Поддерживающая гиперплоскость - Supporting hyperplane

А выпуклый набор ${displaystyle S}$ (розовым), опорная гиперплоскость ${displaystyle S}$ (Пунктирная линия), и поддерживающее полупространство ограничена гиперплоскостью, которая содержит ${displaystyle S}$ (светло-голубым).

В геометрия, а поддерживающая гиперплоскость из набор ${displaystyle S}$ в Евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ это гиперплоскость который имеет оба из следующих двух свойств:^[1]

• ${displaystyle S}$ полностью содержится в одном из двух закрыто полупространства ограниченный гиперплоскостью,
• ${displaystyle S}$ имеет хотя бы одну граничную точку на гиперплоскости.

Здесь замкнутое полупространство - это полупространство, которое включает в себя точки внутри гиперплоскости.

Поддержка теоремы о гиперплоскости

Множество выпукло может иметь более чем одну опорную гиперплоскость в данной точке на ее границе.

Этот теорема заявляет, что если ${displaystyle S}$ это выпуклый набор в топологическое векторное пространство ${displaystyle X=mathbb {R} ^{n},}$ и ${displaystyle x_{0}}$ это точка на граница из ${displaystyle S,}$ то существует опорная гиперплоскость, содержащая ${displaystyle x_{0}.}$ Если ${displaystyle x^{*}in X^{*}ackslash {0}}$ (${displaystyle X^{*}}$ это двойное пространство из ${displaystyle X}$, ${displaystyle x^{*}}$ - ненулевой линейный функционал) такой, что ${displaystyle x^{*}left(x_{0}ight)geq x^{*}(x)}$ для всех ${displaystyle xin S}$, тогда

${displaystyle H={xin X:x^{*}(x)=x^{*}left(x_{0}ight)}}$

определяет опорную гиперплоскость.^[2]

Наоборот, если ${displaystyle S}$ это закрытый набор с непустым интерьер такая, что каждая точка на границе имеет опорную гиперплоскость, то ${displaystyle S}$ - выпуклое множество.^[2]

Гиперплоскость в теореме может быть не уникальной, как показано на втором рисунке справа. Если закрытый набор ${displaystyle S}$ невыпукло, утверждение теоремы неверно во всех точках границы ${displaystyle S,}$ как показано на третьем рисунке справа.

Опорные гиперплоскости выпуклых множеств также называются таксопланы или же тактические гиперплоскости.^[3]

Связанный результат - теорема о разделяющей гиперплоскости, что каждые два непересекающихся выпуклых множества можно разделить гиперплоскостью.

Смотрите также

Опорная гиперплоскость, содержащая заданную точку на границе ${displaystyle S}$ может не существовать, если ${displaystyle S}$ не выпуклый.

• Функция поддержки
• Линия поддержки (поддержка гиперплоскостей в ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$)

Примечания

1. Люенбергер, Дэвид Г. (1969). Оптимизация методами векторного пространства. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. п. 133. ISBN  978-0-471-18117-0.
2. Бойд, Стивен П .; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация (pdf). Издательство Кембриджского университета. С. 50–51. ISBN  978-0-521-83378-3. Получено 15 октября, 2011.
3. Касселс, Джон В. С. (1997), Введение в геометрию чисел, Springer Classics in Mathematics (переиздание 1959 [3] и 1971 Springer-Verlag ed.), Springer-Verlag.

Ссылки и дополнительная литература

• Осташевский, Адам (1990). Продвинутые математические методы. Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п.129. ISBN  0-521-28964-5.

• Джакинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (1996). Вариационное исчисление. Берлин; Нью-Йорк: Спрингер. п. 57. ISBN  3-540-50625-X.

• Goh, C.J .; Ян, X.Q. (2002). Двойственность в оптимизации и вариационные неравенства. Лондон; Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис. п. 13. ISBN  0-415-27479-6.