Вариационный принцип Эклендса - Ekelands variational principle

В математический анализ, Вариационный принцип Экланда, обнаруженный Ивар Экеланд,^[1][2][3] - это теорема, утверждающая, что существуют почти оптимальные решения некоторых проблемы оптимизации.

Вариационный принцип Экланда можно использовать, когда нижняя набор уровней проблем минимизации нет компактный, таким образом Теорема Больцано – Вейерштрасса не может применяться. Принцип Экланда основан на полнота из метрическое пространство.^[4]

Принцип Экланда приводит к быстрому доказательству Теорема Каристи о неподвижной точке.^[4][5]

Было показано, что принцип Экланда эквивалентен полноте метрических пространств.^[6]

Экеланд был связан с Парижский университет Дофин когда он предложил эту теорему.^[1]

Вариационный принцип Экланда

Предварительные мероприятия

Позволять ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ быть функцией. Потом,

• ${\displaystyle \operatorname {dom} f:=\left\{x\in X:f(x)\neq +\infty \right\}}$.
• ж является правильный если ${\displaystyle \operatorname {dom} f\neq \emptyset }$ (т.е. если ж не идентично ${\displaystyle +\infty }$).
• ж является ограниченный снизу если ${\displaystyle \inf _{x\in X}f(x)>-\infty }$.
• данный ${\displaystyle x_{0}\in X}$, скажи это ж является полунепрерывный снизу в ${\displaystyle x_{0}}$ если для каждого ${\displaystyle y<f(x_{0})}$ существует район ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle x_{0}}$ такой, что ${\displaystyle f(x)>y}$ для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle U}$.
• ж является полунепрерывный снизу если он полунепрерывен снизу в каждой точке Икс.
  • Функция полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \{x\in X:~f(x)>y\}}$ является открытый набор для каждого ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$; в качестве альтернативы функция является полунепрерывной снизу тогда и только тогда, когда все ее нижние наборы уровней ${\displaystyle \{x\in X:~f(x)\leq y\}}$ находятся закрыто.

Формулировка теоремы

Теорема (Экланд):^[7] Позволять ${\displaystyle (X,d)}$ быть полное метрическое пространство и ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ собственное (т.е. не идентично ${\displaystyle +\infty }$) полунепрерывный снизу ограниченная снизу функция. Выбирать ${\displaystyle \epsilon >0}$ и ${\displaystyle x_{0}\in X}$ такой, что ${\displaystyle f(x_{0})\neq +\infty }$ (или эквивалентно, ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} }$). Есть некоторые ${\displaystyle v\in X}$ такой, что

${\displaystyle f(v)\leq f\left(x_{0}\right)-\epsilon d\left(x_{0},v\right)}$

и для всех ${\displaystyle x\neq v}$,

${\displaystyle f(v)<f(x)+\epsilon d\left(v,x\right)}$.

Доказательство теоремы

Определите функцию ${\displaystyle G:X\times X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ к

${\displaystyle G\left(x,y\right):=f(x)+\epsilon d(x,y)}$

и обратите внимание, что грамм полунепрерывно снизу (являясь суммой полунепрерывной снизу функции ж и непрерывная функция ${\displaystyle (x,y)\mapsto \epsilon d(x,y)}$).Данный ${\displaystyle z\in X}$, определим функции ${\displaystyle G_{z}:=G(z,\cdot ):X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ и ${\displaystyle G^{z}:=G(\cdot ,z):X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ и определим множество

${\displaystyle F(z):=\left\{y\in Y:G_{z}(y)\leq f(z)\right\}=\left\{y\in Y:f(z)+\epsilon d(z,y)\leq f(z)\right\}}$.

Несложно показать, что для всех ${\displaystyle x\in X}$,

1. ${\displaystyle F(x)}$ закрыто (потому что ${\displaystyle G_{x}:=G(x,\cdot ):X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ полунепрерывно снизу);
2. если ${\displaystyle x\not \in \operatorname {dom} f}$ тогда ${\displaystyle F(x)=X}$;
3. если ${\displaystyle x\in \operatorname {dom} f}$ тогда ${\displaystyle x\in F(x)\subseteq \operatorname {dom} f}$; особенно, ${\displaystyle x_{0}\in F(x_{0})\subseteq \operatorname {dom} f}$;
4. если ${\displaystyle y\in F(x)}$ тогда ${\displaystyle F(y)\subseteq F(x)}$.

Позволять ${\displaystyle s_{0}=\inf _{x\in F(x_{0})}f(x)}$, которое является действительным числом, поскольку ж считалось ограниченным снизу. Выбирать ${\displaystyle x_{1}\in F\left(x_{0}\right)}$ такой, что ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)<s_{0}+2^{-1}}$. Определив ${\displaystyle s_{n-1}}$ и ${\displaystyle x_{n}}$, определять ${\displaystyle s_{n}:=\inf _{x\in F\left(x_{n}\right)}f(x)}$ и выбрать ${\displaystyle x_{n+1}\in F\left(x_{n}\right)}$ такой, что ${\displaystyle f\left(x_{n+1}\right)<s_{n}+2^{-(n+1)}}$.

Обратите внимание на следующее:

• для всех ${\displaystyle n\geq 0}$, ${\displaystyle F\left(x_{n+1}\right)\subseteq F\left(x_{n}\right)}$ (потому что ${\displaystyle x_{n+1}\in F\left(x_{n}\right)}$, откуда теперь следует, что ${\displaystyle s_{n+1}\geq s_{n}}$;
• для всех ${\displaystyle n\geq 1}$, потому что ${\displaystyle x_{n+1}\in F\left(x_{n}\right)}$

${\displaystyle \epsilon d\left(x_{n+1},x_{n}\right)\leq f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n+1}\right)\leq f\left(x_{n}\right)-s_{n}\leq f\left(x_{n}\right)-s_{n-1}<2^{-n}}$

Отсюда следует, что для всех ${\displaystyle n,p\geq 1}$, ${\displaystyle d\left(x_{n+1},x_{n}\right)\leq \epsilon 2^{1-n}}$, таким образом показывая, что ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty }}$ является последовательностью Коши. С Икс полное метрическое пространство, существует ${\displaystyle v\in X}$ такой, что ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty }}$ сходится к v. С ${\displaystyle x_{m}\in F\left(x_{n}\right)}$ для всех ${\displaystyle m\geq n}$, у нас есть ${\displaystyle v\in \operatorname {cl} F(x_{n})=F(x_{n})}$ для всех ${\displaystyle n\geq 0}$, где, в частности, ${\displaystyle v\in F(x_{0})}$.

Мы покажем, что ${\displaystyle F\left(v\right)=\left\{v\right\}}$ из чего будет следовать вывод теоремы. Позволять ${\displaystyle x\in F(v)}$ и обратите внимание, что поскольку ${\displaystyle x\in F(x_{n})}$ для всех ${\displaystyle n\geq 0}$, мы имеем, как указано выше, ${\displaystyle \epsilon d\left(x,x_{n}\right)\leq 2^{-n}}$ и заметим, что это означает, что ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty }}$ сходится к Икс. Поскольку предел ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty }}$ уникален, мы должны иметь ${\displaystyle x=v}$. Таким образом ${\displaystyle F\left(v\right)=\left\{v\right\}}$, по желанию. Q.E.D.

Следствия

Следствие:^[8] Позволять (Икс, d) быть полное метрическое пространство, и разреши ж: Икс → р ∪ {+ ∞} быть полунепрерывный снизу функционирует на Икс ограниченное снизу и не равное тождественно + ∞. Исправить ε > 0 и точка ${\displaystyle x_{0}}$ ∈ Икс такой, что

${\displaystyle f\left(x_{0}\right)\leq \varepsilon +\inf _{x\in X}f(x).}$

Затем для каждого λ > 0 существует точка v ∈ Икс такой, что

${\displaystyle f(v)\leq f\left(x_{0}\right),}$

${\displaystyle d\left(x_{0},v\right)\leq \lambda ,}$

и для всех Икс ≠ v,

${\displaystyle f(x)>f(v)-{\frac {\varepsilon }{\lambda }}d(v,x).}$

Обратите внимание, что хороший компромисс - это взять ${\displaystyle \lambda :={\sqrt {\epsilon }}}$ в предыдущем результате.^[8]

Рекомендации

1. Экеланд, Ивар (1974). «По вариационному принципу». J. Math. Анальный. Приложение. 47: 324–353. Дои:10.1016 / 0022-247X (74) 90025-0. ISSN  0022-247X.
2. Экеланд, Ивар (1979). «Задачи невыпуклой минимизации». Бюллетень Американского математического общества. Новая серия. 1 (3): 443–474. Дои:10.1090 / S0273-0979-1979-14595-6. МИСТЕР  0526967.
3. Экеланд, Ивар; Темам, Роджер (1999). Выпуклый анализ и вариационные задачи. Классика по прикладной математике. 28 (Исправленное переиздание изд. Северной Голландии (1976)). Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). С. 357–373. ISBN  0-89871-450-8. МИСТЕР  1727362.
4. Кирк, Уильям А .; Гебель, Казимеж (1990). Темы метрической теории фиксированной точки. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-38289-0.
5. Хорошо, Эфе (2007). «Д: Непрерывность I». Реальный анализ с экономическими приложениями (PDF). Издательство Принстонского университета. п. 664. ISBN  978-0-691-11768-3. Получено 31 января, 2009.
6. Салливан, Фрэнсис (октябрь 1981). «Характеристика полных метрических пространств». Труды Американского математического общества. 83 (2): 345–346. Дои:10.1090 / S0002-9939-1981-0624927-9. МИСТЕР  0624927.
7. Залинеску 2002, п. 29.
8. Залинеску 2002, п. 30.

дальнейшее чтение

• Экеланд, Ивар (1979). «Задачи невыпуклой минимизации». Бюллетень Американского математического общества. Новая серия. 1 (3): 443–474. Дои:10.1090 / S0273-0979-1979-14595-6. МИСТЕР  0526967.
• Кирк, Уильям А .; Гебель, Казимеж (1990). Темы метрической теории фиксированной точки. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-38289-0.
• Залинеску, C (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. ISBN  981-238-067-1. OCLC  285163112.