Биполярная теорема - Bipolar theorem

В математика, то биполярная теорема это теорема в функциональный анализ что характеризует биполярный (т.е. полярный полярного) набора. В выпуклый анализ, то биполярная теорема относится к необходимые и достаточные условия для конус быть равным своему биполярный. Биполярную теорему можно рассматривать как частный случай Теорема Фенхеля – Моро..^[1]:76–77

Предварительные мероприятия

Основная статья: Полярный набор

Предположим, что Икс это топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывное двойное пространство ${\displaystyle X^{\prime }}$ и разреши ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$ для всех Икс ∈ Икс и ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$. В выпуклый корпус набора А, обозначаемый co (А), является самым маленьким выпуклый набор содержащий А. В выпуклый сбалансированный корпус набора А самый маленький выпуклый сбалансированный набор, содержащий А.

В полярный подмножества А из Икс определяется как:

${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\left|\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}}$

в то время как преполярный подмножества B из ${\displaystyle X^{\prime }}$ является:

${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X:\sup _{x^{\prime }\in B}\left|\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}}$.

В биполярный подмножества А из Икс, часто обозначаемый А^∘∘ это набор

${\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X:\sup _{x^{\prime }\in A^{\circ }}\left|\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}}$.

Заявление в функциональном анализе

Позволять ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ обозначить слабая топология на Икс (т.е. самая слабая топология TVS на Икс делая все линейные функционалы в ${\displaystyle X^{\prime }}$ непрерывный).

Биполярная теорема:^[2] Биполярность подмножества А из Икс равно ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$-закрытие выпуклый сбалансированный корпус из А.

Утверждение в выпуклом анализе

Биполярная теорема:^[1]:54[3] Для любого непустой конус А в некоторых линейное пространство Икс, биполярный набор А^∘∘ дан кем-то:

${\displaystyle A^{\circ \circ }=\operatorname {cl} \left(\operatorname {co} \left\{ra:r\geq 0,a\in A\right\}\right)}$.

Особый случай

Подмножество C из Икс непусто закрыто выпуклый конус если и только если C⁺⁺ = C^∘∘ = C когда C⁺⁺ = (C⁺)⁺, куда А⁺ обозначает положительный двойственный конус множества А.^[3][4]Или в более общем смысле, если C непустой выпуклый конус, то биполярный конус имеет вид

C^∘∘ = cl (C).

Отношение к Теорема Фенхеля – Моро.

Позволять

${\displaystyle f(x):=\delta \left(x|C\right)={\begin{cases}0&x\in C\\\infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

быть индикаторная функция для конуса C. Тогда выпуклый сопряженный,

${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\delta (x^{*}|C^{\circ })=\delta ^{*}(x^{*}|C)=\sup _{x\in C}\langle x^{*},x\rangle }$

это функция поддержки за C, и ${\displaystyle f^{**}(x)=\delta (x|C^{\circ \circ })}$. Следовательно, C = C^∘∘ если и только если ж = ж^**.^[1]:54[4]

Смотрите также

• Двойная система
• Полярный набор

Рекомендации

1. Борвейн, Джонатан; Льюис, Адриан (2006). Выпуклый анализ и нелинейная оптимизация: теория и примеры (2-е изд.). Springer. ISBN  9780387295701.
2. Наричи и Бекенштейн 2011, pp. 225-273.
3. Бойд, Стивен П .; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация (pdf). Издательство Кембриджского университета. С. 51–53. ISBN  9780521833783. Получено 15 октября, 2011.
4. Рокафеллар, Р. Тиррелл (1997) [1970]. Выпуклый анализ. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. 121–125. ISBN  9780691015866.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.