Алгебраическая теория чисел - Algebraic number theory

Титульный лист первого издания Disquisitiones Arithmeticae, одна из основополагающих работ современной алгебраической теории чисел.

Алгебраическая теория чисел это филиал теория чисел который использует методы абстрактная алгебра изучить целые числа, рациональное число, и их обобщения. Теоретико-числовые вопросы выражаются в терминах свойств алгебраических объектов, таких как поля алгебраических чисел и их кольца целых чисел, конечные поля, и функциональные поля. Эти свойства, такие как кольцо допускает уникальный факторизация, поведение идеалы, а Группы Галуа из поля, может разрешить вопросы первостепенной важности в теории чисел, такие как существование решений Диофантовы уравнения.

История алгебраической теории чисел

Диофант

Истоки алгебраической теории чисел можно проследить до диофантовых уравнений,^[1] названный в честь 3-го века Александрийский математик, Диофант, которые изучили их и разработали методы решения некоторых видов диофантовых уравнений. Типичная диофантова задача - найти два целых числа Икс и у такие, что их сумма и сумма их квадратов равны двум данным числам А и Bсоответственно:

${\displaystyle A=x+y\ }$

${\displaystyle B=x^{2}+y^{2}.\ }$

Диофантовы уравнения изучаются тысячи лет. Например, решения квадратного диофантова уравнения Икс² + у² = z² даны Пифагорейские тройки, первоначально разгаданная вавилонянами (около 1800 г. до н.э.).^[2] Решения линейных диофантовых уравнений, например 26Икс + 65у = 13, можно найти с помощью Евклидов алгоритм (ок. V в. до н. э.).^[3]

Главной работой Диофанта была Арифметика, из которых сохранилась только часть.

Ферма

Последняя теорема Ферма был первым предполагаемый к Пьер де Ферма в 1637 году, как известно, на полях копии Арифметика где он утверждал, что у него есть доказательство, которое слишком велико, чтобы поместиться на полях. До 1995 года не было опубликовано ни одного успешного доказательства, несмотря на усилия бесчисленных математиков в течение 358 прошедших лет. Нерешенная проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в XIX веке и доказательство теорема модульности в 20 веке.

Гаусс

Одна из основополагающих работ теории алгебраических чисел, Disquisitiones Arithmeticae (латинский: Арифметические исследования) - это учебник теории чисел на латыни.^[4] к Карл Фридрих Гаусс в 1798 году, когда Гауссу был 21 год, и впервые опубликовано в 1801 году, когда ему было 24. В этой книге Гаусс объединяет результаты по теории чисел, полученные такими математиками, как Ферма, Эйлер, Лагранж и Legendre и добавляет важные новые собственные результаты. Перед Disquisitiones была опубликована, теория чисел состояла из сборника разрозненных теорем и гипотез. Гаусс собрал работы своих предшественников вместе со своими собственными оригинальными работами в систематическую основу, заполнил пробелы, исправил необоснованные доказательства и расширил предмет во многих отношениях.

В Disquisitiones был отправной точкой для работ девятнадцатого века Европейский математики, в том числе Эрнст Куммер, Питер Густав Лежен Дирихле и Ричард Дедекинд. Многие аннотации, данные Гауссом, по сути являются объявлениями о его дальнейших исследованиях, некоторые из которых остались неопубликованными. Должно быть, они казались его современникам особенно загадочными; теперь мы можем прочитать их как содержащие зародыш теорий L-функции и комплексное умножение, особенно.

Дирихле

В паре статей 1838 и 1839 гг. Питер Густав Лежен Дирихле оказался первым формула номера класса, за квадратичные формы (позже уточненный его учеником Леопольд Кронекер ). Формула, которую Якоби назвал результатом, «затрагивающим всю человеческую хватку», открыла путь к аналогичным результатам в отношении более общих числовые поля.^[5] На основе его исследования структуры группа единиц из квадратичные поля, он доказал Теорема Дирихле о единицах, фундаментальный результат в алгебраической теории чисел.^[6]

Он первым использовал принцип голубятни, основной счетный аргумент в доказательстве теоремы в диофантово приближение, позже названный в его честь Аппроксимационная теорема Дирихле. Он опубликовал важные вклады в последнюю теорему Ферма, для которой доказал случаи п = 5 и п = 14, и биквадратичный закон взаимности.^[5] В Проблема делителей Дирихле, для которого он нашел первые результаты, все еще остается нерешенной проблемой в теории чисел, несмотря на более поздние вклады других исследователей.

Дедекинд

Ричард Дедекинд Изучение работ Лежена Дирихле привело его к более позднему изучению полей и идеалов алгебраических чисел. В 1863 году он опубликовал лекции Лежена Дирихле по теории чисел как Vorlesungen über Zahlentheorie («Лекции по теории чисел»), о которых было написано, что:

«Хотя книга несомненно основана на лекциях Дирихле, и хотя сам Дедекинд на протяжении всей своей жизни называл книгу Дирихле, сама книга была полностью написана Дедекиндом, по большей части после смерти Дирихле». (Эдвардс, 1983)

1879 и 1894 гг. Vorlesungen включены дополнения, вводящие понятие идеала, фундаментального для теория колец. (Слово «Кольцо», введенное позже Гильберта, не встречается в работе Дедекинда.) Дедекинд определил идеал как подмножество набора чисел, состоящего из алгебраические целые числа удовлетворяющие полиномиальным уравнениям с целыми коэффициентами. Эта концепция получила дальнейшее развитие в руках Гильберта и, особенно, Эмми Нётер. Идеалы обобщают идеи Эрнста Эдуарда Куммера идеальные числа, разработанный как часть попытки Куммера 1843 года доказать Великую теорему Ферма.

Гильберта

Дэвид Гильберт объединил область алгебраической теории чисел своим трактатом 1897 г. Zahlbericht (буквально «отчет по номерам»). Он также решил важную теорию чисел. проблема, сформулированная Варингом в 1770 году. теорема конечности, он использовал доказательство существования, которое показывает, что для проблемы должны быть решения, а не предоставляет механизм для получения ответов.^[7] Тогда у него было немного больше, чтобы публиковать по этой теме; но появление Модульные формы Гильберта в диссертации студента означает, что его имя связано с основной областью.

Он высказал ряд предположений о теория поля классов. Эти концепции оказали большое влияние, и его собственный вклад живет в именах Поле классов Гильберта и из Символ Гильберта из теория поля локальных классов. Результаты были в основном подтверждены к 1930 г., после работы Тейджи Такаги.^[8]

Артин

Эмиль Артин учредил Закон взаимности Артина в серии статей (1924; 1927; 1930). Этот закон является общей теоремой теории чисел, которая составляет центральную часть глобальной теории полей классов.^[9] Период, термин "закон взаимности "относится к длинному ряду более конкретных теоретических утверждений чисел, которые он обобщил, от квадратичный закон взаимности и законы взаимности Эйзенштейн и Куммера к формуле произведения Гильберта для символ нормы. Результат Артина дал частичное решение Девятая проблема Гильберта.

Современная теория

Примерно в 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма заметил возможную связь между двумя, казалось бы, совершенно разными разделами математики, эллиптические кривые и модульные формы. Результирующий теорема модульности (в то время известная как гипотеза Таниямы-Шимуры) утверждает, что каждая эллиптическая кривая модульный, что означает, что его можно связать с уникальным модульная форма.

Первоначально это было отклонено как маловероятное или в высшей степени спекулятивное и было воспринято более серьезно, когда теоретики чисел Андре Вайль нашел доказательства, подтверждающие это, но никаких доказательств; в результате "поразительный"^[10] Гипотеза часто была известна как гипотеза Таниямы – Шимуры-Вейля. Он стал частью Программа Langlands, список важных предположений, требующих доказательства или опровержения.

С 1993 по 1994 гг. Эндрю Уайлс предоставил доказательство теорема модульности за полустабильные эллиптические кривые, который вместе с Теорема Рибета, обеспечил доказательство Великой теоремы Ферма. Почти каждый математик в то время ранее считал и Великую теорему Ферма, и теорему о модульности либо невозможным, либо практически невозможным доказать, даже с учетом самых передовых разработок. Уайлс впервые объявил о своем доказательстве в июне 1993 года.^[11] в версии, которая вскоре была признана имеющей серьезный пробел в ключевой точке. Доказательство было исправлено Уайлсом, частично в сотрудничестве с Ричард Тейлор, а окончательная, широко принятая версия была выпущена в сентябре 1994 г. и официально опубликована в 1995 г. В доказательстве используются многие методы из алгебраическая геометрия и теория чисел, и имеет много ответвлений в этих разделах математики. Он также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии, такие как категория из схемы и Теория Ивасавы, и другие техники 20-го века, недоступные Ферма.

Основные понятия

Отказ уникальной факторизации

Важным свойством кольца целых чисел является то, что оно удовлетворяет условию основная теорема арифметики, что каждое (положительное) целое число имеет факторизацию в произведение простые числа, и эта факторизация уникальна с точностью до порядка факторов. Это может быть неверно в круге целых чисел. О поля алгебраических чисел K.

А главный элемент это элемент п из О так что если п делит продукт ab, то он делит один из множителей а или б. Это свойство тесно связано с простотой целых чисел, поскольку любое положительное целое число, удовлетворяющее этому свойству, либо 1 или простое число. Однако он строго слабее. Например, −2 не является простым числом, потому что оно отрицательно, но это простой элемент. Если факторизация в простые элементы разрешена, то даже в целых числах существуют альтернативные факторизации, такие как

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(-2)\cdot (-3).}$

В общем, если ты это единица измерения, что означает число с мультипликативным обратным О, и если п простой элемент, то вверх также является основным элементом. Такие числа, как п и вверх как говорят ассоциировать. В целых числах простые числа п и −п являются ассоциированными, но только один из них является положительным. Требование, чтобы простые числа были положительными, выбирает уникальный элемент из набора связанных простых элементов. Когда K не рациональные числа, однако аналога положительности не существует. Например, в Гауссовские целые числа Z[я],^[12] цифры 1 + 2я и −2 + я являются ассоциированными, потому что последние являются продуктом первого я, но невозможно выделить одно как более каноническое, чем другое. Это приводит к таким уравнениям, как

${\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)=(2+i)(2-i),}$

которые доказывают, что в Z[я], неверно, что факторизации уникальны до порядка факторов. По этой причине принято определение уникальной факторизации, используемое в уникальные домены факторизации (УФД). Ожидается, что в UFD первичные элементы, встречающиеся при факторизации, будут уникальными только до единиц и их порядка.

Однако даже с этим более слабым определением многие кольца целых чисел в полях алгебраических чисел не допускают уникальной факторизации. Существует алгебраическое препятствие, называемое группой классов идеалов. Когда группа идеальных классов тривиальна, кольцо является UFD. Когда это не так, существует различие между первичным элементом и неприводимый элемент. An неприводимый элемент Икс такой элемент, что если Икс = yz, то либо у или z это единица. Это элементы, которые нельзя рассматривать дальше. Каждый элемент в О допускает факторизацию на неприводимые элементы, но может допускать и более одного. Это потому, что, хотя все простые элементы неприводимы, некоторые неприводимые элементы могут не быть простыми. Например, рассмотрим кольцо Z[√-5].^[13] В этом кольце цифры 3, 2 + √-5 и 2 - √-5 неприводимы. Это означает, что число 9 имеет две факторизации на неприводимые элементы,

${\displaystyle 9=3^{2}=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).}$

Это уравнение показывает, что 3 делит продукт (2 + √-5)(2 - √-5) = 9. Если 3 были первичным элементом, тогда он разделил бы 2 + √-5 или 2 - √-5, но это не так, потому что все элементы, делящиеся на 3 имеют форму 3а + 3б√-5. Так же, 2 + √-5 и 2 - √-5 разделить продукт 3², но ни один из этих элементов не разделяет 3 сам по себе, поэтому ни один из них не является основным. Поскольку нет смысла, в котором элементы 3, 2 + √-5 и 2 - √-5 можно сделать эквивалентным, уникальная факторизация не выполняется Z[√-5]. В отличие от ситуации с юнитами, где уникальность можно исправить, ослабив определение, преодоление этого отказа требует нового взгляда.

Факторизация в основные идеалы

Если я идеал в О, то всегда есть факторизация

${\displaystyle I={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}},}$

где каждый ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ это главный идеал, и где это выражение уникально с точностью до порядка факторов. В частности, это верно, если я - главный идеал, порожденный одним элементом. Это самый сильный смысл, в котором кольцо целых чисел общего числового поля допускает однозначную факторизацию. На языке теории колец он говорит, что кольца целых чисел Дедекиндовские домены.

Когда О является UFD, каждый простой идеал порождается простым элементом. В противном случае существуют простые идеалы, которые не порождаются простыми элементами. В Z[√-5], например, идеальный (2, 1 + √-5) является первичным идеалом, который не может быть создан одним элементом.

Исторически идея разложения идеалов на простые идеалы предшествовала введению Эрнстом Куммером идеальных чисел. Это числа, лежащие в поле расширения E из K. Это поле расширения теперь известно как поле классов Гильберта. Посредством теорема о главном идеале, каждый главный идеал О порождает главный идеал кольца целых чисел E. Генератор этого главного идеала называется идеальным числом. Куммер использовал их как замену провала уникальной факторизации в циклотомические поля. В конечном итоге это привело Ричарда Дедекинда к представлению предшественника идеалов и к доказательству уникальной факторизации идеалов.

Идеал, который является простым в кольце целых чисел в одном числовом поле, может не быть простым при расширении до большего числового поля. Рассмотрим, например, простые числа. Соответствующие идеалы пZ простые идеалы кольца Z. Однако, когда этот идеал распространяется на гауссовские целые числа, чтобы получить пZ[я], он может быть или не быть простым. Например, факторизация 2 = (1 + я)(1 − я) подразумевает, что

${\displaystyle 2\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i]\cdot (1-i)\mathbf {Z} [i]=((1+i)\mathbf {Z} [i])^{2};}$

обратите внимание, потому что 1 + я = (1 − я) ⋅ я, идеалы, порожденные 1 + я и 1 − я одинаковые. Полный ответ на вопрос о том, какие идеалы остаются простыми в целых гауссовских числах, дает Теорема Ферма о суммах двух квадратов. Отсюда следует, что для нечетного простого числа п, пZ[я] является простым идеалом, если п ≡ 3 (мод 4) и не является простым идеалом, если п ≡ 1 (мод.4). Это вместе с наблюдением, что идеальный (1 + я)Z[я] является простым, дает полное описание простых идеалов в целых гауссовских числах. Обобщение этого простого результата на более общие кольца целых чисел - основная проблема алгебраической теории чисел. Теория поля классов достигает этой цели, когда K является абелево расширение из Q (это Расширение Галуа с абелевский Группа Галуа).

Группа идеального класса

Уникальная факторизация терпит неудачу тогда и только тогда, когда есть простые идеалы, которые не могут быть главными. Объект, который измеряет неспособность простых идеалов быть главными, называется группой классов идеалов. Для определения группы классов идеалов необходимо расширить набор идеалов в кольце целых алгебраических чисел так, чтобы они допускали группа структура. Это делается путем обобщения идеалов на фракционные идеалы. Дробный идеал - это аддитивная подгруппа J из K которая замкнута относительно умножения на элементы из О, означающий, что xJ ⊆ J если Икс ∈ О. Все идеалы О также дробные идеалы. Если я и J дробные идеалы, то множество IJ всех продуктов элемента в я и элемент в J также дробный идеал. Эта операция превращает множество ненулевых дробных идеалов в группу. Групповая идентичность - идеал (1) = О, и обратное J является (обобщенным) идеальное частное:

${\displaystyle J^{-1}=(O:J)=\{x\in K:xJ\subseteq O\}.}$

Главные фракционные идеалы, то есть идеалы формы Бык где Икс ∈ K^×, образуют подгруппу группы всех ненулевых дробных идеалов. Фактор группы ненулевых дробных идеалов по этой подгруппе является группой классов идеалов. Два фракционных идеала я и J представляют один и тот же элемент идеальной группы классов тогда и только тогда, когда существует элемент Икс ∈ K такой, что xI = J. Следовательно, группа классов идеалов делает два дробных идеала эквивалентными, если один так же близок к главному, как и другой. Группу идеальных классов обычно обозначают Cl K, Cl О, или Рис О (с последним обозначением, отождествляющим его с Группа Пикард в алгебраической геометрии).

Количество элементов в группе классов называется номер класса из K. Количество классов Q(√-5) равно 2. Это означает, что существует только два класса идеалов: класс главных дробных идеалов и класс неглавных дробных идеалов, таких как (2, 1 + √-5).

Идеальная группа классов имеет другое описание с точки зрения делители. Это формальные объекты, которые представляют возможные факторизации чисел. Группа дивизоров Div K определяется как свободная абелева группа порожденный простыми идеалами О. Существует групповой гомоморфизм из K^×, ненулевые элементы K до умножения, до Div K. Предположим, что Икс ∈ K удовлетворяет

${\displaystyle (x)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}}.}$

потом div Икс определяется как дивизор

${\displaystyle \operatorname {div} x=\sum _{i=1}^{t}e_{i}[{\mathfrak {p}}_{i}].}$

В ядро из div это группа единиц в О, в то время коядро - идеальная группа классов. На языке гомологическая алгебра, это говорит о том, что существует точная последовательность абелевых групп (записанных мультипликативно),

${\displaystyle 1\to O^{\times }\to K^{\times }{\xrightarrow {\text{div}}}\operatorname {Div} K\to \operatorname {Cl} K\to 1.}$

Реальные и сложные вложения

Некоторые числовые поля, например Q(√2), можно указать как подполя действительных чисел. Другие, такие как Q(√−1), не можешь. Абстрактно такая спецификация соответствует гомоморфизму полей K → р или K → C. Они называются настоящие вложения и сложные вложениясоответственно.

Реальное квадратичное поле Q(√а), с участием а ∈ р, а > 0, и а не идеальный квадрат, называется так, потому что допускает два вещественных вложения, но не комплексные. Это гомоморфизмы полей, отправляющие √а к √а и чтобы −√асоответственно. Двойственно мнимое квадратичное поле Q(√−а) не допускает вещественных вложений, но допускает сопряженную пару комплексных вложений. Одно из этих вложений отправляет √−а к √−а, а другой отправляет его на свой комплексно сопряженный, −√−а.

Условно количество реальных вложений K обозначается р₁, а количество сопряженных пар комплексных вложений обозначено р₂. В подпись из K пара (р₁, р₂). Это теорема, что р₁ + 2р₂ = d, где d степень K.

Рассмотрение сразу всех вложений определяет функцию

${\displaystyle M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{2r_{2}}.}$

Это называется Вложение Минковского. Подпространство области, зафиксированной комплексным сопряжением, является вещественным векторным пространством размерности d называется Пространство Минковского. Поскольку вложение Минковского определяется гомоморфизмами полей, умножение элементов K элементом Икс ∈ K соответствует умножению на диагональная матрица во вложении Минковского. Скалярное произведение на пространстве Минковского соответствует форме следа ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Tr} (xy)}$.

Образ О при вложении Минковского является d-размерный решетка. Если B является базисом этой решетки, то Det B^ТB это дискриминант из О. Дискриминант обозначается Δ или D. Коволюм изображения О является ${\displaystyle {\sqrt {|\Delta |}}}$.

Места

Реальные и сложные вложения можно поставить на один уровень с первостепенными идеалами, если принять точку зрения, основанную на оценки. Рассмотрим, например, целые числа. В дополнение к обычным абсолютная величина функция | · | : Q → р, есть p-адическая абсолютная величина функции | · |_п : Q → р, определенный для каждого простого числа п, которые измеряют делимость на п. Теорема Островского заявляет, что это все возможные функции абсолютного значения на Q (с точностью до эквивалентности). Следовательно, абсолютные значения - это общий язык для описания как реального вложения Q и простые числа.

А место поля алгебраических чисел является классом эквивалентности абсолютная величина функции на K. Есть два типа мест.Существует ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-адическое абсолютное значение для каждого простого идеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ из О, и, как и п-адические абсолютные значения, он измеряет делимость. Они называются конечные места. Другой тип места указывается с помощью реального или сложного вложения K и стандартная функция абсолютного значения на р или C. Эти бесконечные места. Поскольку по абсолютным значениям невозможно различить сложное вложение и его сопряженное, сложное вложение и его сопряженное определяют одно и то же место. Следовательно, есть р₁ реальные места и р₂ сложные места. Поскольку места включают простые числа, места иногда называют простые числа. Когда это сделано, конечные места называются конечные простые числа и бесконечные места называются бесконечные простые числа. Если v - оценка, соответствующая абсолютной величине, то часто пишут ${\displaystyle v\mid \infty }$ иметь в виду, что v это бесконечное место и ${\displaystyle v\nmid \infty }$ означать, что это конечное место.

Рассмотрение всех мест поля вместе дает адель кольцо числового поля. Кольцо аделей позволяет одновременно отслеживать все доступные данные с использованием абсолютных значений. Это дает значительные преимущества в ситуациях, когда поведение в одном месте может повлиять на поведение в других местах, как в Закон взаимности Артина.

Геометрические места в бесконечности

Имеется геометрическая аналогия для бесконечно удаленных точек, которая выполняется для функциональных полей кривых. Например, пусть ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{q}}$ и ${\displaystyle X/k}$ быть гладкий; плавный, проективный, алгебраическая кривая. В функциональное поле ${\displaystyle F=k(X)}$ имеет много абсолютных значений или мест, и каждое соответствует точке на кривой. Если ${\displaystyle X}$ является проективным пополнением аффинной кривой

${\displaystyle {\hat {X}}\subset \mathbb {A} ^{n}}$

тогда точки в

${\displaystyle X-{\hat {X}}}$

соответствуют бесконечно удаленным местам. Затем завершение ${\displaystyle F}$ в одной из этих точек дает аналог ${\displaystyle p}$-adics. Например, если ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}}$ то его функциональное поле изоморфно ${\displaystyle k(t)}$ где ${\displaystyle t}$ индетерминант, а поле ${\displaystyle F}$ - поле дробей многочленов от ${\displaystyle t}$. Затем место ${\displaystyle v_{p}}$ в какой-то момент ${\displaystyle p\in X}$ измеряет порядок обращения в нуль или порядок полюса дроби многочленов ${\displaystyle p(x)/q(x)}$ в момент ${\displaystyle p}$. Например, если ${\displaystyle p=[2:1]}$, поэтому на аффинной диаграмме ${\displaystyle x_{1}\neq 0}$ это соответствует точке ${\displaystyle 2\in \mathbb {A} ^{1}}$, оценка ${\displaystyle v_{2}}$ измеряет порядок исчезновения из ${\displaystyle p(x)}$ минус порядок исчезновения ${\displaystyle q(x)}$ в ${\displaystyle 2}$. Функциональное поле завершения на месте ${\displaystyle v_{2}}$ затем ${\displaystyle k((t-2))}$ поле степенного ряда по переменной ${\displaystyle t-2}$, поэтому элемент имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{-k}(t-2)^{-k}+\cdots +a_{-1}(t-1)^{-1}+a_{0}+a_{1}(t-2)+a_{2}(t-2)^{2}+\cdots \\&=\sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(t-2)^{n}\end{aligned}}}$

для некоторых ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. Для бесконечно удаленного места это соответствует функциональному полю ${\displaystyle k((1/t))}$ которые являются степенными рядами вида

${\displaystyle \sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(1/t)^{n}}$

Единицы

Целые числа имеют только две единицы, 1 и −1. Другие кольца целых чисел могут содержать больше единиц. Целые числа Гаусса имеют четыре единицы, две предыдущие, а также ±я. В Целые числа Эйзенштейна Z[ехр (2πя / 3)] есть шесть единиц. Целые числа в полях действительных квадратичных чисел имеют бесконечно много единиц. Например, в Z[√3], каждая сила 2 + √3 есть единица, и все эти силы различны.

В целом группа единиц О, обозначенный О^×, - конечно порожденная абелева группа. В основная теорема о конечно порожденных абелевых группах следовательно, подразумевает, что это прямая сумма торсионной части и свободной части. Если переосмыслить это в контексте числового поля, торсионная часть состоит из корни единства это лежит в О. Эта группа циклическая. Бесплатная часть описывается Теорема Дирихле о единицах. Эта теорема утверждает, что ранг свободной части равен р₁ + р₂ − 1. Так, например, единственными полями, для которых ранг свободной части равен нулю, являются Q и мнимые квадратичные поля. Более точное утверждение, дающее структуру О^× ⊗_Z Q как Модуль Галуа для группы Галуа K/Q тоже возможно.^[14]

Свободную часть единичной группы можно изучить, используя бесконечные места K. Рассмотрим функцию

${\displaystyle {\begin{cases}L:K^{\times }\to \mathbf {R} ^{r_{1}+r_{2}}\\L(x)=(\log |x|_{v})_{v}\end{cases}}}$

где v меняется в бесконечных местах K и | · |_v это абсолютное значение, связанное с v. Функция L является гомоморфизмом из K^× в реальное векторное пространство. Можно показать, что изображение О^× является решеткой, которая охватывает гиперплоскость, определяемую формулой ${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0.}$ Коволюм этой решетки - это регулятор числового поля. Одно из упрощений, которое стало возможным благодаря работе с кольцом аделей, состоит в том, что существует единственный объект, группа классов иделей, который описывает как фактор по этой решетке, так и группу классов идеалов.

Дзета-функция

В Дзета-функция Дедекинда числового поля, аналогичного Дзета-функция Римана аналитический объект, описывающий поведение первичных идеалов в K. Когда K является абелевым расширением Q, Дзета-функции Дедекинда являются продуктами L-функции Дирихле, с одним фактором для каждого Dirichlet персонаж. Тривиальный характер соответствует дзета-функции Римана. Когда K это Расширение Галуа, дзета-функция Дедекинда - это L-функция Артина из регулярное представительство группы Галуа K, и он имеет факторизацию в терминах неприводимых Представления Артина группы Галуа.

Дзета-функция связана с другими инвариантами, описанными выше, с помощью формула номера класса.

Местные поля

Основная статья: Местное поле

Завершение числовое поле K на месте ш дает полное поле. Если оценка архимедова, получается р или C, если оно неархимедово и лежит над простым числом п рациональных чисел получается конечное расширение ${\displaystyle K_{w}/\mathbf {Q} _{p}:}$ полное дискретнозначное поле с конечным полем вычетов. Этот процесс упрощает арифметику поля и позволяет изучать проблемы на месте. Например, Теорема Кронекера – Вебера. легко выводится из аналогичного локального утверждения. Философия, лежащая в основе изучения местных полей, во многом основана на геометрических методах. В алгебраической геометрии принято изучать многообразия локально в точке путем локализации на максимальном идеале. Затем глобальную информацию можно восстановить путем объединения локальных данных. Этот дух принят в алгебраической теории чисел. Учитывая простое число в кольце целых алгебраических чисел в числовом поле, желательно изучать поле локально в этом простом числе. Следовательно, мы локализируем кольцо целых алгебраических чисел на этом простом числе, а затем дополняем поле дробей в духе геометрии.

Основные результаты

Конечность группы классов

Один из классических результатов теории алгебраических чисел состоит в том, что группа классов идеалов поля алгебраических чисел K конечно. Это следствие Теорема Минковского так как есть только конечное количество Интегральные идеалы с нормой меньше фиксированного положительного целого числа^{[15] стр.78}. Порядок группы классов называется номер класса, и часто обозначается буквой час.

Теорема Дирихле о единицах

Основная статья: Теорема Дирихле о единицах

Теорема Дирихле о единицах дает описание структуры мультипликативной группы единиц. О^× кольца целых чисел О. В частности, в нем говорится, что О^× изоморфен г × Z^р, где г конечная циклическая группа, состоящая из всех корней из единицы в О, и р = р₁ + р₂ - 1 (где р₁ (соответственно, р₂) обозначает количество вещественных вложений (соответственно пар сопряженных нереальных вложений) K). Другими словами, О^× это конечно порожденная абелева группа из классифицировать р₁ + р₂ - 1, кручение которого состоит из корней единицы в О.

Законы взаимности

Основная статья: Закон взаимности

Что касается Символ Лежандра, закон квадратичной взаимности для положительных нечетных простых чисел

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

А закон взаимности является обобщением закон квадратичной взаимности.

Есть несколько разных способов выразить законы взаимности. Первые законы взаимности, найденные в 19 веке, обычно выражались в терминах символ остатка энергии (п/q) обобщая квадратичный символ взаимности, который описывает, когда простое число является пй остаток энергии по модулю другое простое число и дало связь между (п/q) и (q/п). Гильберт переформулировал законы взаимности, сказав, что продукт более п символов Гильберта (а,б/п), принимающая значения в корнях из единицы, равна 1. Артин переформулирован закон взаимности утверждает, что символ Артина от идеалов (или иделей) до элементов группы Галуа тривиален на определенной подгруппе. Несколько более поздних обобщений выражают законы взаимности с помощью когомологий групп или представлений адельных групп или алгебраических K-групп, и их связь с исходным квадратичным законом взаимности может быть трудно увидеть.

Формула номера класса

Основная статья: Формула номера класса

В формула номера класса связывает много важных инвариантов числовое поле к особому значению его дзета-функции Дедекинда.

Связанные области

Алгебраическая теория чисел взаимодействует со многими другими математическими дисциплинами. Он использует инструменты от гомологическая алгебра. По аналогии с функциональными полями и числовыми полями он опирается на методы и идеи алгебраической геометрии. Более того, изучение многомерных схем над Z вместо числовых колец упоминается как арифметическая геометрия. Алгебраическая теория чисел также используется при изучении арифметические трехмерные гиперболические многообразия.

Смотрите также

• Число тамагава
• Теория Куммера

Примечания

1. Старк, стр. 145–146.
2. Aczel, стр. 14–15.
3. Старк, стр. 44–47.
4. Гаусс, Карл Фридрих; Уотерхаус, Уильям К. (2018) [1966], Disquisitiones Arithmeticae, Спрингер, ISBN  978-1-4939-7560-0
5. Эльстродт, Юрген (2007), «Жизнь и творчество Густава Лежена Дирихле (1805–1859)» (PDF ), Математика из глины, получено 2007-12-25
6. Канемицу, Сигеру; Чаохуа Цзя (2002), Теоретико-числовые методы: тенденции будущего, Springer, стр. 271–4, ISBN  978-1-4020-1080-4
7. Рид, Констанс (1996), Гильберта, Springer, ISBN  0-387-94674-8
8. Эта работа сделала Такаги первым японским математиком международного уровня.
9. Хассе, Гельмут, "История теории классового поля", Cassels & Frölich 2010 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFCasselsFrölich2010 (Помогите), стр. 266–279
10. Сингх, Саймон (1997), Последняя теорема Ферма, ISBN  1-85702-521-0
11. Колата, Джина (24 июня 1993 г.). «Наконец-то крик« Эврика! » В вековой математической тайне ». Нью-Йорк Таймс. Получено 21 января 2013.
12. Это обозначение указывает на кольцо, полученное из Z к прилегающий к Z элемент я.
13. Это обозначение указывает на кольцо, полученное из Z к прилегающий к Z элемент √-5.
14. См. Предложение VIII.8.6.11 Нойкирх, Шмидт и Вингберг 2000
15. Штейн. "Вычислительное введение в алгебраическую теорию чисел" (PDF).

• Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, Г-Н  1737196, Zbl  0948.11001

дальнейшее чтение

Вступительные тексты

• Штейн, Уильям (2012), Алгебраическая теория чисел, вычислительный подход (PDF)
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (2013), Классическое введение в современную теорию чисел, 84, Спрингер, Дои:10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN  978-1-4757-2103-4
• Стюарт, Ян; Высокий, Дэвид (2015), Алгебраическая теория чисел и последняя теорема Ферма, CRC Press, ISBN  978-1-4987-3840-8

Промежуточные тексты

• Маркус, Дэниел А. (2018), Числовые поля (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3-319-90233-3

Тексты для выпускников

• Касселс, Дж. У. С.; Фрёлих, Альбрехт, ред. (2010) [1967], Алгебраическая теория чисел (2-е изд.), Лондон: 9780950273426, Г-Н  0215665
• Фрёлих, Альбрехт; Тейлор, Мартин Дж. (1993), Алгебраическая теория чисел, Кембриджские исследования в области высшей математики, 27, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-43834-9, Г-Н  1215934
• Ланг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел, Тексты для выпускников по математике, 110 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94225-4, Г-Н  1282723
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. Г-Н  1697859. Zbl  0956.11021.

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Алгебраическая теория чисел в Wikimedia Commons
• «Алгебраическая теория чисел», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]