Принцип ферматов - Fermats principle

рисунок 1: Принцип Ферма в случае преломления света на плоской поверхности между (скажем) воздухом и водой. Учитывая объект-точку А в воздухе и смотровая площадка B в воде точка преломления п то, что сводит к минимуму время, необходимое свету для прохождения пути APB. Если мы ищем необходимое значение Икс, находим, что углы α и β удовлетворить Закон Снеллиуса.

Принцип Ферма, также известный как принцип наименьшего времени, это связь между лучевая оптика и волновая оптика. В первоначальном «сильном» виде,^[1] Принцип Ферма гласит, что путь, пройденный луч между двумя заданными точками - это путь, который можно пройти за наименьшее время. Чтобы быть верным во всех случаях, это утверждение должно быть ослаблено, заменив «наименьшее» время на время, которое «стационарный "по отношению к вариациям пути, так что отклонение пути вызывает не более чем второго порядка изменение времени обхода. Грубо говоря, путь луча окружен близкими путями, которые можно пройти в очень близкие времена. Это можно показать что это техническое определение соответствует более интуитивным понятиям луча, таким как линия взгляда или путь узкого луча.

Впервые предложено французским математиком Пьер де Ферма в 1662 году как средство объяснения обычный закон преломления Из-за света (рис. 1) принцип Ферма изначально был спорным, потому что он, казалось, приписывал знание и намерение природе. Лишь в XIX веке стало понятно, что способность природы проверять альтернативные пути - это просто фундаментальное свойство волн.^[2] Если точки А и B даны, волновой фронт расширение от А заметает все возможные пути лучей, исходящие от А, проходят ли они через B или нет. Если фронт волны достигает точки B, сметает не только луч путь (и) от А к B, но и бесконечное количество близлежащих путей с одинаковыми конечными точками. Принцип Ферма описывает любой луч, который достигает точкиB; нет никакого смысла в том, что луч «знал» самый быстрый путь или «намеревался» пойти по нему.

Рис. 2: Две точки п и П' на пути от А к B. Для целей принципа Ферма время распространения от п к П' принимается как точечный источник при п, а не (например) для произвольного волнового фронта W проходя через п. Поверхность Σ (с блоком нормальный n в П') - геометрическое место точек, в которых возмущение п может достичь за то же время, что и П'; другими словами, Σ - вторичный волновой фронт с радиусом PP ′. (Среда нет предполагается однородным или изотропный.)

Для сравнения времени обхода время от одной точки до следующей назначенной точки берется так, как если бы первая точка была точечный источник.^[3] Без этого условия время обхода было бы неоднозначным; например, если время распространения от п к П' отсчитывались от произвольного волнового фронта W содержащий п (Рис. 2), это время можно сделать сколь угодно малым, если наклонить волновой фронт под соответствующим углом.

Считать точку на пути источником является минимальным требованием Принцип Гюйгенса, и является частью объяснение принципа Ферма. Но это также можно показать что геометрический строительство по которому Гюйгенс попытка применить свой собственный принцип (в отличие от самого принципа) - это просто обращение к принципу Ферма.^[4] Отсюда все выводы, которые Гюйгенс сделал из этой конструкции, включая, помимо прочего, законы прямолинейного распространения света, обычного отражения, обычного преломления и необычайного преломления "Исландский кристалл «(кальцит) - тоже следствия принципа Ферма.

Вывод

Достаточные условия

Предположим, что:

(1) Возмущение распространяется последовательно через средний (вакуум или какой-либо материал, не обязательно однородный или изотропный ), без действие на расстоянии;

(2) Во время распространения влияние возмущения в любой промежуточной точке п по окружающим точкам имеет ненулевой угловой разброс (как если бы п были источником), так что возмущение, возникающее в любой точке А прибывает в любую другую точку B через бесконечное множество путей, по которым B получает бесконечное количество отсроченных версий возмущения на А;^{[Примечание 1]} и

(3) Эти отложенные версии нарушения будут усиливать друг друга на B если они синхронизированы в пределах некоторого допуска.

Тогда различные пути распространения от А к B будут помогать друг другу, если время их прохождения согласуется в пределах указанного допуска. При небольшом допуске (в предельном случае) допустимый диапазон вариаций траектории максимизируется, если траектория такова, что время ее прохождения составляет стационарный относительно вариаций, так что вариация траектории вызывает не более второго порядка изменение времени обхода.^[5]

Наиболее очевидным примером стационарности времени прохождения является минимум (локальный или глобальный), то есть путь наименее время, как в «сильной» форме принципа Ферма. Но это условие не является существенным для аргументации.^{[Заметка 2]}

Установив, что путь стационарного времени прохождения подкрепляется максимально широким коридором соседних путей, нам все еще нужно объяснить, как это подкрепление соответствует интуитивным представлениям о луче. Но для краткости пояснений давайте сначала определять траектория луча как траектория стационарного времени прохождения.

Луч как путь прохождения сигнала (линия прямой видимости)

Если коридор путей, армирующих путь луча от А к B существенно затруднен, это существенно изменит уровень возмущения, достигающий B из А - в отличие от препятствия аналогичного размера за пределами любой такой коридор, преграждающий пути, не усиливающие друг друга. Прежнее препятствие значительно нарушит сигнал, достигающий B из А, а последнего не будет; таким образом, путь луча отмечает сигнал дорожка. Если сигнал представляет собой видимый свет, первое препятствие значительно повлияет на внешний вид объекта на А как видит наблюдатель на B, а последнего не будет; так что путь луча отмечает Поле зрения.

В оптических экспериментах луч зрения обычно считается траекторией луча.^[6]

Луч как энергетический путь (луч)

Рис. 3: Эксперимент, демонстрирующий преломление (и частичное отражение) лучи - приближены или содержатся в узких лучах

Если коридор путей, армирующих путь луча от А к B существенно затруднен, это существенно повлияет на энергия^{[Заметка 3]} достижение B из А - в отличие от препятствия аналогичного размера за пределами любого такого коридора. Таким образом, путь луча отмечает энергия путь - как и луч.

Предположим, что волновой фронт, расширяющийся из точки А проходит точка п, лежащая на пути луча от точки А В точку B. По определению, все точки на волновом фронте имеют одинаковое время распространения от А. Теперь позвольте волновому фронту быть заблокированным, кроме окна с центром в п, и достаточно мал, чтобы лежать в коридоре путей, которые усиливают путь луча от А к B. Тогда все точки на свободной части волнового фронта будут иметь почти достаточно равные времена распространения B, но нет на точки в других направлениях, так что B будет в направлении максимальной интенсивности пучка, пропущенного через окно.^[7] Таким образом, путь луча отмечает луч. А в оптических экспериментах луч обычно рассматривается как совокупность лучей или (если он узкий) как приближение к лучу (рис. 3).^[8]

Аналогии

Согласно «сильной» форме принципа Ферма, задача нахождения пути светового луча от точки А в среде более быстрого распространения, чтобы указать B в среде более медленного распространения (рисунок 1 ), аналогична проблеме, с которой сталкивается Спасатель при принятии решения о том, где войти в воду, чтобы как можно скорее добраться до тонущего пловца, учитывая, что спасатель может бежать быстрее, чем он (а) плавать.^[9] Но эта аналогия не соответствует объясняя поведение света, потому что спасатель может подумать о проблеме (хотя бы на мгновение), тогда как свет предположительно не может. Открытие того, что муравьи способны на подобные вычисления^[10] не преодолевает разрыв между одушевленным и неодушевленным.

Напротив, приведенные выше предположения (1) - (3) выполняются для любого волнового возмущения и объясняют принцип Ферма чисто механистический термины, без вменения знаний или цели.

Принцип применим к волнам в целом, включая (например) звуковые волны в жидкостях и упругие волны в твердых телах.^[11] В модифицированном виде работает даже для волны материи: в квантовая механика, то классический путь частицы можно получить, применив принцип Ферма к соответствующей волне - за исключением того, что, поскольку частота может изменяться в зависимости от пути, стационарность находится в сдвиг фазы (или количество циклов) и не обязательно во времени.^[12][13]

Однако принцип Ферма наиболее известен в случае видимого свет: это связь между геометрическая оптика, который описывает некоторые оптические явления с точки зрения лучи, а волновая теория света, который объясняет те же явления на основе гипотезы о том, что свет состоит из волны.

Эквивалентность конструкции Гюйгенса

Рис. 4: Две итерации конструкции Гюйгенса. В первой итерации более поздний волновой фронт W ′ происходит из более раннего волнового фронта W взяв огибающую всех вторичных волновых фронтов (серые дуги), расширяющихся за заданное время из всех точек (например, п) на W. Стрелки показывают направления лучей.

В этой статье мы различаем Гюйгенса принцип, в котором говорится, что каждая точка, пересекаемая бегущей волной, становится источником вторичной волны, а Гюйгенс строительство, который описан ниже.

Пусть поверхность W быть волновым фронтом во времени т, и пусть поверхность W ′ быть тем же волновым фронтом в более позднее время t + Δt (Рис.4). Позволять п быть общей точкой зрения на W. Тогда, согласно конструкции Гюйгенса,^[14]

(а) W ′ это конверт (общая касательная поверхность), на передней стороне W, из всех вторичных волновых фронтов, каждый из которых будет расширяться во времени Δt с определенного момента W, и

б) если вторичный волновой фронт, расширяющийся из точки п во время Δt касается поверхности W ′ в точке П', тогда п и П' лежать на луче.

Построение можно повторить, чтобы найти последовательные положения первичного волнового фронта и последовательные точки на луче.

Направление луча, задаваемое этой конструкцией, является радиальным направлением вторичного волнового фронта,^[15] и может отличаться от нормали вторичного волнового фронта (ср.Рис. 2 ), а значит, и нормали к первичному волновому фронту в точке касания. Следовательно, луч скоростьпо величине и направлению представляет собой радиальную скорость бесконечно малого вторичного волнового фронта и обычно является функцией местоположения и направления.^[16]

Теперь позвольте Q быть точкой на W рядом с п, и разреши Q ′ быть точкой на W ′ рядом с П'. Тогда по построению

(i) время, затраченное на вторичный волновой фронт от п достигать Q ′ имеет зависимость не более второго порядка от смещения P′Q ′, и

(ii) время, за которое вторичный волновой фронт достигает П' из Q имеет зависимость не более второго порядка от смещения PQ.

По (i) путь луча - это путь стационарного времени прохождения от п к W ′;^[17] и согласно (ii) это путь стационарного времени прохождения от точки на W к П'.^[18]

Таким образом, конструкция Гюйгенса неявно определяет путь луча как путь стационарного времени прохождения между последовательными положениями волнового фронта, время отсчитывается от точечный источник на более раннем волновом фронте.^{[Примечание 4]} Этот вывод остается в силе, если вторичные волновые фронты отражаются или преломляются поверхностями с разрывом в свойствах среды, при условии, что сравнение ограничивается путями воздействия и затронутыми частями волновых фронтов.^{[Примечание 5]}

Однако принцип Ферма условно выражается в точка-точка термины, а не члены от волнового фронта к волновому фронту. Соответственно, модифицируем пример, предположив, что волновой фронт, который становится поверхностным W вовремя т, и который становится поверхностью W ′ в более позднее время t + Δt, вылетает из точки А вовремя0. Позволять п быть точкой на W (как и раньше), и B точка на W ′. И разреши A, W, W ′, и B быть дано, так что проблема состоит в том, чтобы найти п.

Если п удовлетворяет конструкции Гюйгенса, так что вторичный волновой фронт от п касается W ′ в B, тогда PB путь стационарного обхода времени от W к B. Добавление фиксированного времени от А к W, мы находим, что APB это путь стационарного времени обхода от А к B (возможно, с ограниченной областью сравнения, как отмечалось выше) в соответствии с принципом Ферма. Этот аргумент работает и в обратном направлении, при условии, что W ′ имеет хорошо определенную касательную плоскость в точке B. Таким образом, конструкция Гюйгенса и принцип Ферма геометрически эквивалентны.^{[19][Примечание 6]}

Благодаря этой эквивалентности принцип Ферма поддерживает конструкцию Гюйгенса и, следовательно, все выводы, которые Гюйгенс смог сделать из этой конструкции. Короче говоря, «законы геометрической оптики могут быть выведены из принципа Ферма».^[20] За исключением самого принципа Ферма-Гюйгенса, эти законы являются частными случаями в том смысле, что они зависят от дальнейших предположений о среде. Два из них упомянуты под следующим заголовком.

Особые случаи

Изотропные среды: лучи перпендикулярны волновым фронтам

В изотропной среде, поскольку скорость распространения не зависит от направления, вторичные волновые фронты, которые расширяются из точек на первичном волновом фронте в заданном бесконечно малый время сферическое,^[16] так что их радиусы нормальны к их общей касательной поверхности в точках касания. Но их радиусы отмечают направления лучей, а их общая касательная поверхность представляет собой общий волновой фронт. Таким образом, лучи нормальны (ортогональны) волновым фронтам.^[21]

Поскольку большая часть преподавания оптики концентрируется на изотропных средах, а анизотропные среды рассматриваются как дополнительная тема, предположение о том, что лучи нормальны к волновым фронтам, может стать настолько распространенным, что даже принцип Ферма объясняется в рамках этого предположения:^[22] хотя на самом деле принцип Ферма более общий.

Однородные среды: прямолинейное распространение

В однородной среде (также называемой униформа среда), все вторичные волновые фронты, которые расширяются от данного первичного волнового фронта W в данный момент Δt находятся конгруэнтный и так же ориентированы, так что их конверт W ′ можно рассматривать как конверт Один вторичный волновой фронт, который сохраняет свою ориентацию, пока его центр (источник) перемещается W. Если п его центр, в то время как П' это точка касания с W ′, тогда П' движется параллельно п, так что плоскость, касательная к W ′ в П' параллельна плоскости, касательной к W в п. Пусть другой (конгруэнтный и аналогично ориентированный) вторичный волновой фронт будет центрирован на П', двигаясь с п, и пусть он встретит свой конверт W ″ в точке П". Тогда по тем же рассуждениям плоскость, касательная к W ″ в П" параллельно двум другим плоскостям. Следовательно, из-за конгруэнтности и подобных ориентаций направления лучей PP ′ и P′P ″ одинаковы (но не обязательно перпендикулярны волновым фронтам, поскольку вторичные волновые фронты не обязательно сферические). Эту конструкцию можно повторять любое количество раз, получая прямой луч любой длины. Таким образом, однородная среда пропускает прямолинейные лучи.^[23]

Современная версия

Формулировка показателя преломления

Пусть путь Γ простираться от точки А В точку B. Позволять s быть длиной дуги, измеренной на пути от А, и разреши т время, затраченное на прохождение этой дуги со скоростью луча ${\displaystyle v_{\mathrm {r} }}$ (то есть с радиальной скоростью локального вторичного волнового фронта для каждого местоположения и направления на пути). Тогда время обхода всего пути Γ является

${\displaystyle T=\int _{A}^{B}\!dt\,=\int _{A}^{B}{\frac {ds}{\,v_{\mathrm {r} }\,}}}$

(1)

(куда А и B просто обозначают конечные точки и не должны рассматриваться как значения т или же s). Условие для Γ быть луч путь состоит в том, что изменение первого порядка в Т в связи с изменением Γ равно нулю; то есть,

${\displaystyle \delta T=\,\delta \int _{A}^{B}{\frac {ds}{\,v_{\mathrm {r} }\,}}\,=\,0\,}$.

Теперь определим оптическая длина заданного пути (длина оптического пути, OPL) как расстояние, пройденное лучом в однородной изотропной эталонной среде (например, в вакууме) за то же время, которое требуется для прохождения заданного пути с локальной лучевой скоростью.^[24] Тогда, если c обозначает скорость распространения в эталонной среде (например, скорость света в вакууме), оптическую длину пути, пройденного во времени dt является‍ dS = c dt,‍ и оптическая длина пути, пройденного во времени Т является‍ S = cT.  Итак, умножая уравнение(1) через c, мы получаем

${\displaystyle S\,=\int _{A}^{B}\!dS\,=\int _{A}^{B}{\frac {\,c\,}{v_{\mathrm {r} }}}\,ds\,=\int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,ds\,,}$

куда ${\displaystyle \,n_{\mathrm {r} }=c/v_{\mathrm {r} }\,}$ это индекс лучей - это показатель преломления рассчитано на луч скорость вместо обычной фазовая скорость (нормальная скорость волны).^[25] Для бесконечно малого пути имеем  ${\displaystyle dS=n_{\mathrm {r} \,}ds\,,\,}$ указывает на то, что оптическая длина - это физическая длина, умноженная на индекс луча: OPL является условным геометрический количество, из которого вычтено время. С точки зрения OPL условие для Γ быть траекторией луча (принцип Ферма) становится

${\displaystyle \delta S=\,\delta \int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,ds\,=\,0\,}$.

(2)

Это имеет вид Принцип Мопертюи в классическая механика (для отдельной частицы), причем лучевой индекс в оптике играет роль импульса или скорости в механике.^[26]

В изотропной среде, для которой лучевая скорость также является фазовой,^{[Примечание 7]} мы можем заменить обычный показатель преломления п зап_р. ^[27][28]

Связь с принципом Гамильтона

Если х, у, г являются декартовыми координатами, а точка обозначает дифференцирование по s, Принцип Ферма (2) может быть написано^[29]

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&=\,\delta \int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}\\&=\,\delta \int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}~ds\,=\,0\,.\end{aligned}}}$

В случае изотропной среды можно заменить п_р с нормальным показателем преломления п(х, у, г), который просто скалярное поле. Если мы затем определим оптический Лагранжиан^[30] в качестве

${\displaystyle L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})\,=\,n(x,y,z)\,{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}\,,}$

Принцип Ферма становится^[31]

${\displaystyle \delta S=\,\delta \int _{A}^{B}\!L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})\,ds\,=\,0\,}$.

Если направление распространения всегда такое, что мы можем использовать z вместо s как параметр пути (и точка для обозначения дифференцирования относительноz вместо s) оптический лагранжиан вместо этого можно записать^[32]

${\displaystyle L{\big (}x(z),y(z),{\dot {x}}(z),{\dot {y}}(z),z{\big )}=n(x,y,z)\,{\sqrt {1+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\,,}$

так что принцип Ферма становится

${\displaystyle \delta S=\,\delta \int _{A}^{B}\!L{\big (}x(z),y(z),{\dot {x}}(z),{\dot {y}}(z),z{\big )}\,dz\,=\,0\,}$.

Это имеет вид Принцип Гамильтона в классической механике, за исключением того, что отсутствует измерение времени: третья пространственная координата в оптике играет роль времени в механике.^[33] Оптический лагранжиан - это функция, которая при интегрировании с параметр пути дает OPL; это основа Лагранжева и гамильтонова оптика.^[34]

История

Ферма против картезианцев

Пьер де Ферма (1607^[35] –1665)

Если луч следует по прямой, очевидно, что он проходит по пути наименьшего длина. Герой Александрии, в его Катоптрики (I век н.э.), показал, что обычные закон отражения от плоской поверхности следует из предположения, что общая длина путь луча минимален.^[36] В 1657 г. Пьер де Ферма полученные от Marin Cureau de la Chambre Копия недавно опубликованного трактата, в котором Ла Шамбр отметил принцип Героя и пожаловался, что он не работает при преломлении.^[37]

Ферма ответил, что преломление может быть помещено в те же рамки, если предположить, что свет идет по пути наименьшего сопротивление, и что разные СМИ оказывали разное сопротивление. Его возможное решение, описанное в письме к Ла Шамбру от 1 января 1662 года, истолковало «сопротивление» как обратно пропорциональное скорости, так что свет выбирал путь наименьшего время. Эта предпосылка привела к обычный закон преломления при условии, что в оптически более плотной среде свет распространяется медленнее.^{[38][Примечание 8]}

Решение Ферма было знаковым, поскольку оно объединило известные тогда законы геометрической оптики под вариационный принцип или же принцип действия, создавая прецедент для принцип наименьшего действия в классической механике и соответствующие принципы в других областях (см. История вариационных принципов в физике ).^[39] Это было тем более примечательно, что в нем использовался метод адекватность, что можно понять ретроспективно как нахождение точки, в которой наклон бесконечно короткого аккорд равно нулю,^[40] без промежуточного шага нахождения общего выражения для наклона ( производная ).

Это тоже сразу вызвало споры. Обычный закон преломления в то время приписывали Рене Декарт (ум. 1650), который пытался объяснить это, предполагая, что свет - это сила, которая распространяется мгновенно, или этот свет был аналогичен теннисному мячу, который путешествовал Быстрее в более плотной среде,^[41][42] любая из предпосылок несовместима с предположением Ферма. Выдающийся защитник Декарта, Клод Клерселье, раскритиковал Ферма за то, что он явно приписывал знания и намерения природе, а также за неспособность объяснить, почему природа должна предпочитать экономить на времени, а не на расстоянии. Клерселье частично писал:

1. Принцип, который вы берете за основу своей демонстрации, а именно, что природа всегда действует наиболее короткими и простыми способами, является просто моральным принципом, а не физическим; оно не является и не может быть причиной какого-либо следствия в природе ... В противном случае мы приписали бы знание природе; но здесь под «природой» мы понимаем только этот порядок и этот закон, установленный в мире как таковом, который действует без предвидения, без выбора и с необходимой детерминацией.

2. Тот же самый принцип сделал бы природу нерешительной ... Ибо я спрашиваю вас ... когда луч света должен пройти из точки в редкой среде в точку в плотной среде, нет ли причин для природы колебаться, если , по вашему принципу, он должен выбирать прямую сразу же, как и изогнутую, так как если вторая окажется короче по времени, то первая короче и проще по длине? Кто будет решать, а кто произносит?^[43]

Ферма, не зная механистических основ своего собственного принципа, был не в состоянии защищать его, за исключением чисто геометрического и кинематический предложение.^[44][45] В волновая теория света, впервые предложенный Роберт Гук в год смерти Ферма,^[46] и быстро улучшается Игнас-Гастон Парди^[47] и особенно) Кристиан Гюйгенс,^[48] содержит необходимые основы; но признание этого факта было на удивление медленным.

Надзор Гюйгенса

Кристиан Гюйгенс (1629–1695)

Гюйгенс неоднократно называл огибающую своих вторичных волновых фронтов прекращение движения,^[49] это означает, что более поздний волновой фронт был внешней границей, которую возмущение могло достичь за заданное время,^[50] что, следовательно, было минимальным временем, за которое могла быть достигнута каждая точка на более позднем волновом фронте. Но он не утверждал, что направление минимального времени было время от вторичного источника до точки касания; вместо этого он вывел направление луча из протяженности общей касательной поверхности, соответствующей данной протяженности начального волнового фронта.^[51] Единственное, что он поддержал принцип Ферма, был ограничен по объему: получив закон обычного преломления, для которого лучи нормальны к фронтам волн,^[52] Гюйгенс дал геометрическое доказательство того, что луч, преломленный согласно этому закону, проходит путь наименьшего времени.^[53] Он вряд ли счел бы это необходимым, если бы знал, что соблюдается принцип наименьшего времени. напрямую из той же конструкции общей касательной, с помощью которой он вывел не только закон обычного преломления, но также законы прямолинейного распространения и обычного отражения (которые, как известно, следуют из принципа Ферма), и ранее неизвестный закон необычайное преломление - последний за счет вторичных волновых фронтов, которые были сфероидальный а не сферической формы, в результате чего лучи, как правило, наклонялись к фронтам волн. Казалось, Гюйгенс не заметил, что его конструкция подразумевает принцип Ферма, и даже как если бы он думал, что нашел исключение из этого принципа. Свидетельства из рукописи, процитированные Аланом Э. Шапиро склонен утверждать, что Гюйгенс считал принцип наименьшего времени недействительным "в двойное лучепреломление, где лучи не перпендикулярны волновым фронтам ».^{[54][Примечание 9]}

Шапиро далее сообщает, что единственные три авторитета, которые приняли «принцип Гюйгенса» в 17 и 18 веках, а именно: Philippe de La Hire, Денис Папин, и Готфрид Вильгельм Лейбниц, сделал это, потому что он объяснял необычайное преломление "Исландский кристалл «(кальцит) так же, как известные ранее законы геометрической оптики.^[55] Но пока что соответствующее расширение принципа Ферма осталось незамеченным.

Лаплас, Янг, Френель и Лоренц

Пьер-Симон Лаплас (1749–1827)

30 января 1809 г.^[56] Пьер-Симон Лаплас, рассказывая о работе своего протеже Этьен-Луи Малюс, утверждал, что необычайное преломление кальцита можно объяснить в рамках корпускулярной теории света с помощью Принцип Мопертюи наименьшего действия: интеграл скорости по отношению к расстоянию был минимальным. Корпускулярная скорость, удовлетворяющая этому принципу, была пропорциональна скорости луча, обратной радиусу сфероида Гюйгенса. Лаплас продолжал:

Согласно Гюйгенсу, скорость необыкновенного луча в кристалле просто выражается радиусом сфероида; следовательно, его гипотеза не согласен с принципом наименьшего действия: но это замечательно что это согласуется с принципом Ферма, который заключается в том, что свет проходит из данной точки без кристалла в данную точку внутри него за наименьшее возможное время; поскольку легко увидеть, что этот принцип совпадает с принципом наименьшего действия, если мы обратим выражение скорости.^[57]

Томас Янг (1773–1829)

Доклад Лапласа стал предметом широкого опровержения со стороны Томас Янг, который написал частично:

Принцип Ферма, хотя он предполагался этим математиком на гипотетических или даже мнимых основаниях, на самом деле является фундаментальным законом в отношении волнообразного движения и явно [sic ] основа каждого определения в теории Гюйгена ... Г-н Лаплас, кажется, не знаком с этим важнейшим принципом одной из двух теорий, которые он сравнивает; ибо он говорит, что «это замечательно», что закон необычайного преломления Гюйгена согласуется с принципом Ферма; который он вряд ли бы заметил, если бы знал, что закон является непосредственным следствием этого принципа.^[58]

Фактически Лаплас был осознавая, что принцип Ферма следует из конструкции Гюйгенса в случае рефракции от изотропной среды к анизотропной; геометрическое доказательство содержалось в длинной версии отчета Лапласа, напечатанной в 1810 году.^[59]

Утверждение Юнга было более общим, чем утверждение Лапласа, и аналогичным образом поддерживало принцип Ферма даже в случае необычайного преломления, когда лучи обычно не перпендикулярно к фронтам волны. Однако, к сожалению, опущенное среднее предложение процитированного абзаца Янга начиналось со слов: «Движение каждой волнистости обязательно должно быть в направлении перпендикуляр на его поверхность ... "(курсив мой), и поэтому должен был посеять путаницу, а не ясность.

Огюстен-Жан Френель (1788–1827)

Нет такой путаницы в Огюстен-Жан Френель "Вторые мемуары" о двойном лучепреломлении (Френель, 1827 г. ), который обращается к принципу Ферма в нескольких местах (не называя Ферма), начиная от частного случая, когда лучи нормальны к фронтам волн, к общему случаю, когда лучи представляют собой пути наименьшего времени или стационарное время. (В следующем резюме номера страниц относятся к Альфред В. Перевод Хобсона.)

• Для преломления плоской волны при параллельном падении на одну грань анизотропного кристаллического клина (стр. 291–2), чтобы найти «первый луч прибыл» в точку наблюдения за другой стороной клина, достаточно рассматривать лучи вне кристалла как нормальные к волновым фронтам, а внутри кристалла рассматривать только параллельные волновые фронты (независимо от направления луча). Таким образом, в этом случае Френель не пытается проследить весь путь луча.^{[Примечание 10]}

• Затем Френель рассматривает луч, преломленный от точечного источника. M внутри кристалла, через точку А на поверхности, к точке наблюдения B снаружи (стр. 294–6). Поверхность, проходящая через B и задается "местом возмущений, которые приходят первыми", согласно конструкции Гюйгенса, нормальна к "лучу AB самого быстрого прихода ». Но это построение требует знания« поверхности волны »(то есть вторичного волнового фронта) внутри кристалла.

• Затем он рассматривает плоский волновой фронт, распространяющийся в среде с несферическими вторичными волновыми фронтами, ориентированный так, что путь луча, заданный конструкцией Гюйгенса - от источника вторичного волнового фронта до точки его касания с последующим первичным волновым фронтом - равен нет перпендикулярно основным фронтам волны (стр. 296). Он показывает, что этот путь, тем не менее, является «путем наиболее быстрого прибытия возмущения» от более раннего первичного волнового фронта до точки касания.

• В более позднем заголовке (стр. 305) он заявляет, что «конструкция Гюйгенса, которая определяет путь наиболее быстрого прибытия» применима к вторичным волновым фронтам любой формы. Затем он отмечает, что, когда мы применим конструкцию Гюйгенса к преломлению в кристалл с двухполостным вторичным волновым фронтом и проведем линии от двух точек касания к центру вторичного волнового фронта, «мы получим направления двух пути скорейшего прибытия и, следовательно, обычного и необыкновенного лучей ".

• Под заголовком «Определение слова Рэй«(стр. 309), он заключает, что этот термин должен применяться к линии, которая соединяет центр вторичной волны с точкой на ее поверхности, независимо от наклона этой линии к поверхности.

• В качестве «нового соображения» (стр. 310–11) он отмечает, что если плоский волновой фронт проходит через небольшое отверстие с центром в точке E, то направление ED максимальной интенсивности результирующего пучка будет такая, в которой вторичная волна, начиная с E «придет туда первый», а вторичные волновые фронты с противоположных сторон дыры (равноудалены от E) будет "достигать D в одно время "друг с другом. Это направление нет считается нормальным к любому волновому фронту.

Таким образом, Френель показал, даже для анизотропных сред, что путь луча, заданный конструкцией Гюйгенса, - это путь наименьшего времени между последовательными положениями плоского или расходящегося волнового фронта, что лучевые скорости - это радиусы вторичной "волновой поверхности" после единицы время, и что стационарное время прохождения учитывает направление максимальной интенсивности луча. Однако установление общей эквивалентности между конструкцией Гюйгенса и принципом Ферма потребовало бы дальнейшего рассмотрения принципа Ферма в терминах точка-точка.

Хендрик Лоренц в статье, написанной в 1886 году и переизданной в 1907 году,^[60] вывел принцип наименьшего времени в двухточечной форме из конструкции Гюйгенса. Но суть его аргумента была несколько затемнена очевидной зависимостью от эфир и сопротивление эфира.

Работа Лоренца была процитирована в 1959 году Адрианом Дж. Де Витте, который затем предложил свой собственный аргумент, который «хотя по сути тот же самый, но считается более убедительным и более общим». Трактовка де Витте более оригинальна, чем можно предположить из этого описания, хотя и ограничена двумя измерениями; оно использует вариационное исчисление показать, что конструкция Гюйгенса и принцип Ферма приводят к одному и тому же дифференциальное уравнение для лучевого пути, и что в случае принципа Ферма верно обратное. Де Витте также отметил, что «этот вопрос, похоже, не освещен в учебниках».^[61]

Смотрите также

• Экшен (физика)
• Адекватность
• Огюстен-Жан Френель
• Двулучепреломление
• Вариационное исчисление
• Уравнение эйконала
• Принципы Ферма и вариации энергии в теории поля
• Геодезический
• Принцип Гамильтона
• Принцип Гюйгенса
• Формулировка интеграла по путям
• Пьер де Ферма
• Принцип наименьшего действия
• Закон Снеллиуса
• Томас Янг (ученый)

Примечания

1. Предположение (2) почти следует из (1), потому что: (а) в той мере, в какой возмущение в промежуточной точке п может быть представлен скаляр, его влияние всенаправлено; (б) в той степени, в которой он может быть представлен вектор в предполагаемом направлении распространения (как в продольная волна ), он имеет ненулевую составляющую в ряде соседних направлений; и (c) в той степени, в которой он может быть представлен вектором через предполагаемое направление распространения (как в поперечная волна ), она имеет ненулевую составляющую через ряд соседних направлений. Таким образом, существует бесконечно много путей из А к B потому что существует бесконечно много путей, исходящих из каждой промежуточной точки п.
2. Если луч отражается от достаточно вогнутой поверхности, точка отражения такова, что полное время прохождения является локальным максимумом, при условии что пути к и от точки отражения, рассматриваемые отдельно, должны быть возможными путями лучей. Но принцип Ферма не налагает таких ограничений; и без этого ограничения всегда можно изменить общий путь, чтобы увеличить время его прохождения. Таким образом, стационарное время прохождения луча никогда не бывает локальным максимумом (см.Родился и Волк, 1970, п. 129н). Но, как показывает случай вогнутого отражателя, это не обязательно локальный минимум. Следовательно, это нет обязательно экстремум. Поэтому мы должны довольствоваться тем, что называем это стационарностью.
3. Точнее, плотность потока энергии.
4. Если бы время отсчитывалось от более раннего волнового фронта в целом, то время везде было бы точно Δt, и говорить о «стационарном» или «наименьшем» времени бессмысленно.
   «Стационарное» время будет наименее время при условии, что вторичные волновые фронты более выпуклые, чем первичные волновые фронты (как на рис. 4). Однако эта оговорка не всегда выполняется. Например, если первичный волновой фронт в пределах диапазона вторичного волнового фронта сходится к фокусу и снова начинает расходиться, вторичный волновой фронт будет касаться более позднего первичного волнового фронта снаружи, а не изнутри. Чтобы учесть такие сложности, мы должны довольствоваться выражением «стационарное» время, а не «наименьшее» время.  Ср.Родился и Волк, 1970, pp. 128–9 (что означает «регулярное соседство»).
5. Более того, использование конструкции Гюйгенса для определения закона отражения или преломления - это вопрос поиска пути стационарного времени прохождения между двумя конкретными волновыми фронтами; ср. Френель, 1827, тр. Hobson, п. 305–6.
6. В конструкции Гюйгенса выбор огибающей вторичных волновых фронтов на вперед сторона W - то есть отказ от «обратных» или «ретроградных» вторичных волн - тоже объясняется принципом Ферма. Например, в Рис. 2, время прохождения пути АПП'П (где последняя нога "откидывается назад") нет стационарный относительно вариации П', но максимально чувствителен к движению П' вдоль ноги PP ′.
7. Направление луча - это направление конструктивной интерференции, которое является направлением групповая скорость. Однако «лучевая скорость» определяется не как групповая скорость, а как фазовая скорость, измеренная в этом направлении, так что «фазовая скорость - это проекция лучевой скорости на направление волновой нормали» (цитата из Родился и Волк, 1970, п. 669). В изотропной среде по симметрии направления лучевой и фазовой скоростей совпадают, так что «проекция» сводится к тождеству. Другими словами: в изотропной среде, поскольку лучевая и фазовая скорости имеют одинаковое направление (по симметрии), и поскольку обе скорости следуют за фазой (по определению), они также должны иметь одинаковую величину.
8. Ибн аль-Хайсам, писать в Каир во 2-м десятилетии 11-го века также считал, что свет идет по пути наименьшего сопротивления и что более плотные среды оказывают большее сопротивление, но он сохранил более традиционное понятие «сопротивление». Если это понятие должно было объяснить преломление, оно требовало, чтобы сопротивление изменялось в зависимости от направления таким образом, чтобы это было трудно согласовать с отражением. тем временем Ибн Сахл уже пришел к правильному закону преломления другим методом; но его закон не получил распространения (Михась, 2006 г., стр. 761–5; Дарригол, 2012, стр. 20–21,‍41).
   Задача, решаемая Ферма, математически эквивалентна следующему: для двух точек в разных средах с разной плотностью минимизировать взвешенный по плотности длина пути между двумя точками. В Лувен, в 1634 г. (к тому времени Виллеброрд Снеллиус заново открыл закон Ибн Сала, а Декарт вывел его, но еще не опубликовал), Иезуит профессор Вильгельм Бёльманс дал правильное решение этой проблемы и поставил его доказательство в качестве упражнения для своих учеников-иезуитов (Зиггелаар, 1980 г. ).
9. В последней главе его Научный труд, Гюйгенс определил требуемые формы поверхностей, формирующих изображение, исходя из предпосылки, что все части волнового фронта должны проходить от точки объекта к точке изображения в равный раз, и рассматривая лучи как нормальные к фронтам волны. Но он не упомянул Ферма в этом контексте.
10. В переводе на схеме отсутствуют некоторые линии и символы; исправленную диаграмму можно найти у Френеля. Oeuvres Complètes, т. 2, п. 547.

Рекомендации

1. Ср. Родился и Волк, 1970, п. 740.
2. Ср.  Янг, 1809 г., п. 342; Френель, 1827, тр. Hobson, стр. 294–6, 310–11; Де Витте, 1959 г., п. 293н.
3. Де Витте (1959) вызывает условие точечного источника с самого начала (стр. 294, столбец 1).
4. Де Витте (1959) дает доказательство на основе вариационное исчисление. В данной статье предлагается более простое объяснение.
5. А. Липсон, С.Г. Липсон, Х. Липсон, 2011 г. Оптическая физика, 4-е изд., Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-49345-1, п. 36. (Примечание: Если авторы подразумевают, что свет, распространяющийся вдоль оси волокна с градиентным коэффициентом преломления, проходит путь максимум время, они пренебрегают возможностью дальнейшего удлинения времени за счет обходных путей, например удвоив назад.)
6. См. (Например) Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр.47,‍55,‍58,‍60,‍82–6; Ньютон, 1730 г., стр. 8,‍18,‍137,‍143,‍166,‍173.
7. В этом суть аргументации Френеля (1827, тр. Hobson, стр. 310–11).
8. См. (Например) Ньютон, 1730 г., п. 55; Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 40–41, 56.
9. Р.П. Фейнман, 1985 г. (седьмое издание, 1988 г.), QED: странная теория света и материи, Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-02417-0, стр. 51–2.
10. Л. Зыга (1 апреля 2013 г.), «Муравьи следуют принципу наименьшего времени Ферма», Phys.org, получено 9 августа 2019.
11. Де Витте, 1959 г., п. 294.
12. Дж. Огборн и Э. Ф. Тейлор (январь 2005 г.), «Квантовая физика объясняет законы движения Ньютона», Физическое образование, 40 (1): 26–34, Дои:10.1088/0031-9120/40/1/001.
13. Х. ван Хаутен и К.В.Дж. Бинаккер, 1995, «Принципы твердотельной электронной оптики»,  в  Э. Бурштейн и К. Вайсбух (ред.), Ограниченные электроны и фотоны: новая физика и приложения (Серия НАТО ASI; Серия B: Физика, том 340), Бостон, Массачусетс: Springer, ISBN  978-1-4615-1963-8, стр. 269–303, Дои:10.1007/978-1-4615-1963-8_9, в стр. 272–3.
14. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр.19,‍50–51,‍63–65,‍68,‍75.
15. Френель, 1827, тр. Hobson, п. 309.
16. Де Витте, 1959 г., п. 294, кол. 2.
17. Ср. Френель, 1827, тр. Hobson, п. 305.
18. Ср. Френель, 1827, тр. Hobson, п. 296.
19. Де Витте (1959) дает более сложное доказательство того же результата, используя вариационное исчисление.
20. Цитата из Родился и Волк, 1970, п. 740.
21. Де Витте, 1959 г., п. 295, цв. 1.
22. Это происходит в Родился и Волк, 1970, pp. 128–30, и сохраняется в более поздних изданиях.
23. Де Витте, 1959 г. (стр. 295, столбец 1 и рисунок 2), констатирует результат и объединяет пояснения в одну диаграмму.
24. Родился и Волк, 1970, п. 115.
25. Родился и Волк, 1970, п. 669, ур. (13).
26. Ср. Чавес, 2016, п. 673.
27. Ср. Родился и Волк, 1970, п. 740, ур. (10а).
28. Ср.  В.Г. Веселаго (октябрь 2002 г.), «Формулировка принципа Ферма для движения света в материалах с отрицательной рефракцией», Успехи физики, 45 (10): 1097–9, Дои:10.1070 / PU2002v045n10ABEH001223, на стр. 1099.
29. Ср. Чавес, 2016, стр. 568–9.
30. Чавес, 2016, п. 581.
31. Чавес, 2016, п. 569.
32. Ср. Чавес, 2016, п. 577.
33. Ср.  Родился и Волк, 1970, стр. 734–5,‍741; Чавес, 2016, п. 669.
34. Чавес, 2016, гл. 14.
35. Ф. Катчер (май 2016 г.), "Когда родился Пьер де Ферма?", Конвергенция, получено 22 августа 2019.
36. Сабра, 1981 С. 69–71. Как отмечает автор, сам закон отражения содержится в предложенииXIX из Евклида Оптика.
37. Сабра, 1981, стр. 137–9; Дарригол, 2012, п. 48.
38. Сабра, 1981, стр.139,‍143–7; Дарригол, 2012, pp. 48–9 (где в сноске 21 «Декарт к ...», очевидно, должно быть «Ферма к ...»).
39. Чавес, 2016, главы 14, 19.
40. Сабра, 1981, стр. 144–5.
41. J.A. Шустер, 2000, "Декарт" opticien: Построение закона преломления и изготовление его физических обоснований, 1618–1629 гг. ",  в  S. Gaukroger, J.A. Шустер и Дж. Саттон (ред.), Натуральная философия Декарта, London: Routledge, pp. 258–312, at стр. 261, 264–5.
42. Дарригол, 2012, стр. 41–2.
43. Клерселье Ферма (на французском), 6 мая 1662 г.,  в  П. Таннери и К. Генри (ред.), Uvres de Fermat, т. 2 (Париж: Gauthier-Villars et fils, 1894 г.), стр. 464–72.
44. D.E. Смит, 1959 г., Справочник по математике, т. 3 (McGraw-Hill, 1929), перепечатано Dover, 1959, стр. 651н.
45. Ферма Клерселье (по-французски), 21 мая 1662 г.,  в  П. Таннери и К. Генри (ред.), Uvres de Fermat, т. 2 (Париж: Gauthier-Villars et fils, 1894 г.), стр. 482–4.
46. Дарригол, 2012, п. 53.
47. Дарригол, 2012 С. 60–64.
48. Дарригол, 2012, стр. 64–71; Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон.
49. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, pp. 20, 24, 37, 51, 80, 108, 119, 122 (с различными наклонами слова).
50. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, верх п. 20.
51. Ср.  Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 19–21,‍63–5.
52. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 34–9.
53. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 42–5.
54. Шапиро, 1973, п. 229, примечание 294 (слова Шапиро) со ссылкой на Гюйгенса Oeuvres Complètes, т. 13 (изд.Д.Дж. Кортевег, 1916), Quatrième Complément à la Диоптрик, на стр. 834, «Часть 2»^да... »(на латыни, с аннотациями на французском).
55. Шапиро, 1973, стр. 245–6, 252.
56. П.-С. Лаплас (прочитано 30 января 1809 г.), "Sur la loi de la refraction extraordinaire de la lumière dans les cristaux diaphanes", Journal de Physique, de Chimie et d'Histoire Naturelle, 68: 107–11 (на январь 1809 г.).
57. Переведено Молодые (1809), п. 341; Курсив Юнга.
58. Янг, 1809 г., п. 342.
59. О доказательстве см. Дарригол, 2012, п. 190. О дате прочтения (в ранних источниках опечатано как 1808 г.) см. Франкель, 1974, п. 234н. Полный текст (с опечаткой): "Mémoire sur les mouvements de la lumière dans les milieux diaphanes", Mémoires de l'Académie des Sciences, 1-я серия, т.Икс (1810), перепечатано в Совершенные произведения Лапласа, т. 12 (Париж, Gauthier-Villars et fils, 1898), стр. 267–298. Промежуточная версия, включающая доказательство, но не прилагаемое «Примечание», появилась как «Sur le mouvement de la lumière dans les milieux diaphanes», Mémoires de Physique et de Chimie de la Société d'Arcueil, т. 2 (1809 г.), стр. 111–142 & Плита 1 (после с. 494).
60. Х.А. Лоренц, 1907 г., Abhandlungen über Theoretische Physik, т. 1, Берлин: Teubner, гл. 14, сс. 12, 13 и гл. 16, с. 18; переводится как «Х.А.Лоренц об эквивалентности конструкции Гюйгенса и принципа Ферма», Дои:10.5281 / zenodo.3835134, 2020.
61. Де Витте, 1959 г., особенно С. 293н, 298.

Библиография

• М. Борн и Э. Вольф, 1970 г., Принципы оптики, 4-е изд., Оксфорд: Pergamon Press.
• Дж. Чавес, 2016, Введение в оптику без визуализации, 2-е изд., Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, ISBN  978-1-4822-0674-6.
• О. Дарригол, 2012, История оптики: от греческой античности до девятнадцатого века, Оксфорд, ISBN  978-0-19-964437-7.
• А.Дж. де Витте, 1959, "Эквивалентность принципа Гюйгенса и принципа Ферма в лучевой геометрии", Американский журнал физики, т. 27, нет. 5 (май 1959 г.), стр. 293–301, Дои:10.1119/1.1934839.  Erratum: На рис. 7 (b) каждый экземпляр «луча» должен быть «нормальным» (указано в томе 27, № 6, стр. 387).
• Э. Франкель, 1974, "Поиск корпускулярной теории двойного лучепреломления: Малюс, Лаплас и цена [sic ] конкурс 1808 г. », Центавр, т. 18, нет. 3 (сентябрь 1974 г.), стр. 223–245, Дои:10.1111 / j.1600-0498.1974.tb00298.x.
• А. Френель, 1827, "Память о двойном преломлении", Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France, т.VII (за 1824 г., напечатано 1827 г.), стр. 45–176; перепечатано как "Второй mémoire ... "в Совершенные произведения Августина Френеля, т. 2 (Париж: Imprimerie Impériale, 1868 г.), стр. 479–596; перевод А.В. Хобсон как «Воспоминания о двойном лучепреломлении», в Р. Тейлор (ред.), Научные воспоминания, т.V (Лондон: Тейлор и Фрэнсис, 1852 г.), стр. 238–333. (Приведенные номера страниц взяты из перевода.)
• К. Гюйгенс, 1690, Traité de la Lumière (Лейден: Ван дер Аа), переведенный С.П. Томпсоном как Трактат о свете, University of Chicago Press, 1912; Project Gutenberg, 2005. (Указанные номера страниц соответствуют изданию 1912 года и изданию Gutenberg HTML.)
• П. Михась, 2006 г., «Развитие идей преломления, линз и радуги с использованием исторических ресурсов», Научное образование, т. 17, нет. 7 (август 2008 г.), стр. 751–777 (онлайн 6 сентября 2006 г.), Дои:10.1007 / s11191-006-9044-8.
• И. Ньютон, 1730 г., Opticks: или трактат об отражениях, преломлениях, изгибах и цветах света, 4-е изд. (Лондон: Уильям Иннис, 1730; Проект Гутенберг, 2010); переиздан с предисловием А. Эйнштейна и предисловием Э. Уиттакер (Лондон: Джордж Белл и сыновья, 1931); перепечатано с дополнительным предисловием И.Б. Коэна и аналитического содержания Д.Х.Д. Roller, Mineola, NY: Dover, 1952, 1979 (с пересмотренным предисловием), 2012. (Номера страниц соответствуют редакции Gutenberg HTML и изданию Dover).
• А.И. Сабра, 1981 г., Теории света: от Декарта до Ньютона (Лондон: Oldbourne Book Co., 1967), переиздано Cambridge University Press, 1981, ISBN  0-521-28436-8.
• А.Е. Шапиро, 1973, "Кинематическая оптика: исследование волновой теории света в семнадцатом веке", Архив истории точных наук, т. 11, вып. 2/3 (июнь 1973 г.), стр. 134–266, Дои:10.1007 / BF00343533.
• Т. Янг, 1809 г., Статья Икс в Ежеквартальный обзор, т. 2, вып. 4 (ноябрь 1809 г.), стр. 337–48.
• А. Зиггелаар, 1980, "Синусоидальный закон преломления, выведенный из принципа Ферма - до Ферма? Тезисы Вильгельма Боэльмана С.Дж. в 1634 году", Центавр, т. 24, вып. 1 (сентябрь 1980 г.), стр. 246–62, Дои:10.1111 / j.1600-0498.1980.tb00377.x.

дальнейшее чтение

• А. Бхатия (26 марта 2014 г.), «Чтобы спасти тонущих людей, спросите себя:« Что сделает свет?'", Наутилус, получено 7 августа 2019.
• J.Z. Бухвальд, 1989, Возникновение волновой теории света: оптическая теория и эксперимент в начале девятнадцатого века, Издательство Чикагского университета, ISBN  0-226-07886-8, особенно стр. 36–40.
• М.Г. Кац; D.M. Schaps; С. Шнидер (2013), «Почти равные: метод адекватности от Диофанта к Ферма и далее», Перспективы науки, 21 (3): 283–324, arXiv:1210.7750, Bibcode:2012arXiv1210.7750K, Дои:10.1162 / POSC_a_00101.
• РС. Махони (1994), Математическая карьера Пьера де Ферма, 1601–1665 гг.,  2-е изд., Princeton University Press, ISBN  0-691-03666-7.
• Р. Маркес; Ф. Мартин; М. Соролья, 2008 г. (перепечатано в 2013 г.), Метаматериалы с отрицательными параметрами: теория, дизайн и микроволновые приложения, Хобокен, Нью-Джерси: Уайли, ISBN  978-0-471-74582-2.
• Дж. Б. Пендри и D.R. Смит (2004), «Обратный свет с отрицательным преломлением», Физика сегодня, 57 (6): 37–43, Дои:10.1063/1.1784272.