Критерий нормируемости Колмогорова - Kolmogorovs normability criterion

В математика, Критерий нормируемости Колмогорова это теорема что обеспечивает необходимое и достаточное условие для топологическое векторное пространство быть нормируемым, т.е.для существования норма на пространстве, порождающем данную топология.^[1][2] Критерий нормируемости можно рассматривать как результат в том же духе, что и критерий нормируемости. Теорема Нагаты – Смирнова о метризации, что дает необходимое и достаточное условие топологическое пространство быть метризуемый. Результат доказал российский математик. Андрей Николаевич Колмогоров в 1934 г.^[3][4][5]

Формулировка теоремы

Может быть полезно сначала вспомнить следующие термины:

• А топологическое векторное пространство это векторное пространство ${\displaystyle X}$ оборудован топологией ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ такие, что операции скалярного умножения и сложения векторов в векторном пространстве являются непрерывными.
• Топологическое векторное пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ называется нормируемый если есть норма ${\displaystyle \|\cdot \|\colon X\to \mathbb {R} }$ на ${\displaystyle X}$ такие, что открытые шары нормы ${\displaystyle \|\cdot \|}$ генерировать заданную топологию ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. (Обратите внимание, что данное нормируемое топологическое векторное пространство может допускать несколько таких норм.)
• А топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ называется Т₁ Космос если для каждых двух различных точек ${\displaystyle x,y\in X}$, есть открытый район ${\displaystyle U_{x}}$ из ${\displaystyle x}$ что не содержит ${\displaystyle y}$. В топологическом векторном пространстве это эквивалентно требованию, чтобы для каждого ${\displaystyle x\neq 0}$, существует открытая окрестность начала координат, не содержащая ${\displaystyle x}$. Обратите внимание, что будучи T₁ слабее, чем быть Пространство Хаусдорфа, в котором каждые две различные точки ${\displaystyle x,y\in X}$ допускать открытые кварталы ${\displaystyle U_{x}}$ из ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle U_{y}}$ из ${\displaystyle y}$ с ${\displaystyle U_{x}\cap U_{y}=\varnothing }$; так как нормированные и нормируемые пространства всегда хаусдорфовы, удивительно, что теорема требует только T₁.
• Подмножество ${\displaystyle A}$ векторного пространства ${\displaystyle X}$ это выпуклый набор если для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in A}$, соединяющий их отрезок целиком лежит внутри ${\displaystyle A}$, т.е. для всех ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$, ${\displaystyle (1-t)x+ty\in A}$.
• Подмножество ${\displaystyle A}$ топологического векторного пространства ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ это ограниченное множество если для каждого открытого района ${\displaystyle U}$ начала координат существует скаляр ${\displaystyle \lambda }$ так что ${\displaystyle A\subseteq \lambda U}$. (Можно подумать о ${\displaystyle U}$ как «маленький» и ${\displaystyle \lambda }$ как «достаточно большой», чтобы надуть ${\displaystyle U}$ покрывать ${\displaystyle A}$.)

Выраженный в этих терминах критерий нормируемости Колмогорова выглядит следующим образом:

Теорема. Топологическое векторное пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ нормируем тогда и только тогда, когда это T₁ пространство и допускает ограниченную выпуклую окрестность начала координат.

Смотрите также

• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - Векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами
• Нормированное пространство
• Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости

Рекомендации

1. Papageorgiou, Nikolaos S .; Винкерт, Патрик (2018). Прикладной нелинейный функциональный анализ: введение. Вальтер де Грюйтер. Теорема 3.1.41 (критерий нормируемости Колмогорова). ISBN  9783110531831.
2. Эдвардс, Р. Э. (2012). «Раздел 1.10.7: Критерий нормируемости Колмагорова». Функциональный анализ: теория и приложения. Дуврские книги по математике. Курьерская корпорация. С. 85–86. ISBN  9780486145105.
3. Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов. Тексты для выпускников по математике, № 15. Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN  0387900802.
4. Колмогоров, А. Н. (1934). "Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Räumes". Studia Math. 5.
5. Тихомиров, Владимир М. (2007). «Геометрия и теория приближений в творчестве А. Н. Колмогорова». В Шарпантье, Эрик; Лесне, Анник; Никольски, Николай К. (ред.). Колмогоровское наследие в математике. Берлин: Springer. стр.151 –176. Дои:10.1007/978-3-540-36351-4_8. (См. Раздел 8.1.3)