Критерий нормируемости Колмогорова - Kolmogorovs normability criterion

В математика, Критерий нормируемости Колмогорова это теорема что обеспечивает необходимое и достаточное условие для топологическое векторное пространство быть нормируемым, т.е.для существования норма на пространстве, порождающем данную топология.[1][2] Критерий нормируемости можно рассматривать как результат в том же духе, что и критерий нормируемости. Теорема Нагаты – Смирнова о метризации, что дает необходимое и достаточное условие топологическое пространство быть метризуемый. Результат доказал российский математик. Андрей Николаевич Колмогоров в 1934 г.[3][4][5]

Формулировка теоремы

Может быть полезно сначала вспомнить следующие термины:

  • А топологическое векторное пространство это векторное пространство оборудован топологией такие, что операции скалярного умножения и сложения векторов в векторном пространстве являются непрерывными.
  • Топологическое векторное пространство называется нормируемый если есть норма на такие, что открытые шары нормы генерировать заданную топологию . (Обратите внимание, что данное нормируемое топологическое векторное пространство может допускать несколько таких норм.)
  • А топологическое пространство называется Т1 Космос если для каждых двух различных точек , есть открытый район из что не содержит . В топологическом векторном пространстве это эквивалентно требованию, чтобы для каждого , существует открытая окрестность начала координат, не содержащая . Обратите внимание, что будучи T1 слабее, чем быть Пространство Хаусдорфа, в котором каждые две различные точки допускать открытые кварталы из и из с ; так как нормированные и нормируемые пространства всегда хаусдорфовы, удивительно, что теорема требует только T1.
  • Подмножество векторного пространства это выпуклый набор если для любых двух точек , соединяющий их отрезок целиком лежит внутри , т.е. для всех , .
  • Подмножество топологического векторного пространства это ограниченное множество если для каждого открытого района начала координат существует скаляр так что . (Можно подумать о как «маленький» и как «достаточно большой», чтобы надуть покрывать .)

Выраженный в этих терминах критерий нормируемости Колмогорова выглядит следующим образом:

Теорема. Топологическое векторное пространство нормируем тогда и только тогда, когда это T1 пространство и допускает ограниченную выпуклую окрестность начала координат.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Papageorgiou, Nikolaos S .; Винкерт, Патрик (2018). Прикладной нелинейный функциональный анализ: введение. Вальтер де Грюйтер. Теорема 3.1.41 (критерий нормируемости Колмогорова). ISBN  9783110531831.
  2. ^ Эдвардс, Р. Э. (2012). «Раздел 1.10.7: Критерий нормируемости Колмагорова». Функциональный анализ: теория и приложения. Дуврские книги по математике. Курьерская корпорация. С. 85–86. ISBN  9780486145105.
  3. ^ Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов. Тексты для выпускников по математике, № 15. Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN  0387900802.
  4. ^ Колмогоров, А. Н. (1934). "Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Räumes". Studia Math. 5.
  5. ^ Тихомиров, Владимир М. (2007). «Геометрия и теория приближений в творчестве А. Н. Колмогорова». В Шарпантье, Эрик; Лесне, Анник; Никольски, Николай К. (ред.). Колмогоровское наследие в математике. Берлин: Springer. стр.151 –176. Дои:10.1007/978-3-540-36351-4_8. (См. Раздел 8.1.3)