Уравнение Шредингера - Schrödinger equation

Для более общего введения в тему см. Введение в квантовую механику.

Уравнение Шредингера начертано на надгробии Аннемари и Эрвина Шредингеров. (Точечная запись Ньютона для производной по времени используется.)

В Уравнение Шредингера это линейный уравнение в частных производных это описывает волновая функция или функция состояния квантово-механической системы.^[1]:1–2 Это ключевой результат в квантовая механика, и его открытие стало важной вехой в развитии этого предмета. Уравнение названо в честь Эрвин Шредингер, который постулировал уравнение в 1925 году и опубликовал его в 1926 году, что легло в основу работы, в результате которой он Нобелевская премия по физике в 1933 г.^[2][3]

В классическая механика, Второй закон Ньютона (F = ма)^{[примечание 1]} используется для математического прогноза относительно того, какой путь будет проходить данная физическая система с течением времени после набора известных начальных условий. Решение этого уравнения дает положение и импульс физической системы как функцию внешней силы ${\displaystyle \mathbf {F} }$ в системе. Этих двух параметров достаточно для описания его состояния в каждый момент времени. В квантовой механике аналог закона Ньютона - уравнение Шредингера.

Понятие волновой функции является фундаментальным постулат квантовой механики; волновая функция определяет состояние системы в каждой пространственной позиции и времени. Используя эти постулаты, уравнение Шредингера можно вывести из того факта, что оператор временной эволюции должен быть унитарный, и, следовательно, должен быть порожден экспонентой самосопряженный оператор, которая является квантовой Гамильтониан. Этот вывод объясняется ниже.

в Копенгагенская интерпретация В квантовой механике волновая функция является наиболее полным описанием физической системы. Решения уравнения Шредингера описывают не только молекулярный, атомный, и субатомный системы, но также макроскопические системы, возможно, даже весь вселенная.^[4]:292ff

Уравнение Шредингера - не единственный способ изучать квантово-механические системы и делать прогнозы. Другие формулировки квантовой механики включают матричная механика, представлен Вернер Гейзенберг, а формулировка интеграла по путям, разработанная в основном Ричард Фейнман. Поль Дирак объединил матричную механику и уравнение Шредингера в единую формулировку.

Уравнение

Уравнение, зависящее от времени

Форма уравнения Шредингера зависит от физической ситуации (специальные случаи см. Ниже). Самая общая форма - это нестационарное уравнение Шредингера (TDSE), которое дает описание системы, развивающейся во времени:^[5]:143

А волновая функция которое удовлетворяет нерелятивистскому уравнению Шредингера с V = 0. Другими словами, это соответствует частице, свободно перемещающейся в пустом пространстве. В реальная часть из волновая функция нанесен здесь.

Зависящее от времени уравнение Шредингера (Общее)

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\vert \Psi (t)\rangle ={\hat {H}}\vert \Psi (t)\rangle }$

где ${\displaystyle i}$ это мнимая единица, ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ сокращенный Постоянная Планка имеющий размер действия,^{[6][7][заметка 2]} ${\displaystyle \Psi }$ (греческая буква psi ) - вектор состояния квантовой системы, ${\displaystyle t}$ время, и ${\displaystyle {\hat {H}}}$ это Гамильтониан оператор. В пространственно-позиционная волновая функция квантовой системы есть не что иное, как компоненты разложения вектора состояния по собственному вектору положения ${\displaystyle \vert \mathbf {r} \rangle }$. Это скалярная функция, выражаемая как ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\langle \mathbf {r} \vert \Psi \rangle }$. Точно так же волновая функция в импульсном пространстве можно определить как ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)=\langle \mathbf {p} \vert \Psi \rangle }$, где ${\displaystyle \vert \mathbf {p} \rangle }$ - собственный вектор импульса.

Каждая из этих трех строк представляет собой волновую функцию, которая удовлетворяет нестационарному уравнению Шредингера для гармонический осциллятор. Слева: действительная часть (синий цвет) и мнимая часть (красный цвет) волновой функции. Справа: распределение вероятностей найти частицу с этой волновой функцией в заданном положении. Две верхние строки являются примерами стационарные состояния, которые соответствуют стоячие волны. Нижняя строка - это пример состояния, которое не стационарное состояние. В правом столбце показано, почему стационарные состояния называются «стационарными».

Самый известный пример - это нерелятивистский Уравнение Шредингера для волновой функции в позиционном пространстве ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ одиночной частицы с потенциалом ${\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)}$, например, из-за электрическое поле.^{[8][заметка 3]}

Зависящее от времени уравнение Шредингера в позиционном базисе
(не замужем нерелятивистский частица)

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)}$

где ${\displaystyle m}$ - масса частицы, а ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ это Лапласиан.

Это уравнение диффузии, с мнимой постоянной, присутствующей в переходном члене.

Период, термин «Уравнение Шредингера» может относиться как к общему уравнению, так и к конкретной нерелятивистской версии. Общее уравнение действительно является довольно общим и используется во всей квантовой механике для всего, начиная с Уравнение Дирака к квантовая теория поля, подставляя различные выражения для гамильтониана. Конкретная нерелятивистская версия представляет собой строго классическое приближение к реальности и дает точные результаты во многих ситуациях, но лишь в определенной степени (см. релятивистская квантовая механика и релятивистская квантовая теория поля ).

Чтобы применить уравнение Шредингера, запишите гамильтониан для системы, учитывая кинетическую и потенциальную энергии частиц, составляющих систему, затем вставьте его в уравнение Шредингера. Полученное уравнение в частных производных решается для волновой функции, которая содержит информацию о системе.

Не зависящее от времени уравнение

Уравнение Шредингера, зависящее от времени, описанное выше, предсказывает, что волновые функции могут формировать стоячие волны, называется стационарные состояния.^{[примечание 4]} Эти состояния особенно важны, поскольку их индивидуальное изучение позже упрощает задачу решения нестационарного уравнения Шредингера для Любые штат. Стационарные состояния также можно описать более простой формой уравнения Шредингера: не зависящее от времени уравнение Шредингера (ТИСЭ).

Не зависящее от времени уравнение Шредингера (Общее)

${\displaystyle \operatorname {\hat {H}} |\Psi \rangle =E|\Psi \rangle }$

где ${\displaystyle E}$ - константа, равная энергетическому уровню системы. Это используется только тогда, когда Гамильтониан сам по себе не зависит явно от времени. Однако даже в этом случае полная волновая функция по-прежнему зависит от времени.

На языке линейная алгебра, это уравнение уравнение на собственные значения. Следовательно, волновая функция - это собственная функция гамильтонова оператора с соответствующими собственными значениями ${\displaystyle E}$.

Как и прежде, наиболее частым проявлением является нерелятивистский Уравнение Шредингера для одиночной частицы, движущейся в электрическом поле (но не в магнитном поле):

Не зависящее от времени уравнение Шредингера (одиночная нерелятивистская частица)

${\displaystyle \left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} )=E\Psi (\mathbf {r} )}$

с определениями, как указано выше. Здесь форма оператора Гамильтона происходит из классической механики, где гамильтониан функция представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий. Это, ${\displaystyle H=T+V={\frac {\|\mathbf {p} \|^{2}}{2m}}+V(x,y,z)}$ для одиночной частицы в нерелятивистском пределе.

Не зависящее от времени уравнение Шредингера обсуждается ниже.

Вывод

Уравнение Шредингера можно вывести, исходя из Аксиомы Дирака-фон Неймана. Предположим, что волновая функция ${\displaystyle \psi (t_{0})}$ представляет единичный вектор, определенный на комплексе Гильбертово пространство в какое-то начальное время ${\displaystyle t_{0}}$. В принцип унитарности требует, чтобы существовал линейный оператор, ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$, так что в любое время ${\displaystyle t>t_{0}}$,

${\displaystyle \psi (t)={\hat {U}}(t)\psi (t_{0}).}$

(1)

При условии ${\displaystyle \psi (t)}$ должен оставаться единичным вектором, оператор ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ поэтому должен быть унитарное преобразование. Таким образом, существует экспоненциальная карта такой, что ${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathcal {H}}}t}}$ где ${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ это Эрмитов оператор. Это обусловлено тем, что Алгебра Ли из унитарная группа генерируется перекосомЭрмитовы операторы. Если ${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ эрмитово, то ${\displaystyle -i{\hat {\mathcal {H}}}}$ косоэрмитово. Разложение Тейлора первого порядка ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ сосредоточен на ${\displaystyle t_{0}}$ принимает форму

${\displaystyle {\hat {U}}(t)\approx 1-{\frac {i}{\hbar }}(t-t_{0}){\hat {\mathcal {H}}}.}$

Подставляя указанное выше разложение в (1) затем переставляя,

${\displaystyle \psi (t)=\psi (t_{0})-{\frac {i}{\hbar }}(t-t_{0}){\hat {\mathcal {H}}}\psi (t_{0}),}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\psi (t)-\psi (t_{0})}{t-t_{0}}}={\hat {\mathcal {H}}}\psi (t_{0}).}$

В пределе ${\displaystyle t\rightarrow t_{0}}$, это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение Шредингера,

${\displaystyle i\hbar {\frac {d\psi }{dt}}={\hat {\mathcal {H}}}\psi ,}$

где использовалось обычное определение производной. Оператор ${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ используемый здесь означает произвольный Эрмитов оператор. С использованием принцип соответствия можно показать, что в классическом пределе, используя соответствующие единицы, ожидаемое значение из ${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ соответствует гамильтониану системы.^[9]

Последствия

Энергия

Гамильтониан строится так же, как в классической механике. Однако в классической механике гамильтониан является скалярнозначной функцией, тогда как в квантовой механике это оператор в пространстве функций. Неудивительно, что собственные значения из ${\displaystyle {\hat {H}}}$ являются энергетическими уровнями системы.

Квантование

Уравнение Шредингера предсказывает, что при измерении определенных свойств системы результат может быть следующим: квантованный, что означает, что могут встречаться только определенные дискретные значения. Одним из примеров является квантование энергии: энергия электрона в атоме всегда одна из квантованные уровни энергии, факт, обнаруженный через атомная спектроскопия. (Квантование энергии обсуждается ниже.) Другой пример: квантование углового момента. Это был предположение в более раннем Боровская модель атома, но это предсказание уравнения Шредингера.

Другой результат уравнения Шредингера состоит в том, что не каждое измерение дает квантованный результат в квантовой механике. Например, положение, импульс, время и (в некоторых ситуациях) энергия могут иметь любое значение в непрерывном диапазоне.^{[10]:165–167}

Квантовое туннелирование

Основная статья: Квантовое туннелирование

Квантовое туннелирование через барьер. У частицы, летящей слева, недостаточно энергии, чтобы преодолеть барьер. Однако иногда он может «туннелировать» на другую сторону.

В классической физике, когда мяч медленно катится по большому холму, он останавливается и откатывается назад, потому что у него недостаточно энергии, чтобы перебраться через вершину холма на другую сторону. Однако уравнение Шредингера предсказывает, что существует небольшая вероятность того, что мяч попадет на другую сторону холма, даже если у него слишком мало энергии, чтобы достичь вершины. Это называется квантовое туннелирование. Это связано с распределением энергии: хотя предполагаемое положение мяча кажется на одной стороне холма, есть шанс найти его на другой стороне.

Частицы как волны

Основные статьи: Волна материи, Дуальность волна-частица, и Двухщелевой эксперимент

Эксперимент с двойной щелью, показывающий накопление электронов на экране с течением времени.

Нерелятивистское уравнение Шредингера представляет собой разновидность уравнение в частных производных называется волновое уравнение. Поэтому часто говорят, что частицы могут проявлять поведение, обычно приписываемое волнам. В некоторых современных интерпретациях это описание перевернуто - квантовое состояние, то есть волна, является единственной подлинной физической реальностью, и при соответствующих условиях оно может проявлять особенности поведения, подобного частицам. Однако Баллентин^{[11]:Глава 4, стр.99} показывает, что у такой интерпретации есть проблемы. Баллентайн указывает, что в то время как спорно связать физическую волну с одной частицей, существует еще только один Волновое уравнение Шредингера для многих частиц. Он указывает:

«Если бы физическое волновое поле было связано с частицей или если бы частица была отождествлена ​​с волновым пакетом, то, соответствующие N взаимодействующим частицам, должно быть N взаимодействующих волн в обычном трехмерном пространстве. Но согласно (4.6) это Это не так; вместо этого существует одна "волновая" функция в абстрактном 3N-мерном конфигурационном пространстве. Ошибочное толкование psi как физической волны в обычном пространстве возможно только потому, что наиболее распространенные приложения квантовой механики относятся к одночастичным состояниям, для которого конфигурационное пространство и обычное пространство изоморфны ».

Двухщелевая дифракция - это известный пример странного поведения, которое регулярно проявляют волны и которое интуитивно не связано с частицами. Перекрывающиеся волны из двух щелей нейтрализуют друг друга в некоторых местах и ​​усиливают друг друга в других местах, вызывая появление сложной картины. Интуитивно нельзя было ожидать, что этот паттерн выстреливает одной частицей в прорези, потому что частица должна проходить через одну или другую прорезь, а не через сложное перекрытие обеих.

Однако, поскольку уравнение Шредингера является волновое уравнение, одиночная частица, выпущенная через двойную щель делает покажите тот же образец (рисунок справа). Эксперимент необходимо повторить много раз, чтобы сложная картина возникла. Хотя это нелогично, прогноз верен; особенно, электронная дифракция и нейтронная дифракция хорошо изучены и широко используются в науке и технике.

Относится к дифракция, частицы также отображаются суперпозиция и вмешательство.

Свойство суперпозиции позволяет частице находиться в квантовая суперпозиция двух или более квантовых состояний одновременно. Однако «квантовое состояние» в квантовой механике означает вероятность что система будет, например, на позиции Икс, а не то, что система действительно будет в позиции Икс. Это не означает, что сама частица может находиться сразу в двух классических состояниях. В самом деле, квантовая механика вообще не может присвоить значения свойствам до измерения.

Измерение и неопределенность

Основные статьи: Измерение в квантовой механике, Принцип неопределенности Гейзенберга, и Интерпретации квантовой механики

В классической механике частица в каждый момент времени имеет точное положение и точный импульс. Эти значения меняются детерминированно поскольку частица движется согласно Законы Ньютона. Под Копенгагенская интерпретация квантовой механики частицы не имеют точно определенных свойств, и при их измерении результат случайным образом берется из распределение вероятностей. Уравнение Шредингера предсказывает вероятностные распределения, но принципиально не может предсказать точный результат каждого измерения.

В Принцип неопределенности Гейзенберга является одним из утверждений неотъемлемой неопределенности измерения в квантовой механике. Он гласит, что чем точнее известно положение частицы, тем менее точно известен ее импульс, и наоборот.

Уравнение Шредингера описывает (детерминированную) эволюцию волновая функция частицы. Однако, даже если волновая функция известна точно, результат конкретного измерения волновой функции является неопределенным.

Интерпретация волновой функции

Основная статья: Интерпретации квантовой механики

Уравнение Шредингера позволяет вычислить волновую функцию системы и то, как она динамически изменяется во времени. Однако уравнение Шредингера прямо не говорит какая, собственно, волновая функция равна. Интерпретации квантовой механики ответить на такие вопросы, как связь между волновой функцией, лежащей в основе реальностью и результатами экспериментальных измерений.

Важным аспектом является взаимосвязь между уравнением Шредингера и коллапс волновой функции. В старейшем Копенгагенская интерпретация, частицы подчиняются уравнению Шредингера Кроме во время коллапса волновой функции, во время которого они ведут себя совершенно иначе. Появление квантовая теория декогеренции разрешенные альтернативные подходы (такие как Интерпретация многомиров Эверетта и последовательные истории ), где уравнение Шредингера имеет вид всегда выполнено, и коллапс волновой функции следует объяснить как следствие уравнения Шредингера.

В 1952 г. Эрвин Шредингер прочитал лекцию, в которой он прокомментировал,

Почти каждый результат [квантовый теоретик] говорит о вероятности этого или то или это ... происходит - обычно с великим множеством альтернатив. Идея, что это не альтернативы, а все действительно случается одновременно, кажется ему сумасшедшим, просто невозможно.^[12]

Дэвид Дойч считал это самой ранней известной ссылкой на многомировую интерпретацию квантовой механики, интерпретацию, которую обычно приписывают Хью Эверетт III,^[13] в то время как Джеффри А. Барретт занял более скромную позицию, что это указывает на «сходство ... общих взглядов» между Шредингером и Эвереттом.^[14]

Историческая справка и развитие

Эрвин Шредингер

Основная статья: Теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера

Следующий Макс Планк квантование света (см. излучение черного тела ), Альберт Эйнштейн интерпретировал планковский кванты быть фотоны, частицы света, и предложил энергия фотона пропорциональна его частоте, один из первых признаков дуальность волна-частица. Поскольку энергия и импульс связаны так же, как частота и волновое число в специальная теория относительности, следовательно, импульс ${\displaystyle p}$ фотона обратно пропорциональна его длина волны ${\displaystyle \lambda }$, или пропорционально его волновому числу ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k,}$

где ${\displaystyle h}$ является Постоянная Планка и ${\displaystyle \hbar ={h}/{2\pi }}$ - приведенная постоянная Планка действия^[7] (или постоянная Дирака). Луи де Бройль предположил, что это верно для всех частиц, даже частиц, которые имеют массу, такую ​​как электроны. Он показал, что, если предположить, что волны вещества распространяются вместе со своими частицами, электроны образуют стоячие волны, что означает, что допустимы только определенные дискретные частоты вращения вокруг ядра атома.^[15]Эти квантованные орбиты соответствуют дискретным уровни энергии, а де Бройль воспроизвел Модель Бора формула для уровней энергии. Модель Бора основана на предполагаемом квантовании углового момента ${\displaystyle L}$ согласно с:

${\displaystyle L=n{h \over 2\pi }=n\hbar .}$

Согласно де Бройлю, электрон описывается волной, и целое число длин волн должно соответствовать окружности орбиты электрона:

${\displaystyle n\lambda =2\pi r.\,}$

Этот подход по существу ограничивал электронную волну в одном измерении по круговой орбите радиуса ${\displaystyle r}$.

В 1921 году, до де Бройля, Артур К.Ланн из Чикагского университета использовал тот же аргумент, основанный на дополнении релятивистской энергии-импульса 4-вектор чтобы вывести то, что мы теперь называем соотношением де Бройля.^[16][17] В отличие от де Бройля, Ланн сформулировал дифференциальное уравнение, теперь известное как уравнение Шредингера, и решил найти его собственные значения энергии для атома водорода. К сожалению, статья была отклонена Физический обзор, как рассказывает Камен.^[18]

Продолжая идеи де Бройля, физик Питер Дебай сделал небрежный комментарий, что если частицы ведут себя как волны, они должны удовлетворять какому-то волновому уравнению. Вдохновленный замечанием Дебая, Шредингер решил найти правильное трехмерное волновое уравнение для электрона. Он руководствовался Уильям Р. Гамильтон аналогия между механика и оптика, закодированного в наблюдении, что нулевой предел длины волны оптики напоминает механическую систему - траектории лучи света стать острыми следами, которые подчиняются Принцип Ферма, аналог принцип наименьшего действия.^[19] Ниже воспроизводится современная версия его рассуждений. Он нашел уравнение:^[20]

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,\,t).}$

Однако к тому времени Арнольд Зоммерфельд было уточнил модель Бора с участием релятивистские поправки.^[21][22] Шредингер использовал соотношение релятивистской энергии и импульса, чтобы найти то, что сейчас известно как Уравнение Клейна – Гордона в Кулоновский потенциал (в натуральные единицы ):

${\displaystyle \left(E+{e^{2} \over r}\right)^{2}\psi (x)=-\nabla ^{2}\psi (x)+m^{2}\psi (x).}$

Он нашел стоячие волны в этом релятивистском уравнении, но релятивистские поправки не соответствовали формуле Зоммерфельда. Обескураженный, он отложил свои расчеты и уединился с любовницей в горной хижине в декабре 1925 года.^[23]

Находясь в каюте, Шредингер решил, что его ранние нерелятивистские расчеты достаточно новы, чтобы их опубликовать, и решил оставить проблему релятивистских поправок на будущее. Несмотря на трудности с решением дифференциального уравнения для водорода (он обратился за помощью к своему другу математику Герман Вейль^[24]:3) Шредингер показал, что его нерелятивистская версия волнового уравнения дает правильные спектральные энергии водорода в статье, опубликованной в 1926 году.^[24]:1[25] В уравнении Шредингер вычислил спектральная серия водорода путем лечения атом водорода с электрон как волна ${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)}$, двигаясь в потенциальная яма ${\displaystyle V}$, созданный протон. Это вычисление точно воспроизвело уровни энергии Модель Бора. В своей статье сам Шредингер объяснил это уравнение следующим образом:

Уже ... упомянутая пси-функция ... теперь является средством прогнозирования вероятности результатов измерений. В нем воплощена на мгновение достигнутая сумма теоретически обоснованных будущих ожиданий, в некотором роде изложенная в каталоге.

— Эрвин Шредингер^[26]

Эта статья 1926 года была с энтузиазмом поддержана Эйнштейном, который рассматривал материальные волны как интуитивное изображение природы, в отличие от теории Гейзенберга. матричная механика, что он считал слишком формальным.^[27]

Уравнение Шредингера детализирует поведение ${\displaystyle \Psi }$ но ничего не говорит о своем природа. Шредингер попытался интерпретировать это как плотность заряда в своей четвертой статье, но ему это не удалось.^[28]:219 В 1926 году, всего через несколько дней после публикации четвертой и последней статьи Шредингера, Макс Борн успешно интерпретирован ${\displaystyle \Psi }$ как амплитуда вероятности, квадрат модуля которого равен плотность вероятности.^[28]:220 Шредингер, однако, всегда выступал против статистического или вероятностного подхода, с которым связан разрывы - во многом как Эйнштейн, который считал квантовую механику статистическим приближением лежащей в основе детерминированная теория - и никогда не мирился с Копенгагенская интерпретация.^[29]

Луи де Бройль в последние годы своей жизни предложил очень ценный волновая функция связан с комплексной волновой функцией константой пропорциональности и разработал Теория де Бройля – Бома.

Волновое уравнение для частиц

Основная статья: Дуальность волна-частица

Уравнение Шредингера представляет собой вариацию уравнение диффузии где постоянная диффузии мнимая. Пик тепла будет затухать по амплитуде и распространяться; однако, поскольку мнимое i является генератором вращений в комплексной плоскости, всплеск амплитуды волны материи также будет вращаться в комплексной плоскости со временем. Таким образом, решения являются функциями, описывающими волновые движения. Волновые уравнения в физике обычно выводятся из других физических законов - волнового уравнения для механические колебания на струнах и в материи могут быть получены из Законы Ньютона, где волновая функция представляет собой смещение материи, и электромагнитные волны от Уравнения Максвелла, где волновые функции электрический и магнитный поля. С другой стороны, в основе уравнения Шредингера лежит энергия системы и отдельный постулат квантовой механики: волновая функция - это описание системы.^[30] Таким образом, уравнение Шредингера само по себе является новой концепцией; как выразился Фейнман:

Откуда мы взяли это (уравнение)? Никуда. Вывести это из того, что вы знаете, невозможно. Это вышло из головы Шредингера.

— Ричард Фейнман^[31]

В основе уравнения лежит линейное дифференциальное уравнение, основанное на классическом сохранении энергии и согласованное с соотношениями Де Бройля. Решением является волновая функция ψ, который содержит всю информацию, которая может быть известна о системе. в Копенгагенская интерпретация, модуль ψ относится к вероятность в некоторый момент времени частицы находятся в некоторой пространственной конфигурации. Решая уравнение для ψ может использоваться для предсказания того, как частицы будут вести себя под действием заданного потенциала и друг с другом.

Уравнение Шредингера было разработано главным образом из Гипотеза де Бройля, волновое уравнение, описывающее частицы,^[32] и может быть сконструирован, как неформально показано в следующих разделах.^[33] Для более строгого описания уравнения Шредингера см. Также Resnick и другие.^[34]

Последовательность с энергосбережением

Полная энергия E частицы - это сумма кинетической энергии ${\displaystyle T}$ и потенциальная энергия ${\displaystyle V}$, эта сумма также является частым выражением Гамильтониан ${\displaystyle H}$ в классической механике:

${\displaystyle E=T+V=H\,\!}$

Явно для частицы в одном измерении с положением ${\displaystyle x}$, масса ${\displaystyle m}$ и импульс ${\displaystyle p}$, и потенциальная энергия ${\displaystyle V}$ которые обычно зависит от должности и время ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)=H.}$

Для трех измерений вектор положения р и вектор импульса п должны быть использованы:

${\displaystyle E={\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)=H}$

Этот формализм может быть распространен на любое фиксированное число частиц: полная энергия системы тогда равна полной кинетической энергии частиц плюс полная потенциальная энергия, снова гамильтониан. Однако может быть взаимодействия между частицами ( Nпроблема тела ), поэтому потенциальная энергия V может меняться по мере изменения пространственной конфигурации частиц и, возможно, со временем. Потенциальная энергия, в общем, равна не сумма отдельных потенциальных энергий для каждой частицы, это функция всех пространственных положений частиц. Ясно:

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=H\,\!}$

Линейность

Простейшая волновая функция - это плоская волна формы:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$

где А это амплитуда, k волновой вектор, и ${\displaystyle \omega }$ угловая частота плоской волны. В общем, физические ситуации не описываются чисто плоскими волнами, поэтому для общности принцип суперпозиции требуется; любая волна может быть получена суперпозицией плоских синусоидальных волн. Итак, если уравнение линейное, a линейная комбинация плоских волн также является допустимым решением. Следовательно, необходимым и отдельным требованием является то, что уравнение Шредингера является линейное дифференциальное уравнение.

Для дискретных ${\displaystyle \mathbf {k} }$ сумма суперпозиция плоских волн:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}e^{i(\mathbf {k} _{n}\cdot \mathbf {r} -\omega _{n}t)}\,\!}$

для некоторых реальных амплитудных коэффициентов ${\displaystyle A_{n}}$, а для непрерывного ${\displaystyle \mathbf {k} }$ сумма становится интегралом, преобразование Фурье волновой функции импульсного пространства:^[35]

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\,\right)^{3}}}\int \Phi (\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}d^{3}\mathbf {k} \,\!}$

где ${\displaystyle d^{3}\mathbf {k} =dk_{x}\,dk_{y}\,dk_{z}}$- элемент дифференциального объема в k-Космос, а интегралы берутся по всем ${\displaystyle \mathbf {k} }$-Космос. Волновая функция импульса ${\displaystyle \Phi (\mathbf {k} )}$ возникает при подынтегральном выражении, поскольку пространственные волновые функции положения и импульса являются преобразованиями Фурье друг друга.

Соответствие отношениям де Бройля

Сводная диаграмма величин, связанных с волновой функцией, использованная в гипотезе Де Бройля и развитии уравнения Шредингера.^[32]

Гипотеза квантов света Эйнштейна (1905) утверждает, что энергия E кванта света или фотона пропорциональна его частота ${\displaystyle \nu }$ (или угловая частота, ${\displaystyle \omega =2\pi \nu }$)

${\displaystyle E=h\nu =\hbar \omega \,\!}$

Точно так же Гипотеза де Бройля (1924) утверждает, что любая частица может быть связана с волной и что импульс ${\displaystyle p}$ частицы обратно пропорционально длина волны ${\displaystyle \lambda }$ такой волны (или пропорциональной волновое число, ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$) в одном измерении:

${\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k\;,}$

в то время как в трех измерениях длина волны λ связано с величиной волновой вектор k:

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,\quad |\mathbf {k} |={\frac {2\pi }{\lambda }}\,.}$

Соотношения Планка – Эйнштейна и де Бройля проливают свет на глубокую связь между энергией со временем и пространством с импульсом и выражают дуальность волна-частица. На практике, натуральные единицы в составе ${\displaystyle \hbar =1}$ используются, как де Бройль уравнения сократить до идентичности: позволяет взаимозаменяемо использовать импульс, волновое число, энергию и частоту, чтобы предотвратить дублирование величин и уменьшить количество измерений связанных величин. Для ознакомления в этой статье все еще используются единицы СИ.

Проницательность Шредингера,^{[нужна цитата ]} в конце 1925 г. фаза из плоская волна как сложный фазовый фактор используя эти отношения:

${\displaystyle \Psi =Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$

и понять, что первый заказ частные производные относительно пространства были

${\displaystyle \nabla \Psi ={\dfrac {i}{\hbar }}\mathbf {p} Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }={\dfrac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \Psi .}$

Взяв частные производные по времени, получаем

${\displaystyle {\dfrac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\dfrac {iE}{\hbar }}Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }=-{\dfrac {iE}{\hbar }}\Psi .}$

Другой постулат квантовой механики состоит в том, что все наблюдаемые представлены линейный Эрмитовы операторы которые действуют на волновую функцию, а собственные значения оператора - это значения, которые принимает наблюдаемая. Предыдущие производные согласуются с оператор энергии (или оператор Гамильтона), соответствующий производной по времени,

${\displaystyle {\hat {E}}\Psi =i\hbar {\dfrac {\partial }{\partial t}}\Psi =E\Psi }$

где E энергия собственные значения, а оператор импульса, соответствующие пространственным производным ( градиент ${\displaystyle \nabla }$),

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}\Psi =-i\hbar \nabla \Psi =\mathbf {p} \Psi }$

где п - вектор собственных значений импульса. В приведенном выше примере "головные уборы " ( ˆ ) указывают, что эти наблюдаемые являются операторами, а не просто обычными числами или векторами. Операторы энергии и импульса: дифференциальные операторы, а оператор потенциальной энергии ${\displaystyle V}$ это просто мультипликативный фактор.

Подставляя операторы энергии и импульса в классическое уравнение сохранения энергии, получаем оператор:

${\displaystyle E={\dfrac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }{2m}}+V\quad \rightarrow \quad {\hat {E}}={\dfrac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V}$

поэтому в терминах производных по времени и пространству, действуя этим оператором на волновую функцию Ψ немедленно привел Шредингера к его уравнению:^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle i\hbar {\dfrac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi }$

Двойственность волна-частица может быть оценена из этих уравнений следующим образом. Кинетическая энергия Т связано с квадратом количества движения п. По мере увеличения импульса частицы кинетическая энергия увеличивается быстрее, но поскольку волновое число |k| увеличивает длину волны λ уменьшается. В терминах обычных скалярных и векторных величин (не операторов):

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {p} \propto \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \propto T\propto {\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}}$

Кинетическая энергия также пропорциональна вторым пространственным производным, поэтому она также пропорциональна величине кривизна волны в терминах операторов:

${\displaystyle {\hat {T}}\Psi ={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \nabla \Psi \,\propto \,\nabla ^{2}\Psi \,.}$

По мере увеличения кривизны амплитуда волны более быстро меняется между положительной и отрицательной, а также укорачивает длину волны. Таким образом, обратная зависимость между импульсом и длиной волны согласуется с энергией частицы, и поэтому энергия частицы связана с волной, и все в той же математической формулировке.^[32]

Движение волн и частиц

Повышение уровня волновой пакет локализация, то есть частица имеет более локализованное положение.

В пределе час → 0, положение и импульс частицы становятся известны точно. Это эквивалентно классической частице.

Шредингер требовал, чтобы волновой пакет решение рядом с положением ${\displaystyle \mathbf {r} }$ с волновым вектором рядом ${\displaystyle \mathbf {k} }$ будет двигаться по траектории, определяемой классической механикой, за время, достаточно короткое, чтобы разброс в ${\displaystyle \mathbf {k} }$ (и, следовательно, по скорости), чтобы существенно не увеличивать разброс в р. Поскольку для данного спреда в k, разброс скорости пропорционален постоянной Планка ${\displaystyle \hbar }$, иногда говорят, что в пределе ${\displaystyle \hbar }$ стремится к нулю, уравнения классической механики восстанавливаются из квантовой механики.^[36] Требуется большая осторожность при выборе этого лимита и в каких случаях.

Предельная короткая длина волны эквивалентна ${\displaystyle \hbar }$ стремится к нулю, поскольку это предельный случай увеличения локализации волнового пакета до определенного положения частицы (см. изображения справа). С использованием Принцип неопределенности Гейзенберга для позиции и импульса продукты неопределенности в позиции и импульсе становятся равными нулю, поскольку ${\displaystyle \hbar \longrightarrow 0}$:

${\displaystyle \sigma (x)\sigma (p_{x})\geqslant {\frac {\hbar }{2}}\quad \rightarrow \quad \sigma (x)\sigma (p_{x})\geqslant 0\,\!}$

где σ обозначает (среднеквадратическое значение) погрешность измерения в Икс и п_Икс (и аналогично для у и z Направления), который подразумевает, что положение и импульс могут быть известны только с произвольной точностью в этом пределе.

Один простой способ сравнить классическую механику с квантовой - рассмотреть эволюцию во времени ожидается положение и ожидается импульс, который затем можно сравнить с эволюцией во времени обычного положения и импульса в классической механике. Значения квантового ожидания удовлетворяют Теорема Эренфеста. Для одномерной квантовой частицы, движущейся в потенциале ${\displaystyle V}$, теорема Эренфеста гласит^[37]

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(X)\right\rangle .}$

Хотя первое из этих уравнений согласуется с классическим поведением, второе - нет: если пара ${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$ если бы он удовлетворял второму закону Ньютона, правая часть второго уравнения должна была бы быть

${\displaystyle -V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$,

что обычно не то же самое, что ${\displaystyle -\left\langle V'(X)\right\rangle }$. Однако в случае квантового гармонического осциллятора ${\displaystyle V'}$ является линейным, и это различие исчезает, так что в этом очень частном случае ожидаемое положение и ожидаемый импульс точно следуют классическим траекториям.

Для общих систем лучшее, на что мы можем надеяться, - это то, что ожидаемая позиция и импульс будут примерно следуем классическим траекториям. Если волновая функция сильно сконцентрирована вокруг точки ${\displaystyle x_{0}}$, тогда ${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$ и ${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$ будет почти то же самое, так как оба будут примерно равны ${\displaystyle V'(x_{0})}$. В этом случае ожидаемое положение и ожидаемый импульс будут оставаться очень близкими к классическим траекториям, по крайней мере, до тех пор, пока волновая функция остается сильно локализованной по положению.^[38] Когда постоянная Планка мала, возможно состояние, которое хорошо локализовано в и то и другое положение и импульс. Небольшая неопределенность в импульсе гарантирует, что частица остается хорошо локализованы в позиции в течение длительного времени, так что ожидаемые положение и импульс продолжают точно отслеживать классические траектории.

Уравнение Шредингера в общем виде

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\hat {H}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)\,\!}$

тесно связан с Уравнение Гамильтона – Якоби (HJE)

${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}S(q_{i},t)=H\left(q_{i},{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}},t\right)\,\!}$

где ${\displaystyle S}$ классический действие и ${\displaystyle H}$ это Гамильтонова функция (не оператор). Здесь обобщенные координаты ${\displaystyle q_{i}}$ для ${\displaystyle i=1,2,3}$ (используется в контексте HJE) может быть установлен в положение в декартовых координатах как ${\displaystyle \mathbf {r} =(q_{1},q_{2},q_{3})=(x,y,z)}$.^[36]

Подстановка

${\displaystyle \Psi ={\sqrt {\rho (\mathbf {r} ,t)}}e^{iS(\mathbf {r} ,t)/\hbar }\,\!}$

где ${\displaystyle \rho }$ - плотность вероятности, в уравнение Шредингера и затем переходя к пределу ${\displaystyle \hbar \longrightarrow 0}$ в полученное уравнение дают уравнение Гамильтона – Якоби.

Последствия следующие:

• Движение частицы, описываемое (коротковолновым) волновым пакетным решением уравнения Шредингера, также описывается уравнением движения Гамильтона – Якоби.
• Уравнение Шредингера включает волновую функцию, поэтому его решение волнового пакета подразумевает, что положение (квантовой) частицы нечетко распределено по волновым фронтам. Напротив, уравнение Гамильтона – Якоби применяется к (классической) частице с определенным положением и импульсом, вместо этого положение и импульс в любой момент времени (траектория) являются детерминированными и могут быть известны одновременно.

Нерелятивистская квантовая механика

Квантовая механика частиц без учета эффектов специальная теория относительности, например частицы, распространяющиеся со скоростью намного меньше свет, известен как нерелятивистская квантовая механика. Ниже приведены несколько форм уравнения Шредингера в этом контексте для различных ситуаций: независимость от времени и зависимость, одно и три пространственных измерения, а также одно и N частицы.

На самом деле частицы, составляющие систему, не имеют числовых обозначений, используемых в теории. Язык математики заставляет нас так или иначе маркировать положение частиц, иначе возникла бы путаница между символами, представляющими, какие переменные относятся к какой частице.^[34]

Не зависящий от времени

Если гамильтониан не является явной функцией времени, уравнение имеет вид отделяемый в произведение пространственной и временной частей. В общем случае волновая функция имеет вид:

${\displaystyle \Psi ({\text{space coords}},t)=\psi ({\text{space coords}})\tau (t)\,.}$

где ψ(космические координаты) является функцией всех пространственных координат частицы (ей), составляющих только систему, и τ(т) зависит только от времени.

Замена на ψ в уравнение Шредингера для соответствующего числа частиц в соответствующем числе измерений, решая разделение переменных следует, общее решение нестационарного уравнения имеет вид:^[20]

${\displaystyle \Psi ({\text{space coords}},t)=\psi ({\text{space coords}})e^{-i{Et/\hbar }}\,.}$

Поскольку фазовый коэффициент, зависящий от времени, всегда один и тот же, для задач, не зависящих от времени, необходимо решать только пространственную часть. Дополнительно оператор энергии Ê = я∂/∂т всегда можно заменить собственным значением энергии E, таким образом, не зависящее от времени уравнение Шредингера является собственное значение уравнение для оператора Гамильтона:^[5]:143ff

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$

Это верно для любого количества частиц в любом количестве измерений (в не зависящем от времени потенциале). Этот случай описывает стоячая волна решения нестационарного уравнения, которые представляют собой состояния с определенной энергией (вместо распределения вероятностей различных энергий). В физике эти стоячие волны называются "стационарные состояния " или "собственные состояния энергии "; в химии они называются"атомные орбитали " или "молекулярные орбитали ". Суперпозиции собственных состояний энергии изменяют свои свойства в соответствии с относительными фазами между уровнями энергии.

Собственные значения энергии из этого уравнения образуют дискретную спектр значений, поэтому математически энергия должна квантоваться. В частности, собственные состояния энергии образуют основу - любую волновую функцию можно записать как сумму по дискретным состояниям энергии или интеграл по состояниям с непрерывной энергией, или, в более общем смысле, как интеграл по мере. Это спектральная теорема в математике, а в пространстве конечных состояний это просто утверждение полноты собственных векторов Эрмитова матрица.

Одномерные примеры

Для частицы в одном измерении гамильтониан равен:

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V(x)\,,\quad {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}}$

и подставив это в общее уравнение Шредингера, получаем:

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)}$

Это единственный случай, когда уравнение Шредингера является обычный дифференциальное уравнение, а не частичный дифференциальное уравнение. Общие решения всегда имеют вид:

${\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)e^{-iEt/\hbar }\,.}$

Для N частиц в одном измерении, гамильтониан:

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {p}}_{n}^{2}}{2m_{n}}}+V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\,,\quad {\hat {p}}_{n}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$

где положение частицы п является Икс_п. Соответствующее уравнение Шредингера:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}\psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})+V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})=E\psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\,.}$

поэтому общие решения имеют вид:

${\displaystyle \Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\psi (x_{1},x_{2}\ldots ,x_{N})}$

Для невзаимодействующих различимых частиц^[39] потенциал системы влияет только на каждую частицу в отдельности, поэтому полная потенциальная энергия является суммой потенциальных энергий для каждой частицы:

${\displaystyle V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})=\sum _{n=1}^{N}V(x_{n})\,.}$

а волновую функцию можно записать как произведение волновых функций каждой частицы:

${\displaystyle \Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N},t)=e^{-i{Et/\hbar }}\prod _{n=1}^{N}\psi (x_{n})\,,}$

Для невзаимодействующих идентичные частицы, потенциал по-прежнему является суммой, но волновая функция немного сложнее - это сумма перестановок произведений отдельных волновых функций для учета обмена частицами. В общем случае для взаимодействующих частиц указанные выше разложения имеют вид не возможное.

Бесплатная частица

Без потенциала, V = 0, поэтому частица свободна и уравнение выглядит так:^[5]:151ff

${\displaystyle -E\psi ={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{d^{2}\psi \over dx^{2}}\,}$

который имеет колебательные решения для E > 0 (в C_п - произвольные константы):

${\displaystyle \psi _{E}(x)=C_{1}e^{i{\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,x}+C_{2}e^{-i{\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,x}\,}$

и экспоненциальные решения для E < 0

${\displaystyle \psi _{-|E|}(x)=C_{1}e^{{\sqrt {2m|E|/\hbar ^{2}}}\,x}+C_{2}e^{-{\sqrt {2m|E|/\hbar ^{2}}}\,x}.\,}$

Экспоненциально растущие решения имеют бесконечную норму и не являются физическими. Они не допускаются в конечном объеме с периодическими или фиксированными граничными условиями.

Смотрите также свободная частица и волновой пакет для более подробного обсуждения свободных частиц.

Постоянный потенциал

Для постоянного потенциала V = V₀решение является колебательным при E > V₀ и экспонента для E < V₀, соответствующие энергиям, которые разрешены или запрещены в классической механике. Колебательные решения имеют классически разрешенную энергию и соответствуют реальным классическим движениям, в то время как экспоненциальные решения имеют запрещенную энергию и описывают небольшое количество квантового утечки в классически запрещенную область из-за квантовое туннелирование. Если потенциал V₀ растет до бесконечности, движение классически ограничивается конечной областью. Если смотреть достаточно далеко, каждое решение сводится к экспоненте; условие, что экспонента убывает, ограничивает уровни энергии дискретным набором, называемым допустимыми энергиями.^[35]

Гармонический осциллятор

А гармонический осциллятор в классической механике (A – B) и квантовой механике (C – H). В (A – B) шар, прикрепленный к весна, колеблется вперед и назад. (C – H) - шесть решений уравнения Шредингера для этой ситуации. Горизонтальная ось - положение, вертикальная ось - действительная часть (синяя) или мнимая (красная) часть волновая функция. Стационарные состояния, или собственные состояния энергии, которые являются решениями не зависящего от времени уравнения Шредингера, показаны на C, D, E, F, но не на G или H.

Основная статья: Квантовый гармонический осциллятор

Уравнение Шредингера для этой ситуации имеет вид

${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi +{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi ,}$

где ${\displaystyle x}$ это смещение и ${\displaystyle \omega }$ угловая частота. Это пример квантово-механической системы, волновая функция которой может быть решена точно. Кроме того, его можно использовать для описания широкого спектра других систем, в том числе колеблющиеся атомы, молекулы,^[40] и атомы или ионы в решетках,^[41] и аппроксимация других потенциалов вблизи точек равновесия. Это также основа методов возмущений в квантовой механике.

Решения в позиционном пространстве:

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot {\mathcal {H}}_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),}$

где ${\displaystyle n\in \{0,1,2,\ldots \}}$, а функции ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$ являются Полиномы Эрмита порядка ${\displaystyle n}$. Набор решений может быть сгенерирован

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\right)^{n}\left(x-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{\frac {-m\omega x^{2}}{2\hbar }}.}$

Собственные значения:

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$

Дело ${\displaystyle n=0}$ называется основное состояние, его энергия называется энергия нулевой точки, а волновая функция - это Гауссовский.^[42]

Трехмерные примеры

Расширение от одного измерения до трех измерений является простым, все операторы положения и импульса заменяются их трехмерными выражениями, а частная производная по пространству заменяется на градиент оператор.

Гамильтониан для одной частицы в трех измерениях:

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V(\mathbf {r} )\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}}$

генерируя уравнение

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )}$

с решениями по стационарному состоянию вида

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar },}$

где положение частицы ${\displaystyle \mathbf {r} }$.

Для ${\displaystyle N}$ частиц в трех измерениях, гамильтониан

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {\mathbf {p} }}_{n}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}_{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}_{n}=-i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}_{n}}$

где положение частицы п является р_п а операторы градиента являются частными производными по координатам положения частицы. В декартовых координатах для частицы п, вектор положения р_п = (Икс_п, у_п, z_п) а градиент и Оператор лапласа соответственно:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}_{n}=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\,,\quad \nabla _{n}^{2}={\boldsymbol {\nabla }}_{n}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}_{n}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x_{n}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y_{n}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z_{n}}^{2}}}}$

Уравнение Шредингера:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=E\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}$

с решениями в стационарном состоянии:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\ \psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}$

Опять же, для невзаимодействующих различимых частиц потенциал представляет собой сумму потенциалов частиц

${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=\sum _{n=1}^{N}V(\mathbf {r} _{n})}$

а волновая функция - это произведение волновых функций частицы

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=e^{-i{Et/\hbar }}\prod _{n=1}^{N}\psi (\mathbf {r} _{n})\,.}$

Для невзаимодействующих одинаковых частиц потенциал является суммой, а волновая функция - суммой перестановок продуктов. Предыдущие два уравнения не применимы к взаимодействующим частицам.

Ниже приведены примеры, в которых известны точные решения. См. Основные статьи для получения дополнительной информации.

Атом водорода

Уравнение Шредингера для атом водорода (или водородоподобный атом)^[30][32]

${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi }$

где ${\displaystyle q}$ - заряд электрона, ${\displaystyle \mathbf {r} }$ - положение электрона относительно ядра, ${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$ - величина относительного положения, потенциальный член связан с Кулоновское взаимодействие, в которой ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ это диэлектрическая проницаемость свободного пространства и

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{q}m_{p}}{m_{q}+m_{p}}}}$

это 2-х корпусный уменьшенная масса водорода ядро (просто протон ) массы ${\displaystyle m_{p}}$ и электрон массы ${\displaystyle m_{q}}$. Отрицательный знак возникает в потенциальном члене, поскольку протон и электрон заряжены противоположно. Приведенная масса вместо массы электрона используется, поскольку электрон и протон вместе вращаются вокруг общего центра масс и представляют собой проблему двух тел, которую необходимо решить. Движение электрона представляет здесь принципиальный интерес, поэтому эквивалентная задача одного тела - это движение электрона с использованием приведенной массы.

Уравнение Шредингера для атома водорода может быть решено путем разделения переменных.^[43] В таком случае, сферические полярные координаты самые удобные. Таким образом,

${\displaystyle \psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi ),}$

где р являются радиальными функциями и ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$ находятся сферические гармоники степени ${\displaystyle \ell }$ и заказать ${\displaystyle m}$. Это единственный атом, для которого уравнение Шредингера решено точно. Многоэлектронные атомы требуют приближенных методов. Семейство решений:^[44]

${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$

где:

• ${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{q}q^{2}}}}$ это Радиус Бора,
• ${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )}$ являются обобщенные полиномы Лагерра степени ${\displaystyle n-\ell -1}$.
• ${\displaystyle n,\ell ,m}$ являются главный, азимутальный, и магнитный квантовые числа соответственно, которые принимают значения:

${\displaystyle {\begin{aligned}n&=1,2,3,\dots \\\ell &=0,1,2,\dots ,n-1\\m&=-\ell ,\dots ,\ell \\\end{aligned}}}$

В обобщенные полиномы Лагерра по-разному определяются разными авторами. Смотрите основную статью о них и об атоме водорода.

Двухэлектронные атомы или ионы

Уравнение для любой двухэлектронной системы, например нейтральной атом гелия (Он, ${\displaystyle Z=2}$), отрицательный водород ион (ЧАС⁻, ${\displaystyle Z=1}$) или положительный литий ион (Li⁺, ${\displaystyle Z=3}$) является:^[33]

${\displaystyle E\psi =-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{2\mu }}\left(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2}\right)+{\frac {1}{M}}\nabla _{1}\cdot \nabla _{2}\right]\psi +{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{r_{12}}}-Z\left({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}\right)\right]\psi }$

где р₁ - относительное положение одного электрона (р₁ = |р₁| его относительная величина), р₂ - относительное положение другого электрона (р₂ = |р₂| величина), р₁₂ = |р₁₂| величина расстояния между ними, определяемая

${\displaystyle |\mathbf {r} _{12}|=|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|\,\!}$

μ снова является приведенной массой электрона двух тел по отношению к ядру массы M, так что на этот раз

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{e}M}{m_{e}+M}}\,\!}$

и Z это атомный номер для элемента (не квантовое число ).

Поперечный член двух лапласианов

${\displaystyle {\frac {1}{M}}{\boldsymbol {\nabla }}_{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}_{2}\,\!}$

известен как член массовой поляризации, возникающий из-за движения атомные ядра. Волновая функция является функцией двух положений электрона:

${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}).}$

Для этого уравнения не существует решения в закрытой форме.

Зависит от времени

Это уравнение движения для квантового состояния. В самом общем виде записывается:^[5]:143ff

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi .}$

а решение, волновая функция, является функцией всех координат частиц системы и времени. Ниже приведены конкретные случаи.

Для одной частицы в одном измерении гамильтониан

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V(x,t)\,,\quad {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$

генерирует уравнение:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,t)+V(x,t)\Psi (x,t)}$

Для N частиц в одном измерении, гамильтониан:

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {p}}_{n}^{2}}{2m_{n}}}+V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N},t)\,,\quad {\hat {p}}_{n}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$

где положение частицы п является Икс_п, генерируя уравнение:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N},t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N},t)+V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N},t)\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N},t)\,.}$

Для одной частицы в трех измерениях гамильтониан равен:

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla }$

генерируя уравнение:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)}$

Для N частиц в трех измерениях, гамильтониан:

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {\mathbf {p} }}_{n}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}_{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}_{n}=-i\hbar \nabla _{n}}$

где положение частицы п является р_п, генерируя уравнение:^[5]:141

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)}$

Это последнее уравнение имеет очень большую размерность, поэтому решения не так просто визуализировать.

Методы решения

Общие техники: Разделение переменных Теория возмущений В вариационный метод Квантовый Монте-Карло методы Функциональная теория плотности В Приближение ВКБ и полуклассическое расширение

Способы для особых случаев: Список квантово-механических систем с аналитическими решениями Метод Хартри – Фока и пост – Хартри – Фока методы

Свойства

Уравнение Шредингера обладает следующими свойствами: некоторые полезны, но есть недостатки. В конечном итоге эти свойства возникают из используемого гамильтониана и решений уравнения.

Линейность

Смотрите также: Линейное дифференциальное уравнение

В приведенном выше развитии уравнение Шредингера было сделано линейным для общности, хотя это имеет и другие последствия. Если две волновые функции ψ₁ и ψ₂ решения, то и любые линейная комбинация из двух:

${\displaystyle \displaystyle \psi =a\psi _{1}+b\psi _{2}}$

где а и б - любые комплексные числа (сумма может быть расширена для любого количества волновых функций). Это свойство позволяет суперпозиции квантовых состояний быть решениями уравнения Шредингера. В более общем плане, общее решение уравнения Шредингера может быть найдено путем взятия взвешенной суммы по всем достижимым решениям с одним состоянием. Например, рассмотрим волновую функцию Ψ(Икс, т) таким образом, что волновая функция является продуктом двух функций: одной независимой от времени и одной зависимой от времени. Если состояния с определенной энергией, найденные с помощью не зависящего от времени уравнения Шредингера, задаются выражением ψ_E(Икс) с амплитудой А_п а фазовый коэффициент, зависящий от времени, равен

${\displaystyle e^{{-iE_{n}t}/\hbar },}$

то допустимое общее решение

${\displaystyle \displaystyle \Psi (x,t)=\sum \limits _{n}A_{n}\psi _{E_{n}}(x)e^{{-iE_{n}t}/\hbar }.}$

Кроме того, возможность масштабировать решения позволяет решать волновую функцию без ее предварительной нормализации. Если у вас есть набор нормализованных решений ψ_п, тогда

${\displaystyle \displaystyle \Psi =\sum \limits _{n}A_{n}\psi _{n}}$

можно нормализовать, убедившись, что

${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n}|A_{n}|^{2}=1.}$

Это намного удобнее, чем проверять, что

${\displaystyle \displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|\Psi (x)|^{2}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\Psi (x)\Psi ^{*}(x)\,dx=1.}$

Уравнение Шредингера в пространстве импульсов

Уравнение Шредингера ${\displaystyle i\hbar \partial _{t}|\psi \rangle ={\hat {H}}|\psi \rangle }$ часто представляется в виде позиции ${\displaystyle i\hbar \partial _{t}\psi (x)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (x)+V(x)\psi (x)}$ (с участием ${\displaystyle \langle x|\psi \rangle \equiv \psi (x)}$). Но как векторное операторное уравнение имеет допустимое представление в любом произвольном полном базисе кетов в Гильбертово пространство. Например, в базисе импульсного пространства уравнение имеет вид

${\displaystyle \displaystyle i\hbar \partial _{t}f(p)={\frac {p^{2}}{2m}}f(p)+({\tilde {V}}*f)(p)}$

где ${\displaystyle |p\rangle }$ состояние плоской волны с определенным импульсом ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle \langle p|\psi \rangle \equiv f(p)=\int \psi (x)e^{-ipx}dx}$, ${\displaystyle {\tilde {V}}}$ - преобразование Фурье ${\displaystyle V}$, и ${\displaystyle *}$ обозначает свертка.

В одномерном примере без потенциала ${\displaystyle {\tilde {V}}=0}$ (или аналогично ${\displaystyle {\tilde {V}}(k)\propto \delta (k)}$ в случае постоянной фонового потенциала во всем пространстве) каждое стационарное состояние энергии ${\displaystyle \hbar \omega =q^{2}/2m}$ имеет форму

${\displaystyle f_{q}(p)=(c_{+}\delta (p-q)+c_{-}\delta (p+q))e^{-i\omega t}}$

для произвольных комплексных коэффициентов ${\displaystyle c_{\pm }}$. Такая волновая функция, как и ожидалось в свободном пространстве, представляет собой суперпозицию плоских волн, движущихся вправо и влево с импульсами ${\displaystyle \pm q}$; при измерении импульса состояние коллапсирует до состояния определенного импульса ${\displaystyle \pm q}$ с вероятностью ${\displaystyle \propto |c_{\pm }|^{2}}$.

Версия уравнения Шредингера импульсного пространства часто используется в физика твердого тела, так как Теорема Блоха обеспечивает периодические пары потенциалов кристаллической решетки ${\displaystyle f(p)}$ с участием ${\displaystyle f(p+K)}$ только для дискретных обратная решетка векторов ${\displaystyle K}$. Это позволяет удобно решать уравнение Шредингера импульсного пространства на каждом точка в Зона Бриллюэна независимо от других точек в зоне Бриллюэна.

Собственные состояния реальной энергии

Для не зависящего от времени уравнения следует дополнительная характеристика линейности: если две волновые функции ψ₁ и ψ₂ являются решениями не зависящего от времени уравнения с той же энергией E, то и любая линейная комбинация:

${\displaystyle {\hat {H}}(a\psi _{1}+b\psi _{2})=a{\hat {H}}\psi _{1}+b{\hat {H}}\psi _{2}=E(a\psi _{1}+b\psi _{2}).}$

Два разных решения с одинаковой энергией называются выродиться.^[35]

В произвольном потенциале, если волновая функция ψ решает не зависящее от времени уравнение, так же как и его комплексно сопряженный, обозначенный ψ*. Принимая линейные комбинации, действительная и мнимая части ψ каждое решение. Если нет вырождения, они могут отличаться только множителем.

В уравнении, зависящем от времени, комплексно сопряженные волны движутся в противоположных направлениях. Если Ψ(Икс, т) это одно решение, то тоже Ψ*(Икс, –т). Симметрия комплексного сопряжения называется симметрия обращения времени.

Производные пространства и времени

Непрерывность волновой функции и ее первой пространственной производной (в Икс направление у и z координаты не показаны), иногда т.

Уравнение Шредингера первого порядка по времени и второго по пространству, которое описывает временную эволюцию квантового состояния (что означает, что оно определяет будущую амплитуду из настоящего).

Явно для одной частицы в 3-х мерных декартовых координатах уравнение имеет вид

${\displaystyle i\hbar {\partial \Psi \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}\left({\partial ^{2}\Psi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\Psi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\Psi \over \partial z^{2}}\right)+V(x,y,z,t)\Psi .\,\!}$

Первая частная производная подразумевает начальное значение (при т = 0) волновой функции

${\displaystyle \Psi (x,y,z,0)\,\!}$

- произвольная постоянная. Точно так же из производных второго порядка по пространству следует волновая функция и его пространственные производные первого порядка

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Psi (x_{b},y_{b},z_{b},t)\\&{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x_{b},y_{b},z_{b},t)\quad {\frac {\partial }{\partial y}}\Psi (x_{b},y_{b},z_{b},t)\quad {\frac {\partial }{\partial z}}\Psi (x_{b},y_{b},z_{b},t)\end{aligned}}\,\!}$

- произвольные постоянные в данном наборе точек, где Икс_б, у_б, z_б представляют собой набор точек, описывающих границу б (производные оцениваются на границах). Обычно есть одна или две границы, например ступенчатый потенциал и частица в коробке соответственно.

Поскольку производные первого порядка произвольны, волновая функция может быть непрерывно дифференцируемая функция пространства, поскольку на любой границе можно согласовать градиент волновой функции.

Напротив, волновые уравнения в физике обычно второй порядок во времени, примечательны семейство классических волновые уравнения и квантовый Уравнение Клейна – Гордона.

Локальное сохранение вероятности

Основные статьи: Вероятность тока и Уравнение неразрывности

Уравнение Шредингера согласуется с сохранение вероятности. Умножение уравнения Шредингера справа на комплексно сопряженную волновую функцию и умножение волновой функции слева от комплексно сопряженного уравнения Шредингера и вычитание дает уравнение неразрывности для вероятности:^[45]

${\displaystyle {\partial \over \partial t}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$

где

${\displaystyle \rho =|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)\,\!}$

это плотность вероятности (вероятность на единицу объема, * обозначает комплексно сопряженный ), и

${\displaystyle \mathbf {j} ={1 \over 2m}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)\,\!}$

это ток вероятности (расход на единицу площади).

Следовательно, предсказания из уравнения Шредингера не нарушают сохранение вероятности.

Позитивная энергия

Если потенциал ограничен снизу, что означает минимальное значение потенциальной энергии, собственные функции уравнения Шредингера имеют энергию, которая также ограничена снизу. Легче всего это увидеть, если использовать вариационный принцип, следующим образом. (См. Также ниже).

Для любого линейного оператора Â ограниченный снизу собственный вектор с наименьшим собственным значением - это вектор ψ что минимизирует количество

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle }$

в общем и целом ψ которые нормализованный.^[45] Таким образом, наименьшее собственное значение выражается через вариационный принцип. Для гамильтониана Шредингера ЧАС ограниченное снизу наименьшее собственное значение называется энергией основного состояния. Эта энергия является минимальным значением

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {H}}|\psi \rangle =\int \psi ^{*}(\mathbf {r} )\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )\right]d^{3}\mathbf {r} =\int \left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}|\nabla \psi |^{2}+V(\mathbf {r} )|\psi |^{2}\right]d^{3}\mathbf {r} =\langle {\hat {H}}\rangle }$

(с помощью интеграция по частям ). Из-за комплексный модуль из ψ² (что положительно определено), правая часть всегда больше, чем наименьшее значение V(Икс). В частности, энергия основного состояния положительна, когда V(Икс) везде положительный.

Для потенциалов, которые ограничены снизу и не бесконечны в области, существует основное состояние, которое минимизирует интеграл, указанный выше. Эта волновая функция с самой низкой энергией является реальной и положительно определенной - это означает, что волновая функция может увеличиваться и уменьшаться, но является положительной для всех положений. Это физически не может быть отрицательным: если бы это было так, сглаживание изгибов при смене знака (для минимизации волновой функции) быстро уменьшает градиентный вклад в интеграл и, следовательно, кинетическую энергию, в то время как потенциальная энергия изменяется линейно и менее быстро. Кинетическая и потенциальная энергия изменяются с разной скоростью, поэтому общая энергия не постоянна, чего не может быть (сохранение). Решения согласуются с уравнением Шредингера, если эта волновая функция положительно определена.

Отсутствие смены знака также показывает, что основное состояние невырождено, так как если бы было два основных состояния с общей энергией E, не пропорциональные друг другу, будет линейная комбинация двух, которая также будет основным состоянием, приводящим к нулевому решению.

Аналитическое продолжение диффузии

Смотрите также: Формулировка интеграла по путям (уравнение Шредингера)

Указанные свойства (положительная определенность энергии) позволяют аналитическое продолжение уравнения Шредингера, которое можно идентифицировать как случайный процесс. Это можно интерпретировать как Принцип Гюйгенса – Френеля применительно к волнам Де Бройля; расширяющиеся волновые фронты представляют собой диффузные амплитуды вероятности.^[45] Для свободной частицы (не подверженной потенциалу) в случайная прогулка, заменяя τ = Это в зависящее от времени уравнение Шредингера дает:^[46]

${\displaystyle {\partial \over \partial \tau }X(\mathbf {r} ,\tau )={\frac {\hbar }{2m}}\nabla ^{2}X(\mathbf {r} ,\tau )\,,\quad X(\mathbf {r} ,\tau )=\Psi (\mathbf {r} ,\tau /i)}$

который имеет ту же форму, что и уравнение диффузии, с коэффициентом диффузии час/2м.

Регулярность

На пространстве ${\displaystyle L^{2}}$ квадратично интегрируемых плотностей полугруппа Шредингера ${\displaystyle e^{it{\hat {H}}}}$ является унитарной эволюцией и поэтому сюръективно. Потоки удовлетворяют уравнению Шредингера ${\displaystyle i\partial _{t}u={\hat {H}}u}$, где производная берется в распространение смысл. Однако, поскольку ${\displaystyle {\hat {H}}}$ для большинства физически разумных гамильтонианов (например, Оператор Лапласа, возможно модифицированный потенциалом) неограничен в ${\displaystyle L^{2}}$, это показывает, что полугрупповые потоки вообще лишены соболевской регулярности. Вместо этого решения уравнения Шредингера удовлетворяют Оценка Стрихарца.

Релятивистская квантовая механика

Релятивистская квантовая механика получается, где квантовая механика и специальная теория относительности одновременно применяются. В общем, хочется построить релятивистские волновые уравнения из релятивистского соотношение энергия-импульс

${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}\,,}$

вместо классических уравнений энергии. В Уравнение Клейна – Гордона и Уравнение Дирака два таких уравнения. Уравнение Клейна – Гордона,

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.}$,

было первым таким уравнением, которое было получено еще до нерелятивистского, и применимо к массивным бесспиновым частицам. Уравнение Дирака возникло из извлечения «квадратного корня» из уравнения Клейна – Гордона путем факторизации всего релятивистского волнового оператора в произведение двух операторов - один из них является оператором для всего уравнения Дирака. Полное уравнение Дирака:

${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\left(\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\right)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$

Общая форма уравнения Шредингера остается верной в теории относительности, но гамильтониан менее очевиден. Например, гамильтониан Дирака для частицы массы м и электрический заряд q в электромагнитном поле (описывается электромагнитные потенциалы φ и А) является:

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{Dirac}}=\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot \left({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \right)+mc^{2}+\gamma ^{0}q\varphi \right]\,,}$

в которой γ = (γ¹, γ², γ³) и γ⁰ Дирак гамма-матрицы связанный со спином частицы. Уравнение Дирака верно для всех спин-¹⁄₂ частиц, а решениями уравнения являются 4-х компонентный спинорные поля с двумя компонентами, соответствующими частице, и двумя другими для античастица.

Для уравнения Клейна – Гордона общая форма уравнения Шредингера неудобна для использования, и на практике гамильтониан не выражается аналогично гамильтониану Дирака. Уравнения для релятивистских квантовых полей могут быть получены другими способами, например, исходя из Плотность лагранжиана и используя Уравнения Эйлера – Лагранжа. для полей или используйте теория представлений группы Лоренца в котором определенные представления могут быть использованы для фиксации уравнения для свободной частицы данного спина (и массы).

В общем, гамильтониан, который нужно подставить в общее уравнение Шредингера, является функцией не только операторов положения и импульса (и, возможно, времени), но также и спиновых матриц. Кроме того, решения релятивистского волнового уравнения для массивной частицы со спином s, являются комплексными 2(2s + 1)-составная часть спинорные поля.

Квантовая теория поля

Общее уравнение также справедливо и используется в квантовая теория поля, как в релятивистских, так и в нерелятивистских ситуациях. Однако решение ψ больше не интерпретируется как «волна», но должен интерпретироваться как оператор, действующий на состояния, существующие в Пространство фока.^{[нужна цитата ]}

Форма первого заказа

Уравнение Шредингера также может быть получено из формы первого порядка^[47][48][49] аналогично тому, как Уравнение Клейна – Гордона может быть получено из Уравнение Дирака. В 1D уравнение первого порядка имеет вид

$${\displaystyle {\begin{aligned}-i\partial _{z}\psi =(i\eta \partial _{t}+\eta ^{\dagger }m)\psi \end{aligned}}}$$

Это уравнение позволяет учесть спин в нерелятивистской квантовой механике. Возведение приведенного выше уравнения в квадрат дает уравнение Шредингера в 1D. Матрицы ${\displaystyle \eta }$ подчиняться следующим свойствам

$${\displaystyle {\begin{aligned}\eta ^{2}=0\\(\eta ^{\dagger })^{2}=0\\\left\lbrace \eta ,\eta ^{\dagger }\right\rbrace =2I\end{aligned}}}$$

Трехмерная версия уравнения дается формулой

$${\displaystyle {\begin{aligned}-i\gamma _{i}\partial _{i}\psi =(i\eta \partial _{t}+\eta ^{\dagger }m)\psi \end{aligned}}}$$

Вот ${\displaystyle \eta =(\gamma _{0}+i\gamma _{5})/{\sqrt {2}}}$ это ${\displaystyle 4\times 4}$ нильпотентная матрица и ${\displaystyle \gamma _{i}}$ Дирак гамма-матрицы (${\displaystyle i=1,2,3}$). Уравнение Шредингера в 3D может быть получено возведением в квадрат приведенного выше уравнения. В нерелятивистском пределе ${\displaystyle E-m\simeq E'}$ и ${\displaystyle E+m\simeq 2m}$, указанное выше уравнение может быть получено из уравнения Дирака.^[48]

Смотрите также

• Постоянная Планка
• Уравнение Экхауза
• Дробное уравнение Шредингера
• Список квантово-механических систем с аналитическими решениями
• Логарифмическое уравнение Шредингера
• Нелинейное уравнение Шредингера.
• Квантовый ковер
• Квантовое возрождение
• Связь между уравнением Шредингера и формулировкой интеграла по путям квантовой механики
• Поле Шредингера
• Картина Шредингера
• Кот Шредингера
• Теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера

Заметки

1. Хотя это самая известная форма второго закона Ньютона, она не является самой общей и действительна только для объектов постоянной массы. Второй закон Ньютона гласит ${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d}{dt}}(m\mathbf {v} )}$, чистая сила, действующая на тело, равна полной производной по времени от полного количества движения этого тела, что эквивалентно данной форме, когда масса постоянна во времени.
2. Измерение действия - это энергия умноженный по времени, а не по энергии за время, что является измерением силы. Единицей действия СИ является джоуль-секунда, тогда как единицей мощности СИ является джоуль в секунду (ватт).
3. Для заряженной частицы, движущейся под действием магнитного поля, см. Уравнение Паули.
4. В химии стационарные состояния - это атомные и молекулярные орбитали.

использованная литература

1. Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN  978-0-13-111892-8
2. "Дудл физика Эрвина Шредингера в Google отмечает работу в области квантовой механики". Хранитель. 13 августа 2013 г.. Получено 25 августа 2013.
3. Шредингер, Э. (1926). «Волнообразная теория механики атомов и молекул» (PDF). Физический обзор. 28 (6): 1049–1070. Bibcode:1926ПхРв ... 28.1049С. Дои:10.1103 / PhysRev.28.1049. Архивировано из оригинал (PDF) 17 декабря 2008 г.
4. Лалоэ, Франк (2012), Действительно ли мы понимаем квантовую механику, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1-107-02501-1
5. Шанкар, Р. (1943). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Kluwer Academic / Plenum Publishers. ISBN  978-0-306-44790-7.
6. П. Р. Бункер; И. М. Миллс; Пер Дженсен (2019). «Постоянная Планка и ее единицы». J Quant Spectrosc Radiat Transfer. 237: 106594. Bibcode:2019JQSRT.23706594B. Дои:10.1016 / j.jqsrt.2019.106594.
7. П. Р. Бункер; Пер Дженсен (2020). "Постоянная действия Планка ${\displaystyle h}$_А". J Quant Spectrosc Radiat Transfer. 243: 106835. Дои:10.1016 / j.jqsrt.2020.106835.
8. «Уравнение Шредингера». Гиперфизика. Кафедра физики и астрономии, Государственный университет Джорджа.
9. Сакураи, Дж. Дж. (1995). Современная квантовая механика. Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. п. 68.
10. Нуредин Зеттили (17 февраля 2009 г.). Квантовая механика: концепции и приложения. Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-470-02678-6.
11. Баллентин, Лесли (1998), Квантовая механика: современное развитие, World Scientific Publishing Co., ISBN  978-9810241056
12. Шредингер, Эрвин (1995). Интерпретация квантовой механики: дублинские семинары (1949–1955) и другие неопубликованные очерки. Ox Bow Press. ISBN  9781881987086.
13. Дэвид Дойч, Начало бесконечности, стр. 310
14. Барретт, Джеффри А. (1999). Квантовая механика разума и миров. Oxford University Press. п. 63. ISBN  9780191583254.
15. де Бройль, Л. (1925). "Исследования по теории квантов" [О теории кванты] (PDF). Annales de Physique. 10 (3): 22–128. Bibcode:1925АнФ ... 10 ... 22Д. Дои:10.1051 / anphys / 192510030022. Архивировано из оригинал (PDF) 9 мая 2009 г. .
16. Weissman, M.B .; В. В. Илиев; И. Гутман (2008). «Вспомнил пионер: биографические заметки об Артуре Константе Ланне». Связь по математике и компьютерной химии. 59 (3): 687–708.
17. Сэмюэл И. Вайсман; Майкл Вайсман (1997). "Обман Алана Сокала и теория квантовой механики А. Луна". Физика сегодня. 50, 6 (6): 15. Bibcode:1997ФТ .... 50ф..15Вт. Дои:10.1063/1.881789.
18. Камен, Мартин Д. (1985). Сияющая наука, темная политика. Беркли и Лос-Анджелес, Калифорния: Калифорнийский университет Press. стр.29–32. ISBN  978-0-520-04929-1.
19. Шредингер, Э. (1984). Сборник статей. Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN  978-3-7001-0573-2. См. Введение к первой статье 1926 г.
20. Энциклопедия физики (2-е издание), Р. Г. Лернер, Г. Л. Тригг, издатели VHC, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) ISBN  0-89573-752-3
21. Зоммерфельд, А. (1919). Atombau und Spektrallinien. Брауншвейг: Фридрих Vieweg und Sohn. ISBN  978-3-87144-484-5.
22. Для английского источника см. Хаар, Т. (1967). «Старая квантовая теория».
23. Терези, Дик (7 января 1990). "ОДИН РЕЙНДЖЕР КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (опубликовано в 1990 г.)". Нью-Йорк Таймс. ISSN  0362-4331. Получено 13 октября 2020.
24. Эрвин Шредингер (1982). Сборник статей по волновой механике: третье издание. American Mathematical Soc. ISBN  978-0-8218-3524-1.
25. Шредингер, Э. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem; фон Эрвин Шредингер". Annalen der Physik. 384 (4): 361–377. Bibcode:1926АнП ... 384..361С. Дои:10.1002 / andp.19263840404.
26. Эрвин Шредингер, "Современная ситуация в квантовой механике", стр. 9 из 22. Английскую версию перевел Джон Д. Триммер. Перевод впервые появился в Труды Американского философского общества, 124, 323–38.Позже он появился как Раздел I.11 Части I Квантовая теория и измерения Дж. А. Уиллер и У. Х. Зурек, редакторы, Princeton University Press, Нью-Джерси, 1983.
27. Эйнштейн, А .; и другие. «Письма по волновой механике: Шредингер – Планк – Эйнштейн – Лоренц».
28. Мур, У.Дж. (1992). Шредингер: жизнь и мысль. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-43767-7.
29. Ясно, что даже в последний год своей жизни, как показано в письме Максу Борну, Шредингер никогда не принимал копенгагенскую интерпретацию.^[28]:220
30. Молекулярная квантовая механика, части I и II: введение в квантовую химию (Том 1), П. У. Аткинс, Oxford University Press, 1977, ISBN  0-19-855129-0
31. Новая квантовая вселенная, Т. Эй, П. Уолтерс, Издательство Кембриджского университета, 2009 г., ISBN  978-0-521-56457-1
32. Quanta: Справочник концепций, P. W. Atkins, Oxford University Press, 1974, ISBN  0-19-855493-1
33. Физика атомов и молекул, Б. Х. Брансден, К. Дж. Йохейн, Лонгман, 1983 г., ISBN  0-582-44401-2
34. Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Эйсберг, John Wiley & Sons, 1985, ISBN  978-0-471-87373-0
35. Демистификация квантовой механики, Д. МакМахон, Макгроу Хилл (США), 2006 г., ISBN  0-07-145546-9
36. Аналитическая механика, Л. Н. Хэнд, Дж. Д. Финч, Cambridge University Press, 2008 г., ISBN  978-0-521-57572-0
37. Зал 2013 Раздел 3.7.5
38. Зал 2013 п. 78
39. Н. Зеттили (24 февраля 2009 г.). Квантовая механика: концепции и приложения (2-е изд.). п.458. ISBN  978-0-470-02679-3.
40. Физическая химия, П. У. Аткинс, Oxford University Press, 1978, ISBN  0-19-855148-7
41. Физика твердого тела (2-е издание), Дж. Р. Хук, Х. Э. Холл, Manchester Physics Series, John Wiley & Sons, 2010, ISBN  978-0-471-92804-1
42. Таунсенд, Джон С. (2012). «Глава 7: Одномерный гармонический осциллятор». Современный подход к квантовой механике. Книги университетских наук. С. 247–250, 254–5, 257, 272. ISBN  978-1-891389-78-8.
43. Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е издание), П. А. Типлер, Г. Моска, Фриман, 2008 г., ISBN  0-7167-8964-7
44. Дэвид Гриффитс (2008). Введение в элементарные частицы. Wiley-VCH. С. 162–. ISBN  978-3-527-40601-2. Получено 27 июн 2011.
45. Квантовая механика, Э. Аберс, изд. Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc., 2004 г., ISBN  978-0-13-146100-0
46. Баумер, Борис; Meerschaert, Mark M .; Набер, Марк (2010). «Стохастические модели релятивистской диффузии» (PDF). Физический обзор E. 82 (1 Пт 1): 011132. Bibcode:2010PhRvE..82a1132B. Дои:10.1103 / PhysRevE.82.011132. PMID  20866590.
47. Аджаиб, Мухаммад Адил (2015). «Фундаментальная форма уравнения Шредингера». Найденный. Phys. 45 (12): 1586–1598. arXiv:1502.04274. Bibcode:2015ФоФ ... 45.1586А. Дои:10.1007 / s10701-015-9944-z. S2CID  119117822.
48. Аджаиб, Мухаммад Адил (2016). «Нерелятивистский предел уравнения Дирака». Международный журнал квантовых основ.
49. Леви-Леблон, Ж.М. (1967). «Нерелятивистские частицы и волновые уравнения». Commun. Математика. Phys. 6 (4): 286–311. Bibcode:1967CMaPh ... 6..286L. Дои:10.1007 / BF01646020. S2CID  121990089.

дальнейшее чтение

• П. А. М. Дирак (1958). Принципы квантовой механики (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-198-51208-2.
• B.H. Брансден и К.Дж. Иоахейн (2000). Квантовая механика (2-е изд.). Prentice Hall PTR. ISBN  978-0-582-35691-7.
• Дэвид Дж. Гриффитс (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Бенджамин Каммингс. ISBN  978-0-13-124405-4.
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158
• Дэвид Холлидей (2007). Основы физики (8-е изд.). Вайли. ISBN  978-0-471-15950-6.
• Ричард Либофф (2002). Введение в квантовую механику (4-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN  978-0-8053-8714-8.
• Серуэй, Моисей и Мойер (2004). Современная физика (3-е изд.). Брукс Коул. ISBN  978-0-534-49340-0.
• Шредингер, Эрвин (декабрь 1926 г.). «Волнообразная теория механики атомов и молекул». Phys. Rev. 28 (6): 1049–1070. Bibcode:1926ПхРв ... 28.1049С. Дои:10.1103 / PhysRev.28.1049.
• Тешл, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шредингера. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4660-5.

внешние ссылки

• «Уравнение Шредингера», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Квантовая физика - учебник Бенджамина Кроуэлла с трактовкой не зависящего от времени уравнения Шредингера
• Линейное уравнение Шредингера. в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейное уравнение Шредингера. в EqWorld: мир математических уравнений.
• Уравнение Шредингера в одном измерении так же хорошо как каталог книги.
• Все о трехмерном уравнении Шредингера
• Математические аспекты уравнений Шредингера обсуждаются на Wiki по дисперсионным PDE.
• Web-Schrödinger: Интерактивное решение нестационарного 2D стационарного уравнения Шредингера
• Альтернативное объяснение уравнения Шредингера
• Онлайн-программное обеспечениеЛаборатория периодического потенциала Решает не зависящее от времени уравнение Шредингера для произвольных периодических потенциалов.
• Что делать с волновой функцией?
• Молодой эксперимент с двойной щелью
• Решатель Шредингера в 1, 2 и 3D