Квантовая запутанность - Quantum entanglement

Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты процесс может расщеплять фотоны на пары фотонов типа II с взаимно перпендикулярной поляризацией.

Квантовая запутанность физическое явление, которое происходит, когда пара или группа частицы генерируются, взаимодействуют или разделяют пространственную близость таким образом, что квантовое состояние каждой частицы пары или группы невозможно описать независимо от состояния других, в том числе когда частицы разделены большим расстоянием. Тема квантовой запутанности лежит в основе несоответствие между классической и квантовой физикой: запутанность - это основная черта квантовой механики, которой не хватает классической механике.

Измерения из физические свойства Такие как позиция, импульс, вращение, и поляризация выполняется на запутанных частицах, в некоторых случаях может оказаться идеально коррелированный. Например, если пара запутанных частиц генерируется так, что известно, что их общий спин равен нулю, и обнаруживается, что одна частица имеет вращение по часовой стрелке на первой оси, то вращение другой частицы, измеренное на той же оси, оказывается против часовой стрелки. Однако такое поведение порождает, казалось бы, парадоксальный эффекты: любое измерение свойств частицы приводит к необратимому коллапс волновой функции этой частицы и изменяет исходное квантовое состояние. В случае запутанных частиц такие измерения влияют на запутанную систему в целом.

Такие явления были предметом статьи 1935 г. Альберт Эйнштейн, Борис Подольский, и Натан Розен,^[1] и несколько статей Эрвин Шредингер вскоре после этого,^[2][3] описывая то, что стало известно как Парадокс ЭПР. Эйнштейн и другие считали такое поведение невозможным, поскольку оно нарушало местный реализм взгляд на причинность (Эйнштейн называл это "призрачным действие на расстоянии ")^[4] и утверждал, что принятая формулировка квантовая механика поэтому должно быть неполным.

Позже, однако, противоречащие интуиции предсказания квантовой механики были проверены.^[5][6][7] в тестах, где поляризация или спин запутанных частиц измерялись в разных местах, статистически нарушая Неравенство Белла. В более ранних тестах нельзя было исключить, что результат в какой-то момент мог быть тонко переданный в удаленную точку, влияя на результат во втором месте.^[7] Тем не менее, были проведены так называемые тесты Bell без лазеек, когда места были достаточно разделены, так что связь со скоростью света заняла бы больше времени - в одном случае в 10 000 раз больше - чем интервал между измерениями.^[6][5]

В соответствии с немного интерпретации квантовой механики, эффект одного измерения наступает мгновенно. Другие интерпретации, которые не признают коллапс волновой функции Спорю, что вообще есть какой-то "эффект". Однако все интерпретации сходятся в том, что запутанность производит корреляция между измерениями и тем, что взаимная информация между запутанными частицами может быть использовано, но что любой коробка передач информации на сверхсветовых скоростях невозможно.^[8][9]

Квантовая запутанность была экспериментально продемонстрирована с помощью фотоны,^[10][11] нейтрино,^[12] электроны,^[13][14] молекулы такой же большой, как Bukyballs,^[15][16] и даже мелкие бриллианты.^[17][18] Использование запутанности в коммуникация, вычисление и квантовый радар это очень активная область исследований и разработок.

История

Дальнейшая информация: Теория скрытых переменных

Заголовок статьи о Парадокс Эйнштейна – Подольского – Розена (Парадокс ЭПР) в номере журнала от 4 мая 1935 г. Нью-Йорк Таймс.

Противоинтуитивные предсказания квантовой механики о сильно коррелированных системах впервые были обсуждены Альберт Эйнштейн в 1935 г. в совместной работе с Борис Подольский и Натан Розен.^[1]В этом исследовании эти трое сформулировали Парадокс Эйнштейна – Подольского – Розена (Парадокс ЭПР), а мысленный эксперимент который пытался показать, что " квантово-механический описание физической реальности, задаваемой волновыми функциями, не является полным ».^[1]Однако трое ученых не придумали слово запутанностьони не обобщали и особые свойства рассматриваемого состояния. Следуя документу EPR, Эрвин Шредингер написал письмо Эйнштейну в Немецкий в котором он использовал слово Verschränkung (сам переводится как запутанность) «для описания корреляции между двумя частицами, которые взаимодействуют, а затем разделяются, как в эксперименте ЭПР».^[19]

Вскоре после этого Шредингер опубликовал основополагающую статью, в которой определялось и обсуждалось понятие «запутанность». В документе он признал важность концепции и заявил:^[2] "Я бы не назвал [запутанность] один скорее в характерная черта квантовой механики - та, которая заставляет ее полностью отходить от классический линии мысли ». Как и Эйнштейн, Шредингер был недоволен концепцией запутанности, потому что она, казалось, нарушала ограничение скорости передачи информации, заложенное в теория относительности.^[20] Позднее Эйнштейн высмеивал запутанность как "spukhafte Fernwirkung"^[21] или "жуткий действие на расстоянии."

Работа EPR вызвала значительный интерес среди физиков, что вызвало много дискуссий об основах квантовой механики (возможно, наиболее известной из них). Интерпретация Бома квантовой механики), но опубликовал относительно немного других работ. Несмотря на интерес, слабое место в аргументе ЭПР не было обнаружено до 1964 г., когда Джон Стюарт Белл доказали, что одно из их ключевых предположений, принцип локальности применительно к той интерпретации скрытых переменных, на которую надеялся ЭПР, математически несовместимо с предсказаниями квантовой теории.

В частности, Белл продемонстрировал верхний предел, показанный на Неравенство Белла относительно силы корреляций, которые могут быть получены в любой теории, подчиняющейся местный реализм, и показал, что квантовая теория предсказывает нарушение этого предела для некоторых запутанных систем.^[22] Его неравенство можно проверить экспериментально, и было множество соответствующие эксперименты, начиная с новаторской работы Стюарт Фридман и Джон Клаузер в 1972 г.^[23] и Ален Аспект Эксперименты в 1982 году.^[24] Ранний экспериментальный прорыв произошел благодаря Карлу Кохеру,^[10][11] который уже в 1967 году представил прибор, в котором два фотона, последовательно испускаемые атомом кальция, оказались запутанными - первый случай запутанного видимого света. Два фотона прошли через диаметрально расположенные параллельные поляризаторы с большей вероятностью, чем предсказывалось классическим методом, но с корреляциями, количественно согласующимися с квантово-механическими расчетами. Он также показал, что корреляция изменяется только в зависимости от угла (как квадрата косинуса) между настройками поляризатора.^[11] и экспоненциально уменьшается с задержкой между испускаемыми фотонами.^[25] Аппарат Кохера, оснащенный лучшими поляризаторами, использовался Фридманом и Клаузером, которые смогли подтвердить зависимость косинуса-квадрата и использовать ее для демонстрации нарушения неравенства Белла для набора фиксированных углов.^[23] Все эти эксперименты показали согласие с квантовой механикой, а не принципом локального реализма.

На протяжении десятилетий каждый оставил открытым хотя бы один лазейка в результате чего можно было поставить под сомнение достоверность результатов. Однако в 2015 году был проведен эксперимент, который одновременно закрыл лазейки как для обнаружения, так и для определения местоположения, и был провозглашен «без лазеек»; этот эксперимент с уверенностью исключил большой класс теорий локального реализма.^[26] Ален Аспект отмечает, что «лазейка в независимости от установок» - которую он называет «надуманной», но «остаточной лазейкой», которую «нельзя игнорировать» - еще не закрыта, а свобода воли / супердетерминизм лазейка не закрывается; высказывание «ни один эксперимент, каким бы идеальным он ни был, можно считать полностью лишенным лазеек».^[27]

Меньшинство придерживается мнения, что, хотя квантовая механика верна, нет сверхсветовой мгновенное действие на расстоянии между запутанными частицами после разделения частиц.^{[28][29][30][31][32]}

Работа Белла открыла возможность использования этих сверхсильных корреляций в качестве ресурса для общения. Это привело к открытию в 1984 г. квантовое распределение ключей протоколы, самые известные BB84 к Чарльз Х. Беннетт и Жиль Брассар^[33] и E91 к Артур Экерт.^[34] Хотя BB84 не использует запутанность, протокол Экерта использует нарушение неравенства Белла как доказательство безопасности.

Концепция

Значение запутанности

Запутанная система определяется как система, чья квантовое состояние не может рассматриваться как продукт состояний его местных составляющих; то есть они не отдельные частицы, а нераздельное целое. В запутанности один компонент не может быть полностью описан без рассмотрения другого (других). Состояние составной системы всегда выражается в виде суммы или суперпозиция, произведений штатов местных составляющих; он запутан, если эта сумма обязательно имеет более одного члена.

Квантовая системы могут запутаться в результате различных взаимодействий. Чтобы узнать о некоторых способах достижения запутывания в экспериментальных целях, см. Раздел ниже. методы. Запутанность нарушается, когда запутанные частицы декогерировать через взаимодействие с окружающей средой; например, при проведении измерения.^[35]

В качестве примера запутанности: субатомная частица распадается в запутанную пару других частиц. События распада подчиняются различным законы сохранения, и, как результат, результаты измерений одной дочерней частицы должны сильно коррелировать с результатами измерений другой дочерней частицы (так, чтобы общие импульсы, угловые моменты, энергия и т. д. оставались примерно одинаковыми до и после этого процесса ). Например, вращение -нулевая частица может распасться на пару частиц со спином 1/2. Поскольку полный спин до и после этого распада должен быть равен нулю (сохранение углового момента), всякий раз, когда первая частица измеряется как раскрутить на одной оси, другая при измерении на той же оси всегда оказывается замедлить. (Это называется спиновым антикоррелированным случаем; и если априорные вероятности измерения каждого спина равны, пара считается находящейся в синглетное состояние.)

Особое свойство запутывания можно будет лучше наблюдать, если разделить указанные две частицы. Давайте поместим один из них в Белый дом в Вашингтоне, а другой в Букингемский дворец (воспринимайте это как мысленный эксперимент, а не как настоящий). Теперь, если мы измеряем конкретную характеристику одной из этих частиц (скажем, например, спин), получаем результат, а затем измеряем другую частицу, используя тот же критерий (вращение вдоль той же оси), мы обнаруживаем, что результат измерение второй частицы будет соответствовать (в дополнительном смысле) результату измерения первой частицы в том смысле, что они будут противоположными по своим значениям.

Приведенный выше результат может или не может быть воспринят как неожиданный. Классическая система будет демонстрировать то же свойство, а теория скрытых переменных (см. ниже), безусловно, потребуется сделать это, основываясь на сохранении углового момента как в классической, так и в квантовой механике. Разница в том, что классическая система всегда имеет определенные значения для всех наблюдаемых, а квантовая - нет. В том смысле, который будет обсуждаться ниже, рассматриваемая здесь квантовая система, по-видимому, приобретает распределение вероятностей для результата измерения спина вдоль любой оси другой частицы при измерении первой частицы. Это распределение вероятностей в целом отличается от того, что было бы без измерения первой частицы. Это, конечно, может показаться неожиданным в случае пространственно разделенных запутанных частиц.

Парадокс

Парадокс заключается в том, что измерение, произведенное на любой из частиц, по-видимому, разрушает состояние всей запутанной системы - и делает это мгновенно, прежде чем любая информация о результате измерения могла быть передана другой частице (при условии, что информация не может перемещаться. быстрее света ) и, следовательно, обеспечил «правильный» результат измерения другой части запутанной пары. в Копенгагенская интерпретация, результатом измерения спина одной из частиц является коллапс в состояние, в котором каждая частица имеет определенный спин (вверх или вниз) вдоль оси измерения. Результат считается случайным с вероятностью 50% для каждой возможности. Однако, если оба спина измеряются по одной оси, оказывается, что они антикоррелированы. Это означает, что случайный результат измерения одной частицы, по-видимому, передается другой частице, так что она может сделать «правильный выбор», когда она тоже будет измерена.^[36]

Расстояние и время измерений можно выбрать таким образом, чтобы интервал между двумя измерениями космический следовательно, любой причинный эффект, связывающий события, должен распространяться быстрее света. Согласно принципам специальная теория относительности, никакая информация не может перемещаться между двумя такими измерениями. Невозможно даже сказать, какое из измерений было первым. Для двух пространственно разделенных событий Икс₁ и Икс₂ Существуют инерциальные системы отсчета в котором Икс₁ первый и другие, в которых Икс₂ первый. Следовательно, корреляция между двумя измерениями не может быть объяснена как одно измерение, определяющее другое: разные наблюдатели не пришли бы к единому мнению о роли причины и следствия.

(На самом деле аналогичные парадоксы могут возникнуть даже без запутывания: положение отдельной частицы распределено по пространству, и два широко разделенных детектора, пытающиеся обнаружить частицу в двух разных местах, должны мгновенно достичь соответствующей корреляции, так что они оба не обнаруживают частица.)

Теория скрытых переменных

Возможное разрешение парадокса состоит в том, чтобы предположить, что квантовая теория неполна, а результат измерений зависит от заранее определенных «скрытых переменных».^[37] Состояние измеряемых частиц содержит некоторые скрытые переменные, значения которых эффективно определяют, прямо с момента разделения, какими будут результаты спиновых измерений. Это означало бы, что каждая частица несет с собой всю необходимую информацию, и во время измерения ничего не нужно передавать от одной частицы к другой. Эйнштейн и другие (см. Предыдущий раздел) изначально считали, что это единственный выход из парадокса, и принятое квантово-механическое описание (со случайным результатом измерения) должно быть неполным.

Нарушения неравенства Белла

Однако теории локальных скрытых переменных терпят неудачу, если рассматривать измерения спина запутанных частиц вдоль различных осей. Если проводится большое количество пар таких измерений (на большом количестве пар запутанных частиц), то статистически, если местный реалист или просмотр скрытых переменных был правильным, результаты всегда удовлетворяли Неравенство Белла. А количество экспериментов показали на практике, что неравенство Белла не выполняется. Однако до 2015 года у всех этих проблем были лазейки, которые сообщество физиков считало наиболее важными.^[38][39] Когда измерения запутанных частиц производятся в движущихся релятивистский системы отсчета, в которых каждое измерение (в его собственном релятивистском временном интервале) происходит раньше другого, результаты измерений остаются коррелированными.^[40][41]

Фундаментальная проблема при измерении вращения по разным осям заключается в том, что эти измерения не могут иметь определенные значения одновременно - они несовместимый в том смысле, что максимальная одновременная точность этих измерений ограничена принцип неопределенности. Это противоречит тому, что находится в классической физике, где любое количество свойств может быть измерено одновременно с произвольной точностью. Математически доказано, что совместимые измерения не могут показать корреляции, нарушающие неравенство Белла,^[42] и, таким образом, запутанность - принципиально неклассическое явление.

Другие виды экспериментов

В экспериментах 2012 и 2013 годов была создана поляризационная корреляция между фотонами, которые никогда не сосуществовали во времени.^[43][44] Авторы утверждали, что этого результата добились замена запутанности между двумя парами запутанных фотонов после измерения поляризации одного фотона ранней пары, и это доказывает, что квантовая нелокальность применима не только к пространству, но и ко времени.

В трех независимых экспериментах 2013 г. было показано, что классически переданный разделимые квантовые состояния может использоваться для переноса запутанных состояний.^[45] Первый тест Белла без лазеек был проведен в Техасском университете Делфта в 2015 году, подтвердив нарушение неравенства Белла.^[46]

В августе 2014 года бразильский исследователь Габриэла Баррето Лемос и команда смогли «сфотографировать» объекты с помощью фотонов, которые не взаимодействовали с субъектами, но были запутаны с фотонами, которые действительно взаимодействовали с такими объектами. Лемос из Венского университета уверен, что этот новый метод квантовой визуализации может найти применение там, где визуализация при слабом освещении необходима, в таких областях, как биологическая или медицинская визуализация.^[47]

В 2015 году группа Маркуса Грейнера в Гарварде выполнила прямое измерение запутанности Реньи в системе ультрахолодных бозонных атомов.

С 2016 года различные компании, такие как IBM, Microsoft и др., Успешно создали квантовые компьютеры и позволили разработчикам и техническим энтузиастам открыто экспериментировать с концепциями квантовой механики, включая квантовую запутанность.^[48]

Тайна времени

Были предложения рассматривать понятие времени как возникающее явление это побочный эффект квантовой запутанности.^[49][50]Другими словами, время - это явление запутанности, которое помещает все равные показания часов (правильно подготовленных часов или любых объектов, используемых в качестве часов) в одну и ту же историю. Впервые это было полностью теоретизировано Дон Пейдж и Уильям Вуттерс в 1983 г.^[51]В Уравнение Уиллера – ДеВитта который сочетает в себе общую теорию относительности и квантовую механику - за счет полного исключения времени - был введен в 1960-х годах и снова был использован в 1983 году, когда Пейдж и Вуттерс нашли решение, основанное на квантовой запутанности. Пейдж и Вуттерс утверждали, что запутанность можно использовать для измерения времени.^[52]

В 2013 году в Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica (INRIM) в Турине, Италия, исследователи провели первую экспериментальную проверку идей Пейджа и Вуттерса. Их результат был интерпретирован^{[кем? ]} чтобы подтвердить, что время является новым явлением для внутренних наблюдателей, но отсутствует для внешних наблюдателей Вселенной, как и предсказывает уравнение Уиллера-ДеВитта.^[52]

Источник стрелы времени

Физик Сет Ллойд Говорит, что квантовая неопределенность вызывает запутанность, предполагаемый источник стрела времени. По словам Ллойда; «Стрела времени - это стрела возрастающих корреляций».^[53] Подход к запутанности был бы с точки зрения причинной стрелки времени, с предположением, что причина измерения одной частицы определяет эффект результата измерения другой частицы.

Возникающая гравитация

На основе AdS / CFT корреспонденция, Марк Ван Рамсдонк Предполагается, что пространство-время возникает как возникающее явление квантовых степеней свободы, которые запутаны и живут на границе пространства-времени.^[54] Индуцированная гравитация может возникнуть из первого закона запутанности.^[55][56]

Нелокальность и запутанность

В СМИ и научно-популярной сфере квантовая нелокальность часто изображается как эквивалент запутанности. Хотя это верно для чистых двудольных квантовых состояний, в общем случае запутанность необходима только для нелокальных корреляций, но существуют смешанные запутанные состояния, которые не производят таких корреляций.^[57] Хорошо известный пример - Вернер заявляет которые запутаны для определенных значений ${\displaystyle p_{sym}}$, но всегда можно описать с помощью локальных скрытых переменных.^[58] Более того, было показано, что для произвольного числа сторон существуют состояния, которые действительно запутаны, но допускают локальную модель.^[59]Упомянутые доказательства существования локальных моделей предполагают, что единовременно доступна только одна копия квантового состояния. Если сторонам разрешено выполнять локальные измерения на многих копиях таких состояний, то многие явно локальные состояния (например, состояния кубита Вернера) больше не могут быть описаны локальной моделью. Это, в частности, верно для всех дистиллируемый состояния. Однако остается открытым вопрос, все ли запутанные состояния становятся нелокальными при достаточно большом количестве копий.^[60]

Короче говоря, сцепление состояния, разделяемого двумя сторонами, необходимо, но недостаточно для того, чтобы это состояние было нелокальным. Важно понимать, что запутанность чаще рассматривается как алгебраическая концепция, известная тем, что является предпосылкой нелокальности, а также квантовая телепортация и чтобы сверхплотное кодирование, в то время как нелокальность определяется в соответствии с экспериментальной статистикой и гораздо больше связана с основы и интерпретации квантовой механики.^[61]

Квантовая механика

Следующие подразделы предназначены для тех, кто хорошо знаком с формальным математическим описанием квантовая механика, в том числе знакомство с формализмом и теоретической базой, разработанной в статьях: обозначение бюстгальтера и математическая формулировка квантовой механики.

Чистые состояния

Рассмотрим две произвольные квантовые системы А и B, с соответствующими Гильбертовы пространства ЧАС_А и ЧАС_B. Гильбертово пространство составной системы - это тензорное произведение

${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$

Если первая система в состоянии ${\displaystyle \scriptstyle |\psi \rangle _{A}}$ а второй в состоянии ${\displaystyle \scriptstyle |\phi \rangle _{B}}$, состояние составной системы

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}.}$

Состояния составной системы, которые можно представить в таком виде, называются разделимые состояния, или же состояния продукта.

Не все состояния являются отделимыми состояниями (и, следовательно, состояниями продукта). Исправить основа ${\displaystyle \scriptstyle \{|i\rangle _{A}\}}$ за ЧАС_А и основа ${\displaystyle \scriptstyle \{|j\rangle _{B}\}}$ за ЧАС_B. Самое общее состояние в ЧАС_А ⊗ ЧАС_B имеет форму

${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=\sum _{i,j}c_{ij}|i\rangle _{A}\otimes |j\rangle _{B}}$.

Это состояние сепарабельно, если существуют векторы ${\displaystyle \scriptstyle [c_{i}^{A}],[c_{j}^{B}]}$ так что ${\displaystyle \scriptstyle c_{ij}=c_{i}^{A}c_{j}^{B},}$ уступающий ${\displaystyle \scriptstyle |\psi \rangle _{A}=\sum _{i}c_{i}^{A}|i\rangle _{A}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle |\phi \rangle _{B}=\sum _{j}c_{j}^{B}|j\rangle _{B}.}$ Неразлучно, если для любых векторов ${\displaystyle \scriptstyle [c_{i}^{A}],[c_{j}^{B}]}$ хотя бы для одной пары координат ${\displaystyle \scriptstyle c_{i}^{A},c_{j}^{B}}$ у нас есть ${\displaystyle \scriptstyle c_{ij}\neq c_{i}^{A}c_{j}^{B}.}$ Если состояние неразделимо, оно называется «запутанным состоянием».

Например, для двух базисных векторов ${\displaystyle \scriptstyle \{|0\rangle _{A},|1\rangle _{A}\}}$ из ЧАС_А и два базисных вектора ${\displaystyle \scriptstyle \{|0\rangle _{B},|1\rangle _{B}\}}$ из ЧАС_B, следующее - запутанное состояние:

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right).}$

Если составная система находится в этом состоянии, невозможно отнести ни к одной из систем. А или система B определенная чистое состояние. Другой способ сказать это: пока энтропия фон Неймана всего состояния равна нулю (как и для любого чистого состояния), энтропия подсистем больше нуля. В этом смысле системы «запутаны». Это имеет определенные эмпирические последствия для интерферометрии.^[62] Приведенный выше пример - один из четырех Белл заявляет, которые являются (максимально) запутанными чистыми состояниями (чистыми состояниями ЧАС_А ⊗ ЧАС_B пространство, но которые нельзя разделить на чистые состояния каждого ЧАС_А и ЧАС_B).

Теперь предположим, что Алиса является наблюдателем системы А, а Боб - наблюдатель системы B. Если в описанном выше запутанном состоянии Алиса выполняет измерение в ${\displaystyle \scriptstyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$ собственная основа А, есть два возможных исхода, которые происходят с равной вероятностью:^[63]

1. Алиса измеряет 0, и состояние системы падает до ${\displaystyle \scriptstyle |0\rangle _{A}|1\rangle _{B}}$.
2. Алиса измеряет 1, и состояние системы падает до ${\displaystyle \scriptstyle |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}}$.

Если первое происходит, то любое последующее измерение, выполненное Бобом на той же основе, всегда будет возвращать 1. Если второе произойдет (Алиса измеряет 1), то измерение Боба с уверенностью вернет 0. Таким образом, система B был изменен Алисой, выполняющей локальное измерение в системе А. Это остается верным, даже если системы А и B пространственно разделены. Это основа Парадокс ЭПР.

Результат измерения Алисы случайен. Алиса не может решить, в какое состояние свернуть составную систему, и поэтому не может передавать информацию Бобу, воздействуя на ее систему. Таким образом, в этой конкретной схеме сохраняется причинность. По поводу общих аргументов см. теорема о запрете общения.

Ансамбли

Как упоминалось выше, состояние квантовой системы задается единичным вектором в гильбертовом пространстве. В более общем плане, если у вас меньше информации о системе, то ее называют «ансамблем» и описывают с помощью матрица плотности, который является положительно-полуопределенная матрица, или класс трассировки когда пространство состояний бесконечномерно и имеет след 1. Опять же, спектральная теорема, такая матрица принимает общий вид:

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}|\alpha _{i}\rangle \langle \alpha _{i}|,}$

где ш_я положительные вероятности (в сумме они равны единице), векторы α_я - единичные векторы, и в бесконечномерном случае мы бы взяли замыкание таких состояний по норме следа. Мы можем интерпретировать ρ как представляющий ансамбль, где ш_я - доля ансамбля, состояния которого ${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$. Следовательно, когда смешанное состояние имеет ранг 1, оно описывает «чистый ансамбль». Когда информации о состоянии квантовой системы меньше полной, нам нужно матрицы плотности представлять государство.

Экспериментально смешанный ансамбль можно реализовать следующим образом. Рассмотрим аппарат "черный ящик", который плюется электроны к наблюдателю. Гильбертовы пространства электронов идентичный. Аппарат может производить электроны, которые все находятся в одном и том же состоянии; в этом случае электроны, принимаемые наблюдателем, представляют собой чистый ансамбль. Однако аппарат мог производить электроны в разных состояниях. Например, он может произвести две популяции электронов: одну с состоянием ${\displaystyle |\mathbf {z} +\rangle }$ с спины выровнен в положительном z направление, а другой - состояние ${\displaystyle |\mathbf {y} -\rangle }$ со спинами, выровненными в негатив у направление. Как правило, это смешанный ансамбль, поскольку может быть любое количество популяций, каждая из которых соответствует разному состоянию.

Следуя приведенному выше определению, для двудольной составной системы смешанные состояния - это просто матрицы плотности на ЧАС_А ⊗ ЧАС_B. То есть имеет общий вид

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\left[\sum _{j}{\bar {c}}_{ij}(|\alpha _{ij}\rangle \otimes |\beta _{ij}\rangle )\right]\left[\sum _{k}c_{ik}(\langle \alpha _{ik}|\otimes \langle \beta _{ik}|)\right]}$

где ш_я положительно оцененные вероятности, ${\displaystyle \sum _{j}|c_{ij}|^{2}=1}$, а векторы - единичные векторы. Это самосопряженный и положительный элемент, имеющий след 1.

Расширяя определение отделимости от чистого случая, мы говорим, что смешанное состояние сепарабельно, если его можно записать как^{[64]:131–132}

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B},}$

где ш_я положительно оцененные вероятности, а ${\displaystyle \rho _{i}^{A}}$'песок ${\displaystyle \rho _{i}^{B}}$сами являются смешанными состояниями (операторами плотности) в подсистемах А и B соответственно. Другими словами, состояние можно разделить, если оно представляет собой распределение вероятностей по некоррелированным состояниям или состояниям продукта. Записывая матрицы плотности в виде сумм чистых ансамблей и разлагая их, мы можем без ограничения общности предположить, что ${\displaystyle \rho _{i}^{A}}$ и ${\displaystyle \rho _{i}^{B}}$ сами по себе являются чистыми ансамблями. Тогда говорят, что состояние запутано, если оно не отделимо.

В общем, выяснить, запутано ли смешанное состояние, сложно. Было показано, что общий двудольный случай NP-жесткий.^[65] Для 2 × 2 и 2 × 3 случаях необходимый и достаточный критерий отделимости дается известным Положительное частичное транспонирование (PPT) условие.^[66]

Матрицы пониженной плотности

Идея приведенной матрицы плотности была введена Поль Дирак в 1930 г.^[67] Рассмотрим указанные выше системы А и B каждый с гильбертовым пространством ЧАС_А, H_B. Пусть состояние составной системы равно

${\displaystyle |\Psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}.}$

Как указано выше, в общем случае нет возможности связать чистое состояние с компонентной системой. А. Тем не менее, все еще можно связать матрицу плотности. Позволять

${\displaystyle \rho _{T}=|\Psi \rangle \;\langle \Psi |}$.

какой оператор проекции на это состояние. Штат А это частичный след из ρ_Т на основе системы B:

${\displaystyle \rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}\langle j|_{B}\left(|\Psi \rangle \langle \Psi |\right)|j\rangle _{B}={\hbox{Tr}}_{B}\;\rho _{T}.}$

ρ_А иногда называют приведенной матрицей плотности ρ на подсистеме А. В просторечии мы «отслеживаем» систему B для получения приведенной матрицы плотности на А.

Например, приведенная матрица плотности А для запутанного состояния

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right),}$

обсуждалось выше

${\displaystyle \rho _{A}={\tfrac {1}{2}}\left(|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}\right)}$

Это демонстрирует, что, как и ожидалось, приведенная матрица плотности для запутанного чистого ансамбля является смешанным ансамблем. Также неудивительно, что матрица плотности А для состояния чистого продукта ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}}$ обсуждалось выше

${\displaystyle \rho _{A}=|\psi \rangle _{A}\langle \psi |_{A}}$.

В общем случае двудольное чистое состояние ρ запутано тогда и только тогда, когда его редуцированные состояния являются смешанными, а не чистыми.

Два приложения, которые их используют

Приведенные матрицы плотности были явно рассчитаны в различных спиновых цепочках с уникальным основным состоянием. Примером может служить одномерный Спиновая цепочка AKLT:^[68] основное состояние можно разделить на блок и среду. Приведенная матрица плотности блока: пропорциональный проектору на вырожденное основное состояние другого гамильтониана.

Приведенная матрица плотности также была оценена для XY спиновые цепи, где он имеет полное звание. Было доказано, что в термодинамическом пределе спектр приведенной матрицы плотности большого блока спинов представляет собой точную геометрическую последовательность^[69] в этом случае.

Запутанность как ресурс

В квантовой теории информации запутанные состояния считаются «ресурсом», то есть чем-то дорогостоящим в производстве и позволяющим осуществлять ценные преобразования. Ситуация, в которой эта перспектива наиболее очевидна, - это «далекие лаборатории», то есть две квантовые системы, помеченные «А» и «В», на каждой из которых произвольно квантовые операции могут выполняться, но не взаимодействуют друг с другом квантово-механически. Единственное разрешенное взаимодействие - это обмен классической информацией, который в сочетании с наиболее общими локальными квантовыми операциями дает начало классу операций, называемых LOCC (локальные операции и классическая коммуникация). Эти операции не позволяют создавать запутанные состояния между системами A и B. Но если A и B снабжены запасом запутанных состояний, тогда они вместе с операциями LOCC могут позволить более широкий класс преобразований. Например, взаимодействие между кубитом A и кубитом B может быть реализовано, если сначала телепортировать кубит A в B, а затем позволить ему взаимодействовать с кубитом B (что теперь является операцией LOCC, поскольку оба кубита находятся в лаборатории B) и затем телепортирует кубит обратно в A. В этом процессе используются два максимально запутанных состояния двух кубитов. Таким образом, запутанные состояния являются ресурсом, который позволяет реализовать квантовые взаимодействия (или квантовые каналы) в условиях, когда доступны только LOCC, но они потребляются в процессе. Есть и другие приложения, в которых запутанность можно рассматривать как ресурс, например, частное общение или различение квантовых состояний.^[70]

Классификация запутанности

Не все квантовые состояния одинаково ценны как ресурс. Чтобы количественно оценить это значение, разные меры запутанности (см. ниже), которые присваивают числовое значение каждому квантовому состоянию. Однако часто бывает интересно найти более грубый способ сравнения квантовых состояний. Это приводит к различным схемам классификации. Большинство классов сцепленности определяются на основе того, можно ли преобразовать состояния в другие состояния с помощью LOCC или подкласса этих операций. Чем меньше набор разрешенных операций, тем точнее классификация. Важные примеры:

• Если два состояния могут быть преобразованы друг в друга с помощью локальной унитарной операции, говорят, что они находятся в одной и той же LU класс. Это лучший из обычно рассматриваемых классов. Two states in the same LU class have the same value for entanglement measures and the same value as a resource in the distant-labs setting. There is an infinite number of different LU classes (even in the simplest case of two qubits in a pure state).^[71][72]
• If two states can be transformed into each other by local operations including measurements with probability larger than 0, they are said to be in the same 'SLOCC class' ("stochastic LOCC"). Qualitatively, two states ${\displaystyle \rho _{1}}$ и ${\displaystyle \rho _{2}}$ in the same SLOCC class are equally powerful (since I can transform one into the other and then do whatever it allows me to do), but since the transformations ${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$ и ${\displaystyle \rho _{2}\to \rho _{1}}$ may succeed with different probability, they are no longer equally valuable. E.g., for two pure qubits there are only two SLOCC classes: the entangled states (which contains both the (maximally entangled) Bell states and weakly entangled states like ${\displaystyle |00\rangle +0.01|11\rangle }$) and the separable ones (i.e., product states like ${\displaystyle |00\rangle }$).^[73][74]
• Instead of considering transformations of single copies of a state (like ${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$) one can define classes based on the possibility of multi-copy transformations. E.g., there are examples when ${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$ is impossible by LOCC, but ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{1}\to \rho _{2}}$ возможно. A very important (and very coarse) classification is based on the property whether it is possible to transform an arbitrarily large number of copies of a state ${\displaystyle \rho }$ into at least one pure entangled state. States that have this property are called distillable. These states are the most useful quantum states since, given enough of them, they can be transformed (with local operations) into any entangled state and hence allow for all possible uses. It came initially as a surprise that not all entangled states are distillable, those that are not are called 'связанный запутанный '.^[75][70]

A different entanglement classification is based on what the quantum correlations present in a state allow A and B to do: one distinguishes three subsets of entangled states: (1) the не местный состояния, which produce correlations that cannot be explained by a local hidden variable model and thus violate a Bell inequality, (2) the steerable состояния that contain sufficient correlations for A to modify ("steer") by local measurements the conditional reduced state of B in such a way, that A can prove to B that the state they possess is indeed entangled, and finally (3) those entangled states that are neither non-local nor steerable. All three sets are non-empty.^[76]

Энтропия

In this section, the entropy of a mixed state is discussed as well as how it can be viewed as a measure of quantum entanglement.

Определение

The plot of von Neumann entropy Vs Eigenvalue for a bipartite 2-level pure state. When the eigenvalue has value .5, von Neumann entropy is at a maximum, corresponding to maximum entanglement.

В классическом теория информации ЧАС, то Энтропия Шеннона, is associated to a probability distribution,${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}}$, следующим образом:^[77]

${\displaystyle H(p_{1},\cdots ,p_{n})=-\sum _{i}p_{i}\log _{2}p_{i}.}$

Since a mixed state ρ is a probability distribution over an ensemble, this leads naturally to the definition of the энтропия фон Неймана:

${\displaystyle S(\rho )=-{\hbox{Tr}}\left(\rho \log _{2}{\rho }\right).}$

In general, one uses the Borel functional calculus to calculate a non-polynomial function such as бревно₂(ρ). If the nonnegative operator ρ acts on a finite-dimensional Hilbert space and has eigenvalues ${\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}}$, бревно₂(ρ) turns out to be nothing more than the operator with the same eigenvectors, but the eigenvalues ${\displaystyle \log _{2}(\lambda _{1}),\cdots ,\log _{2}(\lambda _{n})}$. The Shannon entropy is then:

${\displaystyle S(\rho )=-{\hbox{Tr}}\left(\rho \log _{2}{\rho }\right)=-\sum _{i}\lambda _{i}\log _{2}\lambda _{i}}$.

Since an event of probability 0 should not contribute to the entropy, and given that

${\displaystyle \lim _{p\to 0}p\log p=0,}$

конвенция 0 log(0) = 0 принимается. This extends to the infinite-dimensional case as well: if ρ имеет спектральное разрешение

${\displaystyle \rho =\int \lambda dP_{\lambda },}$

assume the same convention when calculating

${\displaystyle \rho \log _{2}\rho =\int \lambda \log _{2}\lambda dP_{\lambda }.}$

Как в статистическая механика, the more uncertainty (number of microstates) the system should possess, the larger the entropy. For example, the entropy of any pure state is zero, which is unsurprising since there is no uncertainty about a system in a pure state. The entropy of any of the two subsystems of the entangled state discussed above is log(2) (which can be shown to be the maximum entropy for 2 × 2 mixed states).

As a measure of entanglement

Entropy provides one tool that can be used to quantify entanglement, although other entanglement measures exist.^[78] If the overall system is pure, the entropy of one subsystem can be used to measure its degree of entanglement with the other subsystems.

For bipartite pure states, the von Neumann entropy of reduced states is the unique measure of entanglement in the sense that it is the only function on the family of states that satisfies certain axioms required of an entanglement measure.

It is a classical result that the Shannon entropy achieves its maximum at, and only at, the uniform probability distribution {1/п,...,1/п}. Therefore, a bipartite pure state ρ ∈ ЧАС_А ⊗ ЧАС_B is said to be a максимально запутанное состояние if the reduced state^{[требуется разъяснение ]} из ρ is the diagonal matrix

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{n}}&&\\&\ddots &\\&&{\frac {1}{n}}\end{bmatrix}}.}$

For mixed states, the reduced von Neumann entropy is not the only reasonable entanglement measure.

As an aside, the information-theoretic definition is closely related to энтропия in the sense of statistical mechanics^{[нужна цитата ]} (comparing the two definitions in the present context, it is customary to set the Постоянная Больцмана k = 1). For example, by properties of the Borel functional calculus, we see that for any unitary operator U,

${\displaystyle S(\rho )=S\left(U\rho U^{*}\right).}$

Indeed, without this property, the von Neumann entropy would not be well-defined.

Особенно, U could be the time evolution operator of the system, i.e.,

${\displaystyle U(t)=\exp \left({\frac {-iHt}{\hbar }}\right),}$

куда ЧАС это Гамильтониан системы. Here the entropy is unchanged.

The reversibility of a process is associated with the resulting entropy change, i.e., a process is reversible if, and only if, it leaves the entropy of the system invariant. Therefore, the march of the стрела времени к термодинамическое равновесие is simply the growing spread of quantum entanglement.^[79]This provides a connection between квантовая теория информации и термодинамика.

Энтропия Реньи also can be used as a measure of entanglement.

Entanglement measures

Entanglement measures quantify the amount of entanglement in a (often viewed as a bipartite) quantum state. As aforementioned, entanglement entropy is the standard measure of entanglement for pure states (but no longer a measure of entanglement for mixed states). For mixed states, there are some entanglement measures in the literature^[78] and no single one is standard.

• Entanglement cost
• Distillable entanglement
• Entanglement of formation
• Relative entropy of entanglement
• Squashed entanglement
• Logarithmic negativity

Most (but not all) of these entanglement measures reduce for pure states to entanglement entropy, and are difficult (NP-жесткий ) to compute.^[80]

Квантовая теория поля

В Reeh-Schlieder theorem из квантовая теория поля is sometimes seen as an analogue of quantum entanglement.

Приложения

Entanglement has many applications in квантовая теория информации. With the aid of entanglement, otherwise impossible tasks may be achieved.

Among the best-known applications of entanglement are superdense coding и квантовая телепортация.^[81]

Most researchers believe that entanglement is necessary to realize квантовые вычисления (although this is disputed by some).^[82]

Entanglement is used in some protocols of квантовая криптография.^[83][84] This is because the "shared noise" of entanglement makes for an excellent одноразовый блокнот. Moreover, since measurement of either member of an entangled pair destroys the entanglement they share, entanglement-based quantum cryptography allows the sender and receiver to more easily detect the presence of an interceptor.^{[нужна цитата ]}

В интерферометрия, entanglement is necessary for surpassing the standard quantum limit and achieving the Heisenberg limit.^[85]

Entangled states

There are several canonical entangled states that appear often in theory and experiments.

Для двух кубиты, то Белл заявляет находятся

${\displaystyle |\Phi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$

${\displaystyle |\Psi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})}$.

These four pure states are all maximally entangled (according to the entropy of entanglement ) and form an ортонормированный basis (linear algebra) of the Hilbert space of the two qubits. They play a fundamental role in Теорема Белла.

For M>2 qubits, the GHZ state является

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M}}{\sqrt {2}}},}$

which reduces to the Bell state ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$ за ${\displaystyle M=2}$. The traditional GHZ state was defined for ${\displaystyle M=3}$. GHZ states are occasionally extended to qudits, i.e., systems of d rather than 2 dimensions.

Also for M>2 qubits, there are spin squeezed states.^[86] Spin squeezed states are a class of сжатые когерентные состояния satisfying certain restrictions on the uncertainty of spin measurements, and are necessarily entangled.^[87] Spin squeezed states are good candidates for enhancing precision measurements using quantum entanglement.^[88]

Для двух бозонный modes, a NOON state является

${\displaystyle |\psi _{\text{NOON}}\rangle ={\frac {|N\rangle _{a}|0\rangle _{b}+|{0}\rangle _{a}|{N}\rangle _{b}}{\sqrt {2}}},\,}$

This is like the Bell state ${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle }$ except the basis kets 0 and 1 have been replaced with "the N photons are in one mode" and "the N photons are in the other mode".

Finally, there also exist twin Fock states for bosonic modes, which can be created by feeding a Fock state into two arms leading to a beam splitter. They are the sum of multiple of NOON states, and can used to achieve the Heisenberg limit.^[89]

For the appropriately chosen measure of entanglement, Bell, GHZ, and NOON states are maximally entangled while spin squeezed and twin Fock states are only partially entangled. The partially entangled states are generally easier to prepare experimentally.

Methods of creating entanglement

Entanglement is usually created by direct interactions between subatomic particles. These interactions can take numerous forms. One of the most commonly used methods is спонтанное параметрическое преобразование с понижением частоты to generate a pair of photons entangled in polarisation.^[70] Other methods include the use of a fiber coupler to confine and mix photons, photons emitted from decay cascade of the bi-exciton in a квантовая точка,^[90] использование Hong–Ou–Mandel effect, etc., In the earliest tests of Bell's theorem, the entangled particles were generated using atomic cascades.

It is also possible to create entanglement between quantum systems that never directly interacted, through the use of entanglement swapping. Two independently prepared, identical particles may also be entangled if their wave functions merely spatially overlap, at least partially.^[91]

Testing a system for entanglement

A density matrix ρ is called отделяемый if it can be written as a convex sum of product states, namely

${\displaystyle \displaystyle {\rho =\sum _{j}p_{j}\rho _{j}^{(A)}\otimes \rho _{j}^{(B)}}}$

с ${\displaystyle 1\geq p_{j}\geq 0}$ вероятности. By definition, a state is entangled if it is not separable.

For 2-Qubit and Qubit-Qutrit systems (2 × 2 and 2 × 3 respectively) the simple Peres–Horodecki criterion provides both a necessary and a sufficient criterion for separability, and thus—inadvertently—for detecting entanglement. However, for the general case, the criterion is merely a necessary one for separability, as the problem becomes NP-жесткий when generalized.^[92][93] Other separability criteria include (but not limited to) the range criterion, reduction criterion, and those based on uncertainty relations.^{[94][95][96][97]} См. Ссылку.^[98] for a review of separability criteria in discrete variable systems.

A numerical approach to the problem is suggested by Джон Магне Лейнаас, Ян Мирхейм и Eirik Ovrum in their paper "Geometrical aspects of entanglement".^[99] Leinaas et al. offer a numerical approach, iteratively refining an estimated separable state towards the target state to be tested, and checking if the target state can indeed be reached. An implementation of the algorithm (including a built-in Критерий Переса-Городецкого testing) is "StateSeparator" web-app.

In continuous variable systems, the Критерий Переса-Городецкого also applies. Specifically, Simon ^[100] formulated a particular version of the Peres-Horodecki criterion in terms of the second-order moments of canonical operators and showed that it is necessary and sufficient for ${\displaystyle 1\oplus 1}$-mode Gaussian states (see Ref.^[101] for a seemingly different but essentially equivalent approach). It was later found ^[102] that Simon's condition is also necessary and sufficient for ${\displaystyle 1\oplus n}$-mode Gaussian states, but no longer sufficient for ${\displaystyle 2\oplus 2}$-mode Gaussian states. Simon's condition can be generalized by taking into account the higher order moments of canonical operators ^[103][104] or by using entropic measures.^[105][106]

In 2016 China launched the world’s first quantum communications satellite.^[107] The $100m Квантовые эксперименты в космическом масштабе (QUESS) mission was launched on Aug 16, 2016, from the Jiuquan Satellite Launch Center in northern China at 01:40 local time.

For the next two years, the craft – nicknamed "Micius" after the ancient Chinese philosopher – will demonstrate the feasibility of quantumcommunication between Earth and space, and test quantum entanglement over unprecedented distances.

In the June 16, 2017, issue of Наука, Yin et al. report setting a new quantum entanglement distance record of 1,203 km, demonstrating the survival of a two-photon pair and a violation of a Bell inequality, reaching a CHSH valuation of 2.37 ± 0.09, under strict Einstein locality conditions, from the Micius satellite to bases in Lijian, Yunnan and Delingha, Quinhai, increasing the efficiency of transmission over prior fiberoptic experiments by an order of magnitude.^[108][109]

Naturally entangled systems

The electron shells of multi-electron atoms always consist of entangled electrons. The correct ionization energy can be рассчитанный only by consideration of electron entanglement.^[110]

Фотосинтез

It has been suggested that in the process of фотосинтез, entanglement is involved in the transfer of energy between светоуборочные комплексы и photosynthetic reaction centers where light (energy) is harvested in the form of chemical energy. Without such a process, the efficient conversion of light into chemical energy cannot be explained. С помощью femtosecond spectroscopy, the coherence of entanglement in the Комплекс Фенна-Мэтьюз-Олсон was measured over hundreds of фемтосекунды (a relatively long time in this regard) providing support to this theory.^[111][112]However, critical follow-up studies question the interpretation of these results and assign the reported signatures of electronic quantum coherence to nuclear dynamics in the chromophores.^{[113][114][115][116][117][118][119]}

Entanglement of macroscopic objects

In 2020 researchers reported the quantum entanglement between the motion of a millimetre-sized mechanical oscillator and a disparate distant вращение system of a cloud of atoms.^[120][121]

Entanglement of elements of living systems

In October 2018, physicists reported producing quantum entanglement using живые организмы, particularly between photosynthetic molecules within living бактерии и quantized light.^[122][123]

Living organisms (green sulphur bacteria) have been studied as mediators to create quantum entanglement between otherwise non-interacting light modes, showing high entanglement between light and bacterial modes, and to some extent, even entanglement within the bacteria.^[124]

Смотрите также

• Физический портал

• CNOT gate
• Связанная запутанность
• Concurrence (quantum computing)
• Einstein's thought experiments
• Дистилляция сцепления
• Свидетель запутывания
• Связь быстрее света
• Ghirardi–Rimini–Weber theory
• Multipartite entanglement
• Нормально распределенный и некоррелированный не означает независимого
• Эффект наблюдателя (физика)
• Квантовая когерентность
• Квантовый разлад
• Квантовый фазовый переход
• Квантовые вычисления
• Quantum network
• Quantum pseudo-telepathy
• Квантовая телепортация
• Ретропричинность
• Отделимое состояние
• Squashed entanglement
• Ward's probability amplitude
• Wheeler–Feynman absorber theory

Рекомендации

1. Einstein A, Podolsky B, Rosen N; Podolsky; Rosen (1935). "Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?". Phys. Rev. 47 (10): 777–780. Bibcode:1935PhRv...47..777E. Дои:10.1103/PhysRev.47.777.
2. Schrödinger E (1935). "Discussion of probability relations between separated systems". Математические труды Кембриджского философского общества. 31 (4): 555–563. Bibcode:1935PCPS...31..555S. Дои:10.1017/S0305004100013554.
3. Schrödinger E (1936). "Probability relations between separated systems". Математические труды Кембриджского философского общества. 32 (3): 446–452. Bibcode:1936PCPS...32..446S. Дои:10.1017/S0305004100019137.
4. Physicist John Bell depicts the Einstein camp in this debate in his article entitled "Bertlmann's socks and the nature of reality", p. 143 of Speakable and unspeakable in quantum mechanics: "For EPR that would be an unthinkable 'spooky action at a distance'. To avoid such action at a distance they have to attribute, to the space-time regions in question, real properties in advance of observation, correlated properties, which predetermine the outcomes of these particular observations. Since these real properties, fixed in advance of observation, are not contained in quantum formalism, that formalism for EPR is incomplete. It may be correct, as far as it goes, but the usual quantum formalism cannot be the whole story." And again on p. 144 Bell says: "Einstein had no difficulty accepting that affairs in different places could be correlated. What he could not accept was that an intervention at one place could influence, immediately, affairs at the other." Downloaded 5 July 2011 from Белл, Дж. С. (1987). Разговорчивый и непроизносимый в квантовой механике (PDF). ЦЕРН. ISBN  0521334950. Архивировано из оригинал (PDF) 12 апреля 2015 г.. Получено 14 июн 2014.
5. Yin, Juan; Цао, юань; Yong, Hai-Lin; Ren, Ji-Gang; Liang, Hao; Liao, Sheng-Kai; Zhou, Fei; Liu, Chang; Wu, Yu-Ping; Pan, Ge-Sheng; Ли, Ли; Liu, Nai-Le; Чжан, Цян; Peng, Cheng-Zhi; Pan, Jian-Wei (2013). "Bounding the speed of 'spooky action at a distance". Письма с физическими проверками. 110 (26): 260407. arXiv:1303.0614. Bibcode:2013PhRvL.110z0407Y. Дои:10.1103/PhysRevLett.110.260407. PMID  23848853. S2CID  119293698.
6. Matson, John (13 August 2012). "Quantum teleportation achieved over record distances". Новости природы. Дои:10.1038/nature.2012.11163. S2CID  124852641.
7. Francis, Matthew. Quantum entanglement shows that reality can't be local, Ars Technica, 30 октября 2012 г.
8. Роджер Пенроуз, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, London, 2004, p. 603.
9. Griffiths, David J. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN  978-0-13-111892-8
10. Kocher, CA; Commins, ED (1967). "Polarization Correlation of Photons Emitted in an Atomic Cascade". Письма с физическими проверками. 18 (15): 575–577. Bibcode:1967PhRvL..18..575K. Дои:10.1103/PhysRevLett.18.575.
11. Carl A. Kocher, Ph.D. Thesis (University of California at Berkeley, 1967). Polarization Correlation of Photons Emitted in an Atomic Cascade
12. J. A. Formaggio, D. I. Kaiser, M. M. Murskyj, and T. E. Weiss (2016), "Violation of the Leggett-Garg inequality in neutrino oscillations ". Phys. Rev. Lett. Accepted 23 June 2016.
13. Hensen, B.; и другие. (21 October 2015). "Loophole-free Bell inequality violation using electron spins separated by 1.3 kilometres". Природа. 526 (7575): 682–686. arXiv:1508.05949. Bibcode:2015Natur.526..682H. Дои:10.1038/nature15759. HDL:2117/79298. PMID  26503041. S2CID  205246446. Смотрите также free online access version.
14. Markoff, Jack (21 October 2015). "Sorry, Einstein. Quantum Study Suggests 'Spooky Action' Is Real". Нью-Йорк Таймс. Получено 21 октября 2015.
15. Arndt, M; Nairz, O; Vos-Andreae, J; Келлер, К; van der Zouw, G; Zeilinger, A (14 October 1999). "Wave–particle duality of C₆₀ molecules". Природа. 401 (6754): 680–682. Bibcode:1999Natur.401..680A. Дои:10.1038/44348. PMID  18494170. S2CID  4424892. (требуется подписка)
16. Olaf Nairz, Markus Arndt, и Антон Цайлингер, "Quantum interference experiments with large molecules", American Journal of Physics, 71 (April 2003) 319–325.
17. Ли, К. С .; Sprague, M. R.; Sussman, B. J.; Nunn, J.; Langford, N. K.; Jin, X.- M.; Champion, T.; Michelberger, P.; Reim, K. F.; England, D.; Jaksch, D .; Walmsley, I. A. (2 December 2011). "Entangling macroscopic diamonds at room temperature". Наука. 334 (6060): 1253–1256. Bibcode:2011Sci...334.1253L. Дои:10.1126/science.1211914. PMID  22144620. S2CID  206536690. Сложить резюме.
18. sciencemag.org, supplementary materials
19. Kumar, M., Квантовая, Icon Books, 2009, p. 313.
20. Alisa Bokulich, Gregg Jaeger, Philosophy of Quantum Information and Entanglement, Cambridge University Press, 2010, xv.
21. Letter from Einstein to Max Born, 3 March 1947; The Born-Einstein Letters; Correspondence between Albert Einstein and Max and Hedwig Born from 1916 to 1955, Walker, New York, 1971. (cited in M. P. Hobson; и другие. (1998), "Quantum Entanglement and Communication Complexity (1998)", SIAM J. Comput., 30 (6): 1829–1841, CiteSeerX  10.1.1.20.8324)
22. J. S. Bell (1964). "On the Einstein-Poldolsky-Rosen paradox". Physics Physique Физика. 1 (3): 195–200. Дои:10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195.
23. Freedman, Stuart J.; Clauser, John F. (1972). "Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories". Письма с физическими проверками. 28 (14): 938–941. Bibcode:1972PhRvL..28..938F. Дои:10.1103/PhysRevLett.28.938.
24. A. Aspect; P. Grangier & G. Roger (1982). "Experimental Realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A New Violation of Bell's Inequalities". Письма с физическими проверками. 49 (2): 91–94. Bibcode:1982PhRvL..49...91A. Дои:10.1103/PhysRevLett.49.91.
25. Kocher, CA (1971). "Time correlations in the detection of successively emitted photons". Анналы физики. 65 (1): 1–18. Bibcode:1971AnPhy..65....1K. Дои:10.1016/0003-4916(71)90159-X.
26. Hanson, Ronald (2015). "Loophole-free Bell inequality violation using electron spins separated by 1.3 kilometres". Природа. 526 (7575): 682–686. arXiv:1508.05949. Bibcode:2015Natur.526..682H. Дои:10.1038/nature15759. PMID  26503041. S2CID  205246446.
27. Aspect, Alain (16 December 2015). "Viewpoint: Closing the Door on Einstein and Bohr's Quantum Debate". Физика. 8: 123. Bibcode:2015PhyOJ...8..123A. Дои:10.1103/physics.8.123.
28. Sanctuary, B. C (2006). "Correlations in Entangled States". Международный журнал современной физики B. 20 (11n13): 1496–1503. arXiv:quant-ph/0508238. Bibcode:2006IJMPB..20.1496S. Дои:10.1142/S0217979206034078. S2CID  119403050.
29. Yin, Juan; Цао, юань; Yong, Hai-Lin; Ren, Ji-Gang; Liang, Hao; Liao, Sheng-Kai; Zhou, Fei; Liu, Chang; Wu, Yu-Ping; Pan, Ge-Sheng; Чжан, Цян; Peng, Cheng-Zhi; Pan, Jian-Wei (2004). "The Statistical Interpretation of Entangled States". arXiv:quant-ph/0404011.
30. Хренников, Андрей (2016). "After Bell". Fortschritte der Physik. 65 (6–8): 1600044. Дои:10.1002/prop.201600044.
31. Yin, Juan; Цао, юань; Yong, Hai-Lin; Ren, Ji-Gang; Liang, Hao; Liao, Sheng-Kai; Zhou, Fei; Liu, Chang; Wu, Yu-Ping; Pan, Ge-Sheng; Чжан, Цян; Peng, Cheng-Zhi; Pan, Jian-Wei (2017). "After Bell". Fortschritte der Physik (Progress in Physics). 65 (1600014): 6–8. arXiv:1603.08674. Bibcode:2016arXiv160308674K.
32. Yin, Juan; Цао, юань; Yong, Hai-Lin; Ren, Ji-Gang; Liang, Hao; Liao, Sheng-Kai; Zhou, Fei; Liu, Chang; Wu, Yu-Ping; Pan, Ge-Sheng; Чжан, Цян; Peng, Cheng-Zhi; Pan, Jian-Wei (2007). "Classical statistical distributions can violate Bell-type inequalities". Журнал физики A: математический и теоретический. 41 (8): 085303. arXiv:quant-ph/0703251. Дои:10.1088/1751-8113/41/8/085303. S2CID  46193162.
33. C. H. Bennett and G. Brassard. "Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing". В Proceedings of IEEE International Conference on Computers, Systems and Signal Processing, volume 175, p. 8. New York, 1984. http://researcher.watson.ibm.com/researcher/files/us-bennetc/BB84highest.pdf
34. Ekert, A.K. (1991). "Quantum cryptography based on Bell's theorem". Phys. Rev. Lett. 67 (6): 661–663. Bibcode:1991PhRvL..67..661E. Дои:10.1103/PhysRevLett.67.661. ISSN  0031-9007. PMID  10044956.
35. Asher Peres, Квантовая теория: концепции и методы, Kluwer, 1993; ISBN  0-7923-2549-4 п. 115.
36. Rupert W., Anderson (28 March 2015). The Cosmic Compendium: Interstellar Travel (Первое изд.). The Cosmic Compendium. п. 100. ISBN  9781329022027.
37. magazine, Elizabeth Gibney, Nature. "Cosmic Test Bolsters Einstein's "Spooky Action at a Distance"". Scientific American. Получено 4 февраля 2017.
38. I. Gerhardt; Q. Liu; A. Lamas-Linares; J. Skaar; V. Scarani; V. Makarov; C. Kurtsiefer (2011), "Experimentally faking the violation of Bell's inequalities", Phys. Rev. Lett., 107 (17): 170404, arXiv:1106.3224, Bibcode:2011PhRvL.107q0404G, Дои:10.1103/PhysRevLett.107.170404, PMID  22107491, S2CID  16306493
39. Santos, E (2004). "The failure to perform a loophole-free test of Bell's Inequality supports local realism". Основы физики. 34 (11): 1643–1673. Bibcode:2004FoPh...34.1643S. Дои:10.1007/s10701-004-1308-z. S2CID  123642560.
40. H. Zbinden; и другие. (2001). "Experimental test of nonlocal quantum correlations in relativistic configurations". Phys. Ред. А. 63 (2): 22111. arXiv:quant-ph/0007009. Bibcode:2001PhRvA..63b2111Z. Дои:10.1103/PhysRevA.63.022111. S2CID  44611890.
41. Some of the history of both referenced Zbinden, et al. experiments is provided in Gilder, L., The Age of Entanglement, Vintage Books, 2008, pp. 321–324.
42. Cirel'son, B. S. (1980). «Квантовые обобщения неравенства Белла». Письма по математической физике. 4 (2): 93–100. Bibcode:1980LMaPh ... 4 ... 93C. Дои:10.1007 / BF00417500. S2CID  120680226.
43. Сяо-Сонг Ма, Стефан Зоттер, Йоханнес Кофлер, Руперт Урсин, Томас Йенневейн, Часлав Брукнер и Антон Цайлингер; Zotter; Кофлер; Урсин; Jennewein; Брукнер; Цайлингер (26 апреля 2012 г.). «Экспериментальная замена запутанности отложенного выбора». Природа Физика. 8 (6): 480–485. arXiv:1203.4834. Bibcode:2012НатФ ... 8..480М. Дои:10.1038 / nphys2294. S2CID  119208488.
44. Megidish, E .; Халеви, А .; Shacham, T .; Двир, Т .; Доврат, Л .; Айзенберг, Х.С. (2013). «Переключение запутанности между фотонами, которые никогда не сосуществовали». Письма с физическими проверками. 110 (21): 210403. arXiv:1209.4191. Bibcode:2013ПхРвЛ.110у0403М. Дои:10.1103 / Physrevlett.110.210403. PMID  23745845. S2CID  30063749.
45. «Классический носитель может создать путаницу». Physicsworld.com. 11 декабря 2013 г.. Получено 14 июн 2014.
46. "Тест Белла без дыр | Рональд Хэнсон". Архивировано из оригинал 4 июля 2018 г.. Получено 24 октября 2015.
47. Гибни, Элизабет (2014). «Запутанные фотоны создают картину из парадокса». Природа. Дои:10.1038 / природа.2014.15781. S2CID  124976589. Получено 13 октября 2014.
48. Розаткар, Гаурав (16 августа 2018 г.). «Демонстрация квантовой запутанности». OSF.
49. Морева, Екатерина (2014). «Время из квантовой запутанности: экспериментальная иллюстрация». Физический обзор A. 89 (5): 052122. arXiv:1310.4691. Bibcode:2014PhRvA..89e2122M. Дои:10.1103 / PhysRevA.89.052122. S2CID  118638346.
50. «Запутанная игрушечная вселенная показывает, что время может быть иллюзией». Получено 13 октября 2014.
51. Дэвид Дойч, Начало бесконечности. Стр. Решебника 299
52. «Квантовый эксперимент показывает, как время« выходит »из запутанности». Середина. 23 октября 2013 г.. Получено 13 октября 2014.
53. Вулховер, Натали (25 апреля 2014 г.). «Новая квантовая теория может объяснить течение времени». Проводной. Получено 13 октября 2014.
54. Ван Рамсдонк, Марк (19 июня 2010 г.). «Создание пространства-времени с помощью квантовой запутанности». Общая теория относительности и гравитации. 42 (10): 2323–2329. arXiv:1005.3035. Bibcode:2010ГРэГр..42.2323В. Дои:10.1007 / s10714-010-1034-0. ISSN  0001-7701.
55. Ли, Джэ Веон; Ким, Хён-Чан; Ли, Чунджай (2013). «Гравитация из квантовой информации». Журнал Корейского физического общества. 63 (5): 1094–1098. arXiv:1001.5445. Bibcode:2013JKPS ... 63.1094L. Дои:10.3938 / jkps.63.1094. ISSN  0374-4884. S2CID  118494859.
56. Свингл, Брайан; Ван Рамсдонк, Марк (12 мая 2014 г.). «Универсальность гравитации от запутанности». arXiv:1405.2933 [hep-th ].
57. Николас Бруннер; Даниэль Кавальканти; Стефано Пиронио; Валерио Скарани; Стефани Венер (2014). «Белл нелокальность». Ред. Мод. Phys. 86 (2): 419–478. arXiv:1303.2849. Bibcode:2014РвМП ... 86..419Б. Дои:10.1103 / RevModPhys.86.419. S2CID  119194006.
58. Вернер, Р.Ф. (1989). «Квантовые состояния с корреляциями Эйнштейна-Подольского-Розена, допускающие модель скрытых переменных». Физический обзор A. 40 (8): 4277–4281. Bibcode:1989PhRvA..40.4277W. Дои:10.1103 / PhysRevA.40.4277. PMID  9902666.
59. Р. Авгусяк, М. Демьянович, Я. Тура и А. Ацин (2015). «Запутанность и нелокальность не эквивалентны для любого количества сторон». Phys. Rev. Lett. 115 (3): 030404. arXiv:1407.3114. Bibcode:2015PhRvL.115c0404A. Дои:10.1103 / PhysRevLett.115.030404. HDL:2117/78836. PMID  26230773. S2CID  29758483.
60. Тамас Вертези, Николя Бруннер (2014). «Опровержение гипотезы Переса: нелокальность Белла из-за двудольной связанной запутанности». Nature Communications. 5 (5297): 5297. arXiv:1405.4502. Дои:10.1038 / ncomms6297. PMID  25370352. S2CID  5135148.
61. В литературе термин «нелокальность» иногда используется для характеристики концепций, которые отличаются от отсутствия модели локальной скрытой переменной, например, могут ли состояния быть различимы с помощью локальных измерений, и что может иметь место также для незацепленных состояний (см. , например, Чарльз Х. Беннет, Дэвид П. Ди Винченцо, Кристофер А. Фукс, Тал Мор, Эрик Рейнс, Питер У. Шор, Джон А. Смолин и Уильям К. Вуттерс (1999). «Квантовая нелокальность без запутанности». Phys. Ред. А. 59 (2): 1070–1091. arXiv:Quant-ph / 9804053. Bibcode:1999ПхРвА..59.1070Б. Дои:10.1103 / PhysRevA.59.1070. S2CID  15282650.). Это нестандартное использование термина здесь не обсуждается.
62. Джагер Дж., Шимони А., Вайдман Л.; Шимони; Вайдман (1995). «Две интерферометрические взаимодополняемости». Phys. Rev. 51 (1): 54–67. Bibcode:1995PhRvA..51 ... 54J. Дои:10.1103 / PhysRevA.51.54. PMID  9911555.
63. Nielsen, Michael A .; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация. Издательство Кембриджского университета. С. 112–113. ISBN  978-0-521-63503-5.
64. Лало, Франк (2001), «Действительно ли мы понимаем квантовую механику», Американский журнал физики, 69 (6): 655–701, arXiv:Quant-ph / 0209123, Bibcode:2001AmJPh..69..655L, Дои:10.1119/1.1356698
65. Гурвиц Л (2003). «Классическая детерминированная сложность проблемы Эдмондса и квантовой запутанности». Материалы тридцать пятого симпозиума ACM по теории вычислений - STOC '03. Материалы тридцать пятого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений. п. 10. arXiv:Quant-ph / 0303055. Дои:10.1145/780542.780545. ISBN  978-1-58113-674-6. S2CID  5745067.
66. Городецкий М., Городецкий П., Городецкий Р.; Городецкий; Городецкий (1996). «Разделимость смешанных состояний: необходимые и достаточные условия». Письма о физике A. 223 (1): 210. arXiv:Quant-ph / 9605038. Bibcode:1996ФЛА..223 .... 1Ч. CiteSeerX  10.1.1.252.496. Дои:10.1016 / S0375-9601 (96) 00706-2. S2CID  10580997.
67. Дирак, П.А.М. (2008). «Заметка об обменных явлениях в атоме Томаса» (PDF). Математические труды Кембриджского философского общества. 26 (3): 376. Bibcode:1930PCPS ... 26..376D. Дои:10.1017 / S0305004100016108.
68. Вентилятор, H; Корепин В; Ройчоудхури V (2004). «Запутывание в твердом состоянии валентной связи». Письма с физическими проверками. 93 (22): 227203. arXiv:Quant-ph / 0406067. Bibcode:2004PhRvL..93v7203F. Дои:10.1103 / PhysRevLett.93.227203. PMID  15601113. S2CID  28587190.
69. Franchini, F .; Its, A.R .; Корепин, В.Е .; Тахтаджан, Л. А. (2010). «Спектр матрицы плотности большой блок спины модели XY в одном измерении ". Квантовая обработка информации. 10 (3): 325–341. arXiv:1002.2931. Дои:10.1007 / s11128-010-0197-7. S2CID  6683370.
70. Городецкий Р., Городецкий П., Городецкий М., Городецкий К.; Городецкий; Городецкий; Городецкий (2009). «Квантовая запутанность». Ред. Мод. Phys. 81 (2): 865–942. arXiv:Quant-ph / 0702225. Bibcode:2009RvMP ... 81..865H. Дои:10.1103 / RevModPhys.81.865. S2CID  59577352.
71. >Grassl, M .; Rötteler, M .; Бет, Т. (1998). «Вычисление локальных инвариантов квантово-битовых систем». Phys. Ред. А. 58 (3): 1833–1839. arXiv:Quant-ph / 9712040. Bibcode:1998PhRvA..58.1833G. Дои:10.1103 / PhysRevA.58.1833. S2CID  15892529.
72. Б. Краус (2010). «Локальная унитарная эквивалентность составных чистых состояний». Phys. Rev. Lett. 104 (2): 020504. arXiv:0909.5152. Bibcode:2010PhRvL.104b0504K. Дои:10.1103 / PhysRevLett.104.020504. PMID  20366579. S2CID  29984499.
73. М. А. Нильсен (1999). «Условия одного класса преобразований зацепления». Phys. Rev. Lett. 83 (2): 436. arXiv:Quant-ph / 9811053. Bibcode:1999ПхРвЛ..83..436Н. Дои:10.1103 / PhysRevLett.83.436. S2CID  17928003.
74. Гур, Г. и Уоллах, Н. Р. (2013). «Классификация множественной запутанности всей конечномерности». Phys. Rev. Lett. 111 (6): 060502. arXiv:1304.7259. Bibcode:2013ПхРвЛ.111ф0502Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.111.060502. PMID  23971544. S2CID  1570745.
75. Городецкий, М .; Городецкий, П .; Городецкий Р. (1998). "Смешанное запутывание и дистилляция: есть ли граница запутанность в природе? ». Phys. Rev. Lett. 80 (1998): 5239–5242. arXiv:Quant-ph / 9801069. Bibcode:1998PhRvL..80.5239H. Дои:10.1103 / PhysRevLett.80.5239. S2CID  111379972.
76. Х. М. Вайзман, С. Дж. Джонс и А. К. Доэрти (2007). «Управление, запутанность, нелокальность и парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена». Phys. Rev. Lett. 98 (14): 140402. arXiv:Quant-ph / 0612147. Bibcode:2007PhRvL..98n0402W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.98.140402. PMID  17501251. S2CID  30078867.
77. Серф, Николас Дж .; Клив, Ричард. «Теоретико-информационная интерпретация квантовых кодов исправления ошибок» (PDF).
78. Plenio; Вирмани (2007). «Введение в меры запутывания». Quant. Инф. Comp. 1: 1–51. arXiv:Quant-ph / 0504163. Bibcode:2005квант.ч..4163P.
79. Вулховер, Натали (25 апреля 2014 г.). «Новая квантовая теория может объяснить течение времени». www.wired.com. Журнал Quanta. Получено 27 апреля 2014.
80. Хуан, Ичэнь (21 марта 2014 г.). «Вычислительный квантовый диссонанс является NP-полным». Новый журнал физики. 16 (3): 033027. arXiv:1305.5941. Bibcode:2014NJPh ... 16c3027H. Дои:10.1088/1367-2630/16/3/033027. S2CID  118556793.
81. Баумейстер, Дик; Пан, Цзянь-Вэй; Мэттл, Клаус; Эйбл, Манфред; Вайнфуртер, Харальд и Цайлингер, Антон (1997). «Экспериментальная квантовая телепортация» (PDF). Природа. 390 (6660): 575–579. arXiv:1901.11004. Bibcode:1997Натура.390..575Б. Дои:10.1038/37539. S2CID  4422887.
82. Ричард Джозса; Ной Линден (2002). «О роли запутанности в ускорении квантовых вычислений». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 459 (2036): 2011–2032. arXiv:Quant-ph / 0201143. Bibcode:2003RSPSA.459.2011J. CiteSeerX  10.1.1.251.7637. Дои:10.1098 / rspa.2002.1097. S2CID  15470259.
83. Экерт, Артур К. (1991). «Квантовая криптография, основанная на теореме Белла» (PDF). Письма с физическими проверками. 67 (6): 661–663. Bibcode:1991ПхРвЛ..67..661Э. Дои:10.1103 / PhysRevLett.67.661. PMID  10044956. S2CID  27683254.
84. Инь, Хуан; Цао, юань; Юн, Хай-Линь; Рен, Джи-Ган; Лян, Хао; Ляо, Шэн-Кай; Чжоу, Фэй; Лю, Чанг; Ву, Ю-Пин; Пан, Гэ-Шэн; Чжан, Цян; Пэн, Чэн-Чжи; Пан, Цзянь-Вэй (2010). «Контекстность обеспечивает безопасность, независимую от устройств». arXiv:1006.0468 [Quant-ph ].
85. Пецце, Лука и Смерци, Августо (2009). «Запутанность, нелинейная динамика и предел Гейзенберга». Phys. Rev. Lett. 102 (10): 100401. arXiv:0711.4840. Bibcode:2009PhRvL.102j0401P. Дои:10.1103 / PhysRevLett.102.100401. PMID  19392092. S2CID  13095638.
86. Ошибка базы данных - Qwiki В архиве 21 августа 2012 г. Wayback Machine
87. Китагава, Масахиро; Уэда, Масахито (1993). «Сжатые спиновые состояния». Phys. Ред. А. 47 (6): 5138–5143. Bibcode:1993ПхРвА..47.5138К. Дои:10.1103 / Physreva.47.5138. PMID  9909547.
88. Вайнленд, Д. Дж .; Боллинджер, Дж. Дж .; Itano, W. M .; Мур, Ф. Л .; Хайнцен, Д. Дж. (1992). «Сжатие спина и пониженный квантовый шум в спектроскопии». Phys. Ред. А. 46 (11): R6797 – R6800. Bibcode:1992PhRvA..46.6797W. Дои:10.1103 / PhysRevA.46.R6797. PMID  9908086.
89. Холланд, М. Дж; Бернетт, К. (1993). «Интерферометрическое обнаружение оптических фазовых сдвигов на пределе Гейзенберга». Письма с физическими проверками. 71 (9): 1355–1358. Bibcode:1993ПхРвЛ..71.1355Н. Дои:10.1103 / PhysRevLett.71.1355. PMID  10055519.
90. Акопян Н. (2006). «Запутанные фотонные пары из полупроводниковых квантовых точек». Phys. Rev. Lett. 96 (2): 130501. arXiv:Quant-ph / 0509060. Bibcode:2006PhRvL..96b0501D. Дои:10.1103 / PhysRevLett.96.020501. PMID  16486553. S2CID  22040546.
91. Розарио Ло Франко и Джузеппе Компаньо, "Неразличимость элементарных систем как ресурс для обработки квантовой информации", Phys. Rev. Lett. 120, 240403, 14 июня 2018 г.
92. Гурвиц, Л., Классическая детерминированная сложность проблемы Эдмондса и квантовая запутанность, в материалах 35-го симпозиума ACM по теории вычислений, ACM Press, Нью-Йорк, 2003.
93. Севаг Гарибян, Сильная NP-твердость Проблема квантовой отделимости, Квантовая информация и что известно как Квантовые вычисления, Vol. 10, № 3 и 4, стр. 343–360, 2010 г. arXiv:0810.4507.
94. Hofmann, Holger F .; Такеучи, Сигеки (22 сентября 2003 г.). «Нарушение отношений локальной неопределенности как признак запутанности». Физический обзор A. 68 (3): 032103. arXiv:Quant-ph / 0212090. Bibcode:2003PhRvA..68c2103H. Дои:10.1103 / PhysRevA.68.032103. S2CID  54893300.
95. Гюне, Отфрид (18 марта 2004 г.). «Характеристика запутанности через отношения неопределенности». Письма с физическими проверками. 92 (11): 117903. arXiv:Quant-ph / 0306194. Bibcode:2004PhRvL..92k7903G. Дои:10.1103 / PhysRevLett.92.117903. PMID  15089173. S2CID  5696147.
96. Гюне, Отфрид; Левенштейн, Мацей (24 августа 2004 г.). «Энтропийные отношения неопределенности и запутанность». Физический обзор A. 70 (2): 022316. arXiv:Quant-ph / 0403219. Bibcode:2004PhRvA..70b2316G. Дои:10.1103 / PhysRevA.70.022316. S2CID  118952931.
97. Хуан, Ичэнь (29 июля 2010 г.). «Критерии запутанности через отношения неопределенности вогнутой функции». Физический обзор A. 82 (1): 012335. Bibcode:2010PhRvA..82a2335H. Дои:10.1103 / PhysRevA.82.012335.
98. Гюне, Отфрид; Тот, Геза (2009). «Обнаружение запутывания». Отчеты по физике. 474 (1–6): 1–75. arXiv:0811.2803. Bibcode:2009ФР ... 474 .... 1Г. Дои:10.1016 / j.physrep.2009.02.004. S2CID  119288569.
99. Лейнаас, Джон Магне; Myrheim, Ян; Оврум, Эйрик (2006). «Геометрические аспекты запутанности». Физический обзор A. 74: 012313. arXiv:Quant-ph / 0605079. Дои:10.1103 / PhysRevA.74.012313. S2CID  119443360.
100. Саймон Р. (2000). "Критерий разделимости Переса-Городецкого для непрерывных переменных систем". Письма с физическими проверками. 84 (12): 2726–2729. arXiv:Quant-ph / 9909044. Bibcode:2000ПхРвЛ..84.2726С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.84.2726. PMID  11017310. S2CID  11664720.
101. Дуань, Лу-Мин; Giedke, G .; Cirac, J. I .; Золлер, П. (2000). «Критерий неразрывности систем с непрерывными переменными». Письма с физическими проверками. 84 (12): 2722–2725. arXiv:Quant-ph / 9908056. Bibcode:2000ПхРвЛ..84.2722Д. Дои:10.1103 / PhysRevLett.84.2722. PMID  11017309. S2CID  9948874.
102. Werner, R. F .; Вольф, М. М. (2001). «Связанные запутанные гауссовские состояния». Письма с физическими проверками. 86 (16): 3658–3661. arXiv:Quant-ph / 0009118. Bibcode:2001ПхРвЛ..86.3658Вт. Дои:10.1103 / PhysRevLett.86.3658. PMID  11328047. S2CID  20897950.
103. Щукин, Э .; Фогель, В. (2005). «Критерии неразрывности для непрерывных двудольных квантовых состояний». Письма с физическими проверками. 95 (23): 230502. arXiv:Quant-ph / 0508132. Bibcode:2005PhRvL..95w0502S. Дои:10.1103 / PhysRevLett.95.230502. PMID  16384285. S2CID  28595936.
104. Хиллери, Марк; Зубайри, М. Сухайль (2006). «Условия зацепления для двухрежимных состояний». Письма с физическими проверками. 96 (5): 050503. arXiv:Quant-ph / 0507168. Bibcode:2006PhRvL..96e0503H. Дои:10.1103 / PhysRevLett.96.050503. PMID  16486912. S2CID  43756465.
105. Walborn, S .; Taketani, B .; Salles, A .; Тоскано, Ф .; де Матос Филью Р. (2009). «Критерии энтропийной запутанности для непрерывных переменных». Письма с физическими проверками. 103 (16): 160505. arXiv:0909.0147. Bibcode:2009PhRvL.103p0505W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.103.160505. PMID  19905682. S2CID  10523704.
106. Ичэнь Хуан (октябрь 2013 г.). «Обнаружение запутанности: сложность и энтропийные критерии Шеннона». IEEE Transactions по теории информации. 59 (10): 6774–6778. Дои:10.1109 / TIT.2013.2257936. S2CID  7149863.
107. http://physicsworld.com/cws/article/news/2016/aug/16/china-launches-world-s-first-quantum-science-s satellite
108. Инь, Хуан; Цао, юань; Ли, Ю-Хуай; Ляо, Шэн-Кай; Чжан, Лян; Рен, Джи-Ган; Цай, Вэнь-Ци; Лю, Вэй-Юэ; Ли, Бо; Дай, Хуэй; Ли, Гуан-Бин; Лу, Ци-Мин; Гонг, Юнь-Хун; Сюй, Ю; Ли, Шуанг-Линь; Ли, Фэн-Чжи; Инь, Я-Юнь; Цзян, Цзы-Цин; Ли, Мин; Цзя, Цзянь-Цзюнь; Рен, Ге; Он, Донг; Чжоу И-Линь; Чжан, Сяо-Сян; Ван, На; Чанг, Сян; Чжу, Чжэнь-Цай; Лю, Най-Ле; Чен, Ю-Ао; Лу, Чао-Ян; Шу, Ронг; Пэн, Чэн-Чжи; Ван, Цзянь-Ю; Пан, Цзянь-Вэй (2017). «Спутниковое распределение запутанности на 1200 километров». Наука. 356 (6343): 1140–1144. Дои:10.1126 / science.aan3211. PMID  28619937.
109. «Квантовый спутник Китая совершает« жуткое действие »на рекордном расстоянии». 14 июня 2017.
110. Фрэнк Дженсен: Введение в вычислительную химию. Wiley, 2007 г., ISBN  978-0-470-01187-4.
111. Пресс-релиз лаборатории Беркли: Распутывание квантовой запутанности, стоящей за фотосинтезом: ученые из Беркли пролили новый свет на секреты зеленых растений.
112. Мохан Саровар, Акихито Ишизаки, Грэм Р. Флеминг, К. Биргитта Уэйли: Квантовая запутанность в фотосинтетических светособирающих комплексах. arXiv:0905.3787
113. Р. Темпелаар; Т. Л. К. Янсен; Дж. Кнестер (2014). «Вибрационные биения скрывают доказательства электронной когерентности в светоуборочном комплексе FMO». J. Phys. Chem. B. 118 (45): 12865–12872. Дои:10.1021 / jp510074q. PMID  25321492.
114. Н. Кристенсон; Х. Ф. Кауфманн; Т. Пуллериц; Т. Манкал (2012). "Происхождение долгоживущих когерентностей в светоуборочных комплексах". J. Phys. Chem. B. 116 (25): 7449–7454. arXiv:1201.6325. Bibcode:2012arXiv1201.6325C. Дои:10.1021 / jp304649c. ЧВК  3789255. PMID  22642682.
115. А. Колли; Э. Дж. О’Рейли; Г. Д. Скоулз; А. Олайя-Кастро (2012). «Фундаментальная роль квантованных колебаний в когерентном сборе света криптофитными водорослями». J. Chem. Phys. 137 (17): 174109. arXiv:1203.5056. Bibcode:2012ЖЧФ.137q4109К. Дои:10.1063/1.4764100. PMID  23145719. S2CID  20156821.
116. В. Буткус; Д. Зигмантас; Л. Валкунас; Д. Абрамавичюс (2012). «Колебательная и электронная когерентности в двумерном спектре молекулярных систем». Chem. Phys. Латыш. 545 (30): 40–43. arXiv:1201.2753. Bibcode:2012CPL ... 545 ... 40B. Дои:10.1016 / j.cplett.2012.07.014. S2CID  96663719.
117. В. Тивари; В. К. Петерс; Д. М. Йонас (2013). «Электронный резонанс с антикоррелированными колебаниями пигмента приводит к передаче фотосинтетической энергии за пределы адиабатического каркаса». Proc. Natl. Акад. Sci. Соединенные Штаты Америки. 110 (4): 1203–1208. Дои:10.1073 / pnas.1211157110. ЧВК  3557059. PMID  23267114.
118. Э. Тирхауг; К. Зидек; Дж. Досталь; Д. Бина; Д. Зигмантас (2016). «Экситонная структура и перенос энергии в комплексе Фенна-Мэтьюз-Олсон». J. Phys. Chem. Латыш. 7 (9): 1653–1660. Дои:10.1021 / acs.jpclett.6b00534. PMID  27082631.
119. Y. Fujihashi; Г. Р. Флеминг; А. Ишизаки (2015). «Влияние флуктуаций, вызванных окружающей средой, на квантово-механически смешанные электронные и колебательные состояния пигмента в фотосинтетической передаче энергии и двумерных электронных спектрах». J. Chem. Phys. 142 (21): 212403. arXiv:1505.05281. Bibcode:2015ЖЧФ.142у2403Ф. Дои:10.1063/1.4914302. PMID  26049423. S2CID  1082742.
120. «Квантовая запутанность между удаленными большими объектами». Phys.org. Получено 9 октября 2020.
121. Thomas, Rodrigo A .; Парняк, Михал; Остфельдт, Кристофер; Møller, Christoffer B .; Берентсен, Кристиан; Цатурян, Егише; Шлиссер, Альберт; Аппель, Юрген; Цойтен, Эмиль; Пользик, Евгений С. (21 сентября 2020 г.). «Запутанность далеких макроскопических механических и спиновых систем». Природа Физика: 1–6. arXiv:2003.11310. Дои:10.1038 / s41567-020-1031-5. ISSN  1745-2481. S2CID  214641162. Получено 9 октября 2020.
122. Marletto, C .; Coles, D.M .; Farrow, T .; Ведрал, В. (10 октября 2018 г.). «Запутывание между живыми бактериями и квантованным светом, засвидетельствованное расщеплением Раби». Journal of Physics Communications. 2 (10): 101001. arXiv:1702.08075. Bibcode:2018JPhCo ... 2j1001M. Дои:10.1088 / 2399-6528 / aae224. S2CID  119236759. Текст и изображения доступны под Международная лицензия Creative Commons Attribution 4.0.
123. О'Каллаган, Джонатан (29 октября 2018 г.). ""Бактерия Шредингера «может стать важной вехой в квантовой биологии - недавний эксперимент мог поместить живые организмы в состояние квантовой запутанности». Scientific American. Получено 29 октября 2018.
124. Krisnanda, T .; Marletto, C .; Ведрал, В .; Патерностро, М .; Патерек, Т. (2018). «Исследование квантовых характеристик фотосинтезирующих организмов». Квантовая информация NPJ. 4: 60. Дои:10.1038 / s41534-018-0110-2.

дальнейшее чтение

• Бенгтссон I; Cyczkowski K (2006). «Геометрия квантовых состояний». Введение в квантовую запутанность. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. второе, переработанное издание (2017 г.)
• Крамер, JG (2015). Квантовое рукопожатие: запутанность, нелокальность и транзакции. Springer Verlag. ISBN  978-3-319-24642-0.
• Duarte, FJ (2019). Основы квантовой запутанности. Бристоль, Великобритания: Институт физики. ISBN  978-0-7503-2226-3.
• Gühne, O .; Тот, Г. (2009). «Обнаружение запутывания». Отчеты по физике. 474 (1–6): 1–75. arXiv:0811.2803. Bibcode:2009ФР ... 474 .... 1Г. Дои:10.1016 / j.physrep.2009.02.004. S2CID  119288569.
• Городецкий Р., Городецкий П., Городецкий М., Городецкий К.; Городецкий; Городецкий; Городецкий (2009). «Квантовая запутанность». Ред. Мод. Phys. 81 (2): 865–942. arXiv:Quant-ph / 0702225. Bibcode:2009RvMP ... 81..865H. Дои:10.1103 / RevModPhys.81.865. S2CID  59577352.
• Jaeger G (2009). Запутанность, информация и интерпретация квантовой механики. Гейдельберг: Спрингер. ISBN  978-3-540-92127-1.
• Пленио МБ, Вирмани С; Вирмани (2007). «Введение в меры запутывания». Quant. Инф. Comp. 1 (7): 1–51. arXiv:Quant-ph / 0504163. Bibcode:2005квант.ч..4163P.
• Шедболт П.Дж., Верде М.Р., Перуццо А., Полити А., Лейнг А., Лобино М., Мэтьюз Дж. К. Ф., Томпсон М. Г., О'Брайен Дж. Л.; Верде; Перуццо; Politi; Лэнг; Лобино; Мэтьюз; Томпсон; О'Брайен (2012). «Создание, управление и измерение запутанности и смешения с реконфигурируемой фотонной схемой». Природа Фотоника. 6 (1): 45–59. arXiv:1108.3309. Bibcode:2012НаФо ... 6 ... 45S. Дои:10.1038 / nphoton.2011.283. S2CID  56206588.
• Стюард Э. Г. (2008). Квантовая механика: ее раннее развитие и путь к запутанности. Imperial College Press. ISBN  978-1-86094-978-4.
• Ведрал В. (2002). «Роль относительной энтропии в квантовой теории информации». Обзоры современной физики. 74 (1): 197–234. arXiv:Quant-ph / 0102094. Bibcode:2002РвМП ... 74..197В. Дои:10.1103 / RevModPhys.74.197. S2CID  6370982.

внешняя ссылка

• Оригинальный документ ЭПР
• Квантовая запутанность в Стэнфордской энциклопедии философии
• Как экспериментально запутать фотоны (требуется подписка)
• Творческая интерпретация квантовой запутанности
• Грудь Альберта: запутывание для мирян
• Как работает квантовая запутанность
• Пояснительное видео Scientific American журнал
• Hanson Lab - Тест Белла без петель «Жуткое действие на расстоянии», без обмана.
• Два алмаза, соединенные странной квантовой связью
• Эксперимент запутывания с парами фотонов - интерактивный
• Множественная запутанность и квантовое повторение
• Квантовая запутанность и теорема Белла на MathPages
• Аудио - Каин / Гей (2009) Астрономический состав Запутанность
• Записанные исследовательские семинары в Имперском колледже, посвященные квантовой запутанности
• Квантовая запутанность и декогеренция: 3-я Международная конференция по квантовой информации (ICQI)
• Квантовая обработка информации с захватом ионов
• IEEE Spectrum в сети: Техника ловушки
• Эйнштейн был неправ?: Квантовая угроза специальной теории относительности
• Жуткие действия на расстоянии?: Лекция Оппенгеймера, профессор Дэвид Мермин (Корнельский университет) Univ. Калифорния, Беркли, 2008 г. Популярная нематематическая лекция на YouTube, опубликована в марте 2008 г.