Теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера - Theoretical and experimental justification for the Schrödinger equation

В теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера мотивирует открытие Уравнение Шредингера, уравнение, описывающее динамику нерелятивистских частиц. Мотивация использует фотоны, которые релятивистские частицы с динамикой, описываемой Уравнения Максвелла, как аналог для всех типов частиц.

Эта статья написана для аспирантов. Для более общего введения в тему см. Введение в квантовую механику.

Классические электромагнитные волны

Основная статья: Уравнение электромагнитной волны

Природа света

Основная статья: Фотон

В квант частица света называется фотон. Свет имеет как волнообразный и частица -подобная природа. Другими словами, в некоторых экспериментах свет может состоять из фотонов (частиц), а в других экспериментах свет может действовать как волны. Динамика классических электромагнитных волн полностью описывается формулой Уравнения Максвелла, то классический описание электродинамика. При отсутствии источников уравнения Максвелла можно записать в виде волновые уравнения в электрический и магнитное поле векторов. Таким образом, уравнения Максвелла описывают, среди прочего, волновые свойства света. Когда "классический" (когерентный или тепловой) свет падает на фотографическую пластину или ПЗС, среднее количество "попаданий", "точек" или "щелчков" в единицу времени, что в результате, приблизительно пропорционально квадрату электромагнитных полей. света. К формальная аналогияволновую функцию материальной частицы можно использовать для нахождения плотности вероятности, возведя ее абсолютное значение в квадрат. В отличие от электромагнитных полей, квантово-механические волновые функции сложны. (Часто в случае электромагнитных полей для удобства используются комплексные обозначения, но подразумевается, что на самом деле поля реальны. Однако волновые функции действительно сложны.)

Уравнения Максвелла были полностью известны ко второй половине девятнадцатого века. Поэтому динамические уравнения для света были хорошо известны задолго до открытия фотона. Это неверно для других частиц, таких как электрон. На основе взаимодействия света с атомами было сделано предположение, что электроны также имеют как частицу, так и волнообразную природу. Ньютоновская механика, описание частицоподобного поведения макроскопический объекты, не могут описать очень маленькие объекты, такие как электроны. Абдуктивное рассуждение проводилась для получения динамики массивных объектов (частиц с масса ), такие как электроны. В уравнение электромагнитной волны, уравнение, описывающее динамику света, было использовано в качестве прототипа для открытия Уравнение Шредингера, уравнение, описывающее волновую и частичную динамику нерелятивистских массивных частиц.

Плоские синусоидальные волны

Основная статья: Синусоидальные плоские волновые решения уравнения электромагнитной волны

Уравнение электромагнитной волны

Основная статья: Уравнение электромагнитной волны

Уравнение электромагнитной волны описывает распространение электромагнитных волн через средний или в вакуум. В однородный форму уравнения, записанного в терминах электрическое поле E или магнитное поле B, принимает вид:

${displaystyle abla ^{2}mathbf {E} - {1 over c^{2}}{partial ^{2}mathbf {E} over partial t^{2}} = 0}$

${displaystyle abla ^{2}mathbf {B} - {1 over c^{2}}{partial ^{2}mathbf {B} over partial t^{2}} = 0}$

куда c это скорость света в среде. В вакууме c = 2,998 × 10⁸ метров в секунду - это скорость света в свободное место.

Магнитное поле связано с электрическим полем через Закон Фарадея (единицы cgs )

${displaystyle abla imes mathbf {E} =-{1 over c}{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}}$.

Плосковолновое решение уравнения электромагнитной волны

Самолет синусоидальный решение для электромагнитная волна движение в направлении z равно (единицы cgs и Единицы СИ )

${displaystyle mathbf {E} (mathbf {r} ,t)=mid mathbf {E} mid mathrm {Re} left{|zeta angle exp left[ileft(kz-omega tight)ight]ight}equiv mid mathbf {E} mid mathrm {Re} left{|phi angle ight}}$

Электромагнитное излучение можно представить как самораспространяющуюся поперечную колебательную волну электрического и магнитного полей. На этой диаграмме показана плоская линейно поляризованная волна, распространяющаяся слева направо.

для электрического поля и

${displaystyle mathbf {B} (mathbf {r} ,t)={hat {mathbf {z} }} imes mathbf {E} (mathbf {r} ,t)}$

для магнитного поля, где k - волновое число,

${displaystyle omega _{}^{}=ck}$

это угловая частота волны, и ${displaystyle c}$ это скорость света. Шапки на векторов указывать единичные векторы в направлениях x, y и z. В комплексное обозначение, количество ${displaystyle mid mathbf {E} mid }$ это амплитуда волны.

Здесь

${displaystyle |zeta angle equiv {egin{pmatrix}zeta _{x}zeta _{y}end{pmatrix}}={egin{pmatrix}cos heta exp left(ialpha _{x}ight)sin heta exp left(ialpha _{y}ight)end{pmatrix}}}$

это Вектор Джонса в плоскости x-y. Обозначение для этого вектора - обозначение бюстгальтера из Дирак, который обычно используется в квантовом контексте. Квантовые обозначения используются здесь в ожидании интерпретации вектора Джонса как вектора квантового состояния. Углы ${displaystyle heta ,;alpha _{x},;{mbox{and}};alpha _{y}}$ - угол, который электрическое поле составляет с осью x и двумя начальными фазами волны, соответственно.

Количество

${displaystyle |phi angle =exp left[ileft(kz-omega tight)ight]|zeta angle }$

- вектор состояния волны. Он описывает поляризация волны и пространственная и временная функциональность волны. Для когерентное состояние световой луч настолько тусклый, что его среднее число фотонов намного меньше 1, это примерно эквивалентно квантовому состоянию одиночного фотона.

Энергия, импульс и угловой момент электромагнитных волн

Плотность энергии классических электромагнитных волн

Энергия в плоской волне

Основная статья: Плотность энергии

В энергия на единицу объема в классических электромагнитных полях составляет (ед. cgs)

${displaystyle {mathcal {E}}_{c}={frac {1}{8pi }}left[mathbf {E} ^{2}(mathbf {r} ,t)+mathbf {B} ^{2}(mathbf {r} ,t)ight]}$.

Для плоской волны, преобразованной в комплексные обозначения (и, следовательно, деления на коэффициент 2), это становится

${displaystyle {mathcal {E}}_{c}={frac {mid mathbf {E} mid ^{2}}{8pi }}}$

где энергия была усреднена по длине волны.

Доля энергии в каждом компоненте

Доля энергии в x-компоненте плоской волны (в предположении линейной поляризации) равна

${displaystyle f_{x}={frac {mid mathbf {E} mid ^{2}cos ^{2} heta }{mid mathbf {E} mid ^{2}}}=phi _{x}^{*}phi _{x}}$

с аналогичным выражением для компонента y.

Доля в обоих компонентах равна

${displaystyle phi _{x}^{*}phi _{x}+phi _{y}^{*}phi _{y}=langle phi |phi angle =1}$.

Плотность импульса классических электромагнитных волн

Плотность импульса определяется Вектор Пойнтинга

${displaystyle {oldsymbol {mathcal {P}}}={1 over 4pi c}mathbf {E} (mathbf {r} ,t) imes mathbf {B} (mathbf {r} ,t)}$.

Для синусоидальной плоской волны, движущейся в направлении z, импульс находится в направлении z и связан с плотностью энергии:

${displaystyle {mathcal {P}}c={mathcal {E}}_{c}}$.

Плотность импульса была усреднена по длине волны.

Плотность углового момента классических электромагнитных волн

Плотность углового момента равна

${displaystyle {oldsymbol {mathcal {L}}}=mathbf {r} imes {oldsymbol {mathcal {P}}}={1 over 4pi c}mathbf {r} imes left[mathbf {E} (mathbf {r} ,t) imes mathbf {B} (mathbf {r} ,t)ight]}$.

Для синусоидальной плоской волны угловой момент направлен в направлении z и определяется выражением (переход к комплексным обозначениям)

${displaystyle {mathcal {L}}={{mid mathbf {E} mid ^{2}} over {8pi omega }}left(mid langle R|phi angle mid ^{2}-mid langle L|phi angle mid ^{2}ight)={1 over omega }{mathcal {E}}_{c}left(mid phi _{R}mid ^{2}-mid phi _{L}mid ^{2}ight)}$

где снова плотность усредняется по длине волны. Здесь правые и левые единичные векторы с круговой поляризацией определяются как

${displaystyle |Rangle equiv {1 over {sqrt {2}}}{egin{pmatrix}1iend{pmatrix}}}$

и

${displaystyle |Langle equiv {1 over {sqrt {2}}}{egin{pmatrix}1-iend{pmatrix}}}$.

Унитарные операторы и сохранение энергии

Волна может быть преобразована, например, пройдя через двулучепреломляющий кристалл или через щели в дифракционная решетка. Мы можем определить преобразование состояния из состояния в момент времени t в состояние во время ${displaystyle (t+ au )}$ в качестве

${displaystyle |phi (t+ au )angle ={hat {U}}( au )|phi (t)angle }$.

Для сохранения энергии в волне нам требуется

${displaystyle langle phi (t+ au )|phi (t+ au )angle =langle phi (t)|{hat {U}}^{dagger }( au ){hat {U}}( au )|phi (t)angle =langle phi (t)|phi (t)angle =1}$

куда ${displaystyle U^{dagger }}$ это прилегающий матрицы U комплексно сопряженное транспонирование матрицы.

Это означает, что преобразование, сохраняющее энергию, должно подчиняться

${displaystyle {hat {U}}^{dagger }{hat {U}}=I}$

где я оператор идентификации а U называется унитарный оператор. Унитарное имущество необходимо для обеспечения энергосбережение в государственных преобразованиях.

Эрмитовы операторы и сохранение энергии

Если ${displaystyle au }$ бесконечно малая действительная величина ${displaystyle dt}$, то унитарное преобразование очень близко к единичной матрице (конечное состояние очень близко к начальному) и может быть записано

${displaystyle {hat {U}}approx I-i{hat {H}} au }$

и присоединенный

${displaystyle {hat {U}}^{dagger }approx I+i{hat {H}}^{dagger } au }$.

Множитель i введен для удобства. С этим соглашением будет показано, что сохранение энергии требует, чтобы H было Эрмитский оператор и что H связано с энергией частицы.

Энергосбережение требует

${displaystyle I={hat {U}}^{dagger }{hat {U}}approx left(I+i{hat {H}}^{dagger } au ight)left(I-i{hat {H}} au ight)approx I+i{hat {H}}^{dagger } au -i{hat {H}} au +{hat {H}}^{dagger }{hat {H}} au ^{2}}$.

С ${displaystyle au }$ бесконечно мал, что означает, что ${displaystyle au ^{2}}$ можно пренебречь в отношении ${displaystyle au }$, последний член можно опустить. Далее, если ЧАС равно его сопряженному:

${displaystyle {hat {H}}={hat {H}}^{dagger }}$,

отсюда следует, что (для бесконечно малых переводов во времени ${displaystyle au =dt,}$)

${displaystyle {hat {U}}^{dagger }{hat {U}}=I}$,

так что действительно сохраняется энергия.

Операторы, равные своим сопряженным, называются Эрмитский или самосопряженный.

Бесконечно малый перенос состояния поляризации равен

${displaystyle |phi (t+dt)angle -|phi (t)angle =-i{hat {H}}dt|phi (t)angle }$.

Таким образом, сохранение энергии требует, чтобы бесконечно малые преобразования состояния поляризации происходили под действием эрмитова оператора. Хотя этот вывод является классическим, концепция эрмитова оператора, генерирующего энергосберегающие бесконечно малые преобразования, составляет важную основу квантовой механики. Вывод уравнения Шредингера непосредственно следует из этого понятия.

Квантовая аналогия классической электродинамики

Основная статья: Фотон

Лечение до этого момента было классический. Однако квантово-механическое рассмотрение частиц следует по принципу формально аналогичный однако, чтобы Уравнения Максвелла для электродинамики. Аналог классических «векторов состояния»

${displaystyle mid phi angle }$

в классическом описании - это векторы квантового состояния при описании фотонов.

Энергия, импульс и угловой момент фотонов

Энергия

Ранняя интерпретация основана на экспериментах Макс Планк и интерпретация этих экспериментов Альберт Эйнштейн, который заключался в том, что электромагнитное излучение состоит из неприводимых пакетов энергии, известных как фотоны. Энергия каждого пакета связана с угловой частотой волны соотношением

${displaystyle epsilon =hbar omega }$

куда ${displaystyle hbar }$ - экспериментально определенная величина, известная как приведенная Постоянная Планка. Если есть ${displaystyle N}$ фотоны в ящике объема ${displaystyle V}$, энергия (без учета энергия нулевой точки ) в электромагнитном поле

${displaystyle Nhbar omega }$

а плотность энергии равна

${displaystyle {Nhbar omega over V}}$

Энергия фотона может быть связана с классическими полями через принцип соответствия который утверждает, что для большого числа фотонов квантовая и классическая трактовки должны согласовываться. Таким образом, для очень больших ${displaystyle N}$, плотность квантовой энергии должна быть такой же, как классическая плотность энергии

${displaystyle {Nhbar omega over V}={mathcal {E}}_{c}={frac {mid mathbf {E} mid ^{2}}{8pi }}}$.

Среднее количество фотонов в ящике в когерентном состоянии тогда

${displaystyle N={frac {V}{8pi hbar omega }}mid mathbf {E} mid ^{2}}$.

Импульс

Принцип соответствия также определяет импульс и угловой момент фотона. Для импульса

${displaystyle {mathcal {P}}_{c}={Nhbar omega over cV}={Nhbar k over V}}$

откуда следует, что импульс фотона равен

${displaystyle hbar k}$ (или эквивалентно ${displaystyle h over lambda }$).

Угловой момент и спин

Аналогично для углового момента

${displaystyle {mathcal {L}}={1 over omega }{mathcal {E}}_{c}left(mid psi _{R}mid ^{2}-mid psi _{L}mid ^{2}ight)={hbar over V}left(mid psi _{R}mid ^{2}-mid psi _{L}mid ^{2}ight)}$

откуда следует, что угловой момент фотона равен

${displaystyle l_{z}=hbar left(mid psi _{R}mid ^{2}-mid psi _{L}mid ^{2}ight)}$.

квантовая интерпретация этого выражения состоит в том, что фотон имеет вероятность ${displaystyle mid psi _{R}mid ^{2}}$ иметь угловой момент ${displaystyle hbar }$ и вероятность ${displaystyle mid psi _{L}mid ^{2}}$ иметь угловой момент ${displaystyle -hbar }$. Таким образом, мы можем думать об угловом моменте квантованного фотона, а также об энергии. Это действительно подтверждено экспериментально. У фотонов только наблюдалось угловой момент ${displaystyle pm hbar }$.

Оператор вращения

В вращение фотона определяется как коэффициент ${displaystyle hbar }$ при расчете углового момента. Фотон имеет спин 1, если он находится в ${displaystyle |Rangle }$ состояние и -1, если он находится в ${displaystyle |Langle }$ государственный. Оператор вращения определяется как внешний продукт

${displaystyle {hat {S}}equiv |Rangle langle R|-|Langle langle L|={egin{pmatrix}0&-ii&0end{pmatrix}}}$.

В собственные векторы оператора спина ${displaystyle |Rangle }$ и ${displaystyle |Langle }$ с собственные значения 1 и -1 соответственно.

Ожидаемое значение измерения спина фотона тогда будет

${displaystyle langle psi |{hat {S}}|psi angle =mid psi _{R}mid ^{2}-mid psi _{L}mid ^{2}}$.

Оператор S был связан с наблюдаемой величиной, угловым моментом. Собственные значения оператора - это допустимые наблюдаемые значения. Это было продемонстрировано для углового момента, но в целом это верно для любой наблюдаемой величины.

Вероятность одиночного фотона

Есть два способа применить вероятность к поведению фотонов; Вероятность может использоваться для вычисления вероятного числа фотонов в конкретном состоянии, или вероятность может использоваться для расчета вероятности того, что отдельный фотон находится в определенном состоянии. Первая интерпретация применима к тепловому или когерентному свету (см. Квантовая оптика ). Последняя интерпретация - вариант для однофотонной Состояние Фока. Дирак объясняет это ^{[Примечание 1]} в контексте двухщелевой эксперимент:

За некоторое время до открытия квантовой механики люди осознали, что связь между световыми волнами и фотонами должна носить статистический характер. Однако они четко не осознавали, что "волновая функция" дает информацию о вероятности один фотон находится в определенном месте, а не вероятное количество фотонов в этом месте. Важность различия можно пояснить следующим образом. Предположим, у нас есть луч света, состоящий из большого количества фотонов, разделенных на две составляющие равной интенсивности. Если предположить, что луч связан с вероятным числом фотонов в нем, мы должны иметь половину общего числа, попадающего в каждый компонент. Если теперь заставить два компонента интерферировать, мы должны потребовать, чтобы фотон в одном компоненте мог интерферировать друг с другом. Иногда эти два фотона должны были бы аннигилировать друг друга, а иногда они должны были бы произвести четыре фотона. Это противоречило бы закону сохранения энергии. Новая теория, которая связывает волновую функцию с вероятностями для одного фотона, преодолевает трудности, заставляя каждый фотон частично входить в каждый из двух компонентов. Тогда каждый фотон мешает только самому себе. Интерференции между двумя разными фотонами никогда не возникает.

— Поль Дирак, Принципы квантовой механики, Издание четвертое, глава 1

Амплитуды вероятности

Вероятность того, что фотон окажется в определенном состоянии поляризации, зависит от распределения вероятностей по полям, рассчитанного с помощью классических уравнений Максвелла (в Глаубер-Сударшанское П-представительство однофотонного Состояние Фока.) Среднее значение числа фотонов в когерентном состоянии в ограниченной области пространства квадратично по полям. В квантовой механике, по аналогии, состояние или амплитуда вероятности одной частицы содержит основную информацию о вероятности. В целом правила объединения амплитуд вероятностей очень похожи на классические правила композиции вероятностей: (Следующая цитата взята из Байма, Глава 1)

1. Амплитуда вероятностей для двух последовательных вероятностей - это произведение амплитуд индивидуальных возможностей. ...
2. Амплитуда процесса, который может происходить в одном из нескольких неотличимый Пути - это сумма амплитуд для каждого отдельного пути. ...
3. Полная вероятность возникновения процесса - это квадрат абсолютного значения полной амплитуды, рассчитанной с помощью 1 и 2.

волны де Бройля

Луи де Бройль. Де Бройль получил Нобелевская премия по физике в 1929 г. за отождествление волн с частицами.

В 1923 г. Луи де Бройль рассмотрел вопрос о том, могут ли все частицы иметь как волновую, так и частичную природу, аналогичную фотону. Фотоны отличаются от многих других частиц тем, что они безмассовые и движутся со скоростью света. В частности, де Бройль задал вопрос о том, является ли частица, которая имеет и волну, и частицу, ассоциированную с ней. последовательный с Эйнштейна два великих вклада 1905 года, специальная теория относительности и квантование энергии и импульса. Ответ оказался положительным. Волновая и частичная природа электронов была экспериментально наблюдаемый в 1927 году, через два года после открытия уравнения Шредингера.

гипотеза де Бройля

Основная статья: Волна материи

Де Бройль предположил, что каждая частица связана как с частицей, так и с волной. Угловая частота ${displaystyle omega }$ и волновое число ${displaystyle k}$ волны была связана с энергией E и импульсом p частицы соотношением

${displaystyle E=hbar omega }$

и

${displaystyle p=hbar k}$.

Вопрос сводится к тому, может ли каждый наблюдатель в каждой инерциальной системе отсчета согласиться с фазой волны. Если это так, то волновое описание частиц может соответствовать специальной теории относительности.

Рама отдыха

Сначала рассмотрим остальную систему отсчета частицы. В этом случае частота и волновое число волны связаны с энергией и импульсом свойств частиц соотношением

${displaystyle E_{0}=mc^{2}=hbar omega _{0}}$

и

${displaystyle p_{0}=0=hbar k_{0}}$

где m - масса покоя частицы.

Это описывает волну бесконечной длины волны и бесконечного фазовая скорость

${displaystyle v_{phi }={omega _{0} over k_{0}}}$.

Волну можно записать как пропорциональную

${displaystyle cos(omega _{0}^{}t)}$.

Однако это также решение для простой гармонический осциллятор, которые можно рассматривать как часы в системе отсчета покоя частицы. Мы можем представить себе часы, тикающие с той же частотой, что и волна. Фазы волны и часов можно синхронизировать.

Кадр наблюдателя

Показано, что фаза волны в системе отсчета наблюдателя такая же, как фаза волны в системе отсчета частицы, а также такая же, как и часы в двух системах отсчета. Следовательно, в специальной теории относительности существует согласованность как волновой, так и корпускулярной картины.

Фаза часов наблюдателя

В системе отсчета наблюдателя, движущегося с относительной скоростью v по отношению к частице, часы частицы тикают с частотой

${displaystyle omega _{c}={omega _{0} over gamma }}$

куда

${displaystyle gamma ={1 over {sqrt {1-{v^{2} over c^{2}}}}}}$

это Фактор Лоренца это описывает замедление времени часов, наблюдаемых наблюдателем.

Фаза часов наблюдателя равна

${displaystyle omega _{c}t={omega _{0} over gamma }(gamma t_{0})=omega _{0}t_{0}}$

куда ${displaystyle t_{0}}$ - время, измеренное в системе координат частицы. И часы наблюдателя, и часы частиц согласовывают фазу.

Фаза волны наблюдателя

Частота и волновое число волны в системе наблюдателя определяются выражением

${displaystyle E=gamma m_{o}c^{2}=hbar omega =gamma hbar omega _{o}}$

и

${displaystyle {vec {p}}=gamma m_{o}{vec {v}}=hbar {vec {k}}={frac {gamma hbar omega _{o}{vec {v}}}{c^{2}}}}$

с фазовой скоростью

${displaystyle v_{phi }={omega over k}={E over p}={c^{2} over v}}$.

Фаза волны в системе наблюдения равна

${displaystyle omega t-kx=omega t-{omega over v_{phi }}vt=omega tleft(1-{v^{2} over c^{2}}ight)={omega t over gamma ^{2}}={1 over gamma ^{2}}{gamma m_{o}c^{2} over hbar }(gamma t_{o})=omega _{o}t_{o}=omega _{c}t}$.

Фаза волны в системе отсчета наблюдателя такая же, как фаза в системе отсчета частицы, как часы в системе отсчета частицы и часы в системе отсчета наблюдателя. Таким образом, волновая картина частиц согласуется со специальной теорией относительности.

Фактически, теперь мы знаем, что эти отношения могут быть сжато записаны с использованием специальных релятивистских 4-вектор обозначение:

Соответствующие четыре вектора:

Четырехпозиционный ${displaystyle mathbf {X} =(ct,{vec {x}})}$

Четырехскоростной ${displaystyle mathbf {U} =gamma (c,{vec {u}})}$

Четыре импульса ${displaystyle mathbf {P} =left({frac {E}{c}},{vec {p}}ight)}$

Четырехволновой вектор ${displaystyle mathbf {K} =left({frac {omega }{c}},{vec {k}}ight)=left({frac {omega }{c}},{frac {omega }{v_{phi }}}{hat {n}}ight)}$

Соотношения между четырьмя векторами следующие:

${displaystyle mathbf {U} ={frac {dmathbf {X} }{d au }}}$

${displaystyle mathbf {P} =hbar mathbf {K} =m_{o}mathbf {U} }$

${displaystyle mathbf {K} =left({frac {m_{o}}{hbar }}ight)mathbf {U} =left({frac {omega _{o}}{c^{2}}}ight)mathbf {U} }$

Фаза волны - релятивистский инвариант:

${displaystyle mathbf {K} cdot mathbf {X} =omega t-{vec {k}}cdot {vec {x}}=omega _{o}t_{o}=omega _{o} au }$

Атом Бора

Основная статья: Атом Бора

Нильс Бор. В 1922 г. Нобелевская премия по физике была присуждена Нильс Бор за его вклад в понимание квантовой механики.

Несоответствие наблюдения классической физике

Гипотеза де Бройля помогла решить нерешенные вопросы атомной физики. Классическая физика не смог объяснить наблюдаемое поведение электронов в атомах. В частности, ускоряющиеся электроны испускают электромагнитное излучение в соответствии с Формула лармора. Электроны, вращающиеся вокруг ядра, должны терять энергию из-за излучения и в конечном итоге спиралевидно проникать в ядро. Этого не наблюдается. Атомы стабильны во времени, намного превышающем предсказание классической формулы Лармора.

Также было отмечено, что возбужденные атомы испускают излучение с дискретными частотами. Эйнштейн использовал этот факт, чтобы интерпретировать дискретные энергетические пакеты света как, по сути, реальные частицы. Однако, если эти реальные частицы испускаются атомами в виде дискретных пакетов энергии, должны ли эмиттеры, электроны, также изменять энергию в дискретных пакетах энергии? Нет ничего в Ньютоновская механика это объясняет это.

Гипотеза де Бройля помогла объяснить эти явления, отметив, что единственными разрешенными состояниями для электрона, вращающегося вокруг атома, являются те, которые допускают наличие стоячих волн, связанных с каждым электроном.

Серия Бальмера

Основная статья: Серия Бальмера

Серия Бальмера определяет те частоты света, которые могут излучаться возбужденным атомом водорода:

${displaystyle hbar omega _{n}=Rleft({frac {1}{2^{2}}}-{frac {1}{n^{2}}}ight)quad n=3,4,5,...}$

где R известен как Постоянная Ридберга и равен 13,6 электрон-вольт.

Предположения модели Бора

Модель Бора, представленная в 1913 году, была попыткой теоретического обоснования ряда Бальмера. Допущения модели:

1. Обращающиеся электроны существовали на круговых орбитах, которые имели дискретные квантованный энергии. То есть возможна не всякая орбита, а только некоторые конкретные.
2. Законы классическая механика не применяются, когда электроны совершают прыжок с одной разрешенной орбиты на другую.
3. Когда электрон совершает прыжок с одной орбиты на другую, разность энергий уносится (или подается) одним квантом света (называемым фотон ), которая имеет энергию, равную разнице энергий между двумя орбиталями.
4. Допустимые орбиты зависят от квантованных (дискретных) значений орбитальных угловой момент, L согласно уравнению
   ${displaystyle {L}=nhbar }$
   Где п = 1,2,3,… и называется главное квантовое число.

Последствия модели Бора

На круговой орбите центробежная сила уравновешивает силу притяжения электрона

${displaystyle {mv^{2} over r}={{e_{M}}^{2} over r^{2}}}$

где m - масса электрона, v - скорость электрона, r - радиус орбиты и

${displaystyle {e_{M}}={e over {4pi epsilon _{0}}}}$

где e - заряд электрона или протона.

Энергия вращающегося электрона равна

${displaystyle E={1 over 2}mv^{2}-{{e_{M}}^{2} over r}=-{1 over 2}{{e_{M}}^{2} over r}}$

что следует из выражения центробежной силы.

Предположение об угловом моменте модели Бора подразумевает

${displaystyle L=mvr=nhbar }$

из чего следует, что в сочетании с уравнением центробежной силы радиус орбиты определяется выражением

${displaystyle r={n^{2}hbar ^{2} over m{e_{M}}^{2}}}$.

Это означает, что из уравнения энергии

${displaystyle E_{n}=-{1 over 2}{{e_{M}}^{2} over r}=-{1 over 2}left({m{e_{M}}^{4} over hbar ^{2}}ight){1 over n^{2}}}$.

Разницу между уровнями энергии восстанавливает серия Бальмера.

Вклад де Бройля в модель Бора

Предположения Бора восстанавливают наблюдаемый ряд Бальмера. Однако сами предположения Бора не основаны на какой-либо более общей теории. Почему, например, разрешенные орбиты должны зависеть от углового момента? Гипотеза де Бройля дает некоторое понимание.

Если предположить, что электрон имеет импульс, равный

${displaystyle p=mv=hbar k}$

как постулируется гипотезой де Бройля, то угловой момент определяется выражением

${displaystyle L=mvr=hbar kr=hbar left({2pi over lambda }ight)r}$

куда ${displaystyle lambda }$ - длина волны электронной волны.

Если в атоме разрешены только стоячие электронные волны, то разрешены только орбиты с периметрами, равными целому числу длин волн:

${displaystyle lambda ={2pi r over n}}$.

Это означает, что разрешенные орбиты имеют угловой момент

${displaystyle L=nhbar }$

что является четвертым предположением Бора.

Сразу следуют предположения один и два. Третье предположение следует из сохранения энергии, которое, как показал де Бройль, согласуется с волновой интерпретацией частиц.

Потребность в динамических уравнениях

Проблема с гипотезой де Бройля применительно к атому Бора состоит в том, что мы вынудили использовать решение с плоской волной, действительное в пустом пространстве, для ситуации, в которой существует сильный потенциал притяжения. Мы еще не открыли общего динамического уравнения эволюции электронных волн. Уравнение Шредингера является непосредственным обобщением гипотезы де Бройля и динамики фотона.

Уравнение Шредингера

Основная статья: Уравнение Шредингера

Аналогия с фотонной динамикой

Динамика фотона определяется выражением

${displaystyle |phi (t+dt)angle -|phi (t)angle =-i{hat {H}}dt|phi (t)angle }$

где H - эрмитов оператор, определяемый уравнениями Максвелла. Эрмитичность оператора гарантирует сохранение энергии.

Эрвин Шредингер Предполагалось, что динамика массивных частиц имеет ту же форму, что и динамика энергосберегающих фотонов.

${displaystyle |psi (t+dt)angle -|psi (t)angle =-i{hat {H}}dt|psi (t)angle }$

куда ${displaystyle |psi (t)angle }$ - вектор состояния частицы, а H - теперь неизвестный эрмитов оператор, который необходимо определить.

Вектор состояния частицы

Вместо состояний поляризации, как в случае фотона, Шредингер предположил, что состояние вектора зависит от положения частицы. Если частица живет в одном пространственном измерении, то он разделил линию на бесконечное количество маленьких ячеек длиной ${displaystyle lambda }$ и назначил компонент вектора состояния каждому бину

${displaystyle |psi (t)angle equiv {egin{pmatrix}vdots psi _{j-1}(t)psi _{j}(t)psi _{j+1}(t)vdots end{pmatrix}}}$.

Нижний индекс j обозначает корзину.

Форма матрицы и амплитуды переходов

Уравнение перехода можно записать в матричной форме как

${displaystyle psi _{j}(t+dt)^{}-psi _{j}(t)=-isum _{k}^{}H_{jk},dt,psi _{k}(t)}$.

Эрмитовское условие требует

${displaystyle H_{jk}=H_{kj}^{*}}$.

Шредингер предположил, что вероятность может просочиться в соседние интервалы только на небольшом временном шаге dt. Другими словами, все компоненты H равны нулю, за исключением переходов между соседними бинами.

${displaystyle H_{jpm 1,j}^{}eq 0}$,

${displaystyle H_{j,j}^{}eq 0}$.

Более того, предполагается, что пространство однородно в том смысле, что все переходы вправо равны

${displaystyle H_{j+1,j}^{}=H_{j,j-1}^{}equiv H_{R}}$.

То же самое и с переходами влево.

${displaystyle H_{j-1,j}^{}=H_{j,j+1}^{}equiv H_{L}}$.

Уравнение перехода принимает вид

${displaystyle i{partial psi _{j}(t) over partial t}=H_{L}psi _{j+1}(t)-H_{R}psi _{j}(t)+H_{R}psi _{j-1}(t)-H_{L}psi _{j}(t)+H_{jj}psi _{j}(t)}$.

Первый член справа представляет движение амплитуды вероятности в ячейку j справа. Второй член представляет утечку вероятности из корзины j вправо. Третий член представляет утечку вероятности в ячейку j слева. Четвертый член представляет утечку из бункера j слева. Последний член представляет любое изменение фазы в амплитуде вероятности в интервале j.

Если мы расширим амплитуду вероятности до второго порядка по размеру ячейки ${displaystyle lambda }$ и предположим, что пространство изотропно, ${displaystyle H_{R}=H_{L}equiv H_{0}}$ уравнение перехода сводится к

${displaystyle i{partial psi _{j}(t) over partial t}=H_{0}{lambda ^{2}}{partial ^{2}psi _{j}(t) over partial x^{2}}+H_{jj}psi _{j}(t)}$.

Уравнение Шредингера в одном измерении

Плотности вероятностей для электрона при различных квантовых числах в атоме водорода.

Уравнение перехода должно соответствовать гипотезе де Бройля. В свободном пространстве амплитуда вероятности волны де Бройля пропорциональна

${displaystyle exp left[ileft(kx-omega tight)ight]}$

куда

${displaystyle E=hbar omega ={p^{2} over 2m}={hbar ^{2}k^{2} over 2m}}$

в нерелятивистском пределе.

Решение де Бройля для свободного пространства является решением уравнения перехода, если мы требуем

${displaystyle H_{0}lambda ^{2}=-{hbar over 2m}}$

и

${displaystyle H_{jj}^{}=0^{}}$.

Член производной по времени в уравнении перехода можно отождествить с энергией волны де Бройля. Член пространственной производной можно отождествить с кинетической энергией. Это говорит о том, что термин, содержащий ${displaystyle H_{jj}}$ пропорциональна потенциальной энергии. Это дает уравнение Шредингера

${displaystyle ihbar {partial psi (x,t) over partial t}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}psi (x,t)}{partial x^{2}}}+U(x)psi (x,t)}$

где U - классическая потенциальная энергия, а

${displaystyle psi (x,t)equiv {1 over {sqrt {lambda }}}psi _{j}(t)}$

и

${displaystyle 1=int _{-infty }^{infty }psi ^{*}(x,t)psi (x,t)dx}$.

Уравнение Шредингера в трех измерениях

В трех измерениях уравнение Шредингера принимает вид

${displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{abla ^{2}psi }+Upsi =ihbar {partial over partial t}psi }$

Атом водорода

В раствор для атома водорода описывает стоячие волны энергии, точно заданные рядом Бальмера. Это было впечатляющим подтверждением уравнения Шредингера и волнового поведения вещества.

Смотрите также

• Основные понятия квантовой механики
• Угловая частота
• Уравнение Дирака
• Формулировка интеграла по путям
• Фотоэлектрический эффект
• Поляризация фотона
• Квантовая электродинамика
• Связь между уравнением Шредингера и формулировкой интеграла по путям квантовой механики
• Эксперимент Штерна-Герлаха
• Дуальность волна-частица

Примечания

1. Это объяснение в некотором смысле устарело или даже устарело, поскольку теперь мы знаем, что концепция однофотонной волновой функции оспаривается. ^[1], что в когерентное состояние один действительно имеет дело с вероятным числом фотонов, заданным пуассоновской статистикой когерентного состояния, и что разные фотоны действительно могут мешать^[2].

Рекомендации

• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли. ISBN  047130932X.
• Байм, Гордон (1969). Лекции по квантовой механике. В. А. Бенджамин. ISBN  978-0805306675.
• Дирак, П.А.М. (1958). Принципы квантовой механики (Четвертое изд.). Оксфорд. ISBN  0-19-851208-2.