Квантовое возрождение - Quantum revival

Полное и точное восстановление полугауссовой волновой функции в бесконечном двумерном пространстве. потенциальная яма во время эволюции. Между частичными «оживлениями» возникают, когда масштабированная форма волновой функции реплицируется целое число раз по площади скважины.

В квантовая механика, то квантовое возрождение ^[1]является периодическим повторением квантовой волновая функция от его первоначальной формы во время эволюции во времени либо много раз в пространстве в виде многократных масштабированных дробей в форме начальной волновой функции (дробное возрождение), либо приблизительно или точно до его первоначальной формы с самого начала (полное возрождение). Таким образом, периодическая во времени квантовая волновая функция демонстрирует полное возрождение каждые период. Явление возрождений наиболее легко наблюдать при волновых функциях хорошо локализован волновые пакеты в начале временной эволюции, например, в атоме водорода. Для водорода дробные возрождения проявляются как множественные угловые гауссовы выпуклости вокруг круга, нарисованного радиальным максимумом ведущего круговое состояние составляющая (имеющая наибольшую амплитуду в расширении собственного состояния) исходного локализованного состояния и полное возрождение в качестве исходного гауссовского.^[2]Полные пробуждения точны для бесконечная квантовая яма, гармонический осциллятор или атом водорода, а для более коротких времен являются приблизительными для атома водорода и многих квантовых систем.^[3]

Сюжет коллапсов и возрождений квантовых колебаний атомной инверсии JCM.^[4]

Пример - произвольная усеченная волновая функция квантовой системы с рациональными энергиями.

Рассмотрим квантовую систему с энергиями ${\displaystyle E_{i}}$ и собственные состояния ${\displaystyle \psi _{i}}$

${\displaystyle H\psi _{i}=E_{i}\psi _{i}}$

и пусть энергии будут рациональный доли некоторой постоянной ${\displaystyle C}$

${\displaystyle E_{i}=C{M_{i} \over N_{i}}}$

(например для атом водорода ${\displaystyle M_{i}=1}$, ${\displaystyle N_{i}=i^{2}}$, ${\displaystyle C=-13.6eV}$.

Затем усеченный (до ${\displaystyle \mathbb {N} _{max}}$ состояний) решение зависящего от времени уравнения Шредингера имеет вид

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{i=0}^{\mathbb {N} _{max}}a_{i}e^{-i{{E_{i}} \over \hbar }t}\psi _{i}}$

Супер-возрождение инверсии (возвращение полных приближенных возрождений к исходной форме) в модели Джейнса-Каммингса, когда точный спектр в резонансе вокруг среднего числа фотонов ${\displaystyle n_{0}=100}$ аппроксимируется полиномом от квантового числа фотона ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E(n)=a\delta n^{2}+b\delta n+c}$, ${\displaystyle \delta n=n-n_{0}}$

.

Позволять ${\displaystyle L_{cm}}$ быть к наименьшее общее кратное из всех ${\displaystyle N_{i}}$ и ${\displaystyle L_{cd}}$ наибольший общий делитель из всех ${\displaystyle M_{i}}$затем для каждого ${\displaystyle N_{i}}$ то ${\displaystyle {L_{cm}}/N_{i}}$ целое число, для каждого ${\displaystyle M_{i}}$ то ${\displaystyle {M_{i}}/L_{cd}}$ целое число, ${\displaystyle 2\pi M_{i}{L_{cm}}/(N_{i}L_{cd})}$ является полным кратным ${\displaystyle 2\pi }$ угол и

${\displaystyle \Psi (t)=\Psi (t+T)}$

после полного времени возрождения

${\displaystyle T={2\pi \hbar \over {L_{cd}C}}L_{cm}}$.

Для такой маленькой квантовой системы, как водород и ${\displaystyle \mathbb {N} _{max}}$ Всего за 100 человек может пройти квадриллионы лет, прежде чем он полностью возродится. Особенно после того, как созданные поля Троянский волновой пакет в атоме водорода существует без каких-либо внешних полейстробоскопически и вечно повторяется после охвата почти всего гиперкуба квантовых фаз ровно каждый период полного возрождения.

Поразительное следствие состоит в том, что никакой конечный разрядный компьютер не может точно воспроизвести числовую волновую функцию в течение сколь угодно долгого времени. Если номер процессора n-кусочек длинный плавающая точка число, то число может быть сохранено компьютером только с конечной точностью после запятой, а энергия (до 8 цифр после запятой), например, 2.34576893 = 234576893/100000000 и как конечная дробь это точно рационально и полное возрождение возникает для любой волновой функции любой квантовой системы после времени ${\displaystyle t/2\pi =100000000}$ который является его максимальным показателем, и так далее, это может не быть верным для всех квантовых систем, или все стационарные квантовые системы претерпевают полное и точное численное возрождение.

В системе с рациональными энергиями, т.е. там, где существует квантовое точное полное возрождение, его существование немедленно доказывает квантовое Теорема Пуанкаре о возвращении а время полного квантового возрождения равно времени возврата Пуанкаре. В то время как рациональные числа плотный в действительных числах, а произвольная функция квантового числа может быть аппроксимирована произвольно точно с помощью Аппроксимации Паде поэтому с коэффициентами произвольной десятичной точности на сколь угодно долгое время каждая квантовая система почти точно оживает. Это также означает, что возвращение Пуанкаре и полное возрождение математически одно и то же. ^[5] и обычно считается, что повторение называется полным возрождением, если оно происходит по прошествии разумного и физически измеримого времени, которое может быть обнаружено реалистичным устройством, и это происходит из-за очень особого энергетического спектра, имеющего большой базовый энергетический зазор. энергии которых кратны произвольным (не обязательно гармоническим) значениям.

Рекомендации

1. J.H. Эберли; N.B. Нарожный и Дж. Санчес-Мондрагон (1980). «Периодический спонтанный коллапс и возрождение в простой квантовой модели». Phys. Rev. Lett. 44 (20): 1323–1326. Bibcode:1980PhRvL..44.1323E. Дои:10.1103 / PhysRevLett.44.1323.
2. З. Дачич Гаэта и К. Р. Страуд младший (1990). «Классическая и квантово-механическая динамика квазиклассического состояния атома водорода». Phys. Ред. А. 42 (11): 6308–6313. Bibcode:1990ПхРва..42.6308Г. Дои:10.1103 / PhysRevA.42.6308.
3. Чжан, Цзян-Минь; Хак, Масудул (2014). «Негладкая динамика с разрешением по уровням, проиллюстрированная периодически управляемой моделью жесткого связывания». arXiv:1404.4280.
4. А.А. Карацуба; Э. А. Карацуба (2009). «Формула пересуммирования коллапса и возрождения в модели Джейнса-Каммингса». J. Phys. A: Математика. Теор. 42: 195304, 16. Bibcode:2009JPhA ... 42s5304K. Дои:10.1088/1751-8113/42/19/195304.
5. Bocchieri, P .; Loinger, A. (1957). «Квантовая теорема о возвращаемости». Phys. Ред. 107 (2): 337–338. Bibcode:1957ПхРв..107..337Б. Дои:10.1103 / PhysRev.107.337.