Биполярная теорема - Bipolar theorem

В математика, то биполярная теорема это теорема в функциональный анализ что характеризует биполярный (т.е. полярный полярного) набора. В выпуклый анализ, то биполярная теорема относится к необходимые и достаточные условия для конус быть равным своему биполярный. Биполярную теорему можно рассматривать как частный случай Теорема Фенхеля – Моро..[1]:76–77

Предварительные мероприятия

Предположим, что Икс это топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывное двойное пространство и разреши для всех ИксИкс и . В выпуклый корпус набора А, обозначаемый co (А), является самым маленьким выпуклый набор содержащий А. В выпуклый сбалансированный корпус набора А самый маленький выпуклый сбалансированный набор, содержащий А.

В полярный подмножества А из Икс определяется как:

в то время как преполярный подмножества B из является:

.

В биполярный подмножества А из Икс, часто обозначаемый А∘∘ это набор

.

Заявление в функциональном анализе

Позволять обозначить слабая топология на Икс (т.е. самая слабая топология TVS на Икс делая все линейные функционалы в непрерывный).

Биполярная теорема:[2] Биполярность подмножества А из Икс равно -закрытие выпуклый сбалансированный корпус из А.

Утверждение в выпуклом анализе

Биполярная теорема:[1]:54[3] Для любого непустой конус А в некоторых линейное пространство Икс, биполярный набор А∘∘ дан кем-то:
.

Особый случай

Подмножество C из Икс непусто закрыто выпуклый конус если и только если C++ = C∘∘ = C когда C++ = (C+)+, куда А+ обозначает положительный двойственный конус множества А.[3][4]Или в более общем смысле, если C непустой выпуклый конус, то биполярный конус имеет вид

C∘∘ = cl (C).

Отношение к Теорема Фенхеля – Моро.

Позволять

быть индикаторная функция для конуса C. Тогда выпуклый сопряженный,

это функция поддержки за C, и . Следовательно, C = C∘∘ если и только если ж = ж**.[1]:54[4]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c Борвейн, Джонатан; Льюис, Адриан (2006). Выпуклый анализ и нелинейная оптимизация: теория и примеры (2-е изд.). Springer. ISBN  9780387295701.
  2. ^ Наричи и Бекенштейн 2011, pp. 225-273.
  3. ^ а б Бойд, Стивен П .; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация (pdf). Издательство Кембриджского университета. С. 51–53. ISBN  9780521833783. Получено 15 октября, 2011.
  4. ^ а б Рокафеллар, Р. Тиррелл (1997) [1970]. Выпуклый анализ. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. 121–125. ISBN  9780691015866.

Библиография