ппроблема тела - n-body problem

Эта статья посвящена проблеме классической механики. Относительно проблемы квантовой механики см. Проблема многих тел. Инженерные проблемы и моделирование с участием многих компонентов см. Многотельная система и Многотельное моделирование.

В физика, то ппроблема тела проблема предсказания отдельных движений группы небесные объекты взаимодействуя друг с другом гравитационно.^[1] Решение этой проблемы было продиктовано желанием понять движения солнце, Луна, планеты, и видимый звезды. В ХХ веке понимание динамики шаровое скопление звездные системы стали важным п-тело проблема.^[2] В ппроблема тела в общая теория относительности решить значительно труднее.

Неформально классическую физическую задачу можно сформулировать следующим образом:

Учитывая квазистационарные орбитальные свойства (мгновенное положение, скорость и время)^[3] группы небесных тел, предсказать их взаимодействующие силы; и, следовательно, предсказать их истинные орбитальные движения на все времена.^[4]

В проблема двух тел полностью решена и обсуждается ниже, как и знаменитый ограниченный проблема трех тел.^[5]

История

Зная три орбитальные позиции орбиты планеты - позиции, полученные сэром Исаак Ньютон от астронома Джон Флемстид^[6] - Ньютон смог составить уравнение с помощью простой аналитической геометрии, чтобы предсказать движение планеты; то есть, чтобы задать его орбитальные свойства: положение, диаметр орбиты, период и орбитальную скорость.^[7] Сделав это, он и другие вскоре обнаружили в течение нескольких лет, что эти уравнения движения не предсказывали некоторые орбиты правильно или даже очень хорошо.^[8] Ньютон понял, что это произошло потому, что силы гравитационного взаимодействия между всеми планетами влияли на все их орбиты.

Вышеупомянутое открытие касается самой сути вопроса о том, что именно пПроблема -тело является физической: как понял Ньютон, недостаточно просто указать начальное положение и скорость или три орбитальных положения, чтобы определить истинную орбиту планеты: необходимо также знать силы гравитационного взаимодействия. Так пришло осознание и подъем п-телесная «проблема» в начале 17 века. Эти силы гравитационного притяжения действительно соответствуют Ньютону. законы движения и его закон всемирного тяготения, но многие кратные ( п-body) исторически делали любое точное решение неразрешимым. Как ни странно, это соответствие привело к неправильному подходу.

После времен Ньютона п- проблема тела исторически была сформулирована неправильно потому что он не включал ссылку на эти гравитационные взаимодействующие силы. Ньютон не говорит об этом прямо, но подразумевает в своем Principia то ппроблема тела неразрешима из-за этих сил гравитационного взаимодействия.^[9] Ньютон сказал^[10] в его Началах, параграф 21:

И поэтому сила притяжения присутствует в обоих телах. Солнце притягивает Юпитер и другие планеты, Юпитер притягивает свои спутники, и аналогично спутники действуют друг на друга. И хотя действия каждой из пары планет на другой можно отличить друг от друга и можно рассматривать как два действия, посредством которых каждое притягивает друг друга, тем не менее, поскольку они находятся между одним и тем же телом, это не два тела, а два. простая операция между двумя терминалами. Два тела можно притянуть друг к другу, натянув веревку между ними. Причина иска двоякая, а именно расположение каждого из двух тел; действие также двоякое, поскольку оно действует на два тела; но поскольку он находится между двумя телами, он один и один ...

Ньютон заключил через свои третий закон движения что «согласно этому Закону все тела должны притягиваться друг к другу». Последнее утверждение, которое подразумевает существование гравитационных взаимодействующих сил, является ключевым.

Как показано ниже, проблема также соответствует Жан Ле Ронд Д'Аламбер неньютоновского первого и второго принципов и нелинейного палгоритм задачи тела, последний допускающий решение в замкнутой форме для вычисления этих взаимодействующих сил.

Проблема поиска общего решения пПроблема тела считалась очень важной и сложной. Действительно, в конце 19 века король Оскар II Швеции, посоветовал Гёста Миттаг-Леффлер, учредил приз для всех, кто сможет найти решение проблемы. Объявление было довольно конкретным:

Учитывая систему из произвольно большого числа массовых точек, каждая из которых притягивается согласно закону Ньютона, в предположении, что никакие две точки никогда не сталкиваются, попытайтесь найти представление координат каждой точки в виде ряда в переменной, которая является некоторой известной функцией времени. и для всех значений которых ряд сходится равномерно.

В случае, если проблема не может быть решена, любой другой важный вклад в классическую механику будет считаться достойным награды. Премия была вручена Пуанкаре, даже если он не решил исходную проблему. (Первая версия его вклада даже содержала серьезную ошибку^[11]). Наконец, напечатанная версия содержала много важных идей, которые привели к развитию теория хаоса. Первоначально проблема была решена с помощью Карл Фритьоф Сундман за п = 3.

Общая формулировка

В п-тело проблема считает п точечные массы м_я, я = 1, 2, …, п в инерциальная система отсчета в трехмерном пространстве ℝ³ движется под действием взаимного гравитационного притяжения. Каждая масса м_я имеет вектор положения q_я. Второй закон Ньютона говорит, что масса умножена на ускорение м_я d²q_я/dt² равна сумме сил, действующих на массу. Закон всемирного тяготения Ньютона говорит, что гравитационная сила ощущается на массе м_я единой массой м_j дан кем-то^[12]

${\displaystyle \mathbf {F} _{ij}={\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}}\cdot {\frac {\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}={\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}},}$

куда грамм это гравитационная постоянная и ||q_j − q_я|| это величина расстояния между q_я и q_j (метрика, индуцированная то л₂ норма ).

Суммирование по всем массам дает п-тело уравнения движения:

${\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {q} _{i}}{dt^{2}}}=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {q} _{i}}}}$

куда U это собственный потенциал энергия

${\displaystyle U=-\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}.}$

Определение импульса быть п_я = м_я dq_я/dt, Уравнения движения Гамильтона для ппроблема тела стала^[13]

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\qquad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}},}$

где Гамильтонова функция является

${\displaystyle H=T+U}$

и Т это кинетическая энергия

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left\|\mathbf {p} _{i}\right\|^{2}}{2m_{i}}}.}$

Уравнения Гамильтона показывают, что п-корпусная проблема - это система 6п первый заказ дифференциальные уравнения, с 6п первоначальные условия в качестве 3п координаты начальной позиции и 3п начальные значения импульса.

Симметрии в ппроблема тела уступает глобальным интегралы движения которые упрощают проблему.^[14] Трансляционная симметрия проблемы приводит к центр массы

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}}}}$

движется с постоянной скоростью, так что C = L₀т + C₀, куда L₀ - линейная скорость и C₀ - начальная позиция. Константы движения L₀ и C₀ представляют шесть интегралов движения. Вращательная симметрия приводит к общему угловой момент быть постоянным

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {q} _{i}\times \mathbf {p} _{i},}$

где × - перекрестное произведение. Три составляющие полного углового момента А дают еще три константы движения. Последняя общая постоянная движения задается сохранение энергии ЧАС. Следовательно, каждый пВ задаче о теле есть десять интегралов движения.

Потому что Т и U находятся однородные функции степени 2 и −1 соответственно уравнения движения имеют масштабная инвариантность: если q_я(т) это решение, то и λ^{−​2⁄₃}q_я(λt) для любого λ > 0.^[15]

В момент инерции из псистема кузова задается

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}\cdot \mathbf {q} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left\|\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}$

и вириальный дан кем-то Q = 1/2 dI/dt. Тогда Формула Лагранжа – Якоби утверждает, что^[16]

${\displaystyle {\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T-U.}$

Для систем в динамическое равновесие, долгосрочное среднее значение ⟨d²я/dt²⟩ равно нулю. Тогда в среднем полная кинетическая энергия составляет половину полной потенциальной энергии, ⟨Т⟩ = 1/2⟨U⟩, который является примером теорема вириала для гравитационных систем.^[17] Если M полная масса и р характерный размер системы (например, радиус, содержащий половину массы системы), то критическое время, за которое система успевает прийти в динамическое равновесие, равно^[18]

${\displaystyle t_{\mathrm {cr} }={\sqrt {\frac {GM}{R^{3}}}}.}$

Особые случаи

Проблема двух тел

Основная статья: Проблема двух тел

Любое обсуждение планетарных взаимодействующих сил всегда начиналось исторически с проблема двух тел. Цель этого раздела - показать реальную сложность вычисления любых планетарных сил. Обратите внимание на несколько тем в этом разделе, например сила тяжести, барицентр, Законы Кеплера, так далее.; и в следующем разделе тоже (Проблема трех тел ) обсуждаются на других страницах Википедии. Однако здесь эти темы обсуждаются с точки зрения п-тело проблема.

Проблема двух тел (п = 2) был полностью решен Иоганн Бернулли (1667–1748) по классический теории (а не Ньютона), предполагая, что основная точечная масса была фиксированный, описывается здесь.^[19] Рассмотрим затем движение двух тел, скажем Солнца и Земли, с Солнцем. фиксированный, тогда:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\mathbf {a} _{1}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})&&\quad {\text{Sun–Earth}}\\m_{2}\mathbf {a} _{2}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{21}^{3}}}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})&&\quad {\text{Earth–Sun}}\end{aligned}}}$

Уравнение, описывающее движение массы м₂ относительно массы м₁ легко получается из различий между этими двумя уравнениями и после исключения общих терминов дает:

${\displaystyle \mathbf {a} +{\frac {\eta }{r^{3}}}\mathbf {r} =\mathbf {0} }$

Где

• р = р₂ − р₁ это положение вектора м₂ относительно м₁;
• α это Эйлеров ускорение d²р/dt²;
• η = грамм(м₁ + м₂).

Уравнение α + η/р³р = 0 является фундаментальным дифференциальным уравнением для задачи двух тел, которую Бернулли решил в 1734 году. Обратите внимание, что для этого подхода сначала необходимо определить силы, а затем уравнение движения. Это дифференциальное уравнение имеет эллиптические, параболические или гиперболические решения.^[20][21][22]

Неправильно думать о м₁ (Солнце) зафиксировано в пространстве при применении закона всемирного тяготения Ньютона, и это приводит к ошибочным результатам. Неподвижной точкой для двух изолированных гравитационно взаимодействующих тел является их взаимное барицентр, и это проблема двух тел можно решить точно, например, используя Координаты Якоби относительно центра масс.

Доктор Кларенс Клеминшоу вычислил приблизительное положение барицентра Солнечной системы, результат, достигнутый в основном за счет объединения только масс Юпитера и Солнца. Научная программа заявил со ссылкой на его работу:

Солнце содержит 98 процентов массы Солнечной системы, а большая часть остальной массы приходится на высшие планеты за пределами Марса. В среднем центр масс системы Солнце-Юпитер, если рассматривать только два самых массивных объекта, находится в 462 000 миль от центра Солнца или примерно на 30 000 миль над поверхностью Солнца! Однако другие большие планеты также влияют на центр масс Солнечной системы. Например, в 1951 году центр масс системы находился недалеко от центра Солнца, потому что Юпитер находился на противоположной стороне от Сатурна, Урана и Нептуна. По подсчетам доктора К. Х. Клеминшоу из обсерватории Гриффита в Лос-Анджелесе, в конце 1950-х годов, когда все четыре планеты находились по одну сторону от Солнца, центр масс системы находился на расстоянии более 330 000 миль от поверхности Солнца.^[23]

Реальное движение против видимого движения Кеплера

Солнце колеблется, вращаясь вокруг галактического центра, увлекая за собой Солнечную систему и Землю. Какой математик Кеплер придя к трем своим знаменитым уравнениям, он точно описал видимые движения планет, используя Тихо Браге данные, и нет кривые, соответствующие их истинным круговым движениям вокруг Солнца (см. рисунок). Обе Роберт Гук и Ньютон хорошо знали, что Ньютон Закон всемирного тяготения не выполнялось для сил, связанных с эллиптическими орбитами.^[10] Фактически, Универсальный закон Ньютона не учитывает орбиту Меркурия, гравитационное поведение пояса астероидов или Кольца Сатурна.^[24] Ньютон заявил (в разделе 11 Principia), однако, что основная причина невозможности предсказать силы для эллиптических орбит заключалась в том, что его математическая модель была для тела, ограниченного ситуацией, которая едва ли существовала в реальном мире, а именно движения тел, притягиваемых к неподвижному центру. Некоторые нынешние учебники по физике и астрономии не подчеркивают отрицательное значение предположения Ньютона и в конечном итоге учат, что его математическая модель на самом деле реальна. Следует понимать, что решение классической задачи двух тел, приведенное выше, является математической идеализацией. Смотрите также Первый закон движения планет Кеплера.

Проблема трех тел

Основная статья: Проблема трех тел

В этом разделе рассказывается об исторически важном прешение проблемы тела после упрощающих предположений.

В прошлом о ппроблема тела для п ≥ 3.^[25] Дело п = 3 был наиболее изучен. Многие предыдущие попытки понять Проблема трех тел были количественными, направленными на поиск явных решений для особых ситуаций.

• В 1687 г. Исаак Ньютон опубликовано в Principia первые шаги в изучении проблемы движений трех тел под действием их взаимного гравитационного притяжения, но его усилия привели к словесным описаниям и геометрическим наброскам; особенно см. Книгу 1, Предложение 66 и его следствия (Ньютон, 1687 и 1999 (пер.), см. также Тиссеран, 1894).
• В 1767 г. Эйлер найденный коллинеарен движения, при которых три тела любых масс движутся пропорционально фиксированной прямой. В Проблема трех тел Эйлера - это частный случай, когда два тела зафиксированы в пространстве (не следует путать с круговая ограниченная задача трех тел, в котором два массивных тела описывают круговую орбиту и фиксируются только в синодической системе отсчета).
• В 1772 г. Лагранж открыл два класса периодических решений, каждое для трех тел любых масс. В одном классе тела лежат на прямой вращающейся линии. В другом классе тела лежат в вершинах вращающегося равностороннего треугольника. В любом случае пути тел будут коническими сечениями. Эти решения привели к изучению центральные конфигурации, для которого q̈ = kq для некоторой постоянной k > 0.
• Основное исследование системы Земля – Луна – Солнце было предпринято Шарль-Эжен Делоне, который опубликовал два тома по этой теме, каждый по 900 страниц в 1860 и 1867 годах. Среди многих других достижений работа уже намекает на хаос и ясно демонстрирует проблему так называемого "малые знаменатели" в теория возмущений.
• В 1917 г. Форест Рэй Моултон опубликовал свою ставшую классикой, Введение в небесную механику (см. ссылки) с его графиком ограниченная задача трех тел раствор (см. рисунок ниже).^[26] Кроме того, см. Книгу Мейровича, страницы 413–414, где он найдет решение ограниченной задачи трех тел.^[27]

Движение трех частиц под действием силы тяжести, демонстрирующее хаотичный поведение

Решение Моултона может быть легче визуализировать (и определенно легче решить), если учесть более массивное тело (такое как солнце ) быть неподвижным в пространстве, а менее массивное тело (например, Юпитер ) вращаться вокруг него, с точками равновесия (Лагранжевые точки ) поддерживая расстояние 60 ° впереди и позади менее массивного тела почти на своей орбите (хотя в действительности ни одно из тел не является действительно неподвижным, поскольку они оба вращаются вокруг центра масс всей системы - вокруг барицентра). Для достаточно малого отношения масс первичных звезд эти треугольные точки равновесия устойчивы, так что (почти) безмассовые частицы будут вращаться вокруг этих точек, когда они вращаются вокруг более крупной первичной звезды (Солнца). Пять точек равновесия круговой задачи известны как точки Лагранжа. См. Рисунок ниже:

Ограниченная задача трех тел

в ограниченная задача трех тел На рисунке выше математической модели (после Моултона) точки Лагранжа L₄ и я₅ где Троян обитали планетоиды (см. Точка лагранжиана ); м₁ это Солнце и м₂ это Юпитер. L₂ точка в поясе астероидов. Это должно быть реализовано для этой модели, вся диаграмма Солнце-Юпитер вращается вокруг своего барицентра. Ограниченное решение задачи трех тел предсказало троянские планетоиды еще до того, как они были впервые обнаружены. В час-круги и замкнутые контуры отражают электромагнитные потоки, исходящие от Солнца и Юпитера. Предполагается, что вопреки гипотезе Ричарда Х. Батина (см. Ссылки), два час₁ являются гравитационными стоками, в которых гравитационные силы равны нулю, и причиной того, что троянские планетоиды застревают там. Общая масса планетоидов неизвестна.

Ограниченная задача трех тел, предполагающая масса одного из тел ничтожно мало.^{[нужна цитата ]} Для обсуждения случая, когда незначительное тело является спутником тела меньшей массы, см. Сфера холма; для двоичных систем см. Лобе Роша. Конкретные решения проблемы трех тел приводят к хаотичный движение без явных признаков повторяющегося пути.^{[нужна цитата ]}

Ограниченная задача (круговая и эллиптическая) интенсивно разрабатывалась многими известными математиками и физиками, в первую очередь Пуанкаре в конце 19 века. Работа Пуанкаре над ограниченной проблемой трех тел стала основой детерминированный теория хаоса.^{[нужна цитата ]} В ограниченной задаче существует пять точки равновесия. Три коллинеарны массам (во вращающейся рамке) и неустойчивы. Остальные два расположены в третьей вершине обоих равносторонних треугольников, из которых два тела являются первой и второй вершинами.

Проблема четырех тел

Вдохновленная круговой ограниченной задачей трех тел, задачу четырех тел можно значительно упростить, если учесть, что меньшее тело имеет небольшую массу по сравнению с тремя другими массивными телами, которые, в свою очередь, аппроксимируются для описания круговых орбит. Это известно как бициркулярная ограниченная проблема четырех тел (также известная как бициркулярная модель), и ее можно проследить до 1960 года в отчете НАСА, написанном Су-Шу Хуангом.^[28] Эта формулировка очень актуальна в астродинамика в основном для моделирования траекторий космических аппаратов в системе Земля-Луна с добавлением гравитационного притяжения Солнца. Прежняя формулировка бициркулярной ограниченной задачи четырех тел может быть проблематичной при моделировании других систем, отличных от Земли-Луны-Солнца, поэтому формулировка была обобщена Негри и Прадо.^[29] расширить область применения и повысить точность без потери простоты.

Планетарная проблема

В планетарная проблема это п- проблема тела в том случае, если одна из масс намного больше всех остальных. Прототипическим примером планетарной проблемы является Солнце.Юпитер –Сатурн система, где масса Солнца примерно в 100 раз больше масс Юпитера или Сатурна.^[15] Примерное решение проблемы - разложить ее на п − 1 пары звезда – планета Проблемы Кеплера, рассматривая взаимодействия между планетами как возмущения. Пертурбативное приближение работает хорошо, пока нет орбитальные резонансы в системе, то есть ни одно из отношений невозмущенных кеплеровских частот не является рациональным числом. Резонансы появляются в расширении как малые знаменатели.

Существование резонансов и малых знаменателей привело к важному вопросу стабильности в планетарной проблеме: остаются ли планеты на почти круговых орбитах вокруг звезды на стабильных или ограниченных орбитах с течением времени?^[15][30] В 1963 г. Владимир Арнольд доказал использование Теория КАМ своего рода устойчивость планетарной проблемы: существует множество положительных мер квазипериодический орбиты в случае планетарной задачи, ограниченной плоскости.^[30] В теории КАМ хаотические планетные орбиты были бы ограничены квазипериодическими КАМ-торами. Результат Арнольда был расширен до более общей теоремы Фейосом и Германом в 2004 году.^[31]

Центральные конфигурации

Основная статья: Центральная конфигурация

А центральная конфигурация q₁(0), …, q_N(0) - это начальная конфигурация, такая, что если бы все частицы были выпущены с нулевой скоростью, все они схлопнулись бы к центру масс. C.^[30] Такое движение называется гомотетичный. Центральные конфигурации также могут вызывать гомографические движения в котором все массы движутся по кеплеровским траекториям (эллиптическим, круговым, параболическим или гиперболическим), причем все траектории имеют одинаковый эксцентриситет е. Для эллиптических траекторий е = 1 соответствует гомотетическому движению и е = 0 дает относительное равновесное движение в которой конфигурация остается изометрией исходной конфигурации, как если бы конфигурация была твердым телом.^[32] Центральные конфигурации сыграли важную роль в понимании топология из инвариантные многообразия создается путем фиксации первых интегралов системы.

п-хореография тела

Основная статья: хореография n-body

Решения, в которых все массы движутся по одно и тоже Кривая без столкновений называется хореографией.^[33] Хореография для п = 3 был открыт Лагранжем в 1772 году, в котором три тела расположены в вершинах равносторонний треугольник во вращающейся раме. А восьмерка хореография для п = 3 был численно обнаружен Ч. Муром в 1993 г. и обобщен и доказан А. Ченсинером и Р. Монтгомери в 2000 г.^{[нужна цитата ]} С тех пор было найдено множество других хореографий для п ≥ 3.

Аналитические подходы

Для каждого решения проблемы, а не только применения изометрия или сдвиг во времени, но также обращение времени (в отличие от трения) тоже дает решение.^{[нужна цитата ]}

В физической литературе о ппроблема тела (п ≥ 3), иногда делается ссылка на невозможность решения ппроблема тела (с использованием вышеуказанного подхода).^{[нужна цитата ]} Однако следует проявлять осторожность при обсуждении «невозможности» решения, поскольку это относится только к методу первых интегралов (сравните теоремы Авель и Галуа о невозможности решения алгебраические уравнения пятой степени или выше с помощью формул, содержащих только корни).

Решение серии Power

Один из способов решения классической п-тело проблема " п-body проблема Серия Тейлор ".

Начнем с определения системы дифференциальные уравнения:^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{i}(t)}{dt^{2}}}=G\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{n}{\frac {m_{k}\left(\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right)}{\left|\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right|^{3}}},}$

В качестве Икс_я(т₀) и dИкс_я(т₀)/dt заданы как начальные условия, каждые d²Икс_я(т)/dt² известен. Дифференцировать d²Икс_я(т)/dt² приводит к d³Икс_я(т)/dt³ который в т₀ которое также известно, и ряд Тейлора строится итеративно.^{[требуется разъяснение ]}

Обобщенное глобальное решение Сундмана

Чтобы обобщить результат Сундмана на случай п > 3 (или же п = 3 и c = 0^{[требуется разъяснение ]}) приходится сталкиваться с двумя препятствиями:

1. Как было показано Сигелем, столкновения, в которых участвует более двух тел, не могут быть регуляризованы аналитически, следовательно, регуляризация Сундмана не может быть обобщена.^{[нужна цитата ]}
2. Структура особенностей в этом случае более сложная: могут встречаться особенности других типов (см. ниже ).

Наконец, результат Сундмана был обобщен на случай п > 3 тела Цюдун Ван в 1990-е гг.^[34] Поскольку структура особенностей более сложна, Вангу пришлось полностью опустить вопросы об особенностях. Центральным моментом его подхода является преобразование соответствующим образом уравнений в новую систему, так что интервал существования решений этой новой системы равен [0,∞).

Особенности ппроблема тела

Возможны два типа особенностей п- проблема с телом:

• столкновения двух или более тел, но для которых q(т) (положения тел) остается конечным. (В этом математическом смысле «столкновение» означает, что два точечных тела имеют одинаковое положение в пространстве.)
• особенности, в которых столкновения не происходит, но q(т) не остается конечным. В этом сценарии тела расходятся на бесконечность за конечное время, в то же время стремясь к нулевому разделению (воображаемое столкновение происходит «на бесконечности»).

Последние называются гипотезой Пенлеве (особенности отсутствия столкновений). Их существование предполагалось в течение п > 3 к Пенлеве (видеть Гипотеза Пенлеве ). Примеры такого поведения для п = 5 были построены Ся^[35] и эвристическая модель для п = 4 пользователя Gerver.^[36] Дональд Г. Саари показал, что для 4 и менее тел набор начальных данных, порождающих особенности, имеет мера нуль.^[37]

Моделирование

Основная статья: моделирование n-тела

Хотя существуют аналитические решения для классической (т. Е. Нерелятивистской) задачи двух тел и для выбранных конфигураций с п > 2, в целом ппроблемы тела должны решаться или моделироваться численными методами.^[18]

Мало тел

Для небольшого количества тел ппроблема с телом может быть решена с помощью прямые методы, также называемый частицы-частицы. Эти методы численно интегрируют дифференциальные уравнения движения. Численное интегрирование для этой задачи может быть проблемой по нескольким причинам. Во-первых, гравитационный потенциал сингулярен; он уходит в бесконечность, когда расстояние между двумя частицами стремится к нулю. Гравитационный потенциал может быть смягченный убрать особенность на малых расстояниях:^[18]

${\displaystyle U_{\varepsilon }=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\sqrt {\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}+\varepsilon ^{2}}}}.}$

Во-вторых, в целом для п > 2, то п-тело проблема хаотичный,^[38] Это означает, что даже небольшие ошибки интегрирования могут экспоненциально расти со временем. В-третьих, моделирование может занимать большие отрезки модельного времени (например, миллионы лет), и численные ошибки накапливаются по мере увеличения времени интегрирования.

Существует ряд методов уменьшения ошибок численного интегрирования.^[18] Локальные системы координат используются для решения некоторых задач с очень разными масштабами, например, система координат Земля – Луна в контексте моделирования солнечной системы. Вариационные методы и теория возмущений могут дать приближенные аналитические траектории, для которых численное интегрирование может быть поправкой. Использование симплектический интегратор гарантирует, что моделирование подчиняется уравнениям Гамильтона с высокой степенью точности и, в частности, сохраняется энергия.

Многие тела

Прямые методы, использующие численное интегрирование, требуют порядка 1/2п² вычисления для оценки потенциальной энергии по всем парам частиц и, таким образом, иметь временная сложность из О(п²). Для моделирования с большим количеством частиц О(п²) Фактор делает крупномасштабные вычисления особенно трудоемкими.^[18]

Разработан ряд приближенных методов, снижающих временную сложность по сравнению с прямыми методами:^[18]

• Методы древовидного кода, например Моделирование Barnes – Hut, находятся бесстолкновительный методы, используемые, когда близкие встречи между парами не важны, и вклад далеких частиц не нужно вычислять с высокой точностью. Потенциал удаленной группы частиц вычисляется с помощью мультипольное расширение потенциала. Это приближение позволяет снизить сложность до О(п бревно п).
• Быстрые мультипольные методы Воспользуйтесь преимуществом того факта, что силы многополюсного расширения от удаленных частиц одинаковы для частиц, расположенных близко друг к другу. Утверждается, что это дальнейшее приближение снижает сложность до О(п).^[18]
• Методы сетки частиц разделить пространство моделирования на трехмерную сетку, на которую интерполируется массовая плотность частиц. Тогда вычисление потенциала становится вопросом решения Уравнение Пуассона на сетке, которую можно вычислить в О(п бревно п) время используя быстрое преобразование Фурье техники. С помощью адаптивное уточнение сетки или же многосеточный методы могут еще больше снизить сложность методов.
• п³M и Методы PM-tree являются гибридными методами, которые используют приближение сетки частиц для удаленных частиц, но используют более точные методы для близких частиц (в пределах нескольких интервалов сетки). п³M означает частица – частица, частица – сетка и использует прямые методы со смягченными потенциалами на близком расстоянии. Вместо этого методы PM-дерева используют древовидные коды с близкого расстояния. Как и в случае с методами сетки частиц, адаптивные сетки могут повысить эффективность вычислений.
• Среднее поле методы аппроксимировать систему частиц с зависящим от времени Уравнение Больцмана представляющая плотность массы, которая связана с самосогласованным уравнением Пуассона, представляющим потенциал. Это тип гидродинамика сглаженных частиц приближение подходит для больших систем.

Сильная гравитация

В астрофизических системах с сильными гравитационными полями, например, вблизи горизонт событий из черная дыра, п- моделирование тела необходимо учитывать общая теория относительности; такое моделирование является областью числовая теория относительности. Численное моделирование Уравнения поля Эйнштейна чрезвычайно сложно^[18] и параметризованный постньютоновский формализм (PPN), например Уравнения Эйнштейна – Инфельда – Гофмана., если возможно. В задача двух тел в общей теории относительности аналитически разрешима только для задачи Кеплера, в которой одна масса предполагается намного больше другой.^[39]

Другой ппроблемы с телом

Большая часть работы сделана на пПроблема тела была связана с проблемой гравитации. Но существуют другие системы, для которых пМатематика тела и методы моделирования оказались полезными.

В больших масштабах электростатика проблемы, такие как моделирование белки и сотовые сборки в структурная биология, то Кулоновский потенциал имеет ту же форму, что и гравитационный потенциал, за исключением того, что заряды могут быть положительными или отрицательными, что приводит к силам отталкивания и притяжения.^[40] Быстрые кулоновские решатели являются электростатическим аналогом симуляторов быстрого многополюсного метода. Они часто используются с периодические граничные условия на смоделированном регионе и Суммирование Эвальда методы используются для ускорения вычислений.^[41]

В статистика и машинное обучение, некоторые модели имеют функции потерь формы, аналогичной форме гравитационного потенциала: сумма функций ядра по всем парам объектов, где функция ядра зависит от расстояния между объектами в пространстве параметров.^[42] Примеры проблем, которые вписываются в эту форму, включают все-ближайшие-соседи в многообразное обучение, оценка плотности ядра, и ядерные машины. Альтернативные оптимизации для уменьшения О(п²) временная сложность до О(п) были разработаны, такие как двойное дерево алгоритмы, применимые к гравитационным п-тело тоже проблема.

Смотрите также

• Небесная механика
• Гравитационная задача двух тел
• Интеграл Якоби
• Лунная теория
• Натуральные единицы
• Численная модель Солнечной системы.
• Устойчивость Солнечной системы
• Немногочисленные системы

Примечания

1. Лейманис и Минорский: Нас интересует Лейманис, который первым обсуждает некоторую историю ппроблема тела, особенно двадцатилетний подход Ковалевской 1868–1888 годов с комплексными переменными, неудача; Раздел 1: «Динамика твердых тел и математическая внешняя баллистика» (Глава 1, «Движение твердого тела вокруг неподвижной точки (уравнения Эйлера и Пуассона)»; Глава 2, «Математическая внешняя баллистика»), хороший предшественник. к п- проблема с телом; Раздел 2: «Небесная механика» (Глава 1, «Униформизация задачи трех тел (ограниченная задача трех тел)»; Глава 2 «Захват в задаче трех тел»; Глава 3, «Обобщенные п-телесная проблема »).
2. См. Ссылки, процитированные для Heggie and Hut.
3. Квазиустойчивый Под нагрузками понимаются мгновенные инерционные нагрузки, создаваемые мгновенными угловыми скоростями и ускорениями, а также поступательными ускорениями (9 переменных). Это как если бы кто-то сделал фотографию, которая также зафиксировала мгновенное положение и свойства движения. Напротив, устойчивое состояние условие относится к состоянию системы, инвариантному во времени; в противном случае первые производные и все высшие производные равны нулю.
4. Р. М. Розенберг утверждает п-тело аналогично (см. Ссылки): "Каждая частица в системе из конечного числа частиц подвергается ньютоновскому гравитационному притяжению со стороны всех других частиц и никаким другим силам. Если начальное состояние системы задано, как частицы будут двигаться? " Розенберг не осознавал, как и все, что необходимо определять силы. первый прежде, чем можно будет определить движения.
5. Как известно, общее классическое решение в терминах первых интегралов невозможно. Точное теоретическое решение для произвольных п можно аппроксимировать через Серия Тейлор, но на практике такой бесконечная серия должен быть усечен, давая в лучшем случае только приблизительное решение; и этот подход теперь устарел. В дополнение ппроблема с телом может быть решена с помощью численное интегрирование, но это тоже приблизительные решения; и снова устарел. См. Книгу Сверре Дж. Орсета. Гравитационный п-Моделирование тела перечислены в Справочнике.
6. Кларк, Дэвид Х .; Кларк, Стивен П. Х. (2001). Подавленные научные открытия Стивена Грея и Джона Флемстида, тирании Ньютона. W.H. Freeman and Co.. Популяризация исторических событий и споров между этими сторонами, но, что более важно, результатов, которые они принесли.
7. Видеть Брюстер, Дэвид (1905). «Открытие гравитации, 1666 г. н.э.». В Джонсоне Росситер (ред.). Великие события известных историков. XII. Национальные выпускники. С. 51–65.
8. Рудольф Курт в своей книге (см. Ссылки) подробно обсуждает планетные возмущения. Замечу: эти математически неопределенные планетные возмущения (колебания) все еще существуют неопределенными даже сегодня, и планетные орбиты должны постоянно обновляться, обычно ежегодно. См. Астрономические эфемериды и Американские эфемериды и морской альманах, подготовленные совместно Управлением морских альманахов Соединенного Королевства и Соединенных Штатов Америки.
9. Видеть Principia, Книга третья, Система мира, "General Scholium", стр. 372, последний абзац. Ньютон прекрасно понимал, что его математическая модель не отражает физическую реальность. Это издание взято из Великие книги западного мира, Том 34, который был переведен Эндрю Моттом и отредактирован Флориан Каджори.^{[требуется полная цитата ]} Этот же абзац находится на странице 1160 в Стивен Хокинс, На плечах гигантов, Издание 2002 г .;^{[требуется полная цитата ]} является копией из дополнения Дэниела Ади 1848 года. Коэн также перевел новые издания: Введение в принципы Ньютона, 1970; и Принципы Исаака Ньютона с вариантами прочтения, 1972. Каджори также писал История науки, который находится в сети.^{[требуется полная цитата ]}
10. Видеть. I. Бернарда Коэна Scientific American статья.
11. Подробности серьезной ошибки в первом представлении Пуанкаре см. В статье Дьяку.
12. Мейер 2009, стр. 27–28.
13. Мейер 2009, стр. 28
14. Мейер, 2009, стр. 28–29.
15. Ченсинер 2007
16. Мейер 2009, стр. 34
17. "AST1100 Lecture Notes: 5 Теорема вириала" (PDF). Университет Осло. Получено 25 марта 2014.
18. Trenti 2008
19. См. Бейт, Мюллер и Уайт, главу 1: «Орбитальная механика двух тел», стр. 1–49. Эти авторы были из Департамента космонавтики и компьютерных наук Академии ВВС США. Их учебник не заполнен высшей математикой.
20. Для классического подхода, если общий центр массы (т. е. барицентр) двух тел считается отдыхать, то каждое тело движется по коническая секция который имеет фокус в барицентре системы. В случае гиперболы у нее есть ветвь сбоку от этого фокуса. Две коники будут в одной плоскости. Тип конической (круг, эллипс, парабола или же гипербола ) определяется путем нахождения суммы суммарной кинетической энергии двух тел и потенциальная энергия когда тела далеко друг от друга. (Эта потенциальная энергия всегда имеет отрицательное значение; энергия вращения тел вокруг своей оси здесь не учитывается)
    • Если сумма энергий отрицательна, они оба очерчивают эллипсы.
    • Если сумма обеих энергий равна нулю, то они обе отслеживают параболы. Поскольку расстояние между телами стремится к бесконечности, их относительная скорость стремится к нулю.
    • Если сумма обеих энергий положительна, то они обе отслеживают гиперболы. Поскольку расстояние между телами стремится к бесконечности, их относительная скорость стремится к некоторому положительному числу.
21. Для этого подхода см. Линдси Физическая механика, Глава 3: «Криволинейное движение на плоскости», и особенно параграфы 3–9, «Движение планет»; С. 83–96. Презентация Линдси во многом объясняет эти последние комментарии к исправленным проблема двух тел; т.е. когда Солнце считается неподвижным.
22. Примечание: тот факт, что параболическая орбита имеет нулевую энергию, возникает из предположения, что гравитационная потенциальная энергия стремится к нулю, когда тела удаляются бесконечно далеко друг от друга. Можно было назначить любой значение потенциальной энергии в состоянии бесконечного разделения. Предполагается, что это состояние имеет нулевую потенциальную энергию условно.
23. Научная программаПрирода Вселенной заявляет, что Кларенс Клеминшоу (1902–1985) работал помощником директора Обсерватория Гриффита с 1938–1958 гг. и режиссером с 1958–1969 гг. Некоторые публикации Клеминшоу:
    • Клеминшоу, К. Х .: "Небесные скорости", 4, 1953, уравнение, Кеплер, орбита, комета, Сатурн, Марс, скорость.^{[требуется полная цитата ]}
    • Клеминшоу, К. Х .: «Грядущее соединение Юпитера и Сатурна», 7, 1960, Сатурн, Юпитер, наблюдение, соединение.^{[требуется полная цитата ]}
    • Клеминшоу, К. Х .: «Масштаб Солнечной системы», 7, 1959, Солнечная система, масштаб, Юпитер, Солнце, размер, свет.^{[требуется полная цитата ]}
24. Кисть, Стивен Г., изд. (1983). Максвелл о кольцах Сатурна. MIT Press.
25. См. Исторические комментарии Лейманиса и Минорского.
26. См. Moulton's Ограниченная задача трех тел за его аналитическое и графическое решение.
27. См. Книгу Мейровича: главы 11: «Проблемы небесной механики»; 12; «Проблема динамики космических аппаратов»; и Приложение А: «Диадики».
28. Хуан Су-Шу. «Очень ограниченная проблема четырех тел». НАСА TND-501.
29. Negri, Rodolfo B .; Прадо, Антонио Ф. Б. А. (2020). «Обобщение бициркулярной ограниченной задачи четырех тел». Журнал наведения, управления и динамики. 43 (6): 1173–1179. Bibcode:2020JGCD ... 43.1173N. Дои:10.2514 / 1.G004848.
30. Chierchia 2010
31. Фехос 2004
32. См. Chierchia 2010 для анимации, иллюстрирующей гомографические движения.
33. Celletti 2008
34. Цю-Донг, Ван (1990-03-01). «Глобальное решение проблемы N тел». Небесная механика и динамическая астрономия. 50 (1): 73–88. Bibcode:1990CeMDA..50 ... 73 Вт. Дои:10.1007 / BF00048987. ISSN  0923-2958. S2CID  118132097.
35. Ся, Чжихун (май 1992 г.). «Существование особенностей неколлизия в ньютоновских системах». Анна. Математика. Вторая серия. 135 (3): 411–468. Дои:10.2307/2946572. JSTOR  2946572.
36. Гервер, Джозеф Л. (2003). «Неколлизионные сингулярности: достаточно ли четырех тел?». Exp. Математика. 12 (2): 187–198. Дои:10.1080/10586458.2003.10504491. S2CID  23816314.
37. Саари, Дональд Г. (1977). «Глобальная теорема существования для проблемы четырех тел в механике Ньютона». J. Дифференциальные уравнения. 26 (1): 80–111. Bibcode:1977JDE .... 26 ... 80-е годы. Дои:10.1016/0022-0396(77)90100-0.
38. Аллигуд 1996
39. Бланше 2001
40. Крумшайд 2010
41. Доска 1999
42. Баран 2010

Рекомендации

• Ошет, Сверре Дж. (2003). Гравитационный пМоделирование тела, инструменты и алгоритмы. Издательство Кембриджского университета.
• Alligood, K. T .; Sauer, T. D .; Йорк, Дж. А. (1996). Хаос: введение в динамические системы. Springer. С. 46–48.
• Бейт, Роджер Р .; Мюллер, Дональд Д .; Белый, Джерри (1971). Основы астродинамики. Дувр.
• Бланше, Люк (2001). «О проблеме двух тел в общей теории относительности». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Сери IV. 2 (9): 1343–1352. arXiv:gr-qc / 0108086. Bibcode:2001CRASP ... 2.1343B. Дои:10.1016 / с1296-2147 (01) 01267-7. S2CID  119101016.
• Board, John A., Jr .; Хамфрес, Кристофер В .; Lambert, Christophe G .; Ранкин, Уильям Т .; Toukmaji, Abdulnour Y. (1999). "Эвальд и мультипольные методы для периодических п-Проблемы с телом ». In Deuflhard, Peter; Hermans, Jan; Leimkuhler, Benedict; Mark, Alan E .; Reich, Sebastian; Skeel, Robert D. (eds.). Вычислительная молекулярная динамика: проблемы, методы, идеи. Берлин и Гейдельберг: Springer. С. 459–471. CiteSeerX  10.1.1.15.9501. Дои:10.1007/978-3-642-58360-5_27. ISBN  978-3-540-63242-9.
• Броновски, Якоб; Мазлиш, Брюс (1986). Западная интеллектуальная традиция, от Леонардо до Гегеля. Дорси Пресс.
• Челлетти, Алессандра (2008). «Вычислительная небесная механика». Scholarpedia. 3 (9): 4079. Bibcode:2008SchpJ ... 3.4079C. Дои:10.4249 / scholarpedia.4079.
• Шенсинер, Ален (2007). "Проблема трех тел". Scholarpedia. 2 (10): 2111. Bibcode:2007SchpJ ... 2.2111C. Дои:10.4249 / scholarpedia.2111.
• Кьеркия, Луиджи; Мазер, Джон Н. (2010). "Теория Колмогорова – Арнольда – Мозера". Scholarpedia. 5 (9): 2123. Bibcode:2010SchpJ ... 5.2123C. Дои:10.4249 / scholarpedia.2123.
• Коэн, И. Бернар (март 1980 г.). «Открытие Ньютона гравитации». Scientific American. 244 (3): 167–179. Bibcode:1981SciAm.244c.166C. Дои:10.1038 / scientificamerican0381-166.
• Коэн, И. Бернард (1985). Рождение новой физики, переработанной и обновленной. W. W. Norton & Co.
• Дьяку, Ф. (1996). "Решение п-тело проблема " (PDF). Математический интеллект. 18 (3): 66–70. Дои:10.1007 / bf03024313. S2CID  119728316.
• Фехос, Дж. (2004). "Демонстрация теории Арнольда о стабилизации планетарной системы (d'après Herman)". Эргодическая теория Dynam. Системы. 24 (5): 1521–1582. Дои:10.1017 / S0143385704000410.
• Хегги, Дуглас; Хижина, Пит (2003). Гравитационная проблема миллиона тел, мультидисциплинарный подход к динамике звездных скоплений. Издательство Кембриджского университета.
• Хегги, Дуглас С. (1991). "Хаос в п-тельная проблема звездной динамики ». Ин Рой, А. Э. (ред.). Предсказуемость, стабильность и хаос в п-Динамические системы тела. Пленум Пресс.
• Хуфбауэр, Карл (1991). Изучение Солнца, солнечная наука со времен Галилея. Johns Hopkins University Press, спонсируемый Управлением истории НАСА.
• Крумшайд, Себастьян (2010). Тест быстрых кулоновских решателей для открытых и периодических граничных условий (Отчет). Технический отчет FZJ-JSC-IB-2010-01. Юлихский суперкомпьютерный центр. CiteSeerX  10.1.1.163.3549.
• Курт, Рудольф (1959). Введение в механику Солнечной системы. Pergamon Press.
• Leimanis, E .; Минорский, Н. (1958). «Часть I:« Некоторые недавние достижения в динамике твердых тел и небесной механики »(Лейманис); Часть II:« Теория колебаний »(Минорский)». Динамика и нелинейная механика. Джон Вили и сыновья.
• Линдси, Роберт Брюс (1961). Физическая механика (3-е изд.). D. Van Nostrand Co.
• Мейрович, Леонард (1970). Методы аналитической динамики. McGraw-Hill Book Co.
• Мейер, Кеннет Рэй; Холл, Глен Р. (2009). Введение в гамильтоновы динамические системы и ппроблема тела. Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-09724-4.
• Миттаг-Леффлер, Г. (1885–86). "The п- проблема с телом (Объявление о призах) ». Acta Mathematica. 7: I – VI. Дои:10.1007 / BF02402191.
• Моултон, Лесной Луч (1970). Введение в небесную механику. Дувр.
• Ньютон, Исаак (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Лондон. Также английский перевод 3-го (1726 г.) издания И. Бернарда Коэна и Анны Уитман (Беркли, Калифорния, 1999).
• Рам, Парикшит; Ли, Донгрёль; Марч, Уильям Б.; Грей, Александр Г. (2009). «Алгоритмы линейного времени для парных статистических задач» (PDF). НИПС: 1527–1535. Архивировано из оригинал (PDF) на 2017-04-21. Получено 2014-03-28.
• Розенберг, Рейнхардт М. (1977). «Глава 19:« О небесных проблемах », параграф 19.5:« п-телесная проблема ». Аналитическая динамика дискретных систем. Журнал прикладной механики. 45. Пленум Пресс. С. 364–371. Bibcode:1978JAM .... 45..233R. Дои:10.1115/1.3424263. Подобно Баттину выше, Розенберг также использует энергетические методы и для решения общих п- проблема с телом, но на самом деле ничего не решает.
• Научная программа (1968). Природа Вселенной. Нельсон Даблдей.
• Сундман, К. Ф. (1912). "Mémoire sur le problème de trois corps". Acta Mathematica. 36: 105–179. Дои:10.1007 / bf02422379.
• Тиссеран, Ф.-Ф. (1894 г.). Mécanique Céleste. III. Париж. п. 27.
• Тренти, Микеле; Хижина, Пит (2008). "п-имуляторы тела ". Scholarpedia. 3 (5): 3930. Bibcode:2008SchpJ ... 3.3930T. Дои:10.4249 / scholarpedia.3930.
• Трусделл, Клиффорд (1968). Очерки истории механики. Springer. ISBN  9783642866494.
• Ван Винтер, Класин (1970). "The ппроблема тела в гильбертовом пространстве аналитических функций ». Гилберт, Роберт П.; Ньютон, Роджер Г. (ред.). Аналитические методы в математической физике. Гордон и Брич. С. 569–578.
• Ван, Цюдун (1991). "Глобальное решение п-тело проблема ". Небесная механика и динамическая астрономия. 50 (1): 73–88. Bibcode:1991 CeMDA..50 ... 73 Вт. Дои:10.1007 / BF00048987. ISSN  0923-2958. МИСТЕР  1117788. S2CID  118132097.
• Ся, Чжихун (1992). «Существование особенностей неколлизия в ньютоновских системах». Анналы математики. 135 (3): 411–468. Дои:10.2307/2946572. JSTOR  2946572.

дальнейшее чтение

• Баттин, Ричард Х. (1987). Введение в математику и методы астродинамики. AIAA. Использует энергетические методы, а не ньютоновский подход.
• Boccaletti, D .; Пукакко, Г. (1998). Теория орбит. Springer-Verlag.
• Брауэр, Дирк; Клеменс, Джеральд М. (1961). Методы небесной механики. Академическая пресса.
• Крэндалл, Ричард Э. (1996). «Глава 5:« Нелинейные и сложные системы »; параграф 5.1:»п-телесные проблемы и хаос"". Темы передовых научных вычислений. Springer-Verlag. С. 215–221.
• Крэндалл, Ричард Э. (1996). Глава 2: «Исследовательские вычисления»; Проект 2.4.1: «Классическая физика."". Проекты в области научных вычислений. Компьютеры в физике. 8 (исправлено 3-е изд.). Springer-Verlag. С. 93–97. Bibcode:1994ComPh ... 8..531C. Дои:10.1063/1.4823331.
• Eisele, John A .; Мейсон, Роберт М. (1970). «Прикладной матричный и тензорный анализ». Физика сегодня. 25 (12): 55. Bibcode:1972ФТ .... 25л..55Е. Дои:10.1063/1.3071146.
• Гельман, Гарри (1968). «Вторые условия ортогональности в теории собственных и несобственных вращений: вывод условий и их основных следствий». J. Res. НБС 72Б (Математические науки). 1968 (3).
  Гельман, Гарри (1968). «Внутренний вектор». J. Res. НБС 72Б (Математические науки). 1968 (3).
  Гельман, Гарри (1969). «Теорема сопряженности». J. Res. НБС 72Б (Математические науки). 1969 (2).
  Гельман, Гарри (октябрь 1971). «Примечание о зависимости эффективной оси и угла поворота от времени». J. Res. НБС 72Б (Математические науки). 1971 (3–4).
• Хагихара, Ю. (1970). Небесная механика. I, II pt 1, II pt 2. MIT Press.
• Коренев, Г. В. (1967). Механика управляемых тел. CRC Press.
• Мериам, Дж. Л. (1978). Инженерная механика. 1–2. Джон Вили и сыновья.
• Мюррей, Карл Д .; Дермотт, Стэнли Ф. (2000). Динамика солнечной системы. Издательство Кембриджского университета.
• Квадлинг, Хенли (июнь 1994 г.). Гравитационный п-Body Simulation: 16-битная версия DOS. nbody * .zip доступен по адресу https://web.archive.org/web/19990221123102/http://ftp.cica.indiana.edu/: см. внешние ссылки.
• Саари, Д. (1990). «Визит в ньютоновский ппроблема тела через элементарные комплексные переменные ". Американский математический ежемесячный журнал. 89 (2): 105–119. Дои:10.2307/2323910. JSTOR  2323910.
• Saari, D.G .; Халковер, Н. Д. (1981). «О многообразиях орбит полного коллапса и полностью параболических орбит для п-Проблема с телом ». Журнал дифференциальных уравнений. 41 (1): 27–43. Bibcode:1981JDE .... 41 ... 27S. Дои:10.1016/0022-0396(81)90051-6.
• Szebehely, Виктор (1967). Теория орбит. Академическая пресса.

внешняя ссылка

• Проблема трех тел в Scholarpedia
• Более подробная информация о проблеме трех тел.
• Регулярные кеплеровские движения в классических системах многих тел
• Апплет, демонстрирующий хаос в ограниченной задаче трех тел
• Апплеты, демонстрирующие множество различных движений трех тел
• Об интеграции пуравнения тела
• Java-апплет, имитирующий Солнечную систему
• Java-апплет, моделирующий кольцо тел, вращающихся вокруг большой центральной массы
• Java-апплет, имитирующий пыль в Солнечной системе
• Java-апплет, моделирующий стабильное решение задачи трех тел с равной массой
• Java-апплет, моделирующий хореографию и другие интересные пкузовные решения
• Java-апплет для имитации трехмерного движения множества частиц при гравитационном взаимодействии.
• Javascript-моделирование нашей Солнечной системы
• Точки Лагранжа - со ссылками на оригинальные статьи Эйлера и Лагранжа и на переводы с обсуждением
• [1]
• Программа моделирования N-body на параллельном GPU с быстрым обходом дерева частиц без стека