Атом гелия - Helium atom

Эта статья о физике атомарного гелия. О других свойствах гелия см. Гелий.

Атом гелия

Гелий-4
Имена
Систематическое название ИЮПАК Гелий[1]
Идентификаторы
Количество CAS	7440-59-7 Y
3D модель (JSmol )	Интерактивное изображение
ЧЭБИ	ЧЕБИ: 33681 Y
ChemSpider	22423 Y
Номер ЕС	231-168-5
Ссылка на Гмелин	16294
КЕГГ	D04420 N
MeSH	Гелий
PubChem CID	23987
Номер RTECS	MH6520000
UNII	206GF3GB41 Y
Номер ООН	1046
ИнЧИ InChI = 1S / He Y Ключ: SWQJXJOGLNCZEY-UHFFFAOYSA-N Y
Улыбки [Он]
Характеристики
Химическая формула	Он
Молярная масса	4.002602 г · моль^−1
Внешность	Бесцветный газ
Точка кипения	-269 ° С (-452,20 ° F, 4,15 К)
Термохимия
Стандартный моляр энтропия (Sо298)	126,151-126,155 Дж К^−1 моль^−1
Фармакология
Код УВД	V03AN03 (ВОЗ)
Опасности
S-фразы (устарело)	S9
Если не указано иное, данные для материалов приведены в их стандартное состояние (при 25 ° C [77 ° F], 100 кПа).
N проверять (что YN ?)
Ссылки на инфобоксы

А атом гелия является атом химического элемента гелий. Гелий состоит из два электрона связаны электромагнитная сила к ядру, содержащему два протона вместе с одним или двумя нейтронами, в зависимости от изотоп, удерживаемые сильная сила. В отличие от водород, решение в замкнутом виде Уравнение Шредингера для атома гелия не найдено. Однако различные приближения, такие как Метод Хартри – Фока, можно использовать для оценки основное состояние энергия и волновая функция атома.

Вступление

Принципиальная схема для Пара- и Ортогелия с одним электроном в основном состоянии 1s и одним возбужденным электроном.

Квантово-механическое описание атома гелия представляет особый интерес, поскольку это простейшая многоэлектронная система, которую можно использовать для понимания концепции квантовая запутанность. В Гамильтониан гелия, рассматриваемого как трехчастичная система из двух электронов и ядра, после выделения движения центра масс, может быть записано как

${displaystyle H({vec {r}}_{1},,{vec {r}}_{2})=sum _{i=1,2}{Bigg (}-{frac {hbar ^{2}}{2mu }}abla _{r_{i}}^{2}-{frac {Ze^{2}}{4pi epsilon _{0}r_{i}}}{Bigg )}-{frac {hbar ^{2}}{M}}abla _{r_{1}}cdot abla _{r_{2}}+{frac {e^{2}}{4pi epsilon _{0}r_{12}}}}$

куда ${displaystyle mu ={frac {mM}{m+M}}}$ - приведенная масса электрона по отношению к ядру, ${displaystyle {vec {r}}_{1}}$ и ${displaystyle {vec {r}}_{2}}$ - векторы расстояния между электроном и ядром и ${displaystyle r_{12}=|{vec {r_{1}}}-{vec {r_{2}}}|}$. Ядерный заряд, ${displaystyle Z}$ 2 для гелия. В приближении бесконечно тяжелого ядра ${displaystyle M=infty }$ у нас есть ${displaystyle mu =m}$ и член массовой поляризации ${ extstyle {frac {hbar ^{2}}{M}}abla _{r_{1}}cdot abla _{r_{2}}}$ исчезает. В атомные единицы гамильтониан упрощается до

${displaystyle H({vec {r}}_{1},,{vec {r}}_{2})=-{frac {1}{2}}abla _{r_{1}}^{2}-{frac {1}{2}}abla _{r_{2}}^{2}-{frac {Z}{r_{1}}}-{frac {Z}{r_{2}}}+{frac {1}{r_{12}}}.}$

Важно отметить, что он работает не в нормальном пространстве, а в 6-мерном пространстве. конфигурационное пространство ${displaystyle ({vec {r}}_{1},,{vec {r}}_{2})}$. В этом приближении (Приближение Паули ) волновая функция второго порядка спинор с 4 компонентами ${displaystyle psi _{ij}({vec {r}}_{1},,{vec {r}}_{2})}$, где индексы ${displaystyle i,j=,uparrow ,downarrow }$ описывают проекцию спина обоих электронов (z-направление вверх или вниз) в некоторой системе координат.^[2] Он должен подчиняться обычному условию нормализации ${displaystyle sum _{ij}int d{vec {r}}_{1}d{vec {r}}_{2}|psi _{ij}|^{2}=1}$. Этот общий спинор можно записать как матрицу 2x2 ${displaystyle {oldsymbol {psi }}={egin{pmatrix}psi _{uparrow uparrow }&psi _{uparrow downarrow }psi _{downarrow uparrow }&psi _{downarrow downarrow }end{pmatrix}}}$ и, следовательно, также как линейная комбинация любого заданного базиса из четырех ортогональных (в векторном пространстве матриц 2x2) постоянных матриц ${displaystyle {oldsymbol {sigma }}_{k}^{i}}$ с коэффициентами скалярной функции

${displaystyle phi _{i}^{k}({vec {r}}_{1},,{vec {r}}_{2})}$ в качестве ${displaystyle {oldsymbol {psi }}=sum _{ik}phi _{i}^{k}({vec {r}}_{1},,{vec {r}}_{2}){oldsymbol {sigma }}_{k}^{i}}$. Удобный базис состоит из одной антисимметричной матрицы (с полным спином ${displaystyle S=0}$, соответствующий синглетное состояние)

${displaystyle {oldsymbol {sigma }}_{0}^{0}={frac {1}{sqrt {2}}}{egin{pmatrix}0&1-1&0end{pmatrix}}={frac {1}{sqrt {2}}}(uparrow downarrow -downarrow uparrow )}$

и три симметричные матрицы (с полным спином ${displaystyle S=1}$, соответствующий триплетное состояние)

${displaystyle {oldsymbol {sigma }}_{0}^{1}={frac {1}{sqrt {2}}}{egin{pmatrix}0&11&0end{pmatrix}}={frac {1}{sqrt {2}}}(uparrow downarrow +downarrow uparrow );;}$ ${displaystyle {oldsymbol {sigma }}_{1}^{1}={egin{pmatrix}1&0�&0end{pmatrix}}=;uparrow uparrow ;;}$ ${displaystyle {oldsymbol {sigma }}_{-1}^{1}={egin{pmatrix}0&0�&1end{pmatrix}}=;downarrow downarrow ;.}$

Легко показать, что синглетное состояние инвариантно относительно всех вращений (скалярная сущность), в то время как триплет может быть отображен в обычный пространственный вектор ${displaystyle (sigma _{x},sigma _{y},sigma _{z})}$, с тремя компонентами

${displaystyle sigma _{x}={frac {1}{sqrt {2}}}{egin{pmatrix}1&0�&-1end{pmatrix}}}$, ${displaystyle sigma _{y}={frac {i}{sqrt {2}}}{egin{pmatrix}1&0�&1end{pmatrix}}}$ и ${displaystyle sigma _{z}={frac {1}{sqrt {2}}}{egin{pmatrix}0&11&0end{pmatrix}}}$.

Поскольку все члены спинового взаимодействия между четырьмя компонентами ${displaystyle {oldsymbol {psi }}}$ в приведенном выше (скалярном) гамильтониане не учитываются (например, внешнее магнитное поле или релятивистские эффекты, подобно связь по угловому моменту ), четверка Уравнения Шредингера можно решить самостоятельно.^[3]

Вращение здесь вступает в игру только через Принцип исключения Паули, что для фермионов (как и электронов) требует антисимметрии относительно одновременный обмен спином и координатами

${displaystyle {oldsymbol {psi }}_{ij}({vec {r}}_{1},,{vec {r}}_{2})=-{oldsymbol {psi }}_{ji}({vec {r}}_{2},,{vec {r}}_{1})}$.

Парагелий тогда синглетное состояние ${displaystyle {oldsymbol {psi }}=phi _{0}({vec {r}}_{1},,{vec {r}}_{2}){oldsymbol {sigma }}_{0}^{0}}$ с симметричный функция ${displaystyle phi _{0}({vec {r}}_{1},,{vec {r}}_{2})=phi _{0}({vec {r}}_{2},,{vec {r}}_{1})}$ и ортогелий это триплетное состояние ${displaystyle {oldsymbol {psi }}_{m}=phi _{1}({vec {r}}_{1},,{vec {r}}_{2}){oldsymbol {sigma }}_{m}^{1},;m=-1,0,1}$ с антисимметричный функция ${displaystyle phi _{1}({vec {r}}_{1},,{vec {r}}_{2})=-phi _{1}({vec {r}}_{2},,{vec {r}}_{1})}$. Если пренебречь членом электрон-электронного взаимодействия, обе пространственные функции ${displaystyle phi _{x},;x=0,1}$ можно записать как линейную комбинацию двух произвольных (ортогональной и нормированной)

одноэлектронные собственные функции ${displaystyle varphi _{a},varphi _{b}}$:

${displaystyle phi _{x}={frac {1}{sqrt {2}}}(varphi _{a}({vec {r}}_{1})varphi _{b}({vec {r}}_{2})pm varphi _{a}({vec {r}}_{2})varphi _{b}({vec {r}}_{1}))}$

или для особых случаев

из ${displaystyle varphi _{a}=varphi _{b}}$ (оба электрона имеют одинаковые квантовые числа, только парагелий): ${displaystyle phi _{0}=varphi _{a}({vec {r}}_{1})varphi _{a}({vec {r}}_{2})}$Полная энергия (как собственное значение ${displaystyle H}$) тогда для всех случаев ${displaystyle E=E_{a}+E_{b}}$ (независимо от симметрии).

Это объясняет отсутствие ${displaystyle 1^{3}S_{1}}$ состояние (с ${displaystyle varphi _{a}=varphi _{b}=varphi _{1s}}$) для ортогелия, откуда, следовательно, ${displaystyle 2^{3}S_{1}}$ (с ${displaystyle varphi _{a}=varphi _{1s},varphi _{b}=varphi _{2s}}$) является метастабильным основным состоянием (состояние с квантовыми числами: главное квантовое число ${displaystyle n}$, общий спин ${displaystyle S}$, угловое квантовое число ${displaystyle L}$ и полный угловой момент ${displaystyle J=|L-S|dots L+S}$ обозначается ${displaystyle n^{2S+1}L_{J}}$.)

Если член электрон-электронного взаимодействия ${displaystyle {frac {1}{r_{12}}}}$ включено, уравнение Шредингера неразделимо. Однако, если пренебречь, все состояния, описанные выше (даже с двумя одинаковыми квантовыми числами, например ${displaystyle 1^{1}S_{0}}$ с ${displaystyle {oldsymbol {psi }}=varphi _{1s}({vec {r}}_{1})varphi _{1s}({vec {r}}_{2}){oldsymbol {sigma }}_{0}^{0}}$) нельзя записать как произведение одноэлектронных волновых функций:${displaystyle psi _{ik}({vec {r}}_{1},,{vec {r}}_{2})eq chi _{i}({vec {r}}_{1})xi _{k}({vec {r}}_{2})}$ - волновая функция запутанный Нельзя сказать, что частица 1 находится в состояние 1 а другой в состояние 2, и измерения нельзя проводить на одной частице, не влияя на другую.

Тем не менее, довольно хорошее теоретическое описание гелия может быть получено в рамках приближений Хартри – Фока и Томаса – Ферми (см. Ниже).

Метод Хартри – Фока

Метод Хартри – Фока используется для множества атомных систем. Однако это всего лишь приближение, и сегодня для решения атомных систем используются более точные и эффективные методы. "проблема многих тел "для гелия и других малоэлектронных систем могут быть решены достаточно точно. Например, основное состояние гелия известен с точностью до пятнадцати цифр. В теории Хартри – Фока предполагается, что электроны движутся в потенциале, создаваемом ядром и другими электронами. В Гамильтониан для гелия с двумя электронами можно записать как сумму гамильтонианов для каждого электрона:

${displaystyle H=sum _{i=1}^{2}h(i)=H_{0}+H^{prime }}$

где невозмущенный гамильтониан нулевого порядка равен

${displaystyle H_{0}=-{frac {1}{2}}abla _{r_{1}}^{2}-{frac {1}{2}}abla _{r_{2}}^{2}-{frac {Z}{r_{1}}}-{frac {Z}{r_{2}}}}$

а член возмущения:

${displaystyle H'={frac {1}{r_{12}}}}$

электрон-электронное взаимодействие. ЧАС₀ представляет собой просто сумму двух гидрогенных гамильтонианов:

${displaystyle H_{0}={hat {h}}_{1}+{hat {h}}_{2}}$

куда

${displaystyle {hat {h}}_{i}=-{frac {1}{2}}abla _{r_{i}}^{2}-{frac {Z}{r_{i}}},i=1,2}$

E_пя, собственные значения энергии и ${displaystyle psi _{n_{i},l_{i},m_{i}}({vec {r}}_{i})}$, соответствующие собственные функции водородного гамильтониана будут обозначать нормированную энергию собственные значения и нормированные собственные функции. Так:

${displaystyle {hat {h}}_{i}psi _{n_{i},l_{i},m_{i}}({vec {r_{i}}})=E_{n_{i}}psi _{n_{i},l_{i},m_{i}}({vec {r_{i}}})}$

куда

${displaystyle E_{n_{i}}=-{frac {1}{2}}{frac {Z^{2}}{n_{i}^{2}}}{ ext{ in a.u.}}}$

Пренебрегая членом электрон-электронного отталкивания, Уравнение Шредингера для пространственной части двухэлектронной волновой функции сведется к уравнению `` нулевого порядка ''

${displaystyle H_{0}psi ^{(0)}({vec {r}}_{1},{vec {r}}_{2})=E^{(0)}psi ^{(0)}({vec {r}}_{1},{vec {r}}_{2})}$

Это уравнение разделимо, и собственные функции можно записать в виде отдельных произведений водородных волновых функций:

${displaystyle psi ^{(0)}({vec {r}}_{1},{vec {r}}_{2})=psi _{n_{1},l_{1},m_{1}}({vec {r}}_{1})psi _{n_{2},l_{2},m_{2}}({vec {r}}_{2})}$

Соответствующие энергии (в атомные единицы, далее а.е.):

${displaystyle E_{n_{1},n_{2}}^{(0)}=E_{n_{1}}+E_{n_{2}}=-{frac {Z^{2}}{2}}{Bigg [}{frac {1}{n_{1}^{2}}}+{frac {1}{n_{2}^{2}}}{Bigg ]}}$

Обратите внимание, что волновая функция

${displaystyle psi ^{(0)}({vec {r}}_{2},{vec {r}}_{1})=psi _{n_{2},l_{2},m_{2}}({vec {r}}_{1})psi _{n_{1},l_{1},m_{1}}({vec {r}}_{2})}$

Обмен электронными метками соответствует той же энергии ${displaystyle E_{n_{1},n_{2}}^{(0)}}$. Этот частный случай вырождение относительно обмена электронными метками называется обменное вырождение. Точные пространственные волновые функции двухэлектронных атомов должны быть либо симметричными, либо антисимметричный относительно перестановки координат ${displaystyle {vec {r}}_{1}}$ и ${displaystyle {vec {r}}_{2}}$ двух электронов. Тогда собственная волновая функция должна состоять из симметричных (+) и антисимметричных (-) линейных комбинаций:

${displaystyle psi _{pm }^{(0)}({vec {r}}_{1},{vec {r}}_{2})={frac {1}{sqrt {2}}}[psi _{n_{1},l_{1},m_{1}}({vec {r}}_{1})psi _{n_{2},l_{2},m_{2}}({vec {r}}_{2})pm psi _{n_{2},l_{2},m_{2}}({vec {r}}_{1})psi _{n_{1},l_{1},m_{1}}({vec {r}}_{2})]}$

Это происходит из Детерминанты Слейтера.

Фактор ${displaystyle {frac {1}{sqrt {2}}}}$ нормализует ${displaystyle psi _{pm }^{(0)}}$. Чтобы преобразовать эту волновую функцию в единое произведение одночастичных волновых функций, мы используем тот факт, что она находится в основном состоянии. Так ${displaystyle n_{1}=n_{2}=1,,l_{1}=l_{2}=0,,m_{1}=m_{2}=0}$. Итак ${displaystyle psi _{-}^{(0)}}$ исчезнет в соответствии с исходной формулировкой Принцип исключения Паули, в котором два электрона не могут находиться в одном состоянии. Следовательно, волновую функцию для гелия можно записать как

${displaystyle psi _{0}^{(0)}({vec {r}}_{1},{vec {r}}_{2})=psi _{1}({vec {r_{1}}})psi _{1}({vec {r_{2}}})={frac {Z^{3}}{pi }}e^{-Z(r_{1}+r_{2})}}$

Где ${displaystyle psi _{1}}$ и ${displaystyle psi _{2}}$ использовать волновые функции для гамильтониана водорода. ^[а] Для гелия Z = 2 от

${displaystyle E_{0}^{(0)}=E_{n_{1}=1,,n_{2}=1}^{(0)}=-Z^{2}{ ext{ a.u.}}}$

где E${displaystyle _{0}^{(0)}}$ = −4 а.е. что составляет примерно -108,8 эВ, что соответствует потенциалу ионизации V${displaystyle _{P}^{(0)}}$ = 2 а.е. (54,4 эВ). Экспериментальные значения E${displaystyle _{0}}$ = −2,90 а.е. (≅ −79,0 эВ) и V${displaystyle _{p}}$ = 0,90 а.е. (24,6 эВ).

Энергия, которую мы получили, слишком мала, потому что фактор отталкивания между электронами не учитывался, что приводит к повышению уровней энергии. По мере увеличения Z наш подход должен давать лучшие результаты, поскольку член электрон-электронного отталкивания будет становиться меньше.

До сих пор использовалось очень грубое приближение независимых частиц, в котором полностью опущен член электрон-электронного отталкивания. Расщепление гамильтониана, показанное ниже, улучшит результаты:

${displaystyle H={ar {H_{0}}}+{ar {H'}}}$

куда

${displaystyle {ar {H_{0}}}=-{frac {1}{2}}abla _{r_{1}}^{2}+V(r_{1})-{frac {1}{2}}abla _{r_{2}}^{2}+V(r_{2})}$

и

${displaystyle {ar {H'}}={frac {1}{r_{12}}}-{frac {Z}{r_{1}}}-V(r_{1})-{frac {Z}{r_{2}}}-V(r_{2})}$

V (r) - центральный потенциал, который выбирается таким образом, чтобы действие возмущения ${displaystyle {ar {H'}}}$ маленький. Конечное влияние каждого электрона на движение другого состоит в том, чтобы частично экранировать заряд ядра, поэтому простое предположение для V (r) будет

${displaystyle V(r)=-{frac {Z-S}{r}}=-{frac {Z_{e}}{r}}}$

где S - постоянная экранирования, а величина Z_е - эффективный заряд. Потенциал является кулоновским взаимодействием, поэтому соответствующие энергии отдельных электронов даются (в а.е.) как

${displaystyle E_{0}=-(Z-S)^{2}=-Z_{e}^{2}}$

а соответствующая волновая функция дается выражением

${displaystyle psi _{0}(r_{1},r_{2})={frac {Z_{e}^{3}}{pi }}e^{-Z_{e}(r_{1}+r_{2})}}$

Если Z_е составляла 1,70, что согласовало бы приведенное выше выражение для энергии основного состояния с экспериментальным значением E₀ = −2,903 а.е. энергии основного состояния гелия. Поскольку в этом случае Z = 2, постоянная экранирования S = 0,30. Для основного состояния гелия в приближении среднего экранирования экранирующий эффект одного электрона на другой эквивалентен примерно ${displaystyle {frac {1}{3}}}$ электронного заряда.^[5]

Метод Томаса – Ферми

Вскоре после того, как Шредингер разработал волновое уравнение, Модель Томаса – Ферми был развит. Теория функционала плотности используется для описания плотности частиц ${displaystyle ho ({vec {r}}),,r,epsilon ,mathbb {R} ^{3}}$, и энергия основного состояния E (N), где N - число электронов в атоме. Если имеется большое количество электронов, уравнение Шредингера сталкивается с проблемами, потому что его очень трудно решить даже в основных состояниях атома. Именно здесь на помощь приходит теория функционала плотности. Теория Томаса – Ферми дает очень хорошее представление о том, что происходит в основных состояниях атомов и молекул с N электронами.

Функционал энергии для атома с N электронами определяется выражением:

${displaystyle xi ={frac {3}{5}}gamma int _{mathbb {R} ^{3}}ho ^{5/3}({vec {r}})d^{3}{vec {r}},+int _{mathbb {R} ^{3}}V({vec {r}})ho ({vec {r}})d^{3}{vec {r}},+{frac {e^{2}}{2}}int _{mathbb {R} ^{3}}{frac {ho ({vec {r}})ho ({vec {r'}})}{|{vec {r}}-{vec {r'}}|}},d^{3}{vec {r}}d^{3}{vec {r'}}}$

Где

${displaystyle gamma =(3pi ^{2})^{2/3}{frac {hbar ^{2}}{2m}}}$

Электронная плотность должна быть больше или равна 0, ${displaystyle int _{mathbb {R} ^{3}}ho =N}$, и ${displaystyle ho ightarrow xi }$ выпуклый.

В функционале энергии каждый термин имеет определенное значение. Первый член описывает минимальную квантово-механическую кинетическую энергию, необходимую для создания электронной плотности. ${displaystyle ho ({vec {x}})}$ для N-числа электронов. Следующее слагаемое - притягивающее взаимодействие электронов с ядрами через кулоновский потенциал ${displaystyle V({vec {r}})}$. Последний член - потенциальная энергия электрон-электронного отталкивания.^[6]

Таким образом, гамильтониан для системы многих электронов можно записать:

${displaystyle H=sum _{i=1}^{N}{Bigg [}-{frac {hbar ^{2}}{2m}}abla _{i}^{2}+V({vec {r_{i}}}){Bigg ]}+int {frac {e^{2}ho ({vec {r'}})}{|{vec {r}}-{vec {r'}}|}}d^{3}r'}$

Для гелия N = 2, поэтому гамильтониан определяется как:

${displaystyle H=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}(abla _{1}^{2}+abla _{2}^{2})+V({vec {r_{1}}},,{vec {r_{2}}})+int {frac {e^{2}ho ({vec {r'}})}{|{vec {r}}-{vec {r'}}|}}d^{3}r'}$

Где

${displaystyle int {frac {e^{2}ho ({vec {r'}})}{|{vec {r}}-{vec {r'}}|}}d^{3}r'={frac {e^{2}}{4pi epsilon _{0}}}{frac {1}{|{vec {r}}_{1}-{vec {r}}_{2}|}},,{ ext{ and }},V({vec {r_{1}}},,{vec {r_{2}}})={frac {e^{2}}{4pi epsilon _{0}}}{Bigg [}{frac {2}{r_{1}}}+{frac {2}{r_{2}}}{Bigg ]}}$

уступающий

${displaystyle H=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}(abla _{1}^{2}+abla _{2}^{2})+{frac {e^{2}}{4pi epsilon _{0}}}{Bigg [}{frac {2}{r_{1}}}+{frac {2}{r_{2}}}-{frac {1}{|{vec {r}}_{1}-{vec {r}}_{2}|}}{Bigg ]}}$

Из метода Хартри – Фока известно, что без учета члена электрон-электронного отталкивания энергия равна 8E₁ = −109 эВ.

Вариационный метод

Для получения более точной энергии вариационный принцип можно приложить к электрон-электронному потенциалу V_ее используя волновую функцию

${displaystyle psi _{0}({vec {r}}_{1},,{vec {r}}_{2})={frac {8}{pi a^{3}}}e^{-2(r_{1}+r_{2})/a}}$:

${displaystyle langle Hangle =8E_{1}+langle V_{ee}angle =8E_{1}+{Bigg (}{frac {e^{2}}{4pi epsilon _{0}}}{Bigg )}{Bigg (}{frac {8}{pi a^{3}}}{Bigg )}^{2}int {frac {e^{-4(r_{1}+r_{2})/a}}{|{vec {r}}_{1}-{vec {r}}_{2}|}},d^{3}{vec {r}}_{1},d^{3}{vec {r}}_{2}}$

После интеграции результат будет следующим:

${displaystyle langle Hangle =8E_{1}+{frac {5}{4a}}{Bigg (}{frac {e^{2}}{4pi epsilon _{0}}}{Bigg )}=8E_{1}-{frac {5}{2}}E_{1}=-109+34=-75{ ext{ eV}}}$

Это ближе к экспериментальному значению, но если использовать лучшую пробную волновую функцию, можно получить еще более точный ответ. Идеальной волновой функцией была бы такая, которая не игнорирует влияние другого электрона. Другими словами, каждый электрон представляет собой облако отрицательного заряда, которое в некоторой степени экранирует ядро, так что другой электрон фактически видит эффективный ядерный заряд Z, который меньше 2. Волновая функция этого типа определяется выражением:

${displaystyle psi ({vec {r}}_{1},{vec {r}}_{2})={frac {Z^{3}}{pi a^{3}}}e^{-Z(r_{1}+r_{2})/a}}$

Рассмотрение Z как вариационного параметра для минимизации H. Гамильтониан, использующий приведенную выше волновую функцию, имеет вид:

${displaystyle langle Hangle =2Z^{2}E_{1}+2(Z-2){Bigg (}{frac {e^{2}}{4pi epsilon _{0}}}{Bigg )}leftlangle {frac {1}{r}}ightangle +leftlangle V_{ee}ightangle }$

После расчета математического ожидания ${displaystyle {frac {1}{r}}}$ и V_ее математическое ожидание гамильтониана становится:

${displaystyle langle Hangle =left[-2Z^{2}+{frac {27}{4}}Zight]E_{1}}$

Необходимо вычислить минимальное значение Z, поэтому взяв производную по Z и установив уравнение на 0, вы получите минимальное значение Z:

${displaystyle {frac {d}{dZ}}left(left[-2Z^{2}+{frac {27}{4}}Zight]E_{1}ight)=0}$

${displaystyle Z={frac {27}{16}}sim 1.69}$

Это показывает, что другой электрон несколько экранирует ядро, уменьшая эффективный заряд с 2 до 1,69. Таким образом, мы получаем максимально точный результат:

${displaystyle {frac {1}{2}}{Bigg (}{frac {3}{2}}{Bigg )}^{6}E_{1}=-77.5{ ext{ eV}}}$

Где снова E₁ представляет собой энергию ионизации водорода.

Используя более сложные / точные волновые функции, энергия основного состояния гелия была вычислена все ближе и ближе к экспериментальному значению -78,95 эВ.^[7] Вариационный подход был усовершенствован с очень высокой точностью для всеобъемлющего режима квантовых состояний G.W.F. Дрейк и его сотрудники^[8][9][10] а также Дж.Д. Морган III, Джонатан Бейкер и Роберт Хилл^[11][12][13] используя Hylleraas или Frankowski-Пекерис базисные функции. Нужно включить релятивистский и квантовая электродинамика поправки для получения полного согласия с экспериментом по спектроскопической точности.^[14][15]

Экспериментальное значение энергии ионизации

Гелий первый энергия ионизации составляет -24,587387936 (25) эВ.^[16] Это значение было получено экспериментальным путем.^[17] Теоретическое значение второй энергии ионизации атома гелия составляет -54,41776311 (2) эВ.^[16] Полная энергия основного состояния атома гелия составляет -79,005151042 (40) эВ,^[16] или −2.90338583 (13) Атомные единицы а.е., что равно −5,80677166 (26) Ry.

Смотрите также

• Коррекция Араки – Сучера
• Молекулярный ион водорода
• Атом лития
• Список квантово-механических систем с аналитическими решениями
• Квантовая теория поля
• Квантовая механика
• Квантовые состояния
• Теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера
• «Атом гелия» в Викиверситете

Рекомендации

1. При n = 1, l = 0 и m = 0 волновая функция в сферически симметричном потенциале для водорода электрон ${displaystyle psi _{(}r)={frac {1}{sqrt {pi }}}left({frac {Z}{a_{0}}}ight)^{frac {3}{2}} e^{-{ extstyle {frac {Zr}{a_{0}}}}};}$.^[4] В атомные единицы, то Радиус Бора ${displaystyle {a_{0}}}$ равна 1, а волновая функция принимает вид ${displaystyle psi _{(}r)={frac {1}{sqrt {pi }}}Z^{frac {3}{2}} e^{-{ extstyle Zr}};}$.

1. «Гелий - Публичная химическая база данных PubChem». Проект PubChem. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ: Национальный центр биотехнологической информации.
2. П. Реннерт, Х. Шмидель, К. Вайсмантель. "Kleine Enzyklopädie Physik", VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1988, 192-194.
3. Л.Д. Ландау, Э.М.Лифшиц. "Lehrbuch der Theoretischen Physik", Bd. III (Quantenmechanik), Akademie-Verlag, Berlin 1971, Kap. IX, стр. 218
4. "Водородные волновые функции". Гиперфизика. Архивировано из оригинал 1 февраля 2014 г.
5. B.H. Брансден и С.Дж. Иоахейн Физика атомов и молекул 2-е издание Pearson Education, Inc.
6. http://www.physics.nyu.edu/LarrySpruch/Lieb.pdf
7. Дэвид И. Гриффитс Введение в квантовую механику Второе издание, 2005 г., Pearson Education, Inc.
8. Дрейк, G.W.F .; Ван, Цзун-Чао (1994). «Вариационные собственные значения для S-состояний гелия». Письма по химической физике. Elsevier BV. 229 (4–5): 486–490. Дои:10.1016/0009-2614(94)01085-4. ISSN  0009-2614.
9. Янь, Цзун-Чао; Дрейк, Г. В. Ф. (12 июня 1995 г.). «Высокоточный расчет расщеплений тонкой структуры в гелии и гелиевых ионах». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 74 (24): 4791–4794. Дои:10.1103 / Physrevlett.74.4791. ISSN  0031-9007. PMID  10058600.
10. Дрейк, Г. В. Ф. (1999). «Теория высокой точности атомарного гелия». Physica Scripta. IOP Publishing. T83 (1): 83–92. Дои:10.1238 / Physica.topical.083a00083. ISSN  0031-8949.
11. Дж. Д. Бейкер, Р. Хилл и Дж. Д. Морган III (1989), «Высокоточный расчет уровней энергии атома гелия», в материалах конференции AIP. 189, Релятивистские, квантово-электродинамические эффекты и эффекты слабого взаимодействия в атомах (AIP, Нью-Йорк), 123
12. Бейкер, Джонатан Д.; Freund, David E .; Хилл, Роберт Ниден; Морган, Джон Д. (01.02.1990). «Радиус сходимости и аналитическое поведение разложения 1 / Z». Физический обзор A. Американское физическое общество (APS). 41 (3): 1247–1273. Дои:10.1103 / Physreva.41.1247. ISSN  1050-2947. PMID  9903218.
13. Scott, T. C .; Lüchow, A .; Брессанини, Д .; Морган, Дж. Д. III (2007). «Узловые поверхности собственных функций атома гелия» (PDF). Phys. Ред. А. 75 (6): 060101. Bibcode:2007PhRvA..75f0101S. Дои:10.1103 / PhysRevA.75.060101. HDL:11383/1679348.
14. Drake, G. W. F .; Янь, Цзун-Чао (1992-09-01). «Энергии и релятивистские поправки для ридберговских состояний гелия: вариационные результаты и асимптотический анализ». Физический обзор A. Американское физическое общество (APS). 46 (5): 2378–2409. Дои:10.1103 / Physreva.46.2378. ISSN  1050-2947. PMID  9908396.
15. G.W.F. Дрейк (2006). "Справочник Springer по атомной, молекулярной и оптической физике", под редакцией Г.В.Ф. Дрейк (Спрингер, Нью-Йорк), 199-219. [1]
16. Крамида, А., Ральченко, Ю., Ридер, Дж., И команда NIST ASD. "Данные об энергии ионизации в базе данных атомных спектров NIST". Гейтерсбург, Мэриленд: NIST.
17. Д. З. Кандула, К. Голе, Т. Дж. Пинкерт, В. Убакс и К. С. Э. Эйкема (2010). "Метрология гребенчатой ​​гребенки для экстремального ультрафиолета". Phys. Rev. Lett. 105 (6): 063001. arXiv:1004.5110. Bibcode:2010ПхРвЛ.105ф3001К. Дои:10.1103 / PhysRevLett.105.063001. PMID  20867977. S2CID  2499460.