Функция поддержки - Support function

В математика, то функция поддержки час_А непустого закрыто выпуклый набор А в ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$описывает (подписанные) расстояния поддерживающие гиперплоскости из А от происхождения. Функция поддержки - это выпуклая функция на ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$.Любое непустое замкнутое выпуклое множество. А однозначно определяется час_А. Кроме того, функция поддержки как функция набора А, совместим со многими естественными геометрическими операциями, такими как масштабирование, перенос, поворот и Дополнение Минковского. Благодаря этим свойствам опорная функция является одним из центральных базовых понятий выпуклой геометрии.

Определение

Функция поддержки ${displaystyle h_{A}colon mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} }$ непустого замкнутого выпуклого множества А в ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ дан кем-то

${displaystyle h_{A}(x)=sup{xcdot a:ain A},}$

${displaystyle xin mathbb {R} ^{n}}$; видеть^[1][2].^[3] Его интерпретация наиболее интуитивна, когда Икс является единичным вектором: по определению А содержится в замкнутом полупространстве

${displaystyle {yin mathbb {R} ^{n}:ycdot xleqslant h_{A}(x)}}$

и есть хотя бы одна точка А на границе

${displaystyle H(x)={yin mathbb {R} ^{n}:ycdot x=h_{A}(x)}}$

этого полупространства. Гиперплоскость ЧАС(Икс) поэтому называется поддерживающая гиперплоскость с внешний вид (или же внешний) единичный вектор нормали Икс.Слово внешний вид здесь важно, так как ориентация Икс играет роль, набор ЧАС(Икс) в целом отличается от ЧАС(-Икс).Сейчас же час_А это (знаковое) расстояние ЧАС(Икс) от происхождения.

Примеры

Поддерживающая функция синглтона А={а} является ${displaystyle h_{A}(x)=xcdot a}$.

Опорная функция евклидова единичного шара B₁ является ${displaystyle h_{B_{1}}(x)=|x|}$.

Если А это отрезок линии через начало координат с конечными точками -а и а тогда ${displaystyle h_{A}(x)=|xcdot a|}$.

Характеристики

В зависимости от Икс

Опорная функция компактный непустое выпуклое множество вещественнозначно и непрерывно, но если множество замкнуто и неограничено, его опорная функция расширяется с вещественными значениями (принимает значение ${displaystyle infty }$). Поскольку любое непустое замкнутое выпуклое множество является пересечением своих опорных полупространств, функция час_А определяет А однозначно. Это может быть использовано для аналитического описания некоторых геометрических свойств выпуклых множеств. Например, набор А точечно симметрично относительно начала координат тогда и только тогда, когда час_Аявляется даже функция.

В общем, функция поддержки не дифференцируема. Однако производные по направлениям существуют и дают опорные функции опорных множеств. Если А является компактный и выпуклые, и час_А'(ты;Икс) обозначает производную по направлению отчас_А в ты ≠ 0 в направлении Икс,у нас есть

${displaystyle h_{A}'(u;x)=h_{Acap H(u)}(x)qquad xin mathbb {R} ^{n}.}$

Здесь ЧАС(ты) - опорная гиперплоскость А с вектором внешней нормали ты, определенное выше. Если А ∩ ЧАС(ты) является одноэлементным {у}, скажем, следует, что опорная функция дифференцируема в ты и его градиент совпадает с у. Наоборот, если час_А дифференцируема в ты, тогда А ∩ ЧАС(ты) является одноэлементным. Следовательно час_А дифференцируема во всех точках ты ≠ 0 если и только если А является строго выпуклый (граница А не содержит линейных сегментов).

Непосредственно из его определения следует, что опорная функция положительно однородна:

${displaystyle h_{A}(alpha x)=alpha h_{A}(x),qquad alpha geq 0,xin mathbb {R} ^{n},}$

и подаддитив:

${displaystyle h_{A}(x+y)leq h_{A}(x)+h_{A}(y),qquad x,yin mathbb {R} ^{n}.}$

Следует, что час_А это выпуклая функция. В выпуклой геометрии очень важно, чтобы эти свойства характеризовали опорные функции: любую положительную однородную, выпуклую, вещественнозначную функцию на ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ - опорная функция непустого компактного выпуклого множества. Известно несколько доказательств,^[3]один использует тот факт, что Преобразование Лежандра положительной однородной выпуклой вещественнозначной функции является (выпуклой) индикаторной функцией компактного выпуклого множества.

Многие авторы ограничивают опорную функцию евклидовой единичной сферой и рассматривают ее как функцию на S^п-1. Свойство однородности показывает, что это ограничение определяет опорную функцию на ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, как определено выше.

В зависимости от А

Функции поддержки расширенного или переведенного набора тесно связаны с исходным набором. А:

${displaystyle h_{alpha A}(x)=alpha h_{A}(x),qquad alpha geq 0,xin mathbb {R} ^{n}}$

и

${displaystyle h_{A+b}(x)=h_{A}(x)+xcdot b,qquad x,bin mathbb {R} ^{n}.}$

Последний обобщает на

${displaystyle h_{A+B}(x)=h_{A}(x)+h_{B}(x),qquad xin mathbb {R} ^{n},}$

куда А + B обозначает Сумма Минковского:

${displaystyle A+B:={,a+bin mathbb {R} ^{n}mid ain A, bin B,}.}$

В Расстояние Хаусдорфа d _ЧАС(А, B) двух непустых компактных выпуклых множеств А и B можно выразить через вспомогательные функции,

${displaystyle d_{mathrm {H} }(A,B)=|h_{A}-h_{B}|_{infty }}$

где в правой части единая норма на единичной сфере.

Свойства опорной функции в зависимости от множества А иногда резюмируют, говоря, что ${displaystyle au }$:А ${displaystyle mapsto }$ час _А отображает семейство непустых компактных выпуклых множеств в конус всех действительных непрерывных функций на сфере, положительное однородное расширение которых выпукло. Слегка злоупотребляя терминологией, ${displaystyle au }$ иногда называют линейный, поскольку он уважает сложение Минковского, хотя он определен не на линейном пространстве, а скорее на (абстрактном) выпуклом конусе непустых компактных выпуклых множеств. Отображение ${displaystyle au }$ является изометрией между этим конусом, наделенным метрикой Хаусдорфа, и подконусом семейства непрерывных функций на S^п-1 с единой нормой.

Варианты

В отличие от вышеизложенного, опорные функции иногда определяются на границе А а не на S^п-1, в предположении, что в каждой граничной точке существует единственная внешняя единичная нормаль. Для определения выпуклость не требуется. регулярная поверхность, M, с единичный вектор нормали, N, определенная всюду на ее поверхности, тогда опорная функция определяется как

${displaystyle {x}mapsto {x}cdot N({x})}$.

Другими словами, для любого ${displaystyle {x}in M}$, эта функция поддержки дает знаковое расстояние уникальной гиперплоскости, которая касается M в Икс.

Смотрите также

• Барьерный конус
• Поддерживающий функционал

Рекомендации

1. Т. Боннесен, В. Фенчель, Theorie der konvexen Körper, Юлиус Шпрингер, Берлин, 1934. Английский перевод: Теория выпуклых тел, BCS Associates, Москва, ИД, 1987.
2. Р. Дж. Гарднер, Геометрическая томография, Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк, 1995 г. Второе издание: 2006 г.
3. Р. Шнайдер, Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993.