Поддерживающий функционал - Supporting functional

В выпуклый анализ и математическая оптимизация, то поддерживающий функционал является обобщением поддерживающая гиперплоскость комплекта.

Математическое определение

Позволять Икс быть локально выпуклый топологическое пространство, и ${\displaystyle C\subset X}$ быть выпуклый набор, то непрерывный линейный функционал ${\displaystyle \phi :X\to \mathbb {R} }$ является вспомогательным функционалом C в момент ${\displaystyle x_{0}}$ если ${\displaystyle \phi \not =0}$ и ${\displaystyle \phi (x)\leq \phi (x_{0})}$ для каждого ${\displaystyle x\in C}$.^[1]

Связь с функцией поддержки

Если ${\displaystyle h_{C}:X^{*}\to \mathbb {R} }$ (куда ${\displaystyle X^{*}}$ это двойное пространство из ${\displaystyle X}$) это функция поддержки из набора C, то если ${\displaystyle h_{C}\left(x^{*}\right)=x^{*}\left(x_{0}\right)}$, следует, что ${\displaystyle h_{C}}$ определяет вспомогательный функционал ${\displaystyle \phi :X\to \mathbb {R} }$ из C в момент ${\displaystyle x_{0}}$ такой, что ${\displaystyle \phi (x)=x^{*}(x)}$ для любого ${\displaystyle x\in X}$.

Отношение к опорной гиперплоскости

Если ${\displaystyle \phi }$ является опорным функционалом выпуклого множества C в момент ${\displaystyle x_{0}\in C}$ такой, что

${\displaystyle \phi \left(x_{0}\right)=\sigma =\sup _{x\in C}\phi (x)>\inf _{x\in C}\phi (x)}$

тогда ${\displaystyle H=\phi ^{-1}(\sigma )}$ определяет опорную гиперплоскость для C в ${\displaystyle x_{0}}$.^[2]

Рекомендации

1. Паллашке, Дитхард; Ролевич, Стефан (1997). Основы математической оптимизации: выпуклый анализ без линейности. Springer. п. 323. ISBN  978-0-7923-4424-7.
2. Борвейн, Джонатан; Льюис, Адриан (2006). Выпуклый анализ и нелинейная оптимизация: теория и примеры (2-е изд.). Springer. п. 240. ISBN  978-0-387-29570-1.