Гебешфеноротунда треугольная - Triangular hebesphenorotunda

Гебешфеноротунда треугольная
Тип	Джонсон J91 - J92 - J1
Лица	13 треугольники 3 квадраты 3 пятиугольники 1 шестиугольник
Края	36
Вершины	18
Конфигурация вершины	3(3^3.5) 6(3.4.3.5) 3(3.5.3.5) 2.3(3^2.4.6)
Группа симметрии	C3в
Двойной многогранник	-
Характеристики	выпуклый
Сеть

3D модель треугольной гебешфеноротонды

В геометрия, то треугольная гебесфеноротунда один из Твердые тела Джонсона (J₉₂).

А Джонсон солид один из 92 строго выпуклый многогранники который состоит из правильный многоугольник лица, но не униформа многогранники (т. е. не Платоновы тела, Архимедовы тела, призмы, или же антипризмы ). Их назвали Норман Джонсон, которые впервые перечислили эти многогранники в 1966 году.^[1]

Это одно из простейших тел Джонсона, которое не возникает в результате манипуляций "вырезать и вставить" Платонический и Архимедов твердые тела. Однако он имеет сильную связь с икосододекаэдр, архимедово твердое тело. Наиболее очевидным является группа из трех пятиугольники и четыре треугольники с одной стороны твердого тела. Если эти грани выровнены с конгруэнтным участком граней на икосододекаэдре, то шестиугольник грань будет лежать в плоскости посередине между двумя противоположными треугольными гранями икосододекаэдра.

Треугольная hebesphenorotunda также имеет группы граней, которые можно выровнять с соответствующими гранями ромбикосододекаэдр: три люны, каждый луна состоящий из квадрата и двух прилегающих к квадрату противоположных треугольников.

Лица вокруг каждого (3³.5) вершину также можно выровнять по соответствующим граням различных уменьшенные икосаэдры.

Джонсон использует приставку гебесфено- для обозначения тупого клиновидного комплекса, образованного тремя смежными люны, а луна быть квадрат с равносторонние треугольники прикреплены с противоположных сторон. Суффикс (треугольный) -ротонда относится к комплексу из трех равносторонних треугольников и трех правильных пятиугольников, окружающих другой равносторонний треугольник, который имеет структурное сходство с пятиугольная ротонда.^[1]

Треугольная hebesphenorotunda - единственное тело Джонсона с гранями 3, 4, 5 и 6 сторон.

Декартовы координаты

Декартовы координаты для треугольной гебешфеноротунды с длиной ребра √5 - 1 даются объединением орбит точек

${\displaystyle \left(0,-{\frac {2}{\tau {\sqrt {3}}}},{\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}\right),\left(\tau ,{\frac {1}{{\sqrt {3}}\tau ^{2}}},{\frac {2}{\sqrt {3}}}\right),}$

${\displaystyle \left(\tau ,-{\frac {\tau }{\sqrt {3}}},{\frac {2}{{\sqrt {3}}\tau }}\right),\left({\frac {2}{\tau }},0,0\right),}$

под действием группа генерируется поворотом на 120 ° вокруг оси z и отражением относительно плоскости yz.^[2] Здесь, τ = √5 + 1/2 (иногда пишется φ) это Золотое сечение. Первая точка формирует треугольник напротив шестиугольника, вторая точка формирует основания треугольников, окружающих предыдущий треугольник, третья точка генерирует вершины пятиугольников напротив первого треугольника, а последняя точка формирует шестиугольник.

Затем можно вычислить площадь поверхности треугольной гебешфеноротонды реберной длины а в качестве

${\displaystyle A=\left(3+{\frac {1}{4}}{\sqrt {1308+90{\sqrt {5}}+114{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}}}\right)a^{2}\approx 16.38867a^{2},}$^[3]

и это объем в качестве

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 5.10875a^{3}.}$^[4]

Вторую, перевернутую треугольную hebesphenorotunda можно получить, отрицая вторую и третью координаты каждой точки. Этот второй многогранник будет соединен с первым по их общей шестиугольной грани, и пара впишется в икосододекаэдр. Если шестиугольную грань масштабировать по золотому сечению, то выпуклая оболочка результата будет всем икосододекаэдром.

Рекомендации

1. Джонсон, Норман В. (1966), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Канадский математический журнал, 18: 169–200, Дои:10.4153 / cjm-1966-021-8, МИСТЕР  0185507, Zbl  0132.14603.
2. Тимофеенко, А. В. (2009). «Неплатоновы и неархимедовы несоставные многогранники». Журнал математических наук. 162 (5): 717.
3. Wolfram Research, Inc. (2020). "Wolfram | Alpha Knowledgebase". Шампейн, Иллинойс. PolyhedronData [{"Johnson", 92}, "SurfaceArea"]
4. Wolfram Research, Inc. (2020). "Wolfram | Alpha Knowledgebase". Шампейн, Иллинойс. PolyhedronData [{"Джонсон", 92}, "Объем"]

внешняя ссылка

• Эрик В. Вайсштейн, Гебешфеноротунда треугольная (Джонсон солид ) в MathWorld.