Колебания круговой мембраны - Vibrations of a circular membrane

Один из возможных режимов вибрации идеализированного круга. барабан (Режим ${\displaystyle u_{12}}$ с обозначениями ниже). Остальные возможные режимы показаны внизу статьи.

Двумерный эластичная мембрана под напряжением может поддерживать поперечные колебания. Свойства идеализированного барабан можно смоделировать колебания круговой мембраны равномерной толщины, прикрепленные к жесткой раме. Из-за явления резонанс, при определенной вибрации частоты, это резонансные частоты, мембрана может накапливать энергию колебаний, при этом поверхность движется по характерному шаблону стоячие волны. Это называется нормальный режим. Мембрана имеет бесконечное количество этих нормальных режимов, начиная с самой низкой частоты, называемой основной режим.

Существует бесконечно много способов, которыми мембрана может вибрировать, каждый в зависимости от формы мембраны в некоторый начальный момент времени и поперечной скорости каждой точки на мембране в это время. Колебания мембраны задаются решениями двумерной волновое уравнение с Граничные условия Дирихле которые представляют собой ограничение кадра. Можно показать, что любое сколь угодно сложное колебание мембраны можно разложить на возможно бесконечное серии нормальных режимов мембраны. Это аналогично разложению временного сигнала на Ряд Фурье.

Изучение вибраций барабанов привело математиков к постановке известной математической задачи: форму барабана можно услышать, причем ответ был дан в 1992 году в двумерной постановке.

Мотивация

Анализ проблемы вибрирующей головки барабана объясняет ударные инструменты, такие как барабаны и литавры. Однако есть и биологическое применение в работе барабанная перепонка. С образовательной точки зрения режимы двухмерного объекта - удобный способ наглядно продемонстрировать значение мод, узлов, пучностей и даже квантовые числа. Эти концепции важны для понимания структуры атома.

Проблема

Рассмотрим открытый диск ${\displaystyle \Omega }$ радиуса ${\displaystyle a}$ с центром в исходной точке, что будет представлять "неподвижную" форму головки барабана. В любое время ${\displaystyle t,}$ высота формы головки барабана в точке ${\displaystyle (x,y)}$ в ${\displaystyle \Omega }$ измеренная от «неподвижной» формы головки барабана будет обозначаться ${\displaystyle u(x,y,t),}$ которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Позволять ${\displaystyle \partial \Omega }$ обозначить граница из ${\displaystyle \Omega ,}$ то есть круг радиуса ${\displaystyle a}$ с центром в начале координат, который представляет собой жесткую раму, к которой прикреплена головка барабана.

Математическое уравнение, определяющее вибрацию головки барабана, представляет собой волновое уравнение с нулевыми граничными условиями,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right){\text{ for }}(x,y)\in \Omega \,}$

${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega .\,}$

Благодаря круглой геометрии ${\displaystyle \Omega }$, будет удобно пользоваться цилиндрические координаты, ${\displaystyle (r,\theta ,z).}$ Тогда приведенные выше уравнения записываются как

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}\right){\text{ for }}0\leq r<a,0\leq \theta \leq 2\pi \,}$

${\displaystyle u=0{\text{ for }}r=a.\,}$

Здесь, ${\displaystyle c}$ - положительная константа, которая дает скорость, с которой волны поперечной вибрации распространяются в мембране. С точки зрения физических параметров скорость волны c определяется выражением

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {N_{rr}^{*}}{\rho h}}}}$

куда ${\displaystyle N_{rr}^{*}}$, - радиальная мембрана, образующаяся на границе мембраны (${\displaystyle r=a}$), ${\displaystyle h}$, - толщина мембраны, а ${\displaystyle \rho }$ - плотность мембраны. Если мембрана имеет равномерное натяжение, равномерная сила натяжения на заданном радиусе ${\displaystyle r}$ может быть написано

${\displaystyle F=rN_{rr}^{r}=rN_{\theta \theta }^{r}}$

куда ${\displaystyle N_{\theta \theta }^{r}=N_{rr}^{r}}$ - мембрана, равнодействующая в азимутальном направлении.

Осесимметричный случай

Сначала изучим возможные режимы вибрации круглой головки барабана, которые осесимметричный. Тогда функция ${\displaystyle u}$ не зависит от угла ${\displaystyle \theta ,}$ и волновое уравнение упрощается до

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right).}$

Будем искать решения в разделенных переменных, ${\displaystyle u(r,t)=R(r)T(t).}$ Подставив это в уравнение выше и разделив обе части на ${\displaystyle c^{2}R(r)T(t)}$ дает

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {1}{R(r)}}\left(R''(r)+{\frac {1}{r}}R'(r)\right).}$

Левая часть этого равенства не зависит от ${\displaystyle r,}$ а правая часть не зависит от ${\displaystyle t,}$ следует, что обе части должны быть равны некоторой постоянной ${\displaystyle K.}$ Получаем отдельные уравнения для ${\displaystyle T(t)}$ и ${\displaystyle R(r)}$:

${\displaystyle T''(t)=Kc^{2}T(t)\,}$

${\displaystyle rR''(r)+R'(r)-KrR(r)=0.\,}$

Уравнение для ${\displaystyle T(t)}$ имеет решения, которые экспоненциально растут или затухают при ${\displaystyle K>0,}$ линейны или постоянны для ${\displaystyle K=0}$ и периодичны для ${\displaystyle K<0}$. Физически ожидается, что решение проблемы вибрирующей головки барабана будет колебательным во времени, и остается только третий случай, ${\displaystyle K<0,}$ поэтому мы выбираем ${\displaystyle K=-\lambda ^{2}}$ для удобства. Потом, ${\displaystyle T(t)}$ представляет собой линейную комбинацию функций синуса и косинуса,

${\displaystyle T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,}$

Переходя к уравнению для ${\displaystyle R(r),}$ с замечанием, что ${\displaystyle K=-\lambda ^{2},}$ все решения этого дифференциального уравнения второго порядка представляют собой линейную комбинацию Функции Бесселя порядка 0, поскольку это частный случай Дифференциальное уравнение Бесселя:

${\displaystyle R(r)=c_{1}J_{0}(\lambda r)+c_{2}Y_{0}(\lambda r).\,}$

Функция Бесселя ${\displaystyle Y_{0}}$ неограничен для ${\displaystyle r\to 0,}$ что приводит к нефизическому решению проблемы вибрирующей головки барабана, поэтому постоянная ${\displaystyle c_{2}}$ должен быть нулевым. Мы также будем предполагать ${\displaystyle c_{1}=1,}$ так как иначе эта константа может быть позже поглощена константами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ приходящий из ${\displaystyle T(t).}$ Следует, что

${\displaystyle R(r)=J_{0}(\lambda r).}$

Требование, чтобы высота ${\displaystyle u}$ равным нулю на границе головки барабана приводит к условию

${\displaystyle R(a)=J_{0}(\lambda a)=0.}$

Функция Бесселя ${\displaystyle J_{0}}$ имеет бесконечное количество положительных корней,

${\displaystyle 0<\alpha _{01}<\alpha _{02}<\cdots }$

Мы получаем это ${\displaystyle \lambda a=\alpha _{0n},}$ за ${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$ так

${\displaystyle R(r)=J_{0}\left({\frac {\alpha _{0n}}{a}}r\right).}$

Следовательно, осесимметричные решения ${\displaystyle u}$ задачи вибрирующей головки барабана, которые могут быть представлены в виде отдельных переменных:

${\displaystyle u_{0n}(r,t)=\left(A\cos c\lambda _{0n}t+B\sin c\lambda _{0n}t\right)J_{0}\left(\lambda _{0n}r\right){\text{ for }}n=1,2,\dots ,\,}$

куда ${\displaystyle \lambda _{0n}=\alpha _{0n}/a.}$

Общий случай

Общий случай, когда ${\displaystyle u}$ также может зависеть от угла ${\displaystyle \theta ,}$ обрабатывается аналогично. Мы предполагаем решение в разделенных переменных,

${\displaystyle u(r,\theta ,t)=R(r)\Theta (\theta )T(t).\,}$

Подставляя это в волновое уравнение и разделяя переменные, получаем

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=K}$

куда ${\displaystyle K}$ является константой. Как и раньше, из уравнения для ${\displaystyle T(t)}$ следует, что ${\displaystyle K=-\lambda ^{2}}$ с ${\displaystyle \lambda >0}$ и

${\displaystyle T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,}$

Из уравнения

${\displaystyle {\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=-\lambda ^{2}}$

получим, умножив обе части на ${\displaystyle r^{2}}$ и разделяющие переменные, что

${\displaystyle \lambda ^{2}r^{2}+{\frac {r^{2}R''(r)}{R(r)}}+{\frac {rR'(r)}{R(r)}}=L}$

и

${\displaystyle -{\frac {\Theta ''(\theta )}{\Theta (\theta )}}=L,}$

для некоторой постоянной ${\displaystyle L.}$ С ${\displaystyle \Theta (\theta )}$ периодический, с периодом ${\displaystyle 2\pi ,}$ ${\displaystyle \theta }$ будучи угловой переменной, следует, что

${\displaystyle \Theta (\theta )=C\cos m\theta +D\sin m\theta ,\,}$

куда ${\displaystyle m=0,1,\dots }$ и ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ некоторые константы. Это также подразумевает ${\displaystyle L=m^{2}.}$

Возвращаясь к уравнению для ${\displaystyle R(r),}$ его решение представляет собой линейную комбинацию Функции Бесселя ${\displaystyle J_{m}}$ и ${\displaystyle Y_{m}.}$ Рассуждая аналогично предыдущему разделу, мы приходим к

${\displaystyle R(r)=J_{m}(\lambda _{mn}r),\,}$ ${\displaystyle m=0,1,\dots ,}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$

куда ${\displaystyle \lambda _{mn}=\alpha _{mn}/a,}$ с ${\displaystyle \alpha _{mn}}$ в ${\displaystyle n}$-й положительный корень из ${\displaystyle J_{m}.}$

Мы показали, что все решения в разделенных переменных задачи вибрирующей головки барабана имеют вид

${\displaystyle u_{mn}(r,\theta ,t)=\left(A\cos c\lambda _{mn}t+B\sin c\lambda _{mn}t\right)J_{m}\left(\lambda _{mn}r\right)(C\cos m\theta +D\sin m\theta )}$

за ${\displaystyle m=0,1,\dots ,n=1,2,\dots }$

Анимации нескольких режимов вибрации

Ниже показан ряд мод вместе с их квантовыми числами. Также указаны аналогичные волновые функции атома водорода и соответствующие угловые частоты. ${\displaystyle \omega =\lambda _{mn}c=\alpha _{mn}c/a}$.

• 

  Режим ${\displaystyle u_{01}}$ (1 с) с ${\displaystyle \alpha _{01}=2.40483}$

• 

  Режим ${\displaystyle u_{02}}$ (2s) с ${\displaystyle \alpha _{02}=5.52008}$

• 

  Режим ${\displaystyle u_{03}}$ (3 с) с ${\displaystyle \alpha _{03}=8.65373}$

• 

  Режим ${\displaystyle u_{11}}$ (2p) с ${\displaystyle \alpha _{11}=3.83171}$

• 

  Режим ${\displaystyle u_{12}}$ (3p) с ${\displaystyle \alpha _{12}=7.01559}$

• 

  Режим ${\displaystyle u_{13}}$ (4p) с ${\displaystyle \alpha _{13}=10.1735}$

• 

  Режим ${\displaystyle u_{21}}$ (3d) с ${\displaystyle \alpha _{21}=5.13562}$

• 

  Режим ${\displaystyle u_{22}}$ (4d) с ${\displaystyle \alpha _{22}=8.41724}$

• 

  Режим ${\displaystyle u_{23}}$ (5d) с ${\displaystyle \alpha _{23}=11.6198}$

Смотрите также

• Вибрирующая струна, одномерный случай
• Хладни узоры, раннее описание связанного явления, в частности, с музыкальными инструментами; смотрите также киматика
• Услышав форму барабана, характеризующие режимы по форме мембраны
• Атомная орбиталь, родственная квантово-механическая и трехмерная задача

Рекомендации

• Х. Асмар, Нахле (2005). Уравнения в частных производных с рядами Фурье и краевые задачи. Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall. п. 198. ISBN  0-13-148096-0.