Векторная площадь - Vector area

В трехмерной геометрии для конечной плоской поверхности скалярной площади $S$ и единица нормальная $n$ , векторная площадь $S$ определяется как единица нормали, масштабируемая по площади:

{ Displaystyle mathbf {S} = mathbf { шляпа {п}} S}

Для ориентируемый поверхность $S$ состоит из набора $S я$ квартиры грань площади, векторная площадь поверхности определяется выражением

{ displaystyle mathbf {S} = sum _ {i} mathbf { hat {n}} _ {i} S_ {i}}

куда $n я$ - единичный вектор нормали к площади $S я$ .

Для ограниченных ориентированных криволинейных поверхностей, которые достаточно хорошо воспитанный, мы все еще можем определить векторную область. Сначала мы разбиваем поверхность на бесконечно малые элементы, каждый из которых фактически плоский. Для каждого бесконечно малого элемента площади у нас есть вектор площади, также бесконечно малый.

{ displaystyle d mathbf {S} = mathbf { hat {n}} dS}

куда $n$ - локальный единичный вектор, перпендикулярный $dS$ . Интегрирование дает векторную площадь поверхности.

{ Displaystyle mathbf {S} = int d mathbf {S}}

Для криволинейной или фасетной поверхности векторная площадь меньше по величине, чем площадь. В качестве крайнего примера, замкнутая поверхность может иметь произвольно большую площадь, но ее векторная площадь обязательно равна нулю.^[1] Поверхности, имеющие общую границу, могут иметь очень разные области, но они должны иметь одну и ту же векторную область - векторная область полностью определяется границей. Это последствия Теорема Стокса.

Концепция вектора площади упрощает уравнение для определения поток через поверхность. Рассмотрим плоскую поверхность в однородной поле. Поток можно записать как скалярное произведение вектора поля и площади. Это намного проще, чем умножение напряженности поля на площадь поверхности и косинус угла между полем и нормалью к поверхности.

Проекция местности на плоскости

Проектируемая площадь (например) на $ху$ -плоскость эквивалентна $z$ -компонента векторной площади, и задается как

{ Displaystyle mathbf {S} _ {z} = left | mathbf {S} right | cos theta}

куда $θ$ - угол между нормалью к плоскости и $z$ -ось.

Смотрите также

Примечания

^ Шпигель, Мюррей Р. (1959). Теория и проблемы векторного анализа. Обзорная серия Шаума. Макгроу Хилл. п. 25.

[1] Шпигель, Мюррей Р. (1959). Теория и проблемы векторного анализа. Обзорная серия Шаума. Макгроу Хилл. п. 25.

[1]