Уравнения Максвелла - Maxwells equations

Для термодинамических соотношений см. Максвелл отношения. Историю уравнений см. История уравнений Максвелла. Для общего описания электромагнетизма см. Электромагнетизм.

Уравнения Максвелла представляют собой набор связанных уравнения в частных производных что вместе с Сила Лоренца закон, составляют основу классический электромагнетизм, классический оптика, и электрические цепи. Уравнения представляют собой математическую модель для электрических, оптических и радиотехнологий, таких как производство электроэнергии, электродвигатели, беспроводной связь, линзы, радар и т. д. Они описывают, как электрический и магнитные поля генерируются обвинения, токи, и изменения полей.^{[примечание 1]} Уравнения названы в честь физика и математика. Джеймс Клерк Максвелл, который в 1861 и 1862 годах опубликовал раннюю форму уравнений, которые включали закон силы Лоренца. Максвелл первым использовал уравнения, чтобы предположить, что свет - это электромагнитное явление.

Важным следствием уравнений Максвелла является то, что они демонстрируют, как флуктуирующие электрические и магнитные поля распространяются с постоянной скоростью (c ) в вакууме. Известный как электромагнитное излучение, эти волны могут возникать на разных длинах волн, создавая спектр света от радиоволны к гамма излучение.

У уравнений есть два основных варианта. Микроскопические уравнения Максвелла универсальны, но громоздки для обычных вычислений. Они связывают электрическое и магнитное поля с общим зарядом и полным током, включая сложные заряды и токи в материалах на атомный масштаб. «Макроскопические» уравнения Максвелла определяют два новых вспомогательных поля, которые описывают крупномасштабное поведение материи без учета зарядов атомного масштаба и квантовых явлений, таких как спины. Однако их использование требует экспериментально определенных параметров для феноменологического описания электромагнитного отклика материалов.

Термин «уравнения Максвелла» также часто используется для эквивалентные альтернативные формулировки. Версии уравнений Максвелла на основе электрический и магнитные скалярные потенциалы предпочтительны для явного решения уравнений как краевая задача, аналитическая механика, или для использования в квантовая механика. В ковариантная формулировка (на пространство-время а не пространство и время по отдельности) обеспечивает совместимость уравнений Максвелла с специальная теория относительности манифест. Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени, обычно используется в высокая энергия и гравитационная физика, совместимы с общая теория относительности.^{[заметка 2]} Фактически, Альберт Эйнштейн разработал специальную и общую теорию относительности, чтобы приспособить инвариантную скорость света, следствие уравнений Максвелла, с принципом, что только относительное движение имеет физические последствия.

Публикация уравнений отметила объединение теории для ранее отдельно описанных явлений: магнетизма, электричества, света и связанного с ним излучения. С середины 20 века стало понятно, что уравнения Максвелла не дают точного описания электромагнитных явлений, а вместо этого являются классический предел более точной теории квантовая электродинамика.

Концептуальные описания

Закон Гаусса

Основная статья: Закон Гаусса

Закон Гаусса описывает связь между статическим электрическое поле и электрические заряды которые вызывают это: статическое электрическое поле направлено от положительных зарядов в сторону отрицательных зарядов, а чистая отток электрического поля через любые замкнутые поверхность пропорциональна заряду, заключенному в поверхности. Представляя электрическое поле его силовыми линиями, это означает, что силовые линии начинаются с положительных электрических зарядов и заканчиваются отрицательными электрическими зарядами. «Подсчет» количества линий поля, проходящих через закрытая поверхность дает полный заряд (включая связанный заряд из-за поляризации материала), заключенный на этой поверхности, деленный на диэлектрическую проницаемость свободного пространства ( диэлектрическая проницаемость вакуума ).

Закон Гаусса для магнетизма: силовые линии магнитного поля никогда не начинаются и не заканчиваются, но образуют петли или простираются до бесконечности, как показано здесь, с магнитным полем из-за кольца тока.

Закон Гаусса для магнетизма

Основная статья: Закон Гаусса для магнетизма

Закон Гаусса для магнетизма утверждает, что нет «магнитных зарядов» (также называемых магнитные монополи ), аналогично электрическим зарядам.^[1] Вместо этого магнитное поле из-за материалов создается конфигурацией, называемой диполь, а чистый отток магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю. Магнитные диполи лучше всего представить в виде контуров тока, но они напоминают положительные и отрицательные «магнитные заряды», неразрывно связанные вместе и не имеющие чистого «магнитного заряда». В терминах силовых линий это уравнение утверждает, что силовые линии магнитного поля не начинаются и не заканчиваются, а образуют петли или простираются до бесконечности и обратно. Другими словами, любая линия магнитного поля, которая входит в данный объем, должна где-то выходить из этого объема. Эквивалентные технические заявления заключаются в том, что общая сумма магнитный поток через любую гауссовскую поверхность равно нулю, или что магнитное поле соленоидальное векторное поле.

Закон Фарадея

Основная статья: Закон индукции Фарадея

В геомагнитная буря, всплеск потока заряженных частиц временно изменяет Магнитное поле Земли, который индуцирует электрические поля в атмосфере Земли, вызывая скачки электрического электрические сети. (Не в масштабе.)

В Максвелл – Фарадей версия Закон индукции Фарадея описывает, как меняется время магнитное поле создает ("индуцирует") электрическое поле.^[1] В интегральной форме он утверждает, что работа на единицу заряда, необходимая для перемещения заряда по замкнутому контуру, равна скорости изменения магнитного потока через замкнутую поверхность.

Динамически индуцированное электрическое поле имеет замкнутые силовые линии, подобные магнитному полю, если только на него не накладывается статическое (индуцированное зарядом) электрическое поле. Этот аспект электромагнитная индукция принцип работы многих электрические генераторы: например, вращающийся стержневой магнит создает изменяющееся магнитное поле, которое, в свою очередь, создает электрическое поле в соседнем проводе.

Закон Ампера с добавлением Максвелла

Основная статья: Обходной закон Ампера

Память на магнитном сердечнике (1954) представляет собой приложение Закон Ампера. Каждый основной хранит один кусочек данных.

Закон Ампера с добавлением Максвелла утверждает, что магнитные поля могут быть созданы двумя способами: электрический ток (это был первоначальный «закон Ампера») и изменением электрических полей (это было «добавлением Максвелла», которое он назвал ток смещения ). В интегральной форме магнитное поле, индуцированное вокруг любого замкнутого контура, пропорционально электрическому току плюс ток смещения (пропорциональному скорости изменения электрического потока) через замкнутую поверхность.

Добавление Максвелла к закону Ампера особенно важно: оно делает систему уравнений математически согласованной для нестатических полей без изменения законов Ампера и Гаусса для статических полей.^[2] Однако, как следствие, он предсказывает, что изменяющееся магнитное поле индуцирует электрическое поле и наоборот.^[1][3] Следовательно, эти уравнения допускают самоподдерживающийся "электромагнитные волны "путешествовать по пустому пространству (см. уравнение электромагнитной волны ).

Скорость, рассчитанная для электромагнитных волн, которую можно было предсказать из экспериментов с зарядами и токами,^{[заметка 3]} соответствует скорость света; в самом деле, свет является одна форма электромагнитное излучение (так же как и Рентгеновские лучи, радиоволны, и другие). Максвелл понял связь между электромагнитными волнами и светом в 1861 году, тем самым объединив теории электромагнетизм и оптика.

Формулировка в терминах электрического и магнитного полей (микроскопическая или вакуумная версия)

В формулировке электрического и магнитного полей есть четыре уравнения, которые определяют поля для данного распределения заряда и тока. Отдельный Закон природы, то Сила Лоренца Закон описывает, как, наоборот, электрическое и магнитное поля действуют на заряженные частицы и токи. Вариант этого закона был включен Максвеллом в исходные уравнения, но по соглашению больше не включается. В векторное исчисление формализм ниже, работа Оливер Хевисайд,^[4][5] стало стандартом. Он явно инвариантен к вращению и поэтому математически гораздо более прозрачен, чем оригинальные 20 уравнений Максвелла для компонентов x, y, z. В релятивистские формулировки еще более симметричны и явно лоренц-инвариантны. Для тех же уравнений, выраженных с помощью тензорного исчисления или дифференциальных форм, см. альтернативные формулировки.

Дифференциальная и интегральная формулировки математически эквивалентны и полезны. Интегральная формулировка связывает поля в области пространства с полями на границе и часто может использоваться для упрощения и прямого вычисления полей из симметричных распределений зарядов и токов. С другой стороны, дифференциальные уравнения чисто местный и являются более естественной отправной точкой для расчета полей в более сложных (менее симметричных) ситуациях, например, используя анализ методом конечных элементов.^[6]

Ключ к обозначениям

Символы в смелый представлять вектор количества и символы в курсив представлять скаляр величин, если не указано иное. электрическое поле, E, а векторное поле, а магнитное поле, B, а псевдовектор поля, каждое из которых обычно зависит от времени и местоположения.

• общая электрическая плотность заряда (общий заряд на единицу объема), ρ, и
• общая электрическая плотность тока (общий ток на единицу площади), J.

В универсальные константы в уравнениях (первые два явно указаны только в формулировке единиц СИ):

• то диэлектрическая проницаемость свободного пространства, ε₀, и
• то проницаемость свободного пространства, μ₀, и
• то скорость света, ${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}$

Дифференциальные уравнения

В дифференциальных уравнениях

• то набла символ, ∇, обозначает трехмерный градиент оператор дель,
• то ∇⋅ символ (произносится как «дель точка») обозначает расхождение оператор
• то ∇× символ (произносится "дель крест") обозначает завиток оператор.

Интегральные уравнения

В интегральных уравнениях

• Ω любой фиксированный объем с закрытым граница поверхность ∂Ω, и
• Σ любая неподвижная поверхность с замкнутой граничной кривой ∂Σ,

Здесь фиксированный Объем или поверхность означает, что они не меняются с течением времени. Уравнения верны, полны и их немного легче интерпретировать с помощью не зависящих от времени поверхностей. Например, поскольку поверхность не зависит от времени, мы можем привести дифференцирование под знаком интеграла в законе Фарадея:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \,,}$

Уравнения Максвелла могут быть сформулированы с возможно зависящими от времени поверхностями и объемами, используя дифференциальную версию и соответствующим образом используя формулы Гаусса и Стокса.

• ${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$ это поверхностный интеграл над граничной поверхностью ∂Ω, с петлей, указывающей, что поверхность закрыта
• ${\displaystyle \iiint _{\Omega }}$ это объемный интеграл по объему Ω,
• ${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }}$ это линейный интеграл вокруг граничной кривой ∂Σ, с петлей, указывающей, что кривая замкнута.
• ${\displaystyle \iint _{\Sigma }}$ это поверхностный интеграл по поверхности Σ,
• В общий электрический заряд Q заключен в Ω это объемный интеграл над Ω из плотность заряда ρ (см. раздел «Макроскопическая формулировка» ниже):

${\displaystyle Q=\iiint _{\Omega }\rho \ \mathrm {d} V,}$

куда dV это элемент объема.

• В сеть электрический ток я это поверхностный интеграл из плотность электрического тока J проходя через неподвижную поверхность, Σ:

${\displaystyle I=\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$

куда dS обозначает дифференциал векторный элемент площади поверхности S, нормальный на поверхность Σ. (Векторная площадь иногда обозначается как А скорее, чем S, но это противоречит обозначениям для магнитный векторный потенциал ).

Формулировка в условных обозначениях единиц СИ

Имя	интеграл уравнения	Дифференциальный уравнения
Закон Гаусса	${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$
Закон Гаусса для магнетизма	${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
Уравнение Максвелла – Фарадея (Закон индукции Фарадея )	${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
Обходной закон Ампера (с добавлением Максвелла)	${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }&\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\left(\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +\varepsilon _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \right)\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)}$

Формулировка в условных обозначениях гауссовых единиц

Основная статья: Гауссовы единицы

Определения заряда, электрического поля и магнитного поля могут быть изменены для упрощения теоретических расчетов путем поглощения размерный факторы ε₀ и μ₀ в расчетные единицы условно. С соответствующим изменением соглашения для Сила Лоренца закон это дает ту же физику, то есть траектории заряженных частиц, или работай сделано электродвигателем. Этим определениям часто отдают предпочтение в теоретической физике и физике высоких энергий, где естественно рассматривать электрическое и магнитное поле в одних и тех же единицах, чтобы упростить вид электромагнитный тензор: ковариантный объект Лоренца, объединяющий электрическое и магнитное поле, тогда будет содержать компоненты с единообразной единицей измерения и размером.^[7]:vii Такие модифицированные определения обычно используются с гауссовым (CGS ) единицы. Используя эти определения и соглашения, в просторечии «в гауссовых единицах»,^[8]уравнения Максвелла становятся:^[9]

Имя	Интегральные уравнения	Дифференциальные уравнения
Закон Гаусса	${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =4\pi \iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho }$
Закон Гаусса для магнетизма	${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
Уравнение Максвелла – Фарадея (Закон индукции Фарадея )	${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
Обходной закон Ампера (с добавлением Максвелла)	${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }&\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}={\frac {1}{c}}\left(4\pi \iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {\mathrel {\mathrm {d} }}{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)}$

Уравнения особенно удобны для чтения, когда длина и время измеряются в совместимых единицах, таких как секунды и световые секунды, то есть в таких единицах, что c = 1 единица длины / единица времени. С 1983 г. (см. Международная система единиц ), счетчики и секунды совместимы, за исключением исторического наследия, так как по определению c = 299 792 458 м / с (≈ 1,0 фут / наносекунда).

Дальнейшие косметические изменения, называемые рационализациями, возможны за счет поглощения факторов 4π в зависимости от того, хотим ли мы Закон Кулона или же Закон Гаусса выйти красиво, посмотреть Единицы Лоренца-Хевисайда (используется в основном в физика элементарных частиц ). В теоретическая физика часто бывает полезно выбрать такие единицы измерения, чтобы Постоянная Планка, то элементарный заряд, и даже Постоянная Ньютона являются 1. См. Единицы Планка.

Связь дифференциальной и интегральной формулировок

Эквивалентность дифференциальной и интегральной формулировок является следствием Теорема Гаусса о расходимости и Теорема Кельвина – Стокса.

Поток и дивергенция

Объем Ω и его закрытая граница ∂Ω, содержащий (соответственно включающий) источник (+) и тонуть (−) векторного поля F. Здесь, F может быть E поле с исходными электрическими зарядами, но нет то B поле, которое не имеет магнитных зарядов, как показано. Внешний единица нормальная является п.

Согласно (чисто математическому) Теорема Гаусса о расходимости, то электрический поток сквозь граничная поверхность ∂Ω можно переписать как

${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V}$

Таким образом, интегральный вариант уравнения Гаусса можно переписать как

${\displaystyle \iiint _{\Omega }\left(\nabla \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)\,\mathrm {d} V=0}$

С Ω произвольно (например, произвольный маленький шар с произвольным центром), это выполняется если и только если подынтегральное выражение везде равно нулю. Это формулировка дифференциального уравнения уравнения Гаусса с точностью до тривиальной перестановки.

Аналогично переписывая магнитный поток в законе Гаусса для магнетизма в интегральной форме дает

${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {B} \,\mathrm {d} V=0}$.

что устраивает для всех Ω если и только если ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ повсюду.

Кровообращение и завиток

Поверхность Σ с закрытой границей ∂Σ. F может быть E или же B поля. Опять таки, п это единица нормальная. (Завиток векторного поля буквально не похож на «тиражи», это эвристическое изображение.)

Посредством Теорема Кельвина – Стокса мы можем переписать линейные интегралы полей вокруг замкнутой граничной кривой ∂Σ к интегралу «циркуляции полей» (т. е. их кудри ) над ограничиваемой им поверхностью, т. е.

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$,

Следовательно, модифицированный закон Ампера в интегральной форме можно переписать как

${\displaystyle \iint _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$.

С Σ можно выбрать произвольно, например как произвольный малый, произвольно ориентированный и произвольный центрированный круг, мы заключаем, что подынтегральное выражение равно нулю если только Модифицированный закон Ампера в форме дифференциальных уравнений выполняется. Аналогичным образом следует эквивалентность закона Фарадея в дифференциальной и интегральной формах.

Линейные интегралы и роторы аналогичны величинам в классической динамика жидкостей: the обращение жидкости - это линейный интеграл жидкости скорость потока поле вокруг замкнутого контура, а завихренность жидкости - это завихрение поля скоростей.

Сохранение заряда

Инвариантность заряда может быть получена как следствие уравнений Максвелла. Левая часть модифицированного закона Ампера имеет нулевую дивергенцию на div – curl идентичность. Расширение дивергенции правой части, замена производных местами и применение закона Гаусса дает:

${\displaystyle 0=\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {E} \right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)}$

т.е.

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}$.

Согласно теореме о расходимости Гаусса это означает, что скорость изменения заряда в фиксированном объеме равна чистому току, протекающему через границу:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Q_{\Omega }={\frac {d}{dt}}\iiint _{\Omega }\rho \mathrm {d} V=-}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =-I_{\partial \Omega }.}$

В частности, в изолированной системе сохраняется полный заряд.

Уравнения вакуума, электромагнитные волны и скорость света

Дальнейшая информация: Уравнение электромагнитной волны, Неоднородное уравнение электромагнитной волны, Синусоидальные плоско-волновые решения уравнения электромагнитной волны, и Уравнение Гельмгольца

На этой трехмерной диаграмме показана плоская линейно поляризованная волна, распространяющаяся слева направо, определяемая формулой E = E₀ грех (−ωт + k ⋅ р) и B = B₀ грех (−ωт + k ⋅ р) Осциллирующие поля обнаруживаются в точке мигания. Горизонтальная длина волны λ. E₀ ⋅ B₀ = 0 = E₀ ⋅ k = B₀ ⋅ k

В регионе без взимания платы (ρ = 0) и никаких токов (J = 0), например, в вакууме, уравнения Максвелла сводятся к:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\quad &\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\quad &\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$

Принимая локон (∇×) уравнений ротора и используя завиток локона личность мы получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0\\\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0\end{aligned}}}$

Количество ${\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}}$ имеет размерность (время / длина)². Определение${\displaystyle c=(\mu _{0}\varepsilon _{0})^{-1/2}}$, приведенные выше уравнения имеют вид стандартного волновые уравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0\\{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0\end{aligned}}}$

Уже при жизни Максвелла было обнаружено, что известные значения для ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ и ${\displaystyle \mu _{0}}$ дайте ${\displaystyle c\approx 2.998\times 10^{8}\,{\text{m/s}}}$, то уже известно, что это скорость света в свободном пространстве. Это привело его к предположению, что свет и радиоволны распространяют электромагнитные волны, что было вполне подтверждено. в старая система СИ единиц, значения ${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}}$ и ${\displaystyle c=299792458\,{\text{m/s}}}$ являются определенными константами (что означает, что по определению ${\displaystyle \varepsilon _{0}=8.854...\times 10^{-12}\,{\text{F/m}}}$), которые определяют ампер и метр. в новый СИ система, только c сохраняет свое определенное значение, а заряд электрона получает определенное значение.

В материалах с относительная диэлектрическая проницаемость, ε_р, и относительная проницаемость, μ_р, то фазовая скорость света становится

${\displaystyle v_{\text{p}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\mu _{\text{r}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{\text{r}}}}}}$

что обычно^{[примечание 4]} меньше, чем c.

Кроме того, E и B перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны и находятся в фаза друг с другом. А синусоидальный плоская волна является одним из частных решений этих уравнений. Уравнения Максвелла объясняют, как эти волны могут физически распространяться в пространстве. Изменяющееся магнитное поле создает изменяющееся электрическое поле через Закон Фарадея. В свою очередь, это электрическое поле создает изменяющееся магнитное поле через Дополнение Максвелла к закону Ампера. Этот вечный цикл позволяет этим волнам, теперь известным как электромагнитное излучение, чтобы двигаться в пространстве со скоростью c.

Макроскопическая формулировка

Вышеупомянутые уравнения являются микроскопической версией уравнений Максвелла, выражающих электрическое и магнитное поля в терминах имеющихся зарядов и токов (возможно, на атомном уровне). Иногда это называют «общей» формой, но макроскопическая версия, приведенная ниже, является столь же общей, разница лишь в бухгалтерском учете.

Микроскопическую версию иногда называют «уравнениями Максвелла в вакууме»: это относится к тому факту, что материальная среда не встроена в структуру уравнений, а проявляется только в терминах заряда и тока. Микроскопическая версия была представлена ​​Лоренцем, который попытался использовать ее, чтобы вывести макроскопические свойства объемного вещества из его микроскопических составляющих.^[10]:5

«Макроскопические уравнения Максвелла», также известные как Уравнения Максвелла в веществе, больше похожи на те, которые представил сам Максвелл.

Имя	интеграл уравнения (соглашение СИ)	Дифференциальный уравнения (соглашение СИ)	Дифференциальные уравнения (гауссовское соглашение)
Закон Гаусса	${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\rho _{\text{f}}\,\mathrm {d} V}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{f}}}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho _{\text{f}}}$
Закон Гаусса для магнетизма	${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
Уравнение Максвелла – Фарадея (закон индукции Фарадея)	${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
Закон Ампера (с добавлением Максвелла)	${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }&\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\\&\iint _{\Sigma }\mathbf {J} _{\text{f}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \\\end{aligned}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)}$

В макроскопических уравнениях влияние связанного заряда Q_б и связанный ток я_б включен в поле смещения D и намагничивающее поле ЧАС, а уравнения зависят только от свободных зарядов Q_ж и свободные токи я_ж. Это отражает расщепление полного электрического заряда Q и текущие я (и их плотности ρ и J) на свободную и связанную части:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=Q_{\text{f}}+Q_{\text{b}}=\iiint _{\Omega }\left(\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\right)\,\mathrm {d} V=\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V\\I&=I_{\text{f}}+I_{\text{b}}=\iint _{\Sigma }\left(\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{b}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \end{aligned}}}$

Стоимость этого разделения заключается в том, что дополнительные поля D и ЧАС должны быть определены с помощью феноменологических составляющих уравнений, связывающих эти поля с электрическим полем E и магнитное поле Bвместе со связанным зарядом и током.

См. Ниже подробное описание различий между микроскопическими уравнениями, касающимися общий заряд и ток, включая материальные вклады, полезные в воздухе / вакууме;^{[примечание 5]}и макроскопические уравнения, касающиеся свободный заряд и ток, практично использовать в материалах.

Связанный заряд и ток

Основные статьи: Плотность тока, Связанный заряд, и Связанный ток

Оставили: Схематическое изображение того, как сборка микроскопических диполей производит противоположные поверхностные заряды, как показано вверху и внизу. Правильно: Как сборка микроскопических токовых петель складывается вместе, чтобы создать макроскопически циркулирующую токовую петлю. Внутри границ отдельные взносы имеют тенденцию отменяться, но на границах отмены не происходит.

Когда электрическое поле приложено к диэлектрический материал его молекулы отвечают, образуя микроскопические электрические диполи - их атомные ядра перемещаются на небольшое расстояние в направлении поля, пока их электроны переместитесь на небольшое расстояние в противоположном направлении. Это дает макроскопический связанный заряд в материале, даже если все задействованные заряды связаны с отдельными молекулами. Например, если каждая молекула реагирует одинаково, как показано на рисунке, эти крошечные движения заряда объединяются, образуя слой положительного связанный заряд с одной стороны материала и слой отрицательного заряда с другой стороны. Связанный заряд удобнее всего описывать в терминах поляризация п материала, его дипольный момент на единицу объема. Если п равномерно, макроскопическое разделение заряда происходит только на поверхностях, где п входит и выходит из материала. Для неоднородных п, заряд также производится оптом.^[11]

Примерно так же во всех материалах составляющие атомы проявляют магнитные моменты которые неразрывно связаны с угловой момент компонентов атомов, особенно их электроны. В связь с угловым моментом наводит на мысль о сборке микроскопических токовых петель. Вне материала совокупность таких микроскопических токовых петель не отличается от макроскопического тока, циркулирующего вокруг поверхности материала, несмотря на то, что ни один отдельный заряд не перемещается на большое расстояние. Эти связанные токи можно описать с помощью намагничивание M.^[12]

Поэтому очень сложные и гранулированные связанные заряды и связанные токи могут быть представлены в макроскопическом масштабе в терминах п и M, которые усредняют эти заряды и токи в достаточно большом масштабе, чтобы не видеть гранулярность отдельных атомов, но также достаточно малы, чтобы они менялись в зависимости от местоположения в материале. В качестве таких, Макроскопические уравнения Максвелла игнорируйте многие детали в мелком масштабе, которые могут быть не важны для понимания вопросов в крупном масштабе, путем вычисления полей, усредненных по некоторому подходящему объему.

Вспомогательные поля, поляризация и намагниченность

В определения из вспомогательных полей:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}}$

куда п это поляризация поле и M это намагничивание поля, которые определяются в терминах микроскопических связанных зарядов и связанных токов соответственно. Макроскопическая плотность связанного заряда ρ_б и связанная плотность тока J_б с точки зрения поляризация п и намагничивание M тогда определяются как

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{b}}&=-\nabla \cdot \mathbf {P} \\\mathbf {J} _{\text{b}}&=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\end{aligned}}}$

Если мы определим полный, связанный и свободный заряд и плотность тока как

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\rho _{\text{b}}+\rho _{\text{f}},\\\mathbf {J} &=\mathbf {J} _{\text{b}}+\mathbf {J} _{\text{f}},\end{aligned}}}$

и используйте указанные выше определяющие отношения, чтобы исключить D, и ЧАС, «макроскопические» уравнения Максвелла воспроизводят «микроскопические» уравнения.

Учредительные отношения

Основная статья: Материальное уравнение § Электромагнетизм

Для того чтобы применить «макроскопические уравнения Максвелла», необходимо указать отношения между поле смещения D и электрическое поле E, так же хорошо как намагничивание поле ЧАС и магнитное поле B. Эквивалентно, мы должны указать зависимость поляризации п (отсюда связанный заряд) и намагниченность M (отсюда и связанный ток) от приложенного электрического и магнитного поля. Уравнения, задающие этот отклик, называются учредительные отношения. Для реальных материалов определяющие соотношения редко бывают простыми, за исключением приблизительно, и обычно определяются экспериментально. См. Основную статью о материальных отношениях для более полного описания.^[13]:44–45

Для материалов без поляризации и намагниченности определяющие соотношения (по определению)^[7]:2

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} }$

куда ε₀ это диэлектрическая проницаемость свободного места и μ₀ то проницаемость свободного места. Поскольку связанного заряда нет, общий заряд и ток равны.

Альтернативная точка зрения на микроскопические уравнения состоит в том, что они являются макроскопическими уравнениями вместе с утверждением, что вакуум ведет себя как идеальный линейный "материал" без дополнительной поляризации и намагничивания. В общем, для линейных материалов определяющие соотношения имеют вид^[13]:44–45

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} \,,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} }$

куда ε это диэлектрическая проницаемость и μ то проницаемость материала. Для поля смещения D линейное приближение обычно превосходно, потому что для всех, кроме самых экстремальных электрических полей или температур, доступных в лаборатории (импульсные лазеры высокой мощности), межатомные электрические поля материалов порядка 10¹¹ В / м намного выше внешнего поля. Для намагничивающего поля ${\displaystyle \mathbf {H} }$однако линейное приближение может не работать в обычных материалах, таких как железо, что приводит к таким явлениям, как гистерезис. Однако даже линейный случай может иметь различные сложности.

• Для однородных материалов ε и μ постоянны по всему материалу, а для неоднородных материалов зависят от место расположения в пределах материала (и, возможно, времени).^[14]:463
• Для изотропных материалов ε и μ являются скалярами, в то время как для анизотропных материалов (например, из-за кристаллической структуры) они тензоры.^{[13]:421[14]:463}
• Материалы обычно диспергирующий, так ε и μ зависит от частота любых падающих электромагнитных волн.^{[13]:625[14]:397}

В более общем плане, в случае нелинейных материалов (см., Например, нелинейная оптика ), D и п не обязательно пропорциональны E, по аналогии ЧАС или же M не обязательно пропорционально B. В целом D и ЧАС зависеть от обоих E и B, по месту и времени и, возможно, другим физическим величинам.

В приложениях также необходимо описать поведение свободных токов и плотности заряда в терминах E и B возможно, связаны с другими физическими величинами, такими как давление, масса, численная плотность и скорость частиц, несущих заряд. Например, исходные уравнения Максвелла (см. История уравнений Максвелла ) включены Закон Ома в виде

${\displaystyle \mathbf {J} _{\text{f}}=\sigma \mathbf {E} \,.}$

Альтернативные составы

Для обзора см. Математические описания электромагнитного поля.

Для уравнений в квантовая теория поля, видеть Квантовая электродинамика.

Ниже приводится краткое изложение некоторых из множества других математических формализмов для написания микроскопических уравнений Максвелла со столбцами, отделяющими два однородных уравнения Максвелла от двух неоднородных, включающих заряд и ток. Каждая формулировка имеет версии непосредственно с точки зрения электрического и магнитного полей и косвенно с точки зрения электрический потенциал φ и векторный потенциал А. Потенциалы были введены как удобный способ решения однородных уравнений, но считалось, что вся наблюдаемая физика содержится в электрическом и магнитном полях (или релятивистски тензоре Фарадея). Однако потенциалы играют центральную роль в квантовой механике и действуют квантово-механически с наблюдаемыми последствиями, даже когда электрическое и магнитное поля исчезают (Эффект Ааронова – Бома ).

Каждая таблица описывает один формализм. Увидеть основная статья для получения подробной информации о каждом составе. Повсюду используются единицы СИ.

Векторное исчисление

Формулировка	Однородные уравнения	Неоднородные уравнения
Поля 3D евклидово пространство + время	${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} =0\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}&=\mu _{0}\mathbf {J} \end{aligned}}}$
Потенциалы (любые измерять ) 3D евклидово пространство + время	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\mathbf {\nabla } \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}-\nabla ^{2}\varphi -{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\left(-\nabla ^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)&=\mu _{0}\mathbf {J} \end{aligned}}}$
Потенциалы (Датчик Лоренца ) 3D евклидово пространство + время	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} \\\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\mathbf {\nabla } \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} &=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\left(-\nabla ^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\varphi &={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\left(-\nabla ^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {A} &=\mu _{0}\mathbf {J} \end{aligned}}}$

Тензорное исчисление

Формулировка	Однородные уравнения	Неоднородные уравнения
Поля пространство + время пространственная метрика, не зависящая от времени	${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{[i}B_{jk]}&=\\\nabla _{[i}B_{jk]}&=0\\\partial _{[i}E_{j]}+{\frac {\partial B_{ij}}{\partial t}}&=\\\nabla _{[i}E_{j]}+{\frac {\partial B_{ij}}{\partial t}}&=0\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {h}}}\partial _{i}{\sqrt {h}}E^{i}&=\\\nabla _{i}E^{i}&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {h}}}\partial _{i}{\sqrt {h}}B^{ij}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}E^{j}&=&\\-\nabla _{i}B^{ij}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E^{j}}{\partial t}}&=\mu _{0}J^{j}\\\end{aligned}}}$
Потенциал пространство (с топологическими ограничениями) + время пространственная метрика, не зависящая от времени	${\displaystyle {\begin{aligned}B_{ij}&=\partial _{[i}A_{j]}\\&=\nabla _{[i}A_{j]}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}E_{i}&=-{\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}-\partial _{i}\varphi \\&=-{\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}-\nabla _{i}\varphi \\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{\sqrt {h}}}\partial _{i}{\sqrt {h}}\left(\partial ^{i}\varphi +{\frac {\partial A^{i}}{\partial t}}\right)&=\\-\nabla _{i}\nabla ^{i}\varphi -{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla _{i}A^{i}&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {h}}}\partial _{i}\left({\sqrt {h}}h^{im}h^{jn}\partial _{[m}A_{n]}\right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial A^{j}}{\partial t}}+\partial ^{j}\varphi \right)&=\\-\nabla _{i}\nabla ^{i}A^{j}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A^{j}}{\partial t^{2}}}+R_{i}^{j}A^{i}+\nabla ^{j}\left(\nabla _{i}A^{i}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)&=\mu _{0}J^{j}\\\end{aligned}}}$
Потенциалы (калибровка Лоренца) пространство (с топологическими ограничениями) + время пространственная метрика, не зависящая от времени	${\displaystyle {\begin{aligned}B_{ij}&=\partial _{[i}A_{j]}\\&=\nabla _{[i}A_{j]}\\E_{i}&=-{\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}-\partial _{i}\varphi \\&=-{\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}-\nabla _{i}\varphi \\\nabla _{i}A^{i}&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}-\nabla _{i}\nabla ^{i}\varphi +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\-\nabla _{i}\nabla ^{i}A^{j}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A^{j}}{\partial t^{2}}}+R_{i}^{j}A^{i}&=\mu _{0}J^{j}\\\end{aligned}}}$

Дифференциальные формы

Формулировка	Однородные уравнения	Неоднородные уравнения
Поля Любое пространство + время	${\displaystyle {\begin{aligned}dB&=0\\dE+{\frac {\partial B}{\partial t}}&=0\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}d{*}E={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\d{*}B-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {*}E}{\partial t}}={\mu _{0}}J\\\end{aligned}}}$
Потенциалы (любого калибра) Любое пространство (с топологическими ограничениями) + время	${\displaystyle {\begin{aligned}B&=dA\\E&=-d\varphi -{\frac {\partial A}{\partial t}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}-d{*}\!\left(d\varphi +{\frac {\partial A}{\partial t}}\right)&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\d{*}dA+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}{*}\!\left(d\varphi +{\frac {\partial A}{\partial t}}\right)&=\mu _{0}J\\\end{aligned}}}$
Потенциал (датчик Лоренца) Любое пространство (с топологическими ограничениями) + время пространственная метрика, не зависящая от времени	${\displaystyle {\begin{aligned}B&=dA\\E&=-d\varphi -{\frac {\partial A}{\partial t}}\\d{*}A&=-{*}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{*}\!\left(-\Delta \varphi +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\varphi \right)&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\{*}\!\left(-\Delta A+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial ^{2}t}}\right)&=\mu _{0}J\\\end{aligned}}}$

Релятивистские формулировки

Для уравнений в специальная теория относительности, видеть Классический электромагнетизм и специальная теория относительности и Ковариантная формулировка классического электромагнетизма.

Для уравнений в общая теория относительности, видеть Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени.

Уравнения Максвелла также можно сформулировать на пространственно-временном Пространство Минковского где пространство и время рассматриваются на равных. Прямые формулировки пространства-времени показывают, что уравнения Максвелла имеют вид релятивистски инвариантный. Из-за этой симметрии электрическое и магнитное поле рассматриваются как равные и считаются компонентами Тензор Фарадея. Это сокращает четыре уравнения Максвелла до двух, что упрощает уравнения, хотя мы больше не можем использовать знакомую векторную формулировку. На самом деле уравнения Максвелла в формулировке пространства + времени не являются Инвариант Галилея и имеют лоренц-инвариантность как скрытую симметрию. Это было основным источником вдохновения для развития теории относительности. В самом деле, даже формулировка, которая рассматривает пространство и время отдельно, не является нерелятивистским приближением и описывает ту же физику, просто переименовывая переменные. По этой причине релятивистские инвариантные уравнения также обычно называют уравнениями Максвелла.

Каждая таблица описывает один формализм.

Тензорное исчисление

Формулировка	Однородные уравнения	Неоднородные уравнения
Поля Пространство Минковского	${\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0}$	${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }}$
Потенциалы (любого калибра) Пространство Минковского	${\displaystyle F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}}$	${\displaystyle 2\partial _{\alpha }\partial ^{[\alpha }A^{\beta ]}=\mu _{0}J^{\beta }}$
Потенциалы (калибровка Лоренца) Пространство Минковского	${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}\\\partial _{\alpha }A^{\alpha }&=0\end{aligned}}}$	${\displaystyle \partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }A^{\beta }=\mu _{0}J^{\beta }}$
Поля Любое пространство-время	${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}&=\\\nabla _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}&=0\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\alpha }({\sqrt {-g}}F^{\alpha \beta })&=\\\nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }&=\mu _{0}J^{\beta }\end{aligned}}}$
Потенциалы (любого калибра) Любое пространство-время (с топологическими ограничениями)	${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}\\&=2\nabla _{[\alpha }A_{\beta ]}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\sqrt {-g}}}\partial _{\alpha }({\sqrt {-g}}g^{\alpha \mu }g^{\beta \nu }\partial _{[\mu }A_{\nu ]})&=\\2\nabla _{\alpha }(\nabla ^{[\alpha }A^{\beta ]})&=\mu _{0}J^{\beta }\end{aligned}}}$
Потенциалы (калибровка Лоренца) Любое пространство-время (с топологическими ограничениями)	${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}\\&=2\nabla _{[\alpha }A_{\beta ]}\\\nabla _{\alpha }A^{\alpha }&=0\end{aligned}}}$	${\displaystyle \nabla _{\alpha }\nabla ^{\alpha }A^{\beta }-R^{\beta }{}_{\alpha }A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\beta }}$

Дифференциальные формы

Формулировка	Однородные уравнения	Неоднородные уравнения
Поля Любое пространство-время	${\displaystyle \mathrm {d} F=0}$	${\displaystyle \mathrm {d} {\star }F=\mu _{0}J}$
Потенциалы (любого калибра) Любое пространство-время (с топологическими ограничениями)	${\displaystyle F=\mathrm {d} A}$	${\displaystyle \mathrm {d} {\star }\mathrm {d} A=\mu _{0}J}$
Потенциалы (калибровка Лоренца) Любое пространство-время (с топологическими ограничениями)	${\displaystyle {\begin{aligned}F&=\mathrm {d} A\\\mathrm {d} {\star }A&=0\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\star }\Box A=\mu _{0}J}$

• В формулировке тензорного исчисления электромагнитный тензор F_αβ - антисимметричный ковариантный тензор порядка 2; то четырехпотенциальный, А_α, - ковариантный вектор; электрический ток, J^α, - вектор; квадратные скобки, [ ], обозначим антисимметризация показателей; ∂_α - производная по координате, Икс^α. В пространстве Минковского координаты выбираются относительно инерциальная система отсчета; (Икс^α) = (ct,Икс,у,z), таким образом метрический тензор используется для повышения и понижения индексов η_αβ = diag (1, −1, −1, −1). Оператор Даламбера в пространстве Минковского есть ◻ = ∂_α∂^α как в векторной постановке. В общем пространстве-времени система координат Икс^α произвольно, ковариантная производная ∇_α, тензор Риччи, р_αβ а повышение и понижение индексов определяются лоренцевой метрикой, грамм_αβ а оператор Даламбера определяется как ◻ = ∇_α∇^α. Топологическое ограничение состоит в том, что второе действительное когомология группа пространства обращается в нуль (объяснение см. в формулировке дифференциальной формы). Это нарушается для пространства Минковского с удаленной линией, которая может моделировать (плоское) пространство-время с точечным монополем на дополнении линии.
• в дифференциальная форма формулировка на произвольном пространстве-времени, F = 1/2F_αβdИкс^α ∧ гИкс^β - электромагнитный тензор, рассматриваемый как 2-форма, А = А_αdИкс^α - потенциальная 1-форма, ${\displaystyle J=-J_{\alpha }{\star }\mathrm {d} x^{\alpha }}$ это текущая 3-форма, d это внешняя производная, и ${\displaystyle {\star }}$ это Ходжа звезда на формах, определяемых (с точностью до его ориентации, т. е. знака) лоренцевой метрикой пространства-времени. В частном случае 2-форм, таких как F, звезда Ходжа ${\displaystyle {\star }}$ зависит от метрического тензора только в своем локальном масштабе. Это означает, что в соответствии с формулировкой уравнения поля дифференциальной формы имеют вид конформно инвариантный, но калибровочное условие Лоренца нарушает конформную инвариантность. Оператор ${\displaystyle \Box =(-{\star }\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} -\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} {\star })}$ это Оператор Даламбера – Лапласа – Бельтрами на 1-формах на произвольной Лоренцево пространство-время. Топологическим условием снова является то, что вторая вещественная группа когомологий «тривиальна» (что означает, что ее форма следует из определения). Изоморфизмом со вторым когомологии де Рама это условие означает, что каждая замкнутая 2-форма точна.

Другие формализмы включают формулировка геометрической алгебры и матричное представление уравнений Максвелла. Исторически сложилось так, что кватернионный формулировка^[15][16] использовался.

Решения

Уравнения Максвелла: уравнения в частных производных связывающие электрические и магнитные поля друг с другом, а также с электрическими зарядами и токами. Часто заряды и токи сами зависят от электрического и магнитного полей через Уравнение силы Лоренца и учредительные отношения. Все они образуют набор связанных дифференциальных уравнений в частных производных, которые часто очень трудно решить: решения охватывают все разнообразные явления классический электромагнетизм. Далее следуют некоторые общие замечания.

Как и любое дифференциальное уравнение, граничные условия^[17][18][19] и первоначальные условия^[20] необходимы для уникальное решение. Например, даже при отсутствии зарядов и токов в пространстве-времени есть очевидные решения, для которых E и B равны нулю или постоянны, но есть и нетривиальные решения, соответствующие электромагнитным волнам. В некоторых случаях уравнения Максвелла решаются во всем пространстве, а граничные условия задаются как асимптотические пределы на бесконечности.^[21] В других случаях уравнения Максвелла решаются в конечной области пространства с соответствующими условиями на границе этой области, например искусственная поглощающая граница представляя остальную вселенную,^[22][23] или же периодические граничные условия, или стены, изолирующие небольшой регион от внешнего мира (например, волновод или полость резонатор ).^[24]

Уравнения Ефименко (или тесно связанный Потенциалы Льенара – Вихерта ) являются явным решением уравнений Максвелла для электрического и магнитного полей, создаваемых любым заданным распределением зарядов и токов. Он предполагает определенные начальные условия для получения так называемого «запаздывающего решения», в котором присутствуют только поля, создаваемые зарядами. Однако уравнения Ефименко бесполезны в ситуациях, когда на заряды и токи сами влияют поля, которые они создают.

Численные методы решения дифференциальных уравнений может использоваться для вычисления приближенных решений уравнений Максвелла, когда точные решения невозможны. К ним относятся метод конечных элементов и конечно-разностный метод во временной области.^{[17][19][25][26][27]} Подробнее см. Вычислительная электромагнетизм.

Переопределение уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла казаться сверхопределенный, поскольку они включают шесть неизвестных (три компонента E и B), но восемь уравнений (по одному для каждого из двух законов Гаусса, по три компоненты вектора для законов Фарадея и Ампера). (Токи и заряды не являются неизвестными, их можно свободно указать в зависимости от сохранение заряда.) Это связано с определенным ограниченным видом избыточности в уравнениях Максвелла: можно доказать, что любая система, удовлетворяющая закону Фарадея и закону Ампера автоматически также удовлетворяет двум законам Гаусса, пока выполняется начальное состояние системы, и предполагает сохранение заряда и отсутствие магнитных монополей.^[28][29] Это объяснение было впервые введено Джулиус Адамс Страттон в 1941 г.^[30]

Хотя можно просто игнорировать два закона Гаусса в численном алгоритме (помимо начальных условий), несовершенная точность вычислений может привести к постоянно растущим нарушениям этих законов. При введении фиктивных переменных, характеризующих эти нарушения, четыре уравнения в конце концов не переопределятся. Полученная формулировка может привести к более точным алгоритмам, учитывающим все четыре закона.^[31]

Обе личности ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {B} \equiv 0,\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {E} \equiv 0}$, которые сводят восемь уравнений к шести независимым, являются истинной причиной переопределения.^[32][33] Или же определения линейной зависимости для PDE можно отослать.

Точно так же переопределение можно рассматривать как подразумевающее сохранение электрического и магнитного заряда, поскольку они требуются в описанном выше выводе, но подразумеваются двумя законами Гаусса.

Для линейных алгебраических уравнений можно составить «хорошие» правила для переписывания уравнений и неизвестных. Уравнения могут быть линейно зависимыми. Но в дифференциальных уравнениях, и особенно в УЧП, нужны соответствующие граничные условия, которые не столь очевидным образом зависят от уравнений. Более того, если их переписать в терминах векторного и скалярного потенциала, то уравнения будут недоопределенными из-за Крепление манометра.

Уравнения Максвелла как классический предел КЭД

Уравнения Максвелла и закон силы Лоренца (наряду с остальным классическим электромагнетизмом) чрезвычайно успешны в объяснении и предсказании множества явлений; однако они не точны, а классический предел квантовая электродинамика (QED).

Некоторые наблюдаемые электромагнитные явления несовместимы с уравнениями Максвелла. К ним относятся фотон-фотонное рассеяние и многие другие явления, связанные с фотоны или же виртуальные фотоны, "неклассический свет " и квантовая запутанность электромагнитных полей (см. квантовая оптика ). Например. квантовая криптография не может быть описан теорией Максвелла даже приблизительно. Приближенный характер уравнений Максвелла становится все более очевидным при переходе в режим чрезвычайно сильного поля (см. Лагранжиан Эйлера – Гейзенберга ) или на очень малые расстояния.

Наконец, уравнения Максвелла не могут объяснить никаких явлений, связанных с отдельными людьми. фотоны взаимодействует с квантовой материей, такой как фотоэлектрический эффект, Закон планка, то Закон Дуэйна – Ханта, и детекторы однофотонного света. Однако многие такие явления можно аппроксимировать, используя половинчатую теорию квантовой материи, связанную с классическим электромагнитным полем, либо в виде внешнего поля, либо с ожидаемым значением зарядового тока и плотности в правой части уравнений Максвелла.

Вариации

Популярные варианты уравнений Максвелла как классической теории электромагнитных полей относительно немногочисленны, поскольку стандартные уравнения замечательно выдержали испытание временем.

Магнитные монополи

Основная статья: Магнитный монополь

Уравнения Максвелла утверждают, что существует электрический заряд, но нет магнитный заряд (также называемый магнитные монополи ) во Вселенной. Действительно, магнитный заряд никогда не наблюдался, несмотря на обширные поиски.^{[примечание 6]} и может не существовать. Если бы они действительно существовали, нужно было бы изменить и закон Гаусса для магнетизма, и закон Фарадея, и полученные четыре уравнения были бы полностью симметричными относительно взаимообмена электрического и магнитного полей.^{[7]:273–275}

Смотрите также

• Электронный портал
• Физический портал

• Алгебра физического пространства
• Уравнения Френеля
• Гравитоэлектромагнетизм
• Условия интерфейса для электромагнитных полей
• Проблема с подвижным магнитом и проводником
• Галилеевская неинвариантность классического электромагнетизма
• Вектор Римана – Зильберштейна
• Алгебра пространства-времени
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

Примечания

1. Электрический и магнитный полей, согласно теория относительности, являются составляющими единого электромагнитного поля.
2. Однако в общую теорию относительности они должны войти через ее тензор энергии-импульса, в Уравнения поля Эйнштейна которые включают кривизну пространства-времени.
3. Количество, которое мы бы сейчас назвали ​¹⁄_√ε0μ0с единицами измерения скорости, был измерен непосредственно перед уравнениями Максвелла в эксперименте 1855 г. Вильгельм Эдуард Вебер и Рудольф Кольрауш. Они зарядили лейденская банка (типа конденсатор ) и измерили электростатическая сила связанный с потенциалом; затем разрядили при измерении магнитная сила от тока в разрядном проводе. Их результат был 3.107×10⁸ РС, что удивительно близко к скорости света. См. Джозефа Ф. Кейтли, История электрических и магнитных измерений: с 500 г. до н. Э. к 1940-м годам, п. 115
4. Есть случаи (аномальная дисперсия ), где фазовая скорость может превышать c, но "скорость сигнала" все равно будет < c
5. В некоторых книгах - например, в Основах теоретической физики У. Крея и А. Оуэна (Springer 2007) - термин эффективный заряд используется вместо Полный заряд, пока свободный заряд просто называется обвинять.
6. Видеть магнитный монополь для обсуждения поисков монополя. Недавно ученые обнаружили, что некоторые типы конденсированных сред, в том числе вращать лед и топологические изоляторы, которые отображают возникающий поведение, напоминающее магнитные монополи. (Видеть sciencemag.org и nature.com.) Хотя в популярной прессе они были описаны как долгожданное открытие магнитных монополей, они связаны лишь поверхностно. «Настоящий» магнитный монополь - это то, где ∇ ⋅ B ≠ 0, тогда как в этих системах конденсированного состояния ∇ ⋅ B = 0 пока только ∇ ⋅ ЧАС ≠ 0.

Рекомендации

1. Джексон, Джон. «Уравнения Максвелла». Глоссарий научных видео. Лаборатория Беркли.
2. Дж. Д. Джексон, Классическая электродинамика, раздел 6.3
3. Принципы физики: текст, основанный на исчислении, Р. А. Сервей, Дж. У. Джуэтт, стр. 809.
4. Брюс Дж. Хант (1991) Максвеллианцы, глава 5 и приложение, Издательство Корнельского университета
5. "IEEEGHN: уравнения Максвелла". Ieeeghn.org. Получено 2008-10-19.
6. Шолин, Павел (2006). Уравнения в частных производных и метод конечных элементов. Джон Уайли и сыновья. п. 273. ISBN  978-0-471-72070-6.
7. Дж. Д. Джексон (1975-10-17). Классическая электродинамика (3-е изд.). ISBN  978-0-471-43132-9.
8. Литтлджон, Роберт (Осень 2007 г.). «Гауссова, СИ и другие системы единиц в электромагнитной теории» (PDF). Physics 221A, Калифорнийский университет, конспект лекций в Беркли. Получено 2008-05-06.
9. Дэвид Дж. Гриффитс (1999). Введение в электродинамику (Третье изд.). Прентис Холл. стр.559–562. ISBN  978-0-13-805326-0.
10. Кимбалл Милтон; Дж. Швингер (18 июня 2006 г.). Электромагнитное излучение: вариационные методы, волноводы и ускорители.. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-29306-4.
11. Видеть Дэвид Дж. Гриффитс (1999). "4.2.2". Введение в электродинамику (третье изд.). Prentice Hall. для хорошего описания того, как п относится к связанный заряд.
12. Видеть Дэвид Дж. Гриффитс (1999). «6.2.2». Введение в электродинамику (третье изд.). Prentice Hall. для хорошего описания того, как M относится к связанный ток.
13. Эндрю Зангвилл (2013). Современная электродинамика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-89697-9.
14. Киттель, Чарльз (2005), Введение в физику твердого тела (8-е изд.), США: John Wiley & Sons, Inc., ISBN  978-0-471-41526-8
15. Джек, П. М. (2003). «Физическое пространство как кватернионная структура I: уравнения Максвелла. Краткое примечание». arXiv:math-ph / 0307038.
16. А. Васер (2000). «Об обозначениях уравнений поля Максвелла» (PDF). AW-Verlag.
17. Питер Монк (2003). Методы конечных элементов для уравнений Максвелла. Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета. п. 1 сл. ISBN  978-0-19-850888-5.
18. Томас Б. А. Старший и Джон Леонидас Волакис (1995-03-01). Приближенные граничные условия в электромагнетизме.. Лондон Великобритания: Институт инженеров-электриков. п. 261 сл. ISBN  978-0-85296-849-9.
19. Т. Хагстром (Бьорн Энгквист и Грегори А. Кригсманн, ред.) (1997). Вычислительное распространение волн. Берлин: Springer. п. 1 сл. ISBN  978-0-387-94874-4.
20. Хеннинг Ф. Хармут и Малек Г. М. Хуссейн (1994). Распространение электромагнитных сигналов. Сингапур: World Scientific. п. 17. ISBN  978-981-02-1689-4.
21. Дэвид М. Кук (2002). Теория электромагнитного поля. Mineola NY: Courier Dover Publications. п. 335 сл. ISBN  978-0-486-42567-2.
22. Жан-Мишель Луртиоз (23 мая 2005 г.). Фотонные кристаллы: к наноразмерным фотонным устройствам. Берлин: Springer. п. 84. ISBN  978-3-540-24431-8.
23. С. Джонсон, Примечания к идеально подобранным слоям, примечания к онлайн-курсу MIT (август 2007 г.).
24. С. Ф. Махмуд (1991). Электромагнитные волноводы: теория и приложения. Лондон Великобритания: Институт инженеров-электриков. Глава 2. ISBN  978-0-86341-232-5.
25. Джон Леонидас Волакис, Ариндам Чаттерджи и Лео К. Кемпел (1998). Метод конечных элементов в электромагнетизме: антенны, микроволновые схемы и приложения для рассеяния. Нью-Йорк: Wiley IEEE. п. 79 сл. ISBN  978-0-7803-3425-0.
26. Бернард Фридман (1990). Принципы и методы прикладной математики. Минеола Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-66444-6.
27. Тафлов А. и Хагнесс С. С. (2005). Вычислительная электродинамика: метод конечных разностей во временной области. Бостон Массачусетс: Артек Хаус. Главы 6 и 7. ISBN  978-1-58053-832-9.
28. H Freistühler и G Warnecke (2001). Гиперболические задачи: теория, числа, приложения. п. 605. ISBN  9783764367107.
29. Дж. Розен (1980). «Избыточность и избыточность электромагнитных полей и потенциалов». Американский журнал физики. 48 (12): 1071. Bibcode:1980AmJPh..48.1071R. Дои:10.1119/1.12289.
30. Дж. А. Страттон (1941). Электромагнитная теория. Книжная компания Макгроу-Хилл. С. 1–6. ISBN  9780470131534.
31. Б. Цзян, Дж. Ву и Л. А. Повинелли (1996). «Происхождение ложных решений в вычислительной электромагнетизме». Журнал вычислительной физики. 125 (1): 104. Bibcode:1996JCoPh.125..104J. Дои:10.1006 / jcph.1996.0082. HDL:2060/19950021305.
32. Вайнберг, Стивен (1972). Гравитация и космология. Джон Вили. стр.161–162. ISBN  978-0-471-92567-5.
33. Курант, Р. & Гильберт, Д. (1962), Методы математической физики: уравнения в частных производных, II, Нью-Йорк: Wiley-Interscience, стр. 15–18, ISBN  9783527617241

Дополнительную информацию можно найти в список учебников по электромагнетизму

Исторические публикации

• На линиях силы Фарадея - 1855/56 Первая статья Максвелла (части 1 и 2) - составлено Blaze Labs Research (PDF)
• На физических линиях силы - 1861 Статья Максвелла 1861 года с описанием магнитных линий Силы - предшественница Трактата 1873 года
• Джеймс Клерк Максвелл, "Динамическая теория электромагнитного поля. ", Философские труды Лондонского королевского общества 155С. 459–512 (1865). (Эта статья сопровождала презентацию Максвелла Королевскому обществу 8 декабря 1864 г.)
  • Динамическая теория электромагнитного поля - 1865 Статья Максвелла 1865 года с описанием его 20 уравнений, ссылка на Google Книги.
• Дж. Клерк Максвелл (1873) Трактат об электричестве и магнетизме
  • Максвелл, Дж. К., Трактат об электричестве и магнетизме - Том 1 - 1873 г. - Мемориальная коллекция Познера - Университет Карнеги-Меллона
  • Максвелл, Дж. К., Трактат об электричестве и магнетизме - Том 2 - 1873 г. - Мемориальная коллекция Познера - Университет Карнеги-Меллона

Развитие до теории относительности:

• Джозеф Лармор (1897) «К динамической теории электрической и светоносной среды», Фил. Пер. Рой. Soc. 190, 205–300 (третья и последняя в одноименной серии статей).
• Хендрик Лоренц (1899) «Упрощенная теория электрических и оптических явлений в движущихся системах», Proc. Акад. Наука Амстердам, я, 427–43.
• Хендрик Лоренц (1904) «Электромагнитные явления в системе, движущейся с любой скоростью, меньшей скорости света», Proc. Акад. Наука Амстердам, IV, 669–78.
• Анри Пуанкаре (1900) "Теория Лоренца и принца де Реакшн", Архивы Néerlandaises, V, 253–78.
• Анри Пуанкаре (1902) La Science et l'Hypothèse
• Анри Пуанкаре (1905) "Sur la Dynamique de l'électron", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 140, 1504–8.
• Кэтт, Уолтон и Дэвидсон. «История вытесняющего течения». Беспроводной мир, Март 1979 г.

дальнейшее чтение

• Имаеда, К. (1995), «Бикватернионная формулировка уравнений Максвелла и их решений», в Ablamowicz, Rafał; Лунесто, Пертти (ред.), Алгебры Клиффорда и спинорные структуры, Springer, стр. 265–280, Дои:10.1007/978-94-015-8422-7_16, ISBN  978-90-481-4525-6

внешняя ссылка

• «Уравнения Максвелла», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• maxwells-equations.com - Интуитивно понятный учебник по уравнениям Максвелла.
• Математические аспекты уравнения Максвелла обсуждаются на Wiki по дисперсионным PDE.

Современные методы лечения

• Электромагнетизм (глава 11), Б. Кроуэлл, Фуллертонский колледж
• Цикл лекций: Относительность и электромагнетизм, Р. Фитцпатрик, Техасский университет в Остине
• Электромагнитные волны из уравнений Максвелла на Проект PHYSNET.
• Серия видеолекций Массачусетского технологического института (36 лекций по 50 минут) (в формате .mp4) - Электричество и магнетизм Преподает профессор Уолтер Левин.

Другой

• Силагадзе, З. К. (2002). «Вывод Фейнмана уравнений Максвелла и дополнительных измерений». Анналы фонда Луи де Бройля. 27: 241–256. arXiv:hep-ph / 0106235. Bibcode:2001hep.ph .... 6235S.
• Вехи природы: фотоны – Milestone 2 (1861) уравнения Максвелла