Теорема Блоха (комплексные переменные) - Blochs theorem (complex variables)

По теореме квантовой физики см. Теорема Блоха.

В комплексный анализ, поле внутри математика, Теорема Блоха дает нижнюю границу размера диска, в котором обратная голоморфная функция существуют. Он назван в честь Андре Блох.

Заявление

Позволять ж быть голоморфная функция в единичный диск |z| ≤ 1. Предположим, что |f ′(0) | = 1. Тогда существует круг радиуса б и аналитическая функция φ в этом круге такие, что ж(φ (z)) = z для всех z на этом диске. Здесь б > 1/72 - абсолютная константа.

Теорема Ландау

Если ж - голоморфная функция в единичном круге со свойством |f ′(0) | = 1, то образ ж содержит круг радиуса л, куда л ≥ б является абсолютной константой.

Эта теорема названа в честь Эдмунд Ландау.

Теорема Валирона

Теорема Блоха была вдохновлена ​​следующей теоремой Жорж Валирон:

Теорема. Если ж непостоянная целая функция, то существуют диски D произвольно большого радиуса и аналитических функций φ в D такой, что ж(φ (z)) = z за z в D.

Теорема Блоха соответствует теореме Валирона посредством так называемого Принцип Блоха.

Константы Блоха и Ландау

Нижняя оценка 1/72 в теореме Блоха не самая лучшая из возможных. Номер B определяется как супремум из всех б для которой верна эта теорема, называется Постоянная Блоха. Теорема Блоха говорит нам B ≥ 1/72, но точное значение B пока неизвестно.

Аналогично определенная оптимальная постоянная L в теореме Ландау называется Постоянная Ландау. Его точная стоимость также неизвестна.

Наиболее известные границы для B в настоящее время

${\displaystyle 0.4332\approx {\frac {\sqrt {3}}{4}}+2\times 10^{-4}\leq B\leq {\sqrt {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{3}})\Gamma ({\frac {11}{12}})}{\Gamma ({\frac {1}{4}})}}\approx 0.4719,}$

где Γ - Гамма-функция. Нижняя оценка была доказана Ченом и Готье, а верхняя оценка восходит к Альфорс и Грунский. Они также дали оценку сверху для постоянной Ландау.

В своей статье Альфорс и Грунски предположили, что их верхние оценки на самом деле являются истинными значениями B и L.

Рекомендации

• Альфорс, Ларс Валериан; Грунский, Гельмут (1937). "Über die Blochsche Konstante". Mathematische Zeitschrift. 42 (1): 671–673. Дои:10.1007 / BF01160101.
• Бернштейн, Альберт II; Винсон, Джейд П. (1998). «Результаты о локальной минимальности, связанные с константами Блоха и Ландау». Квазиконформные отображения и анализ. Анн-Арбор: Спрингер, Нью-Йорк. С. 55–89.
• Блох, Андре (1925). "Теории мсье Валирон сюр ле fonctions entières и la théorie de l'uniformisation". Анналы факультета наук Тулузы. 17 (3): 1–22. ISSN  0240-2963.
• Чен, Хуайхуэй; Готье, Поль М. (1996). «О постоянной Блоха». Журнал д'анализа математика. 69 (1): 275–291. Дои:10.1007 / BF02787110.