Vorlesungen über Zahlentheorie - Vorlesungen über Zahlentheorie

Vorlesungen über Zahlentheorie (Немецкий для Лекции по теории чисел) - это название нескольких разных учебников теория чисел. Самый известный был написан Питер Густав Лежен Дирихле и Ричард Дедекинд, и опубликованы в 1863 году. Другие были написаны Леопольд Кронекер, Эдмунд Ландау, и Хельмут Хассе. Все они охватывают элементарную теорию чисел, теорему Дирихле, квадратичные поля и формы, а иногда и более сложные темы.

Книга Дирихле и Дедекинда

На основе курса теории чисел Дирихле в Геттингенский университет, то Vorlesungen были отредактированы Дедекиндом и опубликованы после смерти Лежена Дирихле. Дедекинд добавил несколько приложений к Vorlesungen, в котором он собрал дальнейшие результаты Лежена Дирихле, а также развил свои собственные оригинальные математические идеи.

Объем

В Vorlesungen освещать темы элементарной теории чисел, алгебраическая теория чисел и аналитическая теория чисел, включая модульная арифметика, квадратичные сравнения, квадратичная взаимность и двоичный квадратичные формы.

Содержание

Содержание профессора Джон Стиллвелл перевод 1999 г. Vorlesungen являются следующими

Глава 1. О делимости чисел.

Глава 2. О конгруэнтности чисел.

Глава 3. О квадратичных вычетах

Глава 4. О квадратичных формах.

Глава 5. Определение числа классов двоичных квадратичных форм.

Приложение I. Некоторые теоремы из теории деления окружности Гаусса.

Дополнение II. О предельном значении бесконечного ряда

Дополнение III. Геометрическая теорема

Дополнение IV. Роды квадратичных форм

Приложение V. Остаточные мощности для композитных модулей

Дополнение VI. Простые числа в арифметических прогрессиях

Дополнение VII. Некоторые теоремы из теории деления окружности

Дополнение VIII. Об уравнении Пелла

Дополнение IX. Сходимость и непрерывность некоторого бесконечного ряда

Этот перевод не включает Приложения X и XI Дедекинда, в которых он начинает развивать теорию идеалы.

Немецкие названия приложений X и XI:

Приложение X: Über die Composition der binären quadratische Formen (О композиции бинарных квадратичных форм)

Приложение XI: Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen (К теории целых алгебраических чисел)

Главы с 1 по 4 посвящены аналогичной теме Гаусса Disquisitiones Arithmeticae, а Дедекинд добавил сноски, в которых делается ссылка на соответствующие разделы Disquisitiones. Эти главы можно рассматривать как резюме существующих знаний, хотя Дирихле упрощает изложение Гаусса и в некоторых местах вводит свои собственные доказательства.

Глава 5 содержит вывод Дирихле о номер класса формула для реального и воображаемого квадратичные поля. Хотя другие математики предположили аналогичные формулы, Дирихле дал первое строгое доказательство.

Приложение VI содержит доказательство Дирихле, что арифметическая прогрессия вида а+nd куда а и d взаимно просты, содержит бесконечное число простых чисел.

Важность

В Vorlesungen можно рассматривать как водораздел между классической теорией чисел Ферма, Якоби и Гаусс, и современная теория чисел Дедекинда, Риман и Гильберта. Дирихле прямо не признает концепцию группа это центральное место в современная алгебра, но многие его доказательства показывают неявное понимание теории групп.

В Vorlesungen содержит два ключевых результата в теории чисел, которые впервые были доказаны Дирихле. Первый из них - это номер класса формулы для бинарных квадратичных форм. Второй - это доказательство того, что арифметические прогрессии содержат бесконечное количество простых чисел (известных как Теорема Дирихле ); это доказательство вводит Дирихле L-серия. Эти результаты являются важными вехами в развитии аналитической теории чисел.

Книга Кронекера

Леопольд Кронекер Книга была впервые опубликована в 1901 году в двух частях и переиздана Спрингером в 1978 году. Она охватывает элементарную и алгебраическую теорию чисел, включая теорему Дирихле.

Книга Ландау

Эдмунд Ландау книга Vorlesungen über Zahlentheorie был впервые опубликован в виде трехтомного набора в 1927 году. Первая половина первого тома была опубликована как Vorlesungen über Zahlentheorie. Aus der elementare Zahlentheorie в 1950 году, с английским переводом в 1958 году под названием Элементарная теория чисел. В 1969 году «Челси» переиздал вторую половину тома 1 вместе с томами 2 и 3 как единый том.

Том 1 по элементарной и аддитивной теории чисел включает такие темы, как теорема Дирихле, решето Бруна, бинарные квадратичные формы, гипотеза Гольдбаха, проблема Варинга и работы Харди – Литтлвуда по сингулярным рядам. В томе 2 рассматриваются темы аналитической теории чисел, такие как оценки ошибки в теореме о простых числах, и темы геометрической теории чисел, такие как оценка числа точек решетки. Том 3 посвящен алгебраической теории чисел, включая теорию идеалов, поля квадратичных чисел и приложения к последней теореме Ферма. Многие результаты, описанные Ландау, в то время были современными, но с тех пор их заменили более сильные результаты.

Книга Хассе

Хельмут Хассе книга Vorlesungen über Zahlentheorie был опубликован в 1950 году и отличается от его книги и более элементарен, чем его книга. Zahlentheorie. Он охватывает элементарную теорию чисел, теорему Дирихле и квадратичные поля.