Вариационный принцип - Variational principle

В науке и особенно в математике вариационный принцип тот, который позволяет решить проблему с помощью вариационное исчисление, который касается поиска таких функций, которые оптимизируют значения величин, которые зависят от этих функций. Например, задача определения формы подвешенной на обоих концах цепочки - цепная связь - может быть решена с помощью вариационного исчисления, и в этом случае вариационный принцип заключается в следующем: решение представляет собой функцию, которая минимизирует гравитационную потенциальную энергию цепи.

Обзор

Любой физический закон, который можно выразить в виде вариационного принципа, описывает самосопряженный оператор.^[1]^{[требуется проверка ]} Эти выражения также называют Эрмитский. Такое выражение описывает инвариантный при эрмитовом преобразовании.

История

Феликс Кляйн с Программа Эрланген попытался выделить такие инварианты при группе преобразований. В том, что в физике называется Теорема Нётер, то Группа Пуанкаре преобразований (то, что сейчас называется группа датчиков ) за общая теория относительности определяет симметрии относительно группы преобразований, зависящих от вариационного принципа, или принцип действия.

Примеры

По математике

В Метод Рэлея – Ритца для решения краевые задачи примерно
Вариационный принцип Экланда в математической оптимизации
В метод конечных элементов
Принцип вариации, касающийся топологическая энтропия и Колмогорова-Синая энтропия.

В физике

Принцип Ферма в геометрическая оптика
Принцип Мопертюи в классическая механика
В принцип наименьшего действия в механика, электромагнитная теория, и квантовая механика
В вариационный метод в квантовой механике
Принцип наименьшего принуждения Гаусса и Принцип наименьшей кривизны Герца
Принцип действия Гильберта в общей теории относительности, что привело к Уравнения поля Эйнштейна.
Вариация Палатини

Рекомендации

^ Ланцош, Корнелиус (1974) [1-е издание 1970 г., University of Toronto Press ]. Вариационные принципы механики (4-е, издание в мягкой обложке). Дувр. ISBN 0-8020-1743-6.

Экеланд, Ивар (1979). «Задачи невыпуклой минимизации». Бюллетень Американского математического общества. Новая серия. 1 (3): 443–474. Дои:10.1090 / S0273-0979-1979-14595-6. МИСТЕР 0526967.CS1 maint: ref = harv (связь)
С. Т. Эпштейн 1974 "Вариационный метод в квантовой химии". (Нью-Йорк: академический)
Р. П. Фейнман, «Принцип наименьшего действия», почти дословная стенограмма лекции в томе 2, главе 19 Лекции Фейнмана по физике, Addison-Wesley, 1965. Введение в неподражаемый стиль Фейнмана.
C Lanczos, Вариационные принципы механики (Dover Publications)
Р. К. Несбет 2003 "Вариационные принципы и методы теоретической физики и химии". (Нью-Йорк: Cambridge U.P.)
С. К. Адхикари 1998 "Вариационные принципы для численного решения задач рассеяния". (Нью-Йорк: Wiley)
С. Г. Грей, Г. Карл Г. и В. А. Новиков 1996, Анна. Phys. 251 1.
К.Г. Грей, Г. Карл, В. А. Новиков ».Прогресс в классических и квантовых вариационных принципах ". 11 декабря 2003 г. Физика / 0312071 Классическая физика.
Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-X.
Стивен Вольфрам, Новый вид науки (2002), п. 1052
Джон Венейблс "Вариационный принцип и некоторые приложения ". Кафедра физики и астрономии, Государственный университет Аризоны, Темпе, Аризона (аспирантура: квантовая физика)
Эндрю Джеймс Уильямсон "Вариационный принцип - Квантовые расчеты электронных возбуждений методом Монте-Карло ». Колледж Робинсона, Кембридж, Теория конденсированных сред, лаборатория Кавендиша. Сентябрь 1996 г. (диссертация доктора философии)
Киёхиса Токунага "Вариационный принцип для электромагнитного поля. ". Полный интеграл для электромагнитного канонического действия, часть вторая, Релятивистская каноническая теория электромагнетизма, глава VI.
Комков Вадим (1986) Вариационные принципы механики сплошных сред с инженерными приложениями. Vol. 1. Теория критических точек. Математика и ее приложения, 24. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht.
Кассель, Кевин В.: Вариационные методы с приложениями в науке и технике, Cambridge University Press, 2013.

[1] Ланцош, Корнелиус (1974) [1-е издание 1970 г., University of Toronto Press ]. Вариационные принципы механики (4-е, издание в мягкой обложке). Дувр. ISBN 0-8020-1743-6.

[1]