Функция Ламе - Lamé function

В математике Функция Ламе, или же эллипсоидальная гармоническая функция, является решением Уравнение Ламе, второго порядка обыкновенное дифференциальное уравнение. Он был представлен в статье (Габриэль Ламе  1837 ). Уравнение Ламе появляется в методе разделение переменных применяется к Уравнение лапласа в эллиптические координаты. В некоторых частных случаях решения могут быть выражены в терминах многочленов, называемых Многочлены Ламе.

Уравнение Ламе

Уравнение Ламе:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(A+B\wp (x))y=0,}$

куда А и B - константы, а ${\displaystyle \wp }$ это Эллиптическая функция Вейерштрасса. Самый важный случай - это когда ${\displaystyle B\wp (x)=-\kappa ^{2}\operatorname {sn} ^{2}x}$, куда ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ эллиптическая синусоидальная функция, и ${\displaystyle \kappa ^{2}=n(n+1)k^{2}}$ для целого числа п и ${\displaystyle k}$ эллиптический модуль, и в этом случае решения расширяются до мероморфных функций, определенных на всей комплексной плоскости. Для других значений B решения имеют точки разветвления.

Заменив независимую переменную на ${\displaystyle t}$ с ${\displaystyle t=\operatorname {sn} x}$, Уравнение Ламе также можно переписать в алгебраической форме как

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t-e_{1}}}+{\frac {1}{t-e_{2}}}+{\frac {1}{t-e_{3}}}\right){\frac {dy}{dt}}-{\frac {A+Bt}{4(t-e_{1})(t-e_{2})(t-e_{3})}}y=0,}$

который после замены переменной становится частным случаем Уравнение Гойна.

Более общая форма уравнения Ламе - это эллипсоидальное уравнение или же эллипсоидальное волновое уравнение который можно записать (заметьте, теперь мы пишем ${\displaystyle \Lambda }$, нет ${\displaystyle A}$ как указано выше)

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(\Lambda -\kappa ^{2}\operatorname {sn} ^{2}x-\Omega ^{2}k^{4}\operatorname {sn} ^{4}x)y=0,}$

куда ${\displaystyle k}$ - эллиптический модуль эллиптических функций Якоби и ${\displaystyle \kappa }$ и ${\displaystyle \Omega }$ являются константами. За ${\displaystyle \Omega =0}$ уравнение становится уравнением Ламе с ${\displaystyle \Lambda =A}$. За ${\displaystyle \Omega =0,k=0,\kappa =2h,\Lambda -2h^{2}=\lambda ,x=z\pm {\frac {\pi }{2}}}$ уравнение сводится к Уравнение Матье

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+(\lambda -2h^{2}\cos 2z)y=0.}$

Форма Вейерштрасса уравнения Ламе совершенно не подходит для вычислений (как также отмечает Арскотт, стр. 191). Наиболее подходящей формой уравнения является якобианская форма, как указано выше. Алгебраические и тригонометрические формы также неудобны в использовании. Уравнения Ламе возникают в квантовой механике как уравнения малых флуктуаций относительно классических решений, называемые периодические инстантоны, отскоки или пузыри - уравнений Шредингера для различных периодических и ангармонических потенциалов.^[1][2]

Асимптотические разложения

Асимптотические разложения периодических эллипсоидальных волновых функций, а вместе с тем и функций Ламе при больших значениях ${\displaystyle \kappa }$ были получены Мюллером.^[3][4][5]Полученное им асимптотическое разложение для собственных значений ${\displaystyle \Lambda }$ это с ${\displaystyle q}$ приблизительно нечетное целое число (и более точно определяется граничными условиями - см. ниже),

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda (q)={}&q\kappa -{\frac {1}{2^{3}}}(1+k^{2})(q^{2}+1)-{\frac {q}{2^{6}\kappa }}\{(1+k^{2})^{2}(q^{2}+3)-4k^{2}(q^{2}+5)\}\\[6pt]&{}-{\frac {1}{2^{10}\kappa ^{2}}}{\Big \{}(1+k^{2})^{3}(5q^{4}+34q^{2}+9)-4k^{2}(1+k^{2})(5q^{4}+34q^{2}+9)\\[6pt]&{}-384\Omega ^{2}k^{4}(q^{2}+1){\Big \}}-\cdots ,\end{aligned}}}$

(еще один (пятый) член, не приведенный здесь, был вычислен Мюллером, первые три члена также были получены Инсе^[6]). Соблюдайте, что члены поочередно четные и нечетные ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle \kappa }$ (как и в соответствующих расчетах для Функции Матье, и сплюснутые сфероидальные волновые функции и вытянутые сфероидальные волновые функции ). Со следующими граничными условиями (в которых ${\displaystyle K(k)}$ - четверть периода, заданная полным эллиптическим интегралом)

${\displaystyle \operatorname {Ec} (2K)=\operatorname {Ec} (0)=0,\;\;\operatorname {Es} (2K)=\operatorname {Es} (0)=0,}$

так же хорошо как основной значение производной)

${\displaystyle (\operatorname {Ec} )_{2K}^{'}=(\operatorname {Ec} )_{0}^{'}=0,\;\;(\operatorname {Es} )_{2K}^{'}=(\operatorname {Es} )_{0}^{'}=0,}$

определяя соответственно эллипсоидальные волновые функции

${\displaystyle \operatorname {Ec} _{n}^{q_{0}},\operatorname {Es} _{n}^{q_{0}+1},\operatorname {Ec} _{n}^{q_{0}-1},\operatorname {Es} _{n}^{q_{0}}}$

периодов ${\displaystyle 4K,2K,2K,4K,}$ и для ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,\ldots }$ можно получить

${\displaystyle q-q_{0}=\mp 2{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {1+k}{1-k}}\right)^{-\kappa /k}\left({\frac {8\kappa }{1-k^{2}}}\right)^{q_{0}/2}{\frac {1}{[(q_{0}-1)/2]!}}\left[1-{\frac {3(q_{0}^{2}+1)(1+k^{2})}{2^{5}\kappa }}+\cdots \right].}$

Здесь верхний знак относится к решениям ${\displaystyle \operatorname {Ec} }$ и нижний к решениям ${\displaystyle \operatorname {Es} }$. Наконец расширяется ${\displaystyle \Lambda (q)}$ о ${\displaystyle q_{0},}$ можно получить

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{\pm }(q)\simeq {}&\Lambda (q_{0})+(q-q_{0})\left({\frac {\partial \Lambda }{\partial q}}\right)_{q_{0}}+\cdots \\[6pt]={}&\Lambda (q_{0})+(q-q_{0})\kappa \left[1-{\frac {q_{0}(1+k^{2})}{2^{2}\kappa }}-{\frac {1}{2^{6}\kappa ^{2}}}\{3(1+k^{2})^{2}(q_{0}^{2}+1)-4k^{2}(q_{0}^{2}+2q_{0}+5)\}+\cdots \right]\\[6pt]\simeq {}&\Lambda (q_{0})\mp 2\kappa {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {1+k}{1-k}}\right)^{-\kappa /k}\left({\frac {8\kappa }{1-k^{2}}}\right)^{q_{0}/2}{\frac {1}{[(q_{0}-1)/2]!}}{\Big [}1-{\frac {1}{2^{5}\kappa }}(1+k^{2})(3q_{0}^{2}+8q_{0}+3)\\[6pt]&{}+{\frac {1}{3.2^{11}\kappa ^{2}}}\{3(1+k^{2})^{2}(9q_{0}^{4}+8q_{0}^{3}-78q_{0}^{2}-88q_{0}-87)\\[6pt]&{}+128k^{2}(2q_{0}^{3}+9q_{0}^{2}+10q_{0}+15)\}-\cdots {\Big ]}.\end{aligned}}}$

В пределе уравнения Матье (к которому можно свести уравнение Ламе) эти выражения сводятся к соответствующим выражениям для случая Матье (как показано Мюллером).

Примечания

1. Х. Й. В. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд. World Scientific, 2012 г., ISBN  978-981-4397-73-5
2. Лян, Цзю-Цин; Müller-Kirsten, H.J.W .; Чракян, Д.Х. (1992). «Солитоны, отскоки и сфалероны по кругу». Письма по физике B. Elsevier BV. 282 (1–2): 105–110. Дои:10.1016 / 0370-2693 (92) 90486-н. ISSN  0370-2693.
3. В. Мюллер, Харальд Дж. (1966). «Асимптотические разложения эллипсоидальных волновых функций и их характеристические числа». Mathematische Nachrichten (на немецком). Вайли. 31 (1–2): 89–101. Дои:10.1002 / мана.19660310108. ISSN  0025-584X.
4. Мюллер, Харальд Дж. У. (1966). "Асимптотические разложения эллипсоидальных волновых функций через функции Эрмита". Mathematische Nachrichten (на немецком). Вайли. 32 (1–2): 49–62. Дои:10.1002 / мана.19660320106. ISSN  0025-584X.
5. Мюллер, Харальд Дж. У. (1966). "Об асимптотических разложениях эллипсоидальных волновых функций". Mathematische Nachrichten (на немецком). Вайли. 32 (3–4): 157–172. Дои:10.1002 / мана.19660320305. ISSN  0025-584X.
6. Инс, Э. Л. (1940). "VII - Дальнейшие исследования периодических функций Ламе". Труды Королевского общества Эдинбурга. Издательство Кембриджского университета (CUP). 60 (1): 83–99. Дои:10,1017 / с0370164600020071. ISSN  0370-1646.

Рекомендации

• Арскотт, Ф. М. (1964), Периодические дифференциальные уравнения, Оксфорд: Pergamon Press, стр. 191–236.
• Эрдели, Артур; Магнус, Вильгельм; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955), Высшие трансцендентные функции (PDF), Bateman Manuscript Project, Vol. III, Нью-Йорк – Торонто – Лондон: Макгроу-Хилл, стр. XVII + 292, МИСТЕР  0066496, Zbl  0064.06302.
• Ламе, Г. (1837), "Sur les surface isothermes dans les corps homogènes en équilibre de température", Journal de mathématiques pures et appliquées, 2: 147–188. Доступны на Галлика.
• Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Уравнение Ламе», Энциклопедия математики, EMS Press
• Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Функция Ламе», Энциклопедия математики, EMS Press
• Фолькмер, Х. (2010), «Функция Ламе», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. У. (2012), Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд., World Scientific