Лазейки в тестовых экспериментах Белла - Loopholes in Bell test experiments

В Белл тестовые эксперименты, могут возникнуть проблемы с дизайном или установкой эксперимента, которые влияют на достоверность экспериментальных результатов. Эти проблемы часто называют «лазейками». См. Статью о Теорема Белла теоретические основы этих экспериментальных усилий (см. также Джон Стюарт Белл ). Цель эксперимента - проверить, можно ли лучше всего описать природу с помощью теория локальных скрытых переменных или квантовая запутанность теория квантовая механика.

Проблема «эффективности обнаружения» или «справедливой выборки» - самая распространенная лазейка в оптических экспериментах. Еще одна лазейка, которую чаще обращают на себя, - это коммуникация, то есть местность. Существует также лазейка «несвязанного измерения», которая влечет за собой использование нескольких выборок для получения корреляций по сравнению с «совместным измерением», когда одна выборка используется для получения всех корреляций, используемых в неравенстве. На сегодняшний день ни одна проверка одновременно не закрыла все лазейки.

Рональд Хэнсон из Делфтский технологический университет заявляет о первом эксперименте Bell, который закрывает лазейки как для обнаружения, так и для связи.^[1] (Это не был оптический эксперимент в том смысле, который обсуждается ниже; запутанные степени свободы были электронными спинами, а не поляризацией фотонов.) Тем не менее, корреляции классических оптических полей также нарушают неравенство Белла.^[2]

В некоторых экспериментах могут быть дополнительные дефекты, из-за которых "местный реалист" возможные объяснения нарушений теста Белла;^[3] они кратко описаны ниже.

Многие современные эксперименты направлены на обнаружение квантовая запутанность вместо того, чтобы исключать локальные теории скрытых переменных, и эти задачи различны, поскольку первая принимает квантовую механику с самого начала (нет запутанность без квантовая механика ). Это регулярно делается с помощью Теорема Белла, но в этой ситуации теорема используется как свидетель запутывания, разделительная линия между запутанными квантовыми состояниями и разделяемыми квантовыми состояниями, и как таковая не так чувствительна к проблемам, описанным здесь. В октябре 2015 года ученые из Кавли Институт нанонауки сообщил, что квантовая нелокальность Этот феномен подтверждается на уровне достоверности 96%, основанном на исследовании «теста Белла без лазеек».^[4][5] Эти результаты были подтверждены двумя исследованиями со статистической значимостью более 5 стандартных отклонений, которые были опубликованы в декабре 2015 года.^[6][7] Однако Ален Аспект пишет, что Ни один эксперимент нельзя назвать полностью свободным от лазеек.^[8]

Лазейки

Эффективность обнаружения или честная выборка

В тестовых экспериментах Белла одна проблема заключается в том, что эффективность обнаружения может быть менее 100%, и это всегда имеет место в оптических экспериментах. На эту проблему впервые обратил внимание Перл в 1970 г.^[9] и Клаузер и Хорн (1974) разработал другой результат, предназначенный для решения этой проблемы. Некоторые результаты были также получены в 1980-х годах, но в последние годы этот предмет подвергся серьезным исследованиям. Многие эксперименты, затронутые этой проблемой, решают ее без исключения, используя допущение «справедливой выборки» (см. Ниже).

Эта лазейка меняет используемые неравенства; например ЧШ неравенство:

${\displaystyle {\big |}E(AC')+E(AD'){\big |}+{\big |}E(BC')-E(BD'){\big |}\leq 2}$

изменено. Когда в неравенстве используются данные эксперимента, необходимо оговорить, что «совпадение» произошло, что обнаружение произошло в обоих крыльях эксперимента. Это изменится^[10] неравенство в

${\displaystyle {\big |}E(AC'|{\text{coinc.}})+E(AD'|{\text{coinc.}}){\big |}+{\big |}E(BC'|{\text{coinc.}})-E(BD'|{\text{coinc.}}){\big |}\leq {\frac {4}{\eta }}-2}$

В этой формуле ${\displaystyle \eta }$ обозначает эффективность эксперимента, формально минимальную вероятность совпадения при обнаружении с одной стороны.^[11][10] В квантовой механике левая часть достигает ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$, что больше двух, но для КПД, отличного от 100%, последняя формула имеет большую правую часть. И при низком КПД (ниже ${\displaystyle 2/({\sqrt {2}}+1)}$≈83%) неравенство больше не нарушается.

Все оптические эксперименты подвержены этой проблеме, имея типичный КПД около 5-30%. Несколько неоптических систем, таких как захваченные ионы,^[12] сверхпроводящие кубиты^[13] и центры NV^[14] смогли обойти лазейку в обнаружении. К сожалению, все они все еще уязвимы для лазейки в коммуникации.

Есть тесты, которые не чувствительны к этой проблеме, например Тест Клаузера-Хорна, но они имеют ту же эффективность, что и последнее из двух неравенств, указанных выше; они не могут быть нарушены, если эффективность не превышает определенного предела. Например, если использовать так называемое неравенство Эберхарда, оценка будет 2/3.^[15]

Допущение о справедливой выборке

Обычно в отношении этой лазейки используется допущение справедливой выборки (в качестве альтернативы, «допущение отсутствия улучшения»). В нем указано, что выборка обнаруженных пар представляет собой испускаемые пары, и в этом случае правая часть в приведенном выше уравнении уменьшается до 2, независимо от эффективности. Это включает третий постулат, необходимый для нарушения в малоэффективных экспериментах, в дополнение к (двум) постулатам местный реализм. Невозможно экспериментально проверить, делает ли данный эксперимент справедливую выборку, поскольку корреляция испускаемых, но необнаруженных пар по определению неизвестна.

Двойные обнаружения

Во многих экспериментах электроника такова, что одновременный отсчет + и - с обоих выходов поляризатора никогда не может произойти, записывается только один или другой. Под квантовая механика, они в любом случае не произойдут, но в соответствии с волновой теорией подавление этих подсчетов приведет к тому, что даже базовое реалистическое предсказание приведет к несправедливой выборке. Однако эффект незначителен, если эффективность обнаружения низкая.^{[нужна цитата ]}

Связь, или местность

Неравенство Белла мотивировано отсутствием связи между двумя точками измерения. В экспериментах это обычно обеспечивается простым запретом любой связь со скоростью света путем разделения двух участков и последующего обеспечения того, чтобы продолжительность измерения была короче времени, которое потребуется для передачи любого сигнала скорости света от одного участка к другому или даже к источнику. В одном из Ален Аспект В экспериментах междетекторная связь со скоростью света в течение времени между излучением пары и детектированием была возможна, но такой коммуникации между временем фиксации настроек детекторов и временем детектирования не было. Экспериментальная установка без такого положения фактически становится полностью «местной» и, следовательно, не может исключать местный реализм. Кроме того, в идеале план эксперимента должен быть таким, чтобы настройки для каждого измерения не определялись каким-либо более ранним событием на обеих станциях измерения.

Джон Белл поддержал Аспект расследование этого^[16] и принимал активное участие в работе, будучи членом экзаменационной комиссии на соискание степени доктора философии Аспекта. Aspect улучшил разделение сайтов и сделал первую попытку получить действительно независимые случайные ориентации детекторов. Weihs et al. улучшили это с помощью расстояния порядка нескольких сотен метров в своем эксперименте в дополнение к использованию случайных настроек, полученных из квантовой системы.^[17] Scheidl et al. (2010) улучшили это положение, проведя эксперимент между местоположениями, разделенными расстоянием 144 км (89 миль).^[18]

Нарушение вращательной инвариантности

Источник называется "инвариантным относительно вращения", если все возможные значения скрытых переменных (описывающих состояния испускаемых пар) равновероятны. Общая форма теста Белла не предполагает вращательной инвариантности, но ряд экспериментов был проанализирован с использованием упрощенной формулы, которая зависит от нее. Возможно, что не всегда было адекватное тестирование, чтобы оправдать это. Даже там, где, как это обычно бывает, фактически применяемый тест является общим, если скрытые переменные не инвариантны относительно вращения, это может привести к неверному описанию результатов. Могут быть представлены графики, например, зависимости степени совпадения от разницы между настройками a и b, но если бы был проведен более полный набор экспериментов, могло бы стать ясно, что частота зависит от a и b отдельно. В качестве примера можно привести эксперимент Вейха (Weihs, 1998),^[17] представлен как закрытие лазейки на местности, и демонстрация Квиата запутанности с использованием «сверхяркого источника фотонов» (Kwiat, 1999).^[19]

Лазейка совпадений

Во многих экспериментах, особенно в тех, которые основаны на поляризации фотонов, пары событий в двух крыльях эксперимента идентифицируются как принадлежащие к одной паре только после проведения эксперимента, исходя из того, достаточно ли близки их времена обнаружения друг к другу. . Это создает новую возможность для теории локальных скрытых переменных "подделывать" квантовые корреляции: задерживать время обнаружения каждой из двух частиц на большую или меньшую величину в зависимости от некоторой связи между скрытыми переменными, переносимыми частицами, и обнаруженными настройками детектора. на измерительной станции. Эта лазейка была отмечена А. Файном в 1980 и 1981 гг., С. Паскацио в 1986 г. и Дж. Ларссоном и Р. Д. Гиллом в 2004 г. Она оказывается более серьезной, чем лазейка обнаружения, поскольку дает больше места для местных скрытые переменные для воспроизведения квантовых корреляций для той же эффективной экспериментальной эффективности: вероятность того, что частица 1 будет принята (лазейка совпадения) или измерена (лазейка обнаружения), при условии, что частица 2 обнаружена.

Лазейку совпадений можно полностью исключить, просто работая с заранее заданной решеткой окон обнаружения, которые достаточно короткие, чтобы большинство пар событий, происходящих в одном окне, действительно происходили с одним и тем же излучением, и достаточно длинные, чтобы настоящая пара не разделялась. границей окна.

Лазейка в памяти

В большинстве экспериментов измерения повторно проводят в одних и тех же двух местах. При локальном реализме могут иметь место эффекты памяти, приводящие к статистической зависимости между последующими парами измерений. Более того, физические параметры могут меняться во времени. Было показано, что при условии, что каждая новая пара измерений выполняется с новой случайной парой настроек измерения, ни память, ни неоднородность времени не оказывают серьезного влияния на эксперимент.^[20][21][22]

Источники ошибок в (оптических) тестовых экспериментах Белла

В случае Белл тестовые эксперименты, если есть источники ошибок (которые не учитываются экспериментаторами), которые могут быть достаточно важными, чтобы объяснить, почему конкретный эксперимент дает результаты в пользу квантовая запутанность в отличие от местный реализм, их называют бойницами. Здесь объясняются некоторые примеры существующих и гипотетических экспериментальных ошибок. Конечно, во всех физических экспериментах есть источники ошибок. В следующих разделах обсуждается вопрос о том, были ли какие-либо из представленных здесь достаточно важными, чтобы их можно было назвать лазейками в целом или из-за возможных ошибок исполнителей некоторых известных экспериментов, обнаруженных в литературе. Существуют также неоптические тестовые эксперименты Bell, которые здесь не обсуждаются.^[13]

Пример типичного эксперимента

Схема "двухканального" оптического теста Белла ЧШ.
Предполагается, что источник S производит пары «фотонов», по одной паре за раз, при этом отдельные фотоны посылаются в противоположных направлениях. Каждый фотон встречает двухканальный поляризатор, ориентацию которого может задавать экспериментатор. Сигналы, возникающие из каждого канала, обнаруживаются, а совпадения подсчитываются CM "монитора совпадений". Предполагается, что любой отдельный фотон должен пройти в поляризаторе так или иначе. В запутанность Гипотеза утверждает, что два фотона в паре (из-за их общего происхождения) имеют общую волновую функцию, так что измерение одного из фотонов мгновенно влияет на другой, независимо от расстояния между ними. Этот эффект получил название Парадокс ЭПР (хотя это не правда парадокс ). В Местный реализм гипотеза, с другой стороны, утверждает, что измерение одного фотона не оказывает никакого влияния на другой.

В качестве основы для описания экспериментальных ошибок рассмотрим типичный эксперимент ЧШ типа (см. рисунок справа). В эксперименте предполагается, что источник излучает свет в виде пар частиц-подобных фотонов, причем каждый фотон направляется в противоположных направлениях. Когда фотоны регистрируются одновременно (в действительности в течение одного и того же короткого интервала времени) с обеих сторон «монитора совпадений», засчитывается обнаружение совпадений. С каждой стороны монитора совпадений есть два входа, которые здесь названы «+» и «-». Отдельные фотоны должны (согласно квантовой механике) сделать выбор и уйти в ту или иную сторону в двухканальном поляризаторе. Для каждой пары, испускаемой источником, в идеале либо +, либо - вход с обеих сторон будет обнаруживать фотон. Четыре возможности можно разделить на ++, + -, - + и −−. Количество одновременных обнаружений всех четырех типов (далее ${\textstyle N_{++}}$, ${\displaystyle N_{+-}}$, ${\displaystyle N_{-+}}$ и ${\displaystyle N_{--}}$) подсчитывается за промежуток времени, охватывающий количество выбросов от источника. Затем рассчитывается:

${\displaystyle E={\frac {N_{++}+N_{--}-N_{+-}-N_{-+}}{N_{++}+N_{--}+N_{+-}+N_{-+}}}}$

Это делается с помощью поляризатора ${\displaystyle a}$ повернут на две позиции ${\textstyle a}$ и ${\textstyle a'}$, и поляризатор ${\displaystyle b}$ на две позиции ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle b'}$, так что мы получаем ${\displaystyle E(a,b)}$, ${\displaystyle E(a,b')}$, ${\displaystyle E(a',b)}$ и ${\displaystyle E(a',b')}$. Затем рассчитывается:

${\displaystyle S=E(a,b)-E(a,b')+E(a',b)+E(a',b')}$

Запутанность и локальный реализм дают разные прогнозируемые значения на S, таким образом, эксперимент (при отсутствии существенных источников ошибок) указывает, какая из двух теорий лучше соответствует действительности.^{[нужна цитата ]}

Источники ошибки в источнике света

Основные возможные ошибки в источнике света:

• Нарушение вращательной инвариантности: свет от источника может иметь предпочтительное направление поляризации, и в этом случае он не является вращательно-инвариантным.
• Множественное излучение: источник света может излучать несколько пар одновременно или в течение короткого промежутка времени, вызывая ошибку при обнаружении.^[23]

Источники погрешности оптического поляризатора

• Недостатки поляризатора: поляризатор может по-разному влиять на относительную амплитуду или другие аспекты отраженного и проходящего света.^{[нужна цитата ]}

Источники ошибок в детекторе или настройках детектора

• Эксперимент может быть настроен так, чтобы не обнаруживать фотоны одновременно на входах «+» и «-» на одной стороне эксперимента. Если источник может испускать более одной пары фотонов в любой момент времени или, например, сближаться друг за другом, это может вызвать ошибки в обнаружении.
• Недостатки детектора: неспособность обнаруживать некоторые фотоны или обнаруживать фотоны даже при выключенном источнике света (шум).^{[нужна цитата ]}

Свободный выбор ориентации детектора

Эксперимент требует выбора ориентации детекторов. Если бы в этом свободном выборе каким-либо образом было отказано, то могла бы быть открыта другая лазейка, поскольку наблюдаемые корреляции потенциально могут быть объяснены ограниченным выбором ориентации детектора. Таким образом, даже если все экспериментальные лазейки будут закрыты, супердетерминизм может позволить построить локальную реалистичную теорию, согласующуюся с экспериментом.^[24]

Рекомендации

Примечания

1. Мерали, Зея (27 августа 2015 г.). «Квантовая« жуткость »проходит самое сложное испытание». nature.com.
2. Сяо-Фэн Цянь; Литтл, Бетани; Хауэлл, Джон С .; Эберли, Дж. (25 июня 2015 г.). «Сдвиг квантово-классической границы: теория и эксперимент для статистически классических оптических полей». Optica. 2 (7): 611. arXiv:1506.01305. Дои:10.1364 / OPTICA.2.000611.
3. И. Герхардт; Q. Liu; А. Ламас-Линарес; Дж. Скаар; В. Скарани; и другие. (2011). «Экспериментально симулируйте нарушение неравенств Белла». Phys. Rev. Lett. 107 (17): 170404. arXiv:1106.3224. Bibcode:2011PhRvL.107q0404G. Дои:10.1103 / PhysRevLett.107.170404. PMID  22107491.
4. Hensen, B .; и другие. (21 октября 2015 г.). «Нарушение неравенства Белла без петель с использованием электронных спинов, разделенных расстоянием 1,3 километра». Природа. 526 (7575): 682–686. arXiv:1508.05949. Bibcode:2015Натура.526..682H. Дои:10.1038 / природа15759. PMID  26503041.
5. Марков, Джек (21 октября 2015 г.). «Извини, Эйнштейн. Квантовое исследование предполагает, что« жуткое действие »реально» ». Нью-Йорк Таймс. Получено Двадцать первое октября, 2015.
6. Джустина, М .; и другие. (16 декабря 2015 г.). "Тест на наличие значительных петель теоремы Белла с запутанными фотонами". Письма с физическими проверками. 115 (25): 250401. arXiv:1511.03190. Bibcode:2015ПхРвЛ.115у0401Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.115.250401. PMID  26722905.
7. Shalm, L.K .; и другие. (16 декабря 2015 г.). «Сильная проверка локального реализма на отсутствие лазеек». Письма с физическими проверками. 115 (25): 250402. arXiv:1511.03189. Bibcode:2015ПхРвЛ.115у0402С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.115.250402. ЧВК  5815856. PMID  26722906.
8. Аспект, Алена (16 декабря 2015 г.). «Закрытие двери квантовым дебатам Эйнштейна и Бора». Физика. 8: 123. Bibcode:2015PhyOJ ... 8..123A. Дои:10.1103 / Физика.8.123.
9. Филип М. Перл (1970). «Пример скрытой переменной, основанный на отклонении данных». Phys. Ред. D. 2 (8): 1418–25. Bibcode:1970ПхРвД ... 2.1418П. Дои:10.1103 / PhysRevD.2.1418.
10. Ян-Оке Ларссон (1998). «Неравенство Белла и неэффективность детектора». Phys. Ред. А. 57 (5): 3304–8. Bibcode:1998ПхРвА..57.3304Л. Дои:10.1103 / PhysRevA.57.3304.
11. Анупам Гарг; Н.Д. Мермин (1987). «Неэффективность детекторов в эксперименте Эйнштейна-Подольского-Розена». Phys. Ред. D. 25 (12): 3831–5. Bibcode:1987ПхРвД..35.3831Г. Дои:10.1103 / PhysRevD.35.3831.
12. М.А. Роу; Д. Килпински; В. Мейер; C.A. Сакетт; W.M. Итано; и другие. (2001). «Экспериментальное нарушение неравенства Белла с эффективным обнаружением» (PDF). Природа. 409 (6822): 791–94. Bibcode:2001Натура.409..791K. Дои:10.1038/35057215. HDL:2027.42/62731. PMID  11236986.
13. Ansmann, M .; Wang, H .; Bialczak, R.C .; Hofheinz, M .; Lucero, E .; и другие. (24 сентября 2009 г.). «Нарушение неравенства Белла в джозефсоновских фазовых кубитах». Природа. 461 (7263): 504–506. Bibcode:2009Натура.461..504A. Дои:10.1038 / природа08363. PMID  19779447.
14. Pfaff, W .; Taminiau, T. H .; Робледо, Л .; Bernien, H .; Markham, M .; и другие. (2013). «Демонстрация измерения запутанности твердотельных кубитов». Природа Физика. 9 (1): 29–33. arXiv:1206.2031. Bibcode:2013НатФ ... 9 ... 29П. Дои:10.1038 / nphys2444.
15. P.H. Эберхард (1993). «Уровень фона и противодействие, необходимые для эксперимента Эйнштейна-Подольского-Розена без лазеек». Физический обзор A. 47 (2): 747–750.
16. Дж. С. Белл (1980). «Атомно-каскадные фотоны и квантово-механическая нелокальность». Комментарии At. Мол. Phys. 9: 121–126. Печатается как Дж. С. Белл (1987). «Глава 13». Разговорчивый и непроизносимый в квантовой механике. Издательство Кембриджского университета. п. 109.
17. Г. Вейхс; Т. Дженневейн; К. Саймон; Х. Вайнфуртер; А. Цайлингер (1998). «Нарушение неравенства Белла при строгих условиях локальности Эйнштейна». Phys. Rev. Lett. 81 (23): 5039–5043. arXiv:Quant-ph / 9810080. Bibcode:1998PhRvL..81.5039W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.81.5039.
18. Т. Шайдл; и другие. (2010). «Нарушение местного реализма со свободой выбора». Proc. Natl. Акад. Наука. 107 (46): 19708–19713. arXiv:0811.3129. Bibcode:2010PNAS..10719708S. Дои:10.1073 / pnas.1002780107. ЧВК  2993398. PMID  21041665.
19. П.Г. Квиат; Э. Вакс; А.Г. Уайт; И. Аппельбаум; P.H. Эберхард (1999). «Сверхъяркий источник поляризационно-запутанных фотонов». Физический обзор A. 60 (2): R773–6. arXiv:Quant-ph / 9810003. Bibcode:1999ПхРвА..60..773К. Дои:10.1103 / PhysRevA.60.R773.
20. Барретт, Джонатан; Коллинз, Дэниел; Харди, Люсьен; Кент, Адриан; Попеску, Санду (2002). «Квантовая нелокальность, неравенства Белла и лазейка в памяти». Phys. Ред. А. 66 (4). 042111. arXiv:Quant-ph / 0205016. Bibcode:2002PhRvA..66d2111B. Дои:10.1103 / PhysRevA.66.042111.
21. Гилл, Ричард Д. (2003). "Accardi contra Bell (cum mundi): Невозможная связь". У М. Мура; С. Фрода; К. Леже (ред.). Математическая статистика и приложения: Festschrift для Констанции ван Иден. Конспект лекций IMS - Серия монографий. 42. Бичвуд, Огайо: Институт математической статистики. С. 133–154. arXiv:Quant-ph / 0110137.
22. Гилл, Ричард Д. (2002). «Время, конечная статистика и пятая позиция Белла». Материалы конференции «Основы теории вероятностей и физики» - 2: Векшё (Соланд), Швеция, 2-7 июня 2002 г.. 5. Издательство Växjö University Press. С. 179–206. arXiv:Quant-ph / 0301059.
23. Фазель, Сильвен; Алибарт, Оливье; Танзилли, Себастьян; Бальди, Паскаль; Бевератос, Алексиос; и другие. (1 ноября 2004 г.). «Высококачественный асинхронный однофотонный источник на телекоммуникационной длине волны». Новый журнал физики. 6 (1): 163. arXiv:Quant-ph / 0408136. Bibcode:2004NJPh .... 6..163F. Дои:10.1088/1367-2630/6/1/163.
24. Кайзер, Дэвид (14 ноября 2014 г.). "Реальна ли квантовая запутанность?". nytimes.com.

Источники

• Дж. С. Белл, Интервью BBC Radio с Полом Дэвисом, 1985 г.
• Дж. С. Белл (февраль 1977 г.). «Свободные переменные и локальная причинность». Эпистемологические письма. Печатается как Дж. С. Белл (1987). «Глава 12». Разговорчивый и непроизносимый в квантовой механике. Издательство Кембриджского университета.
• Дж. Ф. Клаузер; М.А.Хорн (1974). «Экспериментальные следствия объективных локальных теорий». Phys. Ред. D. 10 (2): 526–35. Bibcode:1974ПхРвД..10..526С. Дои:10.1103 / PhysRevD.10.526.
• С.Дж. Вольноотпущенник; Дж. Ф. Клаузер (1972). «Экспериментальная проверка локальных теорий скрытых переменных» (PDF). Phys. Rev. Lett. 28 (14): 938–941. Bibcode:1972ПхРвЛ..28..938Ф. Дои:10.1103 / Physrevlett.28.938.
• Кэролайн Х. Томпсон (1996). «Хаотический шар: интуитивная аналогия для экспериментов ЭПР». Найденный. Phys. Латыш. 9 (4): 357–82. arXiv:Quant-ph / 9611037. Bibcode:1996ФОФЛ ... 9..357Т. Дои:10.1007 / BF02186307.
• В. Титтель; Дж. Брендель; Б. Гисин; Т. Херцог; Х. Збинден; Н. Гисин (1998). «Экспериментальная демонстрация квантовых корреляций на расстоянии более 10 километров». Физический обзор A. 57 (5): 3229–3232. arXiv:Quant-ph / 9707042. Bibcode:1998ПхРвА..57.3229Т. Дои:10.1103 / PhysRevA.57.3229.
• В. Титтель; Дж. Брендель; Н. Гисин; Х. Збинден (1999). «Испытания типа Белла на большом расстоянии с использованием фотонов, запутанных по энергии-времени». Phys. Ред. А. 59 (6): 4150–63. arXiv:Quant-ph / 9809025. Bibcode:1999ПхРвА..59.4150Т. Дои:10.1103 / PhysRevA.59.4150.