Функция Матье - Mathieu function

Не путать с Функция Масье.

В математика, Функции Матье, иногда называемые угловыми функциями Матье, являются решениями дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(a-2q\cos 2x)y=0,}$

куда ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle q}$ параметры. Впервые они были представлены Эмиль Леонар Матье, которые столкнулись с ними при изучении вибрирующих эллиптических пластиков.^[1][2] У них есть приложения во многих областях физических наук, таких как оптика, квантовая механика, и общая теория относительности. Обычно они возникают в задачах, связанных с периодическим движением, или при анализе уравнение в частных производных краевые задачи обладание эллиптический^{[необходимо разрешение неоднозначности ]} симметрия.^[3]

Определение

Функции Матье

В некоторых случаях Функция Матье относится к решениям дифференциального уравнения Матье для произвольных значений ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle q}$. Когда не может возникнуть путаницы, другие авторы используют этот термин для обозначения ${\displaystyle \pi }$- или же ${\displaystyle 2\pi }$-периодические решения, существующие только при особых значениях ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle q}$.^[4] Точнее, для данного (реального) ${\displaystyle q}$ такие периодические решения существуют для бесконечного числа значений ${\displaystyle a}$, называется характеристические числа, обычно индексируются как две отдельные последовательности ${\displaystyle a_{n}(q)}$ и ${\displaystyle b_{n}(q)}$, за ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$. Соответствующие функции обозначены ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ и ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$, соответственно. Иногда их также называют косинусоэллиптический и синусо-эллиптический, или же Функции Матье первого рода.

В результате предположения, что ${\displaystyle q}$ является действительным, как характеристические числа, так и соответствующие функции являются действительными.^[5]

${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ и ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ можно далее классифицировать по паритет и периодичность (как по ${\displaystyle x}$), следующее:^[4]

Функция	Паритет	Период
${\displaystyle {\text{ce}}_{n},\ n{\text{ even}}}$	четное	${\displaystyle \pi }$
${\displaystyle {\text{ce}}_{n},\ n{\text{ odd}}}$	четное	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle {\text{se}}_{n},\ n{\text{ even}}}$	странный	${\displaystyle \pi }$
${\displaystyle {\text{se}}_{n},\ n{\text{ odd}}}$	странный	${\displaystyle 2\pi }$

Индексация с целым числом ${\displaystyle n}$, помимо того, что служит для упорядочивания характеристических чисел в порядке возрастания, удобен тем, что ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ и ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ стать пропорциональным ${\displaystyle \cos nx}$ и ${\displaystyle \sin nx}$ в качестве ${\displaystyle q\rightarrow 0}$. С ${\displaystyle n}$ целое число, это приводит к классификации ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ и ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ как функции Матье (первого рода) целого порядка. Для общего ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle q}$кроме них могут быть определены решения, включая функции Матье дробного порядка, а также непериодические решения.

Модифицированные функции Матье

Тесно связаны модифицированные функции Матье, также известные как радиальные функции Матье, которые являются решениями Модифицированное дифференциальное уравнение Матьё

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-(a-2q\cosh 2x)y=0,}$

которое можно связать с исходным уравнением Матье, взяв ${\displaystyle x\to \pm xi}$. Соответственно модифицированные функции Матье первого рода интегрального порядка, обозначаемые ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$ и ${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$, определяются из^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(x,q)&={\text{ce}}_{n}(ix,q).\\{\text{Se}}_{n}(x,q)&=-i{\text{se}}_{n}(ix,q).\end{aligned}}}$

Эти функции являются действительными, когда ${\displaystyle x}$ реально.

Нормализация

Обычная нормализация,^[7] который будет принят на протяжении всей статьи, требует

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}(x,q)^{2}dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}(x,q)^{2}dx=\pi }$

а также требовать ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)\rightarrow +\cos nx}$ и ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)\rightarrow +\sin nx}$ в качестве ${\displaystyle q\rightarrow 0}$.

Теория Флоке

Основная статья: Теория Флоке

Многие свойства дифференциального уравнения Матье можно вывести из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, называемой Теория Флоке. Центральный результат Теорема Флоке:

Теорема Флоке^[8] — Уравнение Матье всегда имеет хотя бы одно решение ${\displaystyle y(x)}$ такой, что ${\displaystyle y(x+\pi )=\sigma y(x)}$, куда ${\displaystyle \sigma }$ - константа, которая зависит от параметров уравнения и может быть действительной или комплексной.

Характерные числа естественно связать ${\displaystyle a(q)}$ с этими ценностями ${\displaystyle a}$ что приводит к ${\displaystyle \sigma =\pm 1}$.^[9] Однако обратите внимание, что теорема гарантирует только существование хотя бы одного решения, удовлетворяющего ${\displaystyle y(x+\pi )=\sigma y(x)}$, когда уравнение Матье фактически имеет два независимых решения для любого заданного ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle q}$. Действительно, оказывается, что с ${\displaystyle a}$ равное одному из характеристических чисел, уравнение Матье имеет только одно периодическое решение (то есть с периодом ${\displaystyle \pi }$ или же ${\displaystyle 2\pi }$), и это решение является одним из ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$, ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$. Другое решение непериодическое и обозначается ${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$ и ${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$, соответственно, и называемые Функция Матье второго рода.^[10] Формально этот результат можно сформулировать как Теорема инса:

Теорема инса^[11] — Определить в основном периодический функционировать как удовлетворяющий ${\displaystyle y(x+\pi )=\pm y(x)}$. Тогда, кроме тривиального случая ${\displaystyle q=0}$, Уравнение Матье никогда не имеет двух (независимых) принципиально периодических решений при одинаковых значениях ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle q}$.

Пример ${\displaystyle P(a,q,x)}$ из теоремы Флоке с ${\displaystyle a=1}$, ${\displaystyle q=1/5}$, ${\displaystyle \mu \approx 1+0.0995i}$ (действительная часть - красный; мнимая часть - зеленый)

Эквивалентное утверждение теоремы Флоке состоит в том, что уравнение Матье допускает комплексное решение вида

${\displaystyle F(a,q,x)=\exp(i\mu \,x)\,P(a,q,x),}$

куда ${\displaystyle \mu }$ комплексное число, Показатель Флоке (или иногда Показатель Матье), и ${\displaystyle P}$ - комплекснозначная функция, периодическая по ${\displaystyle x}$ с периодом ${\displaystyle \pi }$. Пример ${\displaystyle P(a,q,x)}$ отображается справа.

Другие типы функций Матье

Второй вид

Поскольку уравнение Матье является дифференциальным уравнением второго порядка, можно построить два линейно независимых решения. Согласно теории Флоке, если ${\displaystyle a}$ равно характеристическому числу, одно из этих решений можно считать периодическим, а другое - непериодическим. Периодическое решение - одно из ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ и ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$, называемая функцией Матье первого рода целого порядка. Непериодический обозначается либо ${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$ и ${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$, соответственно, и называется функцией Матье второго рода (целого порядка). Непериодические решения неустойчивы, т. Е. Расходятся как ${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$.^[12]

Вторые решения, соответствующие модифицированным функциям Матье ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$ и ${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$ естественно определяются как ${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}(x,q)=-i{\text{fe}}_{n}(xi,q)}$ и ${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}(x,q)={\text{ge}}_{n}(xi,q)}$.

Дробный порядок

Функции Матье дробного порядка можно определить как эти решения ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$ и ${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$, ${\displaystyle p}$ нецелое число, которое превращается в ${\displaystyle \cos px}$ и ${\displaystyle \sin px}$ в качестве ${\displaystyle q\rightarrow 0}$.^[6] Если ${\displaystyle p}$ иррационально, они непериодичны; однако они остаются ограниченными как ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$.

Важное свойство решений ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$ и ${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$, за ${\displaystyle p}$ нецелое число, состоит в том, что они существуют для одного и того же значения ${\displaystyle a}$. Напротив, когда ${\displaystyle p}$ целое число, ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$ и ${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$ никогда не происходит для того же значения ${\displaystyle a}$. (См. Теорему Инса выше.)

Эти классификации кратко изложены в таблице ниже. Аналогичным образом определяются модифицированные аналоги функции Матье.

Классификация функций Матье^[13]

Заказ	Первый вид	Второй вид
интеграл	${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$	${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$
интеграл	${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$	${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$
Дробное (${\displaystyle p}$ нецелое)	${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$	${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$

Явное представление и вычисление

Первый вид

Функции Матье первого рода можно представить в виде Ряд Фурье:^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ce}}_{2n}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r}^{(2n)}(q)\cos(2rx)\\{\text{ce}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+2}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+2}^{(2n+2)}(q)\sin \left[(2r+2)x\right]\\\end{aligned}}}$

Коэффициенты разложения ${\displaystyle A_{j}^{(i)}(q)}$ и ${\displaystyle B_{j}^{(i)}(q)}$ являются функциями ${\displaystyle q}$ но независимо от ${\displaystyle x}$. Подстановкой в ​​уравнение Матье можно показать, что они подчиняются трехчленным повторяющиеся отношения в нижнем индексе. Например, для каждого ${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$ можно найти^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}aA_{0}-qA_{2}&=0\\(a-4)A_{2}-q(A_{4}+2A_{0})&=0\\(a-4r^{2})A_{2r}-q(A_{2r+2}+A_{2r-2})&=0,\quad r\geq 2\end{aligned}}}$

Повторение второго порядка в индексе ${\displaystyle 2r}$, всегда можно найти два независимых решения ${\displaystyle X_{2r}}$ и ${\displaystyle Y_{2r}}$ таким образом, что общее решение может быть выражено как линейная комбинация двух: ${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$. Более того, в этом частном случае асимптотический анализ^[15] показывает, что один из возможных вариантов фундаментального решения обладает свойством

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2r}&=r^{-2r-1}\left(-{\frac {e^{2}q}{4}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\left(-{\frac {4}{e^{2}q}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\end{aligned}}}$

Особенно, ${\displaystyle X_{2r}}$ конечно, тогда как ${\displaystyle Y_{2r}}$ расходится. Письмо ${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$, мы видим, что для представления ряда Фурье ${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$ сходиться, ${\displaystyle a}$ должен быть выбран так, чтобы ${\displaystyle c_{2}=0}$. Эти варианты ${\displaystyle a}$ соответствуют характеристическим номерам.

В общем, однако, решение трехчленной рекуррентности с переменными коэффициентами не может быть представлено простым способом, и, следовательно, нет простого способа определить ${\displaystyle a}$ из условия ${\displaystyle c_{2}=0}$. Более того, даже если приблизительное значение характеристического числа известно, его нельзя использовать для получения коэффициентов ${\displaystyle A_{2r}}$ путем численного повторения повторения в сторону увеличения ${\displaystyle r}$. Причина в том, что пока ${\displaystyle a}$ только приближает характеристическое число, ${\displaystyle c_{2}}$ не идентично ${\displaystyle 0}$ и расходящееся решение ${\displaystyle Y_{2r}}$ в конечном итоге доминирует для достаточно больших ${\displaystyle r}$.

Чтобы преодолеть эти проблемы, требуются более сложные полуаналитические / численные подходы, например, с использованием непрерывная дробь расширение,^[16][4] бросая повторение как матрица проблема собственных значений,^[17] или реализация обратного алгоритма повторения.^[15] Сложность трехчленного рекуррентного соотношения - одна из причин, по которой существует мало простых формул и тождеств, включающих функции Матье.^[18]

На практике функции Матье и соответствующие характеристические числа могут быть рассчитаны с использованием предварительно упакованного программного обеспечения, такого как Mathematica, Клен, MATLAB, и SciPy. Для малых значений ${\displaystyle q}$ и низкий порядок ${\displaystyle n}$, их также можно выразить пертурбативно в виде степенных рядов ${\displaystyle q}$, что может быть полезно в физических приложениях.^[19]

Второй вид

Есть несколько способов представления функций Матье второго рода.^[20] Одно представление с точки зрения Функции Бесселя:^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{fe}}_{2n}(x,q)&=-{\frac {\pi \gamma _{n}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{where }}\gamma _{n}=\left\{{\begin{array}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{ if }}n=0\\2n,&{\text{ if }}n\geq 1\end{array}}\right.\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4(n+1)}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+2}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+2}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle n,q>0}$, и ${\displaystyle J_{r}(x)}$ и ${\displaystyle Y_{r}(x)}$ являются функциями Бесселя первого и второго рода.

Измененные функции

Традиционный подход к числовому вычислению модифицированных функций Матье - это серия произведений функций Бесселя.^[22] Для больших ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle q}$, необходимо тщательно выбирать форму ряда, чтобы избежать ошибок при вычитании.^[23][24]

Характеристики

Существует относительно немного аналитических выражений и тождеств, включающих функции Матье. Более того, в отличие от многих других специальных функций, решения уравнения Матье, вообще говоря, не могут быть выражены через гипергеометрические функции. В этом можно убедиться, преобразовав уравнение Матье к алгебраической форме с помощью замены переменной ${\displaystyle t=\cos(x)}$:

${\displaystyle (1-t^{2}){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-t\,{\frac {dy}{dt}}+(a+2q(1-2t^{2}))\,y=0.}$

Поскольку это уравнение имеет нерегулярную особую точку на бесконечности, его нельзя преобразовать в уравнение гипергеометрического типа.^[18]

Качественное поведение

Примерные графики функций Матье первого рода

Участок ${\displaystyle {\text{ce}}_{1}(x,q)}$ для различных ${\displaystyle q}$

Для малых ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ и ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ вести себя аналогично ${\displaystyle \cos nx}$ и ${\displaystyle \sin nx}$. Для произвольных ${\displaystyle q}$, они могут значительно отличаться от своих тригонометрических аналогов; однако в целом они остаются периодическими. Причем для любых реальных ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle {\text{ce}}_{m}(x,q)}$ и ${\displaystyle {\text{se}}_{m+1}(x,q)}$ иметь точно ${\displaystyle m}$ простые нули в ${\displaystyle 0<x<\pi }$, и, как ${\displaystyle q\rightarrow \infty }$ кластер нулей около ${\displaystyle x=\pi /2}$.^[25][26]

За ${\displaystyle q>0}$ и, как ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ модифицированные функции Матье имеют тенденцию вести себя как периодические функции с затуханием.

В дальнейшем ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ множители из разложений Фурье для ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ и ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ можно ссылаться (см. Явное представление и вычисление ). Они зависят от ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle n}$ но не зависят от ${\displaystyle x}$.

Размышления и переводы

Благодаря их четности и периодичности, ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ и ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ обладают простыми свойствами при отражениях и переводах на кратные ${\displaystyle \pi }$:^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(x)\\&{\text{se}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{se}}_{n}(x)\\&{\text{ce}}_{n}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(-x+\pi /2)\\&{\text{se}}_{n+1}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{se}}_{n+1}(-x+\pi /2)\end{aligned}}}$

Также можно писать функции с отрицательным ${\displaystyle q}$ с точки зрения положительных ${\displaystyle q}$:^[4][27]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{ce}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\end{aligned}}}$

Более того,

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{2n+1}(q)=b_{2n+1}(-q)\\&b_{2n+2}(q)=b_{2n+2}(-q)\end{aligned}}}$

Ортогональность и полнота

Как и их тригонометрические аналоги ${\displaystyle \cos nx}$ и ${\displaystyle \sin nx}$периодические функции Матье ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ и ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ удовлетворять соотношениям ортогональности

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{ce}}_{m}dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}{\text{se}}_{m}dx=\delta _{nm}\pi \\&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{se}}_{m}dx=0\end{aligned}}}$

Более того, с ${\displaystyle q}$ фиксированный и ${\displaystyle a}$ рассматриваемое как собственное значение, уравнение Матье имеет вид Штурм-Лиувиль форма. Отсюда следует, что собственные функции ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ и ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ образуют полный комплект, т.е. любые ${\displaystyle \pi }$- или же ${\displaystyle 2\pi }$-периодическая функция ${\displaystyle x}$ может быть расширен серией в ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ и ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$.^[3]

Интегральные тождества

Решения уравнения Матье удовлетворяют классу интегральных тождеств относительно ядра ${\displaystyle \chi (x,x')}$ это решения

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$

Точнее, если ${\displaystyle \phi (x)}$ решает уравнение Матье с заданными ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle q}$, то интеграл

${\displaystyle \psi (x)\equiv \int _{C}\chi (x,x')\phi (x')dx'}$

куда ${\displaystyle C}$ это путь в комплексная плоскость, также решает уравнение Матье с тем же ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle q}$при соблюдении следующих условий:^[28]

• ${\displaystyle \chi (x,x')}$ решает ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$
• В рассматриваемых регионах ${\displaystyle \psi (x)}$ существует и ${\displaystyle \chi (x,x')}$ является аналитический
• ${\displaystyle \left(\phi {\frac {\partial \chi }{\partial x'}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x'}}\chi \right)}$ имеет такое же значение в конечных точках ${\displaystyle C}$

Используя соответствующую замену переменных, уравнение для ${\displaystyle \chi }$ может быть преобразован в волновое уравнение и решено. Например, одно решение ${\displaystyle \chi (x,x')=\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x')}$. Примеры тождеств, полученных таким образом:^[29]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q)}{\pi q^{1/2}B_{1}^{(2n+1)}}}\int _{0}^{\pi }\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x'){\text{se}}_{2n+1}(x',q)dx'\qquad (q>0)\\{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&={\frac {{\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{\pi A_{0}^{(2n)}}}\int _{0}^{\pi }\cos(2q^{1/2}\cosh x\cos x'){\text{ce}}_{2n}(x',q)dx'\qquad \ \ \ (q>0)\end{aligned}}}$

Тождества последнего типа полезны для изучения асимптотических свойств модифицированных функций Матье.^[30]

Также существуют интегральные отношения между функциями первого и второго рода, например:^[21]

${\displaystyle {\text{fe}}_{2n}(x,q)=2n\int _{0}^{x}{\text{ce}}_{2n}(\tau ,-q)\ J_{0}\left({\sqrt {2q(\cos 2x-\cos 2\tau )}}\right)d\tau ,\qquad n\geq 1}$

действует для любого комплекса ${\displaystyle x}$ и настоящий ${\displaystyle q}$.

Асимптотические разложения

Следующие асимптотические разложения справедливы для ${\displaystyle q>0}$, ${\displaystyle {\text{Im}}(x)=0}$, ${\displaystyle {\text{Re}}(x)\rightarrow \infty }$, и ${\displaystyle 2q^{1/2}\cosh x\simeq q^{1/2}e^{x}}$:^[31]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{1/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n}(0,q){\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{A_{0}^{(2n)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Ce}}_{2n+1}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n+1}(0,q){\text{ce}}'_{2n+1}(\pi /2,q)}{A_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+1}(x,q)&\sim -\left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q){\text{se}}_{2n+1}(\pi /2,q)}{B_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+2}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{5/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+2}(0,q){\text{se}}'_{2n+2}(\pi /2,q)}{B_{2}^{(2n+2)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}}$

Таким образом, модифицированные функции Матье экспоненциально убывают при большом действительном аргументе. Аналогичные асимптотические разложения можно записать для ${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}}$ и ${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}}$; они также экспоненциально затухают при большом действительном аргументе.

Для четных и нечетных периодических функций Матье ${\displaystyle ce,se}$ и соответствующие характеристические числа ${\displaystyle a}$ можно также получить асимптотические разложения для больших ${\displaystyle q}$.^[32] В частности, для характеристических чисел с ${\displaystyle N}$ приблизительно нечетное целое число, т.е. ${\displaystyle N\approx N_{0}=2n+1,n=1,2,3,...,}$

${\displaystyle a(N)=-2q+2q^{1/2}N-{\frac {1}{2^{3}}}(N^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N(N^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N^{4}+34N^{2}+9)}$

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;-{\frac {1}{2^{17}q^{3/2}}}N(33N^{4}+410N^{2}+405)-{\frac {1}{2^{20}q^{2}}}(63N^{6}+1260N^{4}+2943N^{2}+41807)+{\mathcal {O}}(q^{-5/2})}$

Обратите внимание на симметрию при замене ${\displaystyle q^{1/2}}$ и ${\displaystyle N}$ к ${\displaystyle -q^{1/2}}$ и ${\displaystyle -N}$, что является важной особенностью расширения. Условия этого расширения были получены до срока заказа включительно. ${\displaystyle |q|^{-7/2}}$.^[33] Здесь ${\displaystyle N}$ всего лишь приблизительно нечетное целое число, потому что в пределе ${\displaystyle q\rightarrow \infty }$ все минимальные участки периодического потенциала ${\displaystyle \cos 2x}$ становятся эффективно независимыми гармоническими осцилляторами (следовательно, ${\displaystyle N_{0}}$ нечетное целое число). Уменьшая ${\displaystyle q}$, становится возможным (на физическом языке) туннелирование через барьеры, что приводит к расщеплению характеристических чисел ${\displaystyle a\rightarrow a_{\mp }}$ (в квантовой механике называются собственными значениями), соответствующие четным и нечетным периодическим функциям Матье. Это расщепление получается с граничными условиями^[34] (в квантовой механике это обеспечивает разбиение собственных значений на энергетические зоны).^[35] Граничные условия:

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {dce_{N_{0}-1}}{dx}}{\bigg )}_{\pi /2}=0,\;\;ce_{N_{0}}(\pi /2)=0,\;\;{\bigg (}{\frac {dse_{N_{0}}}{dx}}{\bigg )}_{\pi /2}=0,\;\;se_{N_{0}+1}(\pi /2)=0.}$

Наложение этих граничных условий на асимптотические периодические функции Матье, связанные с указанным выше разложением для ${\displaystyle a}$ можно получить

${\displaystyle N-N_{0}=\mp 2{\bigg (}{\frac {2}{\pi }}{\bigg )}^{1/2}{\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{13}q}}(9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+...{\bigg ]}.}$

Соответствующие характеристические числа или собственные значения затем следует разложением, т. Е.

${\displaystyle a(N)=a(N_{0})+(N-N_{0}){\bigg (}{\frac {\partial a}{\partial N}}{\bigg )}_{N_{0}}+....}$

Вставка соответствующих выражений выше дает результат

${\displaystyle a(N)\rightarrow a_{\mp }(N_{0})=-2q+2q^{1/2}N_{0}-{\frac {1}{2^{3}}}(N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{0}^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-...}$

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi )^{1/2}[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {N_{0}}{2^{6}q^{1/2}}}(3N_{0}^{2}+8N_{0}+3)+...{\bigg ]}.}$

За ${\displaystyle N_{0}=1,3,5,...}$ это собственные значения, связанные с четными собственными функциями Матье ${\displaystyle ce_{N_{0}}}$ или же ${\displaystyle ce_{N_{0}-1}}$ (т.е. со знаком минус сверху) и нечетными собственными функциями Матье ${\displaystyle se_{N_{0}+1}}$ или же${\displaystyle se_{N_{0}}}$ (т.е. со знаком плюса). Явные и нормированные разложения собственных функций можно найти в ^[36] или же.^[37]

Подобные асимптотические разложения могут быть получены для решений других периодических дифференциальных уравнений, как и для Функции Ламе и вытянутый и сжатый сфероидальные волновые функции.

Приложения

Дифференциальные уравнения Матьё появляются в широком диапазоне контекстов инженерии, физики и прикладной математики. Многие из этих приложений относятся к одной из двух общих категорий: 1) анализ дифференциальных уравнений в частных производных в эллиптических геометриях и 2) динамические задачи, в которых участвуют силы, периодические в пространстве или во времени. Примеры в пределах обеих категорий обсуждаются ниже.

Уравнения с частными производными

Функции Матье возникают, когда разделение переменных в эллиптических координатах применяется к 1) Уравнение лапласа в 3-х измерениях и 2) Уравнение Гельмгольца в двух или трех измерениях. Поскольку уравнение Гельмгольца является прототипом уравнения для моделирования пространственного изменения классических волн, функции Матье могут использоваться для описания множества волновых явлений. Например, в вычислительная электромагнетизм их можно использовать для анализа рассеяние из электромагнитные волны вне эллиптических цилиндров, а распространение волн в эллиптических волноводы.^[38] В общая теория относительности, точное решение плоской волны Уравнение поля Эйнштейна можно задать в терминах функций Матье.

Совсем недавно функции Матье использовались для решения частного случая Уравнение Смолуховского, описывающий стационарную статистику самоходные частицы.^[39]

В оставшейся части этого раздела подробно описан анализ двумерного уравнения Гельмгольца.^[40] В прямоугольных координатах уравнение Гельмгольца имеет вид

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0,}$

Эллиптические координаты определены

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=c\cosh \mu \cos \nu \\y&=c\sinh \mu \sin \nu \end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle 0\leq \mu <\infty }$, ${\displaystyle 0\leq \nu <2\pi }$, и ${\displaystyle c}$ положительная константа. Уравнение Гельмгольца в этих координатах имеет вид

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \nu ^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0}$

Постоянная ${\displaystyle \mu }$ кривые конфокальные эллипсы с фокусным расстоянием ${\displaystyle c}$; следовательно, эти координаты удобны для решения уравнения Гельмгольца на областях с эллиптическими границами. Разделение переменных через ${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=F(\mu )G(\nu )}$ дает уравнения Матье

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}F}{d\mu ^{2}}}-\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cosh 2\mu \right)F=0\\&{\frac {d^{2}G}{d\nu ^{2}}}+\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cos 2\nu \right)G=0\\\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle a}$ - постоянная разделения.

В качестве конкретного физического примера уравнение Гельмгольца можно интерпретировать как описывающее нормальные режимы эластичной мембраны под форменную напряжение. В этом случае накладываются следующие физические условия:^[41]

• Периодичность по ${\displaystyle \nu }$, т.е. ${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=\psi (\mu ,\nu +2\pi )}$
• Непрерывность смещения по межфокальной линии: ${\displaystyle \psi (0,\nu )=\psi (0,-\nu )}$
• Непрерывность производной по межфокальной линии: ${\displaystyle \psi _{\mu }(0,\nu )=-\psi _{\mu }(0,-\nu )}$

Для данного ${\displaystyle k}$, это ограничивает решения до решений вида ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(\mu ,q){\text{ce}}_{n}(\nu ,q)}$ и ${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(\mu ,q){\text{se}}_{n}(\nu ,q)}$, куда ${\displaystyle q=c^{2}k^{2}/2}$. Это то же самое, что и ограничение допустимых значений ${\displaystyle a}$, для данного ${\displaystyle k}$. Ограничения на ${\displaystyle k}$ затем возникают из-за наложения физических условий на некоторую ограничивающую поверхность, такую ​​как эллиптическая граница, определяемая ${\displaystyle \mu =\mu _{0}>0}$. Например, зажим мембраны на ${\displaystyle \mu =\mu _{0}}$ навязывает ${\displaystyle \psi (\mu _{0},\nu )=0}$, что, в свою очередь, требует

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(\mu _{0},q)=0\\{\text{Se}}_{n}(\mu _{0},q)=0\end{aligned}}}$

Эти условия определяют нормальные режимы работы системы.

Динамические проблемы

В динамических задачах с периодически меняющимися силами уравнение движения иногда принимает форму уравнения Матье. В таких случаях знание общих свойств уравнения Матье - особенно в отношении устойчивости решений - может быть важным для понимания качественных особенностей физической динамики.^[42] Классическим примером в этом направлении является перевернутый маятник.^[43] Другие примеры:

• колебания струны с периодически изменяющимся натяжением^[42]
• устойчивость железнодорожных рельсов при проезде по ним поездов
• сезонно вынужденный динамика населения
• феномен параметрический резонанс в принудительном генераторы
• движение ионов в квадрупольная ионная ловушка^[44]
• то Эффект Старка для вращающегося электрический диполь
• то Теория Флоке стабильности предельные циклы

Квантовая механика

Функции Матье играют важную роль в некоторых квантово-механических системах, особенно с пространственно-периодическими потенциалами, такими как квантовый маятник и кристаллические решетки.

Модифицированное уравнение Матье возникает также при описании квантовой механики сингулярных потенциалов. Для частного сингулярного потенциала ${\displaystyle V(r)=g^{2}/r^{4}}$ радиальный Уравнение Шредингера

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dr^{2}}}+\left[k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-{\frac {g^{2}}{r^{4}}}\right]y=0}$

можно преобразовать в уравнение

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\left[2h^{2}\cosh 2z-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]\varphi =0.}$

Преобразование достигается следующими заменами

${\displaystyle y=r^{1/2}\varphi ,r=\gamma e^{z},\gamma ={\frac {ig}{h}},h^{2}=ikg,h=e^{I\pi /4}(kg)^{1/2}.}$

Решив уравнение Шредингера (для этого конкретного потенциала) в терминах решений модифицированного уравнения Матье, свойства рассеяния, такие как S-матрица и поглощающая способность может быть получен.^[45]

Смотрите также

• Список математических функций
• Дифференциальное уравнение Хилла
• Функция Ламе
• Монохроматическая плоская электромагнитная волна
• Перевернутый маятник

Примечания

1. Матье (1868).
2. Морс и Фешбах (1953).
3. Гутьеррес-Вега (2015).
4. Арскотт (1964), глава III
5. Арскотт (1964) 43–44
6. Маклахлан (1947), глава II.
7. Арскотт (1964); Иянага (1980); Градштейн (2007); Это также нормализация, используемая система компьютерной алгебры Клен.
8. Арскотт (1964), стр. 29.
9. В целом неверно, что ${\displaystyle 2\pi }$ периодическая функция обладает свойством ${\displaystyle y(x+\pi )=-y(x)}$. Однако это оказывается верным для функций, которые являются решениями уравнения Матье.
10. Маклахлан (1951), стр. 141-157, 372
11. Арскотт (1964), стр. 34
12. Маклахлан (1947), стр. 144
13. Маклахлан (1947), стр. 372
14. Маклахлан (1947), стр. 28
15. Wimp (1984), стр. 83-84.
16. Маклахлан (1947)
17. Хаос-Кадор и Лей-Ку (2001)
18. Темме (2015), стр. 234
19. Мюллер-Кирстен (2012), стр. 420-428.
20. Мейкснер и Шефке (1954); Маклахлан (1947)
21. Малиц (2010)
22. Цзинь и Чжан (1996)
23. Ван Бюрен и Бойсверт (2007)
24. Бибби и Петерсон (2013)
25. Мейкснер и Шефке (1954), стр.134.
26. Маклахлан (1947), стр. 234–235.
27. Градштейн (2007), с. 953
28. Арскотт (1964), стр. 40-41.
29. Градштейн (2007), с. 763–765.
30. Арскотт (1964), стр. 86
31. Маклахлан (1947), глава XI.
32. Маклахлан (1947), стр. 237; Дингл и Мюллер (1962); Мюллер (1962); Дингл и Мюллер (1964)
33. Дингл и Мюллер (1962)
34. Дингл и Мюллер (1962)
35. Мюллер-Кирстен (2012)
36. Дингл и Мюллер (1962)
37. Мюллер-Кирстен (2012)
38. Бибби и Петерсон (2013); Баракат (1963); Себак и Шафай (1991); Крецшмар (1970)
39. Солон и др. (2015)
40. см. Willatzen and Voon (2011), стр. 61–65.
41. Маклахлан (1947), стр. 294–297.
42. Мейкснер и Шефке (1954), стр. 324–343.
43. Рубин (1996)
44. Март (1997)
45. Мюллер-Кирстен (2006)

Рекомендации

• Арскотт, Феликс (1964). Периодические дифференциальные уравнения: введение в Матье, Ламе и родственные им функции. Pergamon Press. ISBN  9781483164885.
• Баракат Р. (1963), "Дифракция плоских волн на эллиптическом цилиндре", Журнал акустического общества Америки, 35 (12): 1990–1996, Bibcode:1963ASAJ ... 35.1990B, Дои:10.1121/1.1918878
• Бибби, Малькольм М .; Петерсон, Эндрю Ф. (2014). Точное вычисление функций Матье. Морган и Клейпул. Дои:10.2200 / S00526ED1V01Y201307CEM032. ISBN  9781627050852.
• Хаос-Кадор, Л .; Лей-Ку, Э. (2002), «Еще раз о функциях Матье: матричное вычисление и производящие функции», Revista mexicana de física, 48 (1): 67–75
• Дингл, Роберт Б .; Мюллер, Харальд Дж. В. (1964). "Форма коэффициентов поздних членов в асимптотических разложениях характеристических чисел Матье и сфероидально-волновых функций". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 216: 123–133. ISSN  0075-4102.
• Градштейн Израиль Соломонович; и другие. (Февраль 2007 г.). Джеффри, Алан; Цвиллинджер, Даниэль (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (7-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN  978-0-12-373637-6. МИСТЕР  2360010.
• Гутьеррес-Вега, Хулио К. (2015), «Функции Матье», в Николасе Дж. Хайэме; и другие. (ред.), Принстонский компаньон по прикладной математике, Princeton University Press, стр. 159–160.
• Иянага, Сёкичи; Кавада, Юкиёси, ред. (1980) [1977]. Математический энциклопедический словарь, том I. Перевод со 2-го японского издания, версия в мягкой обложке издания 1977 г. (1-е изд.). MIT Press. ISBN  978-0-262-59010-5. МИСТЕР  0591028.
• Jin, J.M .; Чжан, Шань Цзе (1996). Вычисление специальных функций. Нью-Йорк: Вили. ISBN  9780471119630.
• Kretzschmar, J.G. (1970), "Распространение волн в полых проводящих эллиптических волноводах", Протоколы IEEE по теории и методам микроволнового излучения, 18 (9): 547–554, Bibcode:1970ITMTT..18..547K, Дои:10.1109 / TMTT.1970.1127288
• Малиц, Пинхас (2010), "Связь между функциями Матье первого и второго рода", Интегральные преобразования и специальные функции, 21 (6): 423–436, Дои:10.1080/10652460903360499
• Март, Раймонд Э. (апрель 1997 г.). «Введение в масс-спектрометрию с квадрупольной ионной ловушкой». Журнал масс-спектрометрии. 32 (4): 351–369. Bibcode:1997JMSp ... 32..351M. Дои:10.1002 / (SICI) 1096-9888 (199704) 32: 4 <351 :: AID-JMS512> 3.0.CO; 2-Y.
• Матье, Э. (1868 г.), "Mémoire sur Le Mouvement Vibratoire d'une Membrane de Forme Elliptique", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées: 137–203
• Маклахлан, Н. У. (1951). Теория и применение функций Матье. Издательство Оксфордского университета. Примечание: литографически перепечатано в Великобритании в University Press, Oxford, 1951 г. с исправленных листов первого издания (1947 г.).
• Мейкснер, Йозеф; Schäfke, Фридрих Вильгельм (1954). Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen (на немецком). Берлин: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-3-662-00941-3. ISBN  978-3-540-01806-3.
• Морс, Филип МакКорд; Фешбах, Герман (1953-01-01). Методы теоретической физики: Ч. 1 (Перепечатка ред.). Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill Inc., США. ISBN  9780070433168.
• Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В. (2012). Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям (2-е изд.). World Scientific. ISBN  978-981-4397--73-5.
• Dingle, R.B .; Мюллер, H.J.W. (1962). "Асимптотические разложения функций Матье и их характеристических чисел". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1962 (211): 11–32. Дои:10.1515 / crll.1962.211.11. ISSN  0075-4102.
• Мюллер, H.J.W. (1962). "Об асимптотических разложениях функций Матье". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1962 (211): 179–190. Дои:10.1515 / crll.1962.211.179. ISSN  0075-4102.
• Себак, А .; Шафай, Л. (1991), "Обобщенные решения для электромагнитного рассеяния эллиптическими структурами", Компьютерная физика Коммуникации, 68 (1–3): 315–330, Bibcode:1991CoPhC..68..315S, Дои:10.1016 / 0010-4655 (91) 90206-Z
• Солон, А.П .; Cates, M.E .; Tailleur, J. (2015), «Активные броуновские частицы и частицы, движущиеся и падающие: сравнительное исследование», Специальные темы Европейского физического журнала, 224 (7): 1231–1262, arXiv:1504.07391, Bibcode:2015EPJST.224.1231S, Дои:10.1140 / epjst / e2015-02457-0
• Темме, Нико М. (2015), «Специальные функции», у Николаса Дж. Хайэма; и другие. (ред.), Принстонский компаньон по прикладной математике, Princeton University Press, стр. 234
• Van Buren, Arnie L .; Бойсверт, Джеффри Э. (2007). «Точный расчет модифицированных функций Матье целого порядка». Квартал прикладной математики. 65 (1): 1–23. Дои:10.1090 / S0033-569X-07-01039-5. ISSN  0033-569X.
• Лью Ян Вун, LC, Willatzen M (2011). Разделимые краевые задачи в физике. Wiley-VCH. Дои:10.1002/9783527634927. ISBN  978-3-527-41020-0. (бесплатный онлайн-доступ к приложению о функциях Матье)
• Слабак, Джет (1984). Вычисление с рекуррентными отношениями. Pitman Publishing. С. 83–84. ISBN  0-273-08508-5.
• Вольф, Г. (2010), «Функции Матье и уравнение Хилла», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Матье». MathWorld.
• Список уравнений и тождеств для функций Матье functions.wolfram.com
• «Функции Матьё», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Тимоти Джонс, Уравнения Матье и идеальная ловушка ВЧ-Поля (2006)
• Уравнение Матье, EqWorld
• Цифровая библиотека математических функций NIST: функции Матье и уравнение Хилла