-
п*	2*, 3* ...	∞*	-
p ×	2×, 3× ...	∞×
**	-	**	-
*×	-	*×	-
××	-	××	-
PPP	222	333	444 ...
pp *	-	22*	33* ...
pp ×	-	22×	33×, 44× ...
pqq	222, 322 ... , 233	244	255 ..., 433 ...
pqr	234, 235	236	237 ..., 245 ...
pq *	-	-	23*, 24* ...
pq ×	-	-	23×, 24× ...
p * q	2*2, 2*3 ...	3*3, 4*2	5*2 5*3 ..., 4*3, 4*4 ..., 3*4, 3*5 ...
*п*	-	-	*2* ...
* p ×	-	-	*2× ...
pppp	-	2222	3333 ...
pppq	-	-	2223...
ppqq	-	-	2233
пп * п	-	-	22*2 ...
p * qr	-	2*22	3*22 ..., 2*32 ...
* ppp	*222	*333	*444 ...
* pqq	* п22, * 233	*244	*255 ..., *344...
* pqr	*234, *235	*236	*237..., *245..., *345 ...
п * ппп	-	-	2*222
* pqrs	-	*2222	*2223...
* ppppp	-	-	*22222 ...
...

*п22 симметрия

Регулярные мозаики

*п22 изменения симметрии осоэдральных мозаик: nn

Космос	Сферический											Евклидово
Плитка
Конфиг.	2.2	2^3	2^4	2^5	2^6	2^7	2^8	2^9	2^10	2^11	2^12	2^∞

*п22 изменения симметрии двугранных мозаик: nn

Космос	Сферический					Евклидово
Плитка
Конфиг.	2.2	3.3	4.4	5.5	6.6	...∞.∞

Призма мозаики

*п22 мутации симметрии однородные призмы: п.4.4

Космос	Сферический										Евклидово
Плитка
Конфиг.	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...∞.4.4

Тайлинги с антипризмой

*п22 мутации симметрии плиток антипризмы: Vп.3.3.3

Космос	Сферический							Евклидово
Плитка
Конфиг.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	...∞.3.3.3

*п32 симметрия

Регулярные мозаики

*п32 изменения симметрии правильных мозаик: {3,п} [ v т е ]
Сферический				Евклид.	Компактный гипер.		Paraco.	Некомпактный гиперболический
3.3	3^3	3^4	3^5	3^6	3^7	3^8	3^∞	3^12i	3^9i	3^6i	3^3i

*п32 изменения симметрии правильных мозаик: {п,3} [ v т е ]
Сферический				Евклидово	Компактная гиперболия.		Paraco.	Некомпактный гиперболический
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i, 3}	{9i, 3}	{6i, 3}	{3i, 3}

Усеченные мозаики

*п32 мутации симметрии усеченных мозаик: t {п,3} [ v т е ]
Симметрия *п32 [n, 3]	Сферический				Евклид.	Компактная гиперболия.		Paraco.	Некомпактный гиперболический
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Усеченный цифры
Символ	т {2,3}	т {3,3}	т {4,3}	т {5,3}	т {6,3}	т {7,3}	т {8,3}	т {∞, 3}	т {12i, 3}	т {9i, 3}	т {6i, 3}
Triakis цифры
Конфиг.	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

*п32 мутации симметрии усеченных мозаик: п.6.6 [ v т е ]
Сим. *п42 [n, 3]	Сферический				Евклид.	Компактный		Parac.	Некомпактный гиперболический
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Усеченный цифры
Конфиг.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
н-кис цифры
Конфиг.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Квазирегулярные мозаики

Квазирегулярные мозаики: (3.n)^2 [ v т е ]
Сим. * n32 [n, 3]	Сферический			Евклид.	Компактная гиперболия.		Paraco.	Некомпактный гиперболический
	*332 [3,3] Тd	*432 [4,3] Очас	*532 [5,3] ячас	*632 [6,3] p6m	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Фигура
Фигура
Вершина	(3.3)^2	(3.4)^2	(3.5)^2	(3.6)^2	(3.7)^2	(3.8)^2	(3.∞)^2	(3.12i)^2	(3.9i)^2	(3.6i)^2
Schläfli	г {3,3}	г {3,4}	г {3,5}	г {3,6}	г {3,7}	г {3,8}	г {3, ∞}	г {3,12i}	г {3,9i}	г {3,6i}
Coxeter
Двойные форменные фигуры
Двойной конф.	В (3,3)^2	V (3,4)^2	В (3,5)^2	В (3,6)^2	В (3,7)^2	V (3.8)^2	V (3.∞)^2

Мутации симметрии двойственных квазирегулярных мозаик: V (3.n)^2
* n32	Сферический			Евклидово	Гиперболический
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Плитка
Конф.	В (3,3)^2	V (3,4)^2	В (3,5)^2	В (3,6)^2	В (3,7)^2	V (3.8)^2	V (3.∞)^2

Развернутые мозаики

*п42 мутации симметрии расширенных мозаик: 3.4.п.4 [ v т е ]
Симметрия *п32 [n, 3]	Сферический				Евклид.	Компактная гиперболия.		Paraco.	Некомпактный гиперболический
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Фигура
Конфиг.	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4	3.4.12i.4	3.4.9i.4	3.4.6i.4

*п42 мутации симметрии двойных расширенных мозаик: V3.4.п.4

Симметрия *п32 [n, 3]	Сферический				Евклид.	Компактная гиперболия.		Paraco.
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Фигура Конфиг.	V3.4.2.4	V3.4.3.4	V3.4.4.4	V3.4.5.4	V3.4.6.4	V3.4.7.4	V3.4.8.4	V3.4.∞.4

Омниусеченные мозаики

*п32 мутации симметрии полностью усеченных мозаик: 4.6.2n [ v т е ]
Сим. *п32 [п,3]	Сферический				Евклид.	Компактная гиперболия.		Paraco.	Некомпактный гиперболический
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]	[3i, 3]
Цифры
Конфиг.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duals
Конфиг.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

Курносые плитки

п32 мутации симметрии курносых плиток: 3.3.3.3.n
Симметрия п32	Сферический				Евклидово	Компактный гиперболический		Paracomp.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Курносый цифры
Конфиг.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Гироскоп цифры
Конфиг.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

*п42 симметрия

Регулярные мозаики

*п42 изменения симметрии правильных мозаик: {4,п} [ v т е ]
Сферический	Евклидово	Компактный гиперболический				Паракомпакт
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}...	{4,∞}

*п42 мутации симметрии правильных мозаик: {п,4} [ v т е ]
Сферический		Евклидово	Гиперболические мозаики
2^4	3^4	4^4	5^4	6^4	7^4	8^4	...∞^4

Квазирегулярные мозаики

*п42 изменения симметрии квазирегулярных мозаик: (4.п)^2 [ v т е ]
Симметрия *4п2 [n, 4]	Сферический	Евклидово	Компактный гиперболический				Паракомпакт	Некомпактный
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[пя, 4]
Цифры
Конфиг.	(4.3)^2	(4.4)^2	(4.5)^2	(4.6)^2	(4.7)^2	(4.8)^2	(4.∞)^2	(4.пя)^2

*п42 изменения симметрии квазирегулярных двойственных мозаик: V(4.n)^2
Симметрия * 4n2 [n, 4]	Сферический	Евклидово	Компактный гиперболический				Паракомпакт	Некомпактный
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ / λ, 4]
Плитка   Конф.	V4.3.4.3	V4.4.4.4	V4.5.4.5	V4.6.4.6	V4.7.4.7	V4.8.4.8	V4.∞.4.∞	V4.∞.4.∞

Усеченные мозаики

*п42 мутации симметрии усеченных мозаик: 4,2п.2п [ v т е ]
Симметрия *п42 [n, 4]	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Paracomp.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Усеченный цифры
Конфиг.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
н-кис цифры
Конфиг.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

*п42 мутации симметрии усеченных мозаик: п.8.8 [ v т е ]
Симметрия *п42 [n, 4]	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Паракомпакт
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Усеченный цифры
Конфиг.	2.8.8	3.8.8	4.8.8	5.8.8	6.8.8	7.8.8	8.8.8	∞.8.8
н-кис цифры
Конфиг.	V2.8.8	V3.8.8	V4.8.8	V5.8.8	V6.8.8	V7.8.8	V8.8.8	V∞.8.8

Развернутые мозаики

*п42 мутации симметрии расширенных мозаик: п.4.4.4 [ v т е ]
Симметрия [n, 4], (*п42)	Сферический	Евклидово	Компактный гиперболический				Paracomp.
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]	*∞42 [∞,4]
Расширенный цифры
Конфиг.	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	∞.4.4.4
Ромбический цифры config.	V3.4.4.4	V4.4.4.4	V5.4.4.4	V6.4.4.4	V7.4.4.4	V8.4.4.4	V∞.4.4.4

Омниусеченные мозаики

*п42 мутации симметрии полностью усеченных мозаик: 4.8.2n [ v т е ]
Симметрия *п42 [n, 4]	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Paracomp.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Усеченный фигура	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Усеченный двойники	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

Курносые плитки

4п2 мутации симметрии курносых плиток: 3.3.4.3.n [ v т е ]
Симметрия 4п2	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Paracomp.
	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Курносый цифры
Конфиг.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Гироскоп цифры
Конфиг.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

*п52 симметрия

Регулярные мозаики

*п52 мутации симметрии усеченных мозаик: 5^п

Сфера	Гиперболическая плоскость
{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	...{5,∞}

*п62 симметрия

Регулярные мозаики

*п62 изменения симметрии правильных мозаик: {6,п} [ v т е ]
Сферический	Евклидово	Гиперболические мозаики
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

*п82 симметрия

Регулярные мозаики

п82 изменения симметрии правильных мозаик: 8^п

[

• v
• т
• е

]

Космос	Сферический	Компактный гиперболический						Паракомпакт
Плитка
Конфиг.	8.8	8^3	8^4	8^5	8^6	8^7	8^8	...8^∞

Рекомендации

1. Двумерные мутации симметрии Дэниел Хьюсон

Источники

• Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 [1]
• От гиперболического 2-пространства к 3-му евклидовому пространству: мозаики и паттерны через топологию Стивен Хайд