Принцип Мопертюи - Maupertuiss principle

В классическая механика, Принцип Мопертюи (названный в честь Пьер Луи Мопертюи ) утверждает, что путь, по которому следует физическая система, имеет наименьшую длину (с подходящей интерпретацией дорожка и длина). Это частный случай более общей принцип наименьшего действия. С использованием вариационное исчисление, это приводит к интегральное уравнение формулировка уравнения движения для системы.

Математическая формулировка

Принцип Мопертюи утверждает, что истинный путь системы, описываемой ${ displaystyle N}$ обобщенные координаты ${ displaystyle mathbf {q} = left (q_ {1}, q_ {2}, ldots, q_ {N} right)}$ между двумя указанными состояниями ${ displaystyle mathbf {q} _ {1}}$ и ${ displaystyle mathbf {q} _ {2}}$ это стационарный пункт (т.е. экстремум (минимум или максимум) или седловая точка) сокращенное действие функционал

{ displaystyle { mathcal {S}} _ {0} [ mathbf {q} (t)] { stackrel { mathrm {def}} {=}} int mathbf {p} cdot d mathbf {q}}

куда ${ Displaystyle mathbf {p} = left (p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {N} right)}$ - сопряженные импульсы обобщенных координат, определяемые уравнением

{ displaystyle p_ {k} { stackrel { mathrm {def}} {=}} { frac { partial L} { partial { dot {q}} _ {k}}}}

куда ${ Displaystyle L ( mathbf {q}, { dot { mathbf {q}}}, т)}$ это Лагранжиан функция для системы. Другими словами, любой первый заказ возмущение пути приводит к (не более) второго порядка изменения в ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {0}}$ . Обратите внимание, что сокращенное действие ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {0}}$ это функциональный (то есть функция из векторного пространства в лежащее в его основе скалярное поле), которая в этом случае принимает в качестве входных данных функцию (то есть пути между двумя указанными состояниями).

Формулировка Якоби

Для многих систем кинетическая энергия ${ displaystyle T}$ квадратична по обобщенным скоростям ${ displaystyle { dot { mathbf {q}}}}$

{ displaystyle T = { frac {1} {2}} { dot { mathbf {q}}} mathbf {M} { dot { mathbf {q}}} ^ { intercal}}

Хотя тензор масс ${ displaystyle mathbf {M}}$ может быть сложной функцией обобщенных координат ${ displaystyle mathbf {q}}$ . Для таких систем простое соотношение связывает кинетическую энергию, обобщенные импульсы и обобщенные скорости

{ displaystyle 2T = mathbf {p} cdot { dot { mathbf {q}}}}

при условии, что потенциальная энергия ${ Displaystyle V ( mathbf {q})}$ не включает обобщенные скорости. Путем определения нормализованного расстояния или метрика ${ displaystyle ds}$ в пространстве обобщенных координат

{ displaystyle ds ^ {2} = d mathbf {q} mathbf {M} d mathbf {q ^ { intercal}}}

можно сразу распознать тензор масс как метрический тензор. Кинетическая энергия может быть записана в безмассовой форме

{ displaystyle T = { frac {1} {2}} left ({ frac {ds} {dt}} right) ^ {2}}

или же,

{ displaystyle 2Tdt = { sqrt {2T}} ds.}

Следовательно, сокращенное действие можно записать

{ Displaystyle { mathcal {S}} _ {0} { stackrel { mathrm {def}} {=}} int mathbf {p} cdot d mathbf {q} = int ds , { sqrt {2}} { sqrt {E _ { text {tot}} - V ( mathbf {q})}}}

поскольку кинетическая энергия ${ displaystyle T = E _ { text {tot}} - V ( mathbf {q})}$ равна (постоянной) полной энергии ${ displaystyle E _ { text {tot}}}$ минус потенциальная энергия ${ Displaystyle V ( mathbf {q})}$ . В частности, если потенциальная энергия постоянна, то принцип Якоби сводится к минимизации длины пути ${ displaystyle s = int ds}$ в пространстве обобщенных координат, что эквивалентно Принцип наименьшей кривизны Герца.

Сравнение с принципом Гамильтона

Принцип Гамильтона и принцип Мопертюи иногда путают, и оба были названы принцип наименьшего действия. Они отличаются друг от друга тремя важными способами:

их определение действие...

Принцип Гамильтона использует

{ Displaystyle { mathcal {S}} { stackrel { mathrm {def}} {=}} int L , dt}

, интеграл от Лагранжиан над время, варьировалось между двумя фиксированными временами окончания

{ displaystyle t_ {1}}

,

{ displaystyle t_ {2}}

и конечные точки

{ displaystyle q_ {1}}

,

{ displaystyle q_ {2}}

. Напротив, в принципе Мопертюи используется сокращенный интеграл действия по обобщенные координаты, изменялась на всех путях постоянной энергии, заканчивающихся на

{ displaystyle q_ {1}}

и

{ displaystyle q_ {2}}

.

решение, которое они определяют ...

Принцип Гамильтона определяет траекторию

{ Displaystyle mathbf {д} (т)}

как функция времени, тогда как принцип Мопертюи определяет только форму траектории в обобщенных координатах. Например, принцип Мопертюи определяет форму эллипса, по которому движется частица под действием центральной силы, обратной квадрату, такой как сила тяжести, но не описывает как таковой как частица движется по этой траектории. (Однако эта временная параметризация может быть определена из самой траектории в последующих вычислениях с использованием сохранения энергии.) Напротив, принцип Гамильтона прямо определяет движение по эллипсу как функцию времени.

... и ограничения на вариацию.

Принцип Мопертюи требует, чтобы два состояния конечной точки

{ displaystyle q_ {1}}

и

{ displaystyle q_ {2}}

быть заданным, и эта энергия будет сохранена вдоль каждой траектории. Напротив, принцип Гамильтона не требует сохранения энергии, но требует, чтобы время в конечной точке

{ displaystyle t_ {1}}

и

{ displaystyle t_ {2}}

должны быть указаны, а также состояния конечной точки

{ displaystyle q_ {1}}

и

{ displaystyle q_ {2}}

.

История

Мопертюи первым опубликовал принцип наименьшего действия, где он определил действие в качестве ${ displaystyle int v , ds}$ , который должен был быть минимизирован по всем путям, соединяющим две указанные точки. Однако Мопертюи применил этот принцип только к свету, а не к материи (см. Ссылка Мопертюи 1744 года ниже ). Он пришел к принципу, рассмотрев Закон Снеллиуса для преломление из свет, который Ферма объяснил Принцип Ферма, этот свет следует по пути кратчайшего время, а не расстояние. Это беспокоило Мопертюи, поскольку он считал, что время и расстояние должны быть равны: «почему свет должен предпочитать путь кратчайшего времени пути расстояния?» Соответственно, Мопертюи утверждает без всяких дополнительных оснований принцип наименьшего действия как эквивалентный, но более фундаментальный, чем Принцип Ферма, и использует его для получения Закон Снеллиуса. Мопертюи особо отмечает, что свет не подчиняется тем же законам, что и материальные объекты.

Несколько месяцев спустя, задолго до того, как работа Мопертюи появилась в печати, Леонард Эйлер независимо определяемое действие в его современной сокращенной форме ${ Displaystyle { mathcal {S}} _ {0} { stackrel { mathrm {def}} {=}} int mv , ds { stackrel { mathrm {def}} {=} } int p , dq}$ и применил его к движению частицы, но не к свету (см. ссылка Эйлера 1744 года ниже ). Эйлер также признал, что принцип действует только тогда, когда скорость зависит только от положения, то есть когда сохраняется общая энергия. (Фактор массы в действии и требование сохранения энергии не имели отношения к Мопертюи, которого интересовал только свет.) Эйлер использовал этот принцип, чтобы вывести уравнения движения частицы в однородном движении, в однородном и неоднородном. однородное силовое поле, и в центральном силовом поле. Подход Эйлера полностью соответствует современному пониманию принципа Мопертюи, описанному выше, за исключением того, что он настаивал на том, что действие всегда должно быть минимальным, а не стационарной точкой.

Двумя годами позже Мопертюи цитирует работу Эйлера 1744 года как «прекрасное приложение моего принципа к движению планет» и продолжает применять принцип наименьшего действия к проблеме рычага в механическом равновесии и к совершенно упругим и совершенно неупругим столкновениям ( видеть публикация 1746 года ниже ). Таким образом, Мопертюи признает принцип наименьшего действия как Общее Принцип применим ко всем физическим системам (не только к свету), тогда как исторические данные свидетельствуют о том, что Эйлер был тем, кто совершил этот интуитивный скачок. Примечательно, что определения действия Мопертюи и протоколы его минимизации в этой статье несовместимы с современным подходом, описанным выше. Таким образом, опубликованная работа Мопертюи не содержит ни одного примера, в котором он использовал бы принцип Мопертюи (в его нынешнем понимании).

В 1751 году приоритет Мопертюи принципа наименьшего действия был оспорен в печати (Nova Acta Eruditorum из Лейпцига) старого знакомого Иоганна Самуэля Кенига, который процитировал письмо 1707 г. Лейбниц в котором описаны результаты, аналогичные результатам, полученным Эйлером в 1744 году. Однако Мопертюи и другие потребовали, чтобы Кениг предъявил оригинал письма для подтверждения того, что оно было написано Лейбницем. У Кенига была только копия, но он не знал, где находится оригинал. Как следствие, Берлинская академия под руководством Эйлера объявила письмо подделкой и что ее президент, Мопертюи, может продолжать требовать приоритета за изобретение этого принципа. Кениг продолжал бороться за приоритет Лейбница и вскоре Вольтер и король Пруссии, Фридрих II были вовлечены в ссору. Однако никакого прогресса не произошло до начала двадцатого века, когда были обнаружены другие независимые копии письма Лейбница.

Смотрите также

Аналитическая механика
Принцип Гамильтона
Принцип наименьшего принуждения Гаусса (также описывает Принцип наименьшей кривизны Герца)
Уравнение Гамильтона – Якоби