Минковского - Minkowskis bound

В алгебраическая теория чисел, Связь Минковского дает верхняя граница нормы идеалов, которую необходимо проверить, чтобы определить номер класса из числовое поле K. Назван в честь математика. Герман Минковски.

Определение

Позволять D быть дискриминант поля, п быть степенью K над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, и ${\displaystyle 2r_{2}=n-r_{1}}$ быть числом сложные вложения куда ${\displaystyle r_{1}}$ это количество настоящие вложения. Затем каждый класс в группа идеального класса из K содержит интегральный идеал из норма не превышая границы Минковского

${\displaystyle M_{K}={\sqrt {|D|}}\left({\frac {4}{\pi }}\right)^{r_{2}}{\frac {n!}{n^{n}}}\ .}$

Постоянная Минковского для поля K это граница M_K.^[1]

Характеристики

Поскольку число целочисленных идеалов данной нормы конечно, конечность числа классов является немедленным следствием,^[1] и далее группа идеального класса генерируется главные идеалы от нормы самое большее M_K.

Оценка Минковского может быть использована для получения нижней оценки дискриминанта поля K данный п, р₁ и р₂. Так как интегральный идеал имеет норму хотя бы один, то 1 ≤ M_K, так что

${\displaystyle {\sqrt {|D|}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}{\frac {n^{n}}{n!}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}{\frac {n^{n}}{n!}}\ .}$

За п не меньше 2, легко показать, что нижняя оценка больше 1, поэтому получаем Теорема Минковского, что дискриминант каждого числового поля, кроме Q, нетривиально. Отсюда следует, что поле рациональных чисел не имеет неразветвленное расширение.

Доказательство

Результат является следствием Теорема Минковского.

Рекомендации

1. Pohst & Zassenhaus (1989) с.384

• Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел. Энцикл. Математика. Sci. 62 (2-е издание 1-го изд.). Springer-Verlag. ISBN  3-540-63003-1. Zbl  0819.11044.
• Ланг, Серж (1994). Алгебраическая теория чисел. Тексты для выпускников по математике. 110 (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-94225-4. Zbl  0811.11001.
• Pohst, M .; Цассенхаус, Х. (1989). Алгоритмическая алгебраическая теория чисел. Энциклопедия математики и ее приложений. 30. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-33060-2. Zbl  0685.12001.

внешняя ссылка

• «Использование константы Минковского для нахождения числа класса». PlanetMath.
• Стивенхаген, Питер. Номер кольца.
• Граница Минковского на секретном семинаре по ведению блогов