Теорема Блоха - Blochs theorem

Эта статья посвящена теореме квантовой механики. По поводу теоремы, используемой в комплексном анализе, см. Теорема Блоха (комплексные переменные).

Изоповерхность квадрата модуля блоховского состояния в решетке кремния

Сплошная линия: схематическое изображение реальной части типичного состояния Блоха в одном измерении. Пунктирная линия от буквы e^яk·р фактор. Светлые кружки представляют атомы.

В физика конденсированного состояния, Теорема Блоха заявляет, что решения Уравнение Шредингера в периодическом потенциале принимают вид плоская волна модулируется периодическая функция. Математически они записываются:^[1]

Функция Блоха

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )}$

куда ${\displaystyle \mathbf {r} }$ это позиция, ${\displaystyle \psi }$ это волновая функция, ${\displaystyle u}$ это периодическая функция с той же периодичностью, что и кристалл, волновой вектор ${\displaystyle \mathbf {k} }$ это вектор импульса кристалла, ${\displaystyle \mathrm {e} }$ является Число Эйлера, и ${\displaystyle \mathrm {i} }$ это мнимая единица.

Функции этой формы известны как Блоховские функции или же Блох заявляет, и служить подходящим основа для волновые функции или же состояния электронов в кристаллические твердые вещества.

Назван в честь Швейцарии физик Феликс Блох, описание электронов в терминах блоховских функций, названных Блоховские электроны (или реже Блоховские волны), лежит в основе концепции электронные зонные структуры.

Эти собственные состояния записываются с индексами как ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}$, куда ${\displaystyle n}$ дискретный индекс, называемый индекс диапазона, который присутствует, потому что существует много разных волновых функций с одинаковыми ${\displaystyle \mathbf {k} }$ (у каждого свой периодический компонент ${\displaystyle u}$). Внутри полосы (т. Е. Для фиксированного ${\displaystyle n}$), ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}$ постоянно меняется с ${\displaystyle \mathbf {k} }$, как и его энергия. Также, ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}$, единственна только с точностью до константы обратная решетка вектор ${\displaystyle \mathbf {K} }$, или же, ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=\psi _{n(\mathbf {k+K} )}}$. Следовательно, волновой вектор ${\displaystyle \mathbf {k} }$ можно ограничиться первым Зона Бриллюэна обратной решетки не теряя общий смысл.

Приложения и последствия

Применимость

Наиболее распространенный пример теоремы Блоха - это описание электронов в кристалле, особенно при характеристике электронных свойств кристалла, таких как электронная зонная структура. Однако описание блоховских волн в более общем смысле применимо к любому волновому явлению в периодической среде. Например, периодический диэлектрик структура в электромагнетизм приводит к фотонные кристаллы, а периодическая акустическая среда приводит к фононные кристаллы. Обычно его лечат в различных формах динамическая теория дифракции.

Волновой вектор

Волновая функция Блоха (внизу) может быть разбита на произведение периодической функции (вверху) и плоской волны (в центре). Левая и правая стороны представляют одно и то же состояние Блоха, разбитое двумя разными способами, с участием волнового вектора. k₁ (слева) или k₂ (верно). Разница (k₁−k₂) это обратная решетка вектор. На всех графиках синий - действительная часть, а красный - мнимая часть.

Предположим, электрон находится в блоховском состоянии

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),}$

куда ты периодичен с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка. Фактическое квантовое состояние электрона полностью определяется ${\displaystyle \psi }$, нет k или же ты напрямую. Это важно, потому что k и ты находятся нет уникальный. В частности, если ${\displaystyle \psi }$ можно записать, как указано выше, используя k, может также быть написано с использованием (k + K), куда K есть ли вектор обратной решетки (см. рисунок справа). Следовательно, волновые векторы, различающиеся вектором обратной решетки, эквивалентны в том смысле, что они характеризуют один и тот же набор блоховских состояний.

В первая зона Бриллюэна ограниченный набор значений k со свойством, что никакие два из них не эквивалентны, но все возможные k эквивалентен одному (и только одному) вектору в первой зоне Бриллюэна. Следовательно, если мы ограничим k к первой зоне Бриллюэна, то каждое состояние Блоха имеет уникальный k. Поэтому первая зона Бриллюэна часто используется для изображения всех состояний Блоха без избыточности, например, в ленточная структура, и по той же причине он используется во многих расчетах.

Когда k умножается на приведенная постоянная Планка, он равен электронному импульс кристалла. В связи с этим групповая скорость электрона можно рассчитать на основе того, как энергия блоховского состояния изменяется с k; подробнее см. импульс кристалла.

Подробный пример

Подробный пример, в котором следствия теоремы Блоха прорабатываются в конкретной ситуации, можно найти в статье: Частица в одномерной решетке (периодический потенциал).

Теорема Блоха

Вот утверждение теоремы Блоха:

Для электронов в идеальном кристалле существует основа волновых функций со свойствами:

• Каждая из этих волновых функций является собственным энергетическим состоянием.
• Каждая из этих волновых функций является блоховским состоянием, что означает, что эта волновая функция ${\displaystyle \psi }$ можно записать в виде

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )}$

где u имеет ту же периодичность, что и атомная структура кристалла.

${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )}$

Доказательство теоремы

Доказательство с решеточной периодичностью^[2]

Предварительные сведения: симметрии кристаллов, решетка и обратная решетка.

Определяющим свойством кристалла является трансляционная симметрия, что означает, что если кристалл сдвинуть на соответствующую величину, он окажется со всеми своими атомами в одних и тех же местах. (Кристалл конечного размера не может иметь совершенной трансляционной симметрии, но это полезное приближение.)

Трехмерный кристалл имеет три примитивные векторы решетки а₁, а₂, а₃. Если кристалл сдвигается на любой из этих трех векторов или их комбинацию вида

${\displaystyle n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$

куда п_я являются тремя целыми числами, тогда атомы оказываются в том же наборе местоположений, в котором они начинались.

Еще один полезный ингредиент доказательства - векторы обратной решетки. Это три вектора б₁, б₂, б₃ (с единицами обратной длины), со свойством, что а_я · б_я = 2π, но а_я · б_j = 0, когда я ≠ j. (Для формулы для б_я, видеть вектор обратной решетки.)

Лемма об операторах трансляции

Позволять ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!}$ обозначить оператор перевода который сдвигает каждую волновую функцию на величину п₁а₁ + п₂а₂ + п₃а₃ (как указано выше, п_j целые числа). Следующий факт полезен для доказательства теоремы Блоха:

Лемма: если волновая функция ${\displaystyle \psi }$ является собственное состояние всех операторов трансляции (одновременно), то ${\displaystyle \psi }$ это состояние Блоха.

Доказательство: Предположим, что у нас есть волновая функция ${\displaystyle \psi }$ которое является собственным состоянием всех операторов сдвига. Как частный случай этого,

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=C_{j}\psi (\mathbf {r} )}$

за j = 1, 2, 3, где C_j три числа ( собственные значения ), которые не зависят от р. Полезно писать числа C_j в другой форме, выбрав три числа θ₁, θ₂, θ₃ с е^2πiθ_j = C_j:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )}$

Опять же, θ_j это три числа, которые не зависят от р. Определять k = θ₁б₁ + θ₂б₂ + θ₃б₃, куда б_j являются векторы обратной решетки (см. выше). Наконец, определим

${\displaystyle u(\mathbf {r} )=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\psi (\mathbf {r} )\,.}$

потом

${\displaystyle u(\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})}\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})={\big (}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{j}}{\big )}{\big (}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \theta _{j}}\psi (\mathbf {r} ){\big )}=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \theta _{j}}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} )}$.

Это доказывает, что ты имеет периодичность решетки. С ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )}$, что доказывает, что состояние является блоховским.

Доказательство

Наконец, мы готовы к основному доказательству теоремы Блоха, которое заключается в следующем.

Как и выше, пусть ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!}$ обозначить оператор перевода который сдвигает каждую волновую функцию на величину п₁а₁ + п₂а₂ + п₃а₃, куда п_я целые числа. Поскольку кристалл обладает трансляционной симметрией, этот оператор коммутирует с Гамильтонов оператор. Более того, каждый такой оператор трансляции коммутирует друг с другом. Следовательно, существует одновременный собственный базис оператора Гамильтона и всевозможные ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!}$ оператор. Эта основа - то, что мы ищем. Волновые функции в этом базисе являются собственными состояниями энергии (поскольку они являются собственными состояниями гамильтониана), а также они являются состояниями Блоха (поскольку они являются собственными состояниями операторов сдвига; см. Лемму выше).

Еще одно доказательство

Доказательство с операторами ^[3]

Определяем оператор перевода

${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=\psi (\mathbf {r} +n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )}$

Воспользуемся гипотезой о среднем периодическом потенциале

${\displaystyle U(\mathbf {x} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=U(\mathbf {x} )}$

и независимое электронное приближение с гамильтонианом

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+U(\mathbf {x} )}$

Поскольку гамильтониан инвариантен для сдвигов, он должен коммутировать с оператором сдвига

${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }]=0}$

и два оператора должны иметь общий набор собственных функций, поэтому мы начнем смотреть на собственные функции оператора трансляции:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )=\lambda _{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )}$

Данный ${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }}$ является аддитивным оператором

${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n_{1}} }{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n_{2}} }\psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n_{1}} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {n_{2}} \cdot \mathbf {a} )={\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n_{1}} +\mathbf {n_{2}} }\psi (\mathbf {x} )}$

Если мы подставим сюда уравнение на собственные значения и разделим обе части на ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$ у нас есть

${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n_{1}} }\lambda _{\mathbf {n_{2}} }=\lambda _{\mathbf {n_{1}} +\mathbf {n_{2}} }}$

Это верно для

${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} }=e^{s\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }}$

куда ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$

если мы воспользуемся условием нормализации по одной примитивной ячейке объема V

${\displaystyle 1=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =\int _{V}|{\hat {\mathbf {T_{n}} }}\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} }$

и поэтому

${\displaystyle 1=|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}}$ и ${\displaystyle s=ik}$ куда ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$

Ну наконец то

${\displaystyle {\hat {\mathbf {T_{n}} }}\psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=e^{ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }\psi (\mathbf {x} )}$

Что верно для блочной волны, т.е. для ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$с ${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )}$

Доказательство теории групп

Доказательство с теорией характера ^[4]

Все Переводы находятся унитарный и Абелев.Переводы могут быть записаны в терминах единичных векторов

${\displaystyle {\vec {\mathbf {\tau } }}=\sum _{i=1}^{3}n_{i}{\vec {\mathbf {a} }}_{i}}$

Мы можем рассматривать их как коммутирующие операторы

${\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {\tau } }}}={\hat {\vec {\mathbf {\tau } }}}_{1}{\hat {\vec {\mathbf {\tau } }}}_{2}{\hat {\vec {\mathbf {\tau } }}}_{3}}$ куда ${\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {\tau } }}}_{i}=n_{i}{\hat {\vec {\mathbf {a} }}}_{i}}$

Коммутативность ${\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {\tau } }}}_{i}}$ Операторы дают три коммутирующие циклические подгруппы (при условии, что они могут быть порождены только одним элементом), которые являются бесконечными, одномерными и абелевыми. Все неприводимые представления абелевых групп одномерны.^[5]

Учитывая, что они одномерные, матричное представление и персонаж одинаковые. Символ - это представление над комплексными числами группы или также след из представление которая в данном случае является одномерной матрицей. Все эти подгруппы, если они циклические, имеют соответствующие характеры. корни единства. Фактически у них один генератор ${\displaystyle \gamma }$ который должен подчиняться ${\displaystyle \gamma ^{n}=1}$, и поэтому персонаж ${\displaystyle \chi (\gamma )^{n}=1}$. Обратите внимание, что это просто в случае конечной циклической группы, но в счетном бесконечном случае бесконечного циклическая группа (т.е. группа переводов здесь) существует предел для ${\displaystyle n\to \infty }$ где характер остается конечным.

Учитывая, что символ является корнем из единицы, для каждой подгруппы символ может быть записан как

${\displaystyle \chi _{k_{1}}({\hat {\vec {\tau }}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}}$

Если мы введем Граничное условие Борна – фон Кармана по потенциалу:

${\displaystyle V(\mathbf {r} +\sum N_{i}\mathbf {a} _{i})=V(\mathbf {r} +\mathbf {L} )=V(\mathbf {r} )}$

Где L - макроскопическая периодичность в направлении ${\displaystyle {\vec {a}}}$что также можно рассматривать как кратное ${\displaystyle a_{i}}$ куда ${\displaystyle \mathbf {L} =\sum N_{i}\mathbf {a} _{i}}$

Эта замена во времени независимой Уравнение Шредингера с простым эффективным гамильтонианом

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {r}})}$

индуцирует периодичность с волновой функцией:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} +\sum N_{i}\mathbf {a} _{i})=\psi (\mathbf {r} )}$

И для каждого измерения оператор трансляции с периодом L

${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}+L_{i}}={\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}}}$

Отсюда мы видим, что символ также будет инвариантным при переводе ${\displaystyle L_{i}}$:

${\displaystyle e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}}$

и из последнего уравнения мы получаем для каждого измерения периодическое условие:

${\displaystyle k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2\pi m_{1}}$

куда ${\displaystyle m_{1}\in \mathbb {Z} }$ целое число и ${\displaystyle k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}}$

Волновой вектор ${\displaystyle k_{1}}$ идентифицируют неприводимое представление таким же образом, как ${\displaystyle m_{1}}$,и ${\displaystyle L_{1}}$ - макроскопическая периодическая длина кристалла в направлении ${\displaystyle a_{1}}$. В этом контексте волновой вектор служит квантовым числом для оператора трансляции.

Мы можем обобщить это для трех измерений${\displaystyle \chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {\tau }}}}$

и общая формула для волновой функции становится:

${\displaystyle {\hat {P}}_{R}\psi _{j}=\sum _{\alpha }\psi _{\alpha }\chi _{\alpha j}(R)}$

т.е. специализируя это на переводе

${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |{\vec {\tau }}}\psi ({\vec {\mathbf {r} }})=\psi ({\vec {\mathbf {r} }})e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {\tau }}}=\psi ({\vec {\mathbf {r} }}+{\vec {\mathbf {\tau } }})}$

и мы доказали теорему Блоха.

Это доказательство, являющееся частью технической теории групп, интересно тем, что становится ясно, как обобщить теорему Блоха для групп, которые не являются только переводами.

Обычно это делается для Космические группы которые являются комбинацией перевод и точечная группа и он используется для расчета зонной структуры, спектра и удельной теплоемкости кристаллов с учетом конкретной симметрии кристаллической группы, такой как FCC или BCC, и, в конечном итоге, дополнительной основа.^[6][7]

В этом доказательстве также можно заметить, как важно то, что дополнительная точечная группа управляется симметрией в эффективном потенциале, но она должна коммутировать с гамильтонианом.

В обобщенной версии теоремы Блоха преобразование Фурье, т. Е. Разложение волновой функции, обобщается из дискретное преобразование Фурье что применимо только для циклических групп и, следовательно, переводы в расширение персонажа волновой функции, где символы даны из конкретных конечных точечная группа.

Также здесь можно увидеть, как символы (как инварианты неприводимых представлений) могут рассматриваться как фундаментальные строительные блоки, а не как сами неприводимые представления.^[8]

Скорость и эффективная масса блоховских электронов

Если мы применим не зависящий от времени Уравнение Шредингера к блоховской волновой функции получаем

${\displaystyle {\hat {H_{\mathbf {k} }}}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}+U(\mathbf {r} )\right)u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\varepsilon _{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$

с граничными условиями

${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )}$

Учитывая, что это определено в конечном объеме, мы ожидаем бесконечного семейства собственных значений, здесь ${\displaystyle {\mathbf {k} }}$ является параметром гамильтониана, поэтому мы приходим к «непрерывному семейству» собственных значений ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}$ зависит от непрерывного параметра ${\displaystyle {\mathbf {k} }}$ и, следовательно, к основной концепции электронная зонная структура

Доказательство ^[9]

${\displaystyle [{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {x} )]\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)=E_{\mathbf {k} }\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)}$

Мы остаемся с

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\left(i\mathbf {k} \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\mathbf {k} ^{2}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-2i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+U(\mathbf {x} )u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=E_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$

Это показывает, как эффективный импульс можно рассматривать как составленный из двух частей.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{eff}=\left(-i\hbar \nabla +\hbar \mathbf {k} \right)}$

Стандартный импульс ${\displaystyle -i\hbar \nabla }$ и импульс кристалла ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} }$. Точнее импульс кристалла не является импульсом, но он соотносится с импульсом так же, как электромагнитный импульс в минимальное сцепление, и как часть каноническое преобразование импульса.

Для эффективной скорости можно получить

средняя скорость блоховского электрона

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }={\frac {\hbar }{m}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle =\hbar \langle {\hat {\mathbf {v} }}\rangle }$

Доказательство ^[10]

Оценим производные ${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$учитывая, что они являются коэффициентами следующего разложения по q, где q считается малым по отношению к k

${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )=\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )+\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}+O(q^{3})}$

Данный ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )}$ собственные значения ${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }}$Можно рассмотреть следующую задачу возмущения по q:

${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }={\hat {H}}_{\mathbf {k} }+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}}$

Теория возмущений второго порядка гласит, что:

${\displaystyle E_{n}=E_{n}^{0}+\int d\mathbf {r} \psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}|^{2}}{E_{n}^{0}-E_{n'}^{0}}}+...}$

Чтобы вычислить в линейном порядке по q

${\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}=\sum _{i}\int d\mathbf {r} u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}(-i\nabla +\mathbf {k} )_{i}q_{i}u_{n\mathbf {k} }}$

Если интеграции производятся по элементарной ячейке или всему кристаллу, если интеграл:

${\displaystyle \int d\mathbf {r} u_{n\mathbf {k} }^{*}u_{n\mathbf {k} }}$

нормализуется по ячейке или кристаллу.

Мы можем упростить по q и остаться с

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} u_{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }}$

И мы можем заново вставить полные волновые функции

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }}$

А для эффективной массы

теорема об эффективной массе

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}}$

Доказательство ^[10]

Член второго порядка

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n'\mathbf {k} }|^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}}$

Снова с ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=|n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle n\mathbf {k} |{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla )|n'\mathbf {k} \rangle |^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}}$

И избавиться от ${\displaystyle q_{i}}$ и ${\displaystyle q_{j}}$ у нас есть теорема${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}}$

Количество справа, умноженное на коэффициент${\displaystyle {\frac {1}{\hbar ^{2}}}}$ называется тензором эффективных масс ${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {k} )}$^[11] и мы можем использовать его, чтобы написать полуклассическое уравнение для носителя заряда в полосе^[12]

Полуклассическое уравнение движения носителя заряда в зоне второго порядка

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {k} )\mathbf {a} =\mp e(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}\mathbf {v} (\mathbf {k} )\times \mathbf {H} )}$

По аналогии с Волна де Бройля тип приближения^[13]

Полуклассическое уравнение движения электрона в полосе первого порядка

${\displaystyle \hbar {\dot {k}}=-e(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} )}$

История и связанные уравнения

Концепция состояния Блоха была разработана Феликс Блох в 1928 г.,^[14] для описания проводимости электронов в кристаллических твердых телах. Однако та же самая основная математика была открыта независимо несколько раз: Джордж Уильям Хилл (1877),^[15] Гастон Флоке (1883),^[16] и Александр Ляпунов (1892).^[17] В результате широко используются различные номенклатуры: применяется к обыкновенные дифференциальные уравнения, это называется Теория Флоке (или иногда Теорема Ляпунова – Флоке.). Общий вид одномерного периодического потенциального уравнения имеет вид Уравнение Хилла:^[18]

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}$

куда f (t) - периодический потенциал. Конкретные периодические одномерные уравнения включают Модель Кронига – Пенни и Уравнение Матье.

Математически теорема Блоха интерпретируется в терминах унитарных характеров решеточной группы и применяется к спектральная геометрия.^[19][20][21]

Смотрите также

• Блоховские колебания
• Волна Блоха - метод MoM
• Электронная зонная структура
• Модель почти свободных электронов
• Периодические граничные условия
• Симметрии в квантовой механике
• Модель с плотной обвязкой
• Функция Ванье

Рекомендации

1. Киттель, Чарльз (1996). Введение в физику твердого тела. Нью-Йорк: Вили. ISBN  0-471-14286-7.
2. Эшкрофт и Мермин 1976, п. 134
3. Эшкрофт и Мермин 1976, п. 137
4. Дрессельхаус 2002, стр. 345-348 Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFDresselhaus2002 (помощь)[1]
5. Теория представлений и Рик Рой 2010 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFRepresentation_TheoryRick_Roy2010 (помощь)[2]
6. Дрессельхаус 2002, стр. 365-367 Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFDresselhaus2002 (помощь)[3]
7. Спектр колебаний и теплоемкость гранецентрированного кубического кристалла, Роберт Б. Лейтон [4]
8. Представления групп и гармонический анализ от Эйлера до Ленглендса, часть II [5]
9. Эшкрофт и Мермин 1976, п. 140
10. Эшкрофт и Мермин 1976, п. 765 Приложение E
11. Эшкрофт и Мермин 1976, п. 228
12. Эшкрофт и Мермин 1976, п. 229
13. Эшкрофт и Мермин 1976, п. 227
14. Феликс Блох (1928). "Über die Quantenmechanik der Elektronen в Kristallgittern". Zeitschrift für Physik (на немецком). 52 (7–8): 555–600. Bibcode:1929ZPhy ... 52..555B. Дои:10.1007 / BF01339455. S2CID  120668259.
15. Джордж Уильям Хилл (1886). «Со стороны движения лунного перигея, которое является функцией средних движений Солнца и Луны». Acta Math. 8: 1–36. Дои:10.1007 / BF02417081. Эта работа была первоначально опубликована и распространена в частном порядке в 1877 году.
16. Гастон Флоке (1883). "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques". Научные Анналы Высшей Нормальной Школы. 12: 47–88. Дои:10.24033 / asens.220.
17. Александр Михайлович Ляпунов (1992). Общая проблема устойчивости движения.. Лондон: Тейлор и Фрэнсис. Перевод А. Т. Фуллера из французского перевода Эдуарда Даво (1907 г.) оригинальной русской диссертации (1892 г.).
18. Магнус, Вт; Винклер, S (2004). Уравнение Хилла. Курьер Дувр. п. 11. ISBN  0-486-49565-5.
19. Кучмент, П. (1982), Теория Флоке для уравнений в частных производных, RUSS MATH SURV., 37,1-60
20. Кацуда, А .; Сунада, Т (1987). «Гомологии и замкнутые геодезические на компактной римановой поверхности». Амер. J. Math. 110 (1): 145–156. Дои:10.2307/2374542. JSTOR  2374542.
21. Kotani M; Сунада Т. (2000). «Карты Альбанезе и недиагональная долгая асимптотика теплового ядра». Comm. Математика. Phys. 209 (3): 633–670. Bibcode:2000CMaPh.209..633K. Дои:10.1007 / s002200050033. S2CID  121065949.

дальнейшее чтение

• Эшкрофт, Нил; Мермин, Н. Давид (1976). Физика твердого тела. Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN  978-0-03-083993-1.
• Дрессельхаус, М.С. (2002). «Приложения теории групп к физике твердого тела» (PDF). Массачусетский технологический институт. В архиве (PDF) с оригинала на 1 ноября 2019 г.. Получено 12 сентября 2020.
• Дрессельхаус, М. С. (2010). Теория групп: приложение к физике конденсированного состояния. Springer-Verlag. ISBN  978-3-642-06945-1. OCLC  692760083.
• Х. Фёлль. «Периодические потенциалы и теорема Блоха - лекции в« Полупроводниках I »"". Кильский университет.
• М.С.П. Истхэм (1973). Спектральная теория периодических дифференциальных уравнений. Тексты по математике. Эдинбург: Scottish Academic Press.
• Ж. Газале; С. Дюпон; J.C. Kastelik; К. Роллан и Б. Джафари-Рухани (2013). «Обучающий обзор волн, распространяющихся в периодических средах: электронные, фотонные и фононные кристаллы. Восприятие теоремы Блоха как в реальной, так и в Фурье-областях». Волновое движение. 50 (3): 619–654. Дои:10.1016 / j.wavemoti.2012.12.010.