Теорема вириала - Virial theorem

В механика, то теорема вириала дает общее уравнение, которое связывает среднее во времени общее кинетическая энергия устойчивой системы дискретных частиц, связанных потенциальными силами, с общей потенциальная энергия системы. Математически теорема состояния

${\displaystyle \left\langle T\right\rangle =-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }}$

для полной кинетической энергии ⟨Т⟩ из N частицы, где F_k представляет сила на k-я частица, которая находится в позиции р_k, и угловые скобки представляют собой среднее во времени вложенное количество. Слово вириальный для правой части уравнения получается из вис, то латинский слово для «силы» или «энергии», и его техническое определение было дано Рудольф Клаузиус в 1870 г.^[1]

Значение теоремы вириала состоит в том, что она позволяет вычислить среднюю полную кинетическую энергию даже для очень сложных систем, которые не поддаются точному решению, например, рассмотренных в статистическая механика; эта средняя полная кинетическая энергия связана с температура системы теорема о равнораспределении. Однако теорема вириала не зависит от понятия температура и справедливо даже для систем, не входящих в тепловое равновесие. Теорема вириала была обобщена различными способами, в первую очередь на тензор форма.

Если сила между любыми двумя частицами системы возникает из потенциальная энергия V(р) = αr^п что пропорционально некоторой мощности п из межчастичное расстояние р, теорема вириала принимает простой вид

${\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{TOT}}\rangle .}$

Таким образом, удвоенная средняя полная кинетическая энергия ⟨Т⟩ равно п умножить на среднюю полную потенциальную энергию ⟨V_ТОТ⟩. В то время как V(р) представляет собой потенциальную энергию между двумя частицами, V_ТОТ представляет собой полную потенциальную энергию системы, т. е. сумму потенциальной энергии V(р) по всем парам частиц в системе. Типичным примером такой системы является звезда, удерживаемая собственной гравитацией, где п равно -1.

Хотя теорема вириала зависит от усреднения полной кинетической и потенциальной энергии, изложение здесь откладывает усреднение до последнего шага.

История

В 1870 г. Рудольф Клаузиус прочитал лекцию «О механической теореме, применимой к теплу» в Ассоциации естественных и медицинских наук Нижнего Рейна после 20-летнего изучения термодинамики. В лекции говорилось, что среднее vis viva системы равна ее вириалу, или что средняя кинетическая энергия равна 1/2 средняя потенциальная энергия. Теорема вириала может быть получена непосредственно из Личность Лагранжа применительно к классической гравитационной динамике, первоначальная форма которой была включена в «Очерк проблемы трех тел» Лагранжа, опубликованный в 1772 году. Карла Якоби обобщение идентичности на N тел и нынешней форме тождества Лапласа очень напоминает классическую теорему вириала. Однако интерпретации, приведшие к разработке уравнений, были очень разными, поскольку во время разработки статистическая динамика еще не объединила отдельные исследования термодинамики и классической динамики.^[2] Позже теорема была использована, популяризирована, обобщена и развита Джеймс Клерк Максвелл, Лорд Рэйли, Анри Пуанкаре, Субраманян Чандрасекар, Энрико Ферми, Поль Леду и Юджин Паркер. Фриц Цвикки был первым, кто использовал теорему вириала для вывода о существовании невидимой материи, которая теперь называется темная материя. В качестве еще одного примера ее многочисленных приложений теорема вириала использовалась для вывода Предел Чандрасекара для стабильности белый Гном звезды.

Утверждение и вывод

Для сбора N точечные частицы, скаляр момент инерции я о источник определяется уравнением

${\displaystyle I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left|\mathbf {r} _{k}\right|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2}}$

куда м_k и р_k представляют собой массу и положение k-я частица. р_k = |р_k| - величина вектора положения. Скаляр грамм определяется уравнением

${\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}}$

куда п_k это импульс вектор из kth частица^[3]. Предполагая, что массы постоянны, грамм составляет половину производной по времени от этого момента инерции

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}&={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G\,.\end{aligned}}}$

В свою очередь, производная по времени от грамм можно написать

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dG}{dt}}&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\,\end{aligned}}}$

куда м_k это масса kth частица F_k = dп_k/dt чистая сила, действующая на эту частицу, и Т это общая кинетическая энергия системы согласно v_k = dр_k/dt скорость каждой частицы

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.}$

Связь с потенциальной энергией между частицами

Общая сила F_k на частице k это сумма всех сил со стороны других частиц j в системе

${\displaystyle \mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}}$

куда F_jk сила, приложенная частицей j на частице k. Следовательно, вириал можно записать

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}\,.}$

Поскольку никакая частица не действует на себя (т. Е. F_jj = 0 за 1 ≤ j ≤ N), разбиваем сумму на части ниже и выше этой диагонали (доказательство этого уравнения ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N-1}\sum _{j=k+1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right).\end{aligned}}}$

где мы предположили, что Третий закон движения Ньютона выполняется, т.е. F_jk = −F_кДж (равная и противоположная реакция).

Формальное расширение последней ступени

Двойное суммирование в двух частях предпоследнего выражения можно переформулировать как

${\displaystyle \sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N-1}\sum _{j=k+1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{1\leq j<k\leq N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{1\leq k<j\leq N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}}$

Замена бесплатных имен переменных j и k во второй сумме и сокращение теперь идентичных сумм приводит к

${\displaystyle \sum _{1\leq j<k\leq N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{1\leq j<k\leq N}\mathbf {F} _{kj}\cdot \mathbf {r} _{j}=\sum _{1\leq j<k\leq N}\left(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {F} _{kj}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)}$

где применение упомянутого третьего закона Ньютона дает окончательный результат

${\displaystyle \sum _{1\leq j<k\leq N}{\bigl (}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\left(-\mathbf {F} _{jk}\right)\cdot \mathbf {r} _{j}{\bigr )}=\sum _{1\leq j<k\leq N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)}$

Часто бывает, что силы могут быть получены из потенциальной энергии V это функция только расстояния р_jk между точечными частицами j и k. Поскольку сила представляет собой отрицательный градиент потенциальной энергии, в этом случае мы имеем

${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V=-{\frac {dV}{dr}}\left({\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}}\right),}$

что равно и противоположно F_кДж = −∇_рjV, сила, приложенная частицей k на частице j, что подтверждается явным расчетом. Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV}{dr}}{\frac {|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}|^{2}}{r_{jk}}}\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}.\end{aligned}}}$

Таким образом, мы имеем

${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}.}$

Частный случай степенных сил

В общем частном случае потенциальная энергия V между двумя частицами пропорционально мощности п их расстояния р

${\displaystyle V\left(r_{jk}\right)=\alpha r_{jk}^{n},}$

где коэффициент α и показатель степени п являются константами. В таких случаях вириал задается уравнением

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}n\alpha r_{jk}^{n-1}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV\left(r_{jk}\right)={\frac {n}{2}}\,V_{\text{TOT}}\end{aligned}}}$

куда V_ТОТ полная потенциальная энергия системы

${\displaystyle V_{\text{TOT}}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V\left(r_{jk}\right)\,.}$

Таким образом, мы имеем

${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-nV_{\text{TOT}}\,.}$

Для гравитирующих систем показатель степени п равно −1, что дает Личность Лагранжа

${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+V_{\text{TOT}}}$

который был получен Жозеф-Луи Лагранж и продлен Карл Якоби.

Усреднение по времени

Среднее значение этой производной за время, τ, определяется как

${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int _{G(0)}^{G(\tau )}\,dG={\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }},}$

из которого получаем точное уравнение

${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\left\langle T\right\rangle _{\tau }+\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$

В теорема вириала заявляет, что если ⟨dG/dt⟩_τ = 0, тогда

${\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$

Есть много причин, по которым среднее значение производной по времени может исчезнуть, ⟨dG/dt⟩_τ = 0. Одна из часто цитируемых причин относится к устойчиво связанным системам, то есть к системам, которые связаны навсегда и параметры которых конечны. В этом случае скорости и координаты частиц системы имеют верхний и нижний пределы, так что грамм^{граница}, находится между двумя крайностями, грамм_мин и грамм_{Максимум}, а среднее стремится к нулю в пределе очень больших времен τ:

${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\mathrm {bound} }}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \rightarrow \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leq \lim _{\tau \rightarrow \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.}$

Даже если среднее значение производной по времени грамм только приблизительно равна нулю, теорема вириала верна с той же степенью приближения.

Для степенных сил с показателем п, выполняется общее уравнение:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle T\rangle _{\tau }&=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }\\&={\frac {n}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.\end{aligned}}}$

За гравитационный Привлечение, п равна −1, а средняя кинетическая энергия равна половине средней отрицательной потенциальной энергии

${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.}$

Этот общий результат полезен для сложных гравитирующих систем, таких как солнечные системы или же галактики.

Простое приложение теоремы вириала касается скопления галактик. Если область космоса необычно заполнена галактиками, можно с уверенностью предположить, что они были вместе долгое время, и можно применить теорему вириала. Эффект Допплера измерения дают нижние оценки их относительных скоростей, а теорема вириала дает нижнюю оценку полной массы скопления, включая любую темную материю.

Если эргодическая гипотеза справедливо для рассматриваемой системы, усреднение по времени не требуется; ан средний по ансамблю также могут быть взяты с эквивалентными результатами.

В квантовой механике

Хотя первоначально теорема вириала была получена для классической механики, она также верна для квантовой механики, как впервые было показано Фоком.^[4] с использованием Теорема Эренфеста.

Оцените коммутатор из Гамильтониан

${\displaystyle H=V{\bigl (}\{X_{i}\}{\bigr )}+\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}$

с оператором позиции Икс_п и оператор импульса

${\displaystyle P_{n}=-i\hbar {\frac {d}{dX_{n}}}}$

частицы п,

${\displaystyle [H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m}}~.}$

Суммируя по всем частицам, находим для

${\displaystyle Q=\sum _{n}X_{n}P_{n}}$

коммутатор составляет

${\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}[H,Q]=2T-\sum _{n}X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}}$

куда ${\displaystyle T=\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}$ кинетическая энергия. Левая часть этого уравнения просто dQ/dt, согласно Уравнение Гейзенберга движения. Математическое ожидание ⟨dQ/dt⟩ этой производной по времени обращается в нуль в стационарном состоянии, что приводит к квантовая теорема вириала,

${\displaystyle 2\langle T\rangle =\sum _{n}\left\langle X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}\right\rangle ~.}$

Личность Похожаева

Другая форма теоремы вириала квантовой механики, применимая к локализованным решениям стационарных нелинейное уравнение Шредингера или же Уравнение Клейна – Гордона, является Личность Похожаева, также известный как Теорема Деррика.

Позволять ${\displaystyle g(s)}$ быть непрерывным и действительным, с ${\displaystyle g(0)=0}$.Обозначить ${\displaystyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$.Позволять

${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,}$

быть решением уравнения

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=g(u)}$,

в смысле распределений. потом ${\displaystyle u}$ удовлетворяет соотношению

${\displaystyle (n-2)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx.}$

В специальной теории относительности

Для отдельной частицы в специальной теории относительности это не тот случай, когда Т = 1/2п · v. Напротив, правда, что Т = (γ − 1) MC², куда γ это Фактор Лоренца

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

и β = v/c. У нас есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} &={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\beta }}\gamma mc\cdot {\boldsymbol {\beta }}c\\&={\frac {1}{2}}\gamma \beta ^{2}mc^{2}\\&=\left({\frac {\gamma \beta ^{2}}{2(\gamma -1)}}\right)T\,.\end{aligned}}}$

Последнее выражение можно упростить до

${\displaystyle \left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{2}}\right)T\qquad {\text{or}}\qquad \left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)T}$.

Таким образом, при условиях, описанных в предыдущих разделах (включая Третий закон движения Ньютона, F_jk = −F_кДж, несмотря на относительность) среднее по времени N частиц со степенным потенциалом

${\displaystyle {\frac {n}{2}}\left\langle V_{\mathrm {TOT} }\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta _{k}^{2}}}}{2}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\gamma _{k}+1}{2\gamma _{k}}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }\,.}$

В частности, отношение кинетической энергии к потенциальной больше не фиксируется, а обязательно попадает в интервал:

${\displaystyle {\frac {2\langle T_{\mathrm {TOT} }\rangle }{n\langle V_{\mathrm {TOT} }\rangle }}\in \left[1,2\right]\,,}$

где более релятивистские системы показывают большие отношения.

Обобщения

Лорд Рэлей опубликовал обобщение теоремы вириала в 1903 году.^[5] Анри Пуанкаре применил форму теоремы вириала в 1911 г. к проблеме определения космологической устойчивости.^[6] Вариационная форма теоремы вириала была разработана в 1945 году Леду.^[7] А тензор форма теоремы вириала была развита Паркером,^[8] Чандрасекхар^[9] и Ферми.^[10] Следующее обобщение теоремы вириала было установлено Поллардом в 1964 году для случая закона обратных квадратов:^[11][12]

${\displaystyle 2\lim \limits _{\tau \rightarrow +\infty }\langle T\rangle _{\tau }=\lim \limits _{\tau \rightarrow +\infty }\langle U\rangle _{\tau }\qquad {\text{if and only if}}\quad \lim \limits _{\tau \rightarrow +\infty }{\tau }^{-2}I(\tau )=0\,.}$

А граница в противном случае необходимо добавить термин.^[13]

Включение электромагнитных полей

Теорема вириала может быть расширена на электрические и магнитные поля. Результат^[14]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{\mathrm {E} }+W^{\mathrm {M} }-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},}$

куда я это момент инерции, грамм это плотность импульса электромагнитного поля, Т это кинетическая энергия "жидкости", U - случайная "тепловая" энергия частиц, W^E и W^M - электрическая и магнитная энергия рассматриваемого объема. Ну наконец то, п_ik - тензор давления жидкости, выраженный в локальной подвижной системе координат

${\displaystyle p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma },}$

и Т_ik это тензор электромагнитных напряжений,

${\displaystyle T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).}$

А плазмоид конечная конфигурация магнитных полей и плазмы. С помощью теоремы вириала легко увидеть, что любая такая конфигурация будет расширяться, если не будет сдерживаться внешними силами. В конечной конфигурации без стенок, несущих давление, или магнитных катушек, поверхностный интеграл будет равен нулю. Поскольку все остальные члены в правой части положительны, ускорение момента инерции также будет положительным. Также легко оценить время расширения τ. Если общая масса M заключен в радиусе р, то момент инерции примерно равен МИСТЕР², а левая часть теоремы вириала равна МИСТЕР²/τ². Термины в правой части в сумме составляют примерно pR³, куда п больше давления плазмы или магнитного давления. Приравнивая эти два члена и решая для τ, мы нашли

${\displaystyle \tau \,\sim {\frac {R}{c_{\mathrm {s} }}},}$

куда c_s это скорость ионно-акустическая волна (или Альфвеновская волна, если магнитное давление выше давления плазмы). Таким образом, ожидается, что время жизни плазмоида будет порядка акустического (или альфвеновского) времени прохождения.

Релятивистская однородная система

В случае, когда в физической системе учитываются поле давления, электромагнитное и гравитационное поля, а также поле ускорения частиц, теорема вириала записывается в релятивистской форме следующим образом:^[15]

${\displaystyle \left\langle W_{k}\right\rangle \approx -0.6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,}$

где значение W_k ≈ γ_cТ превышает кинетическую энергию частиц Т множителем, равным фактору Лоренца γ_c частиц в центре системы. В нормальных условиях можно считать, что γ_c ≈ 1, то мы видим, что в теореме вириала кинетическая энергия связана с потенциальной энергией, а не коэффициентом 1/2, а скорее на коэффициент, близкий к 0,6. Отличие от классического случая возникает из-за учета поля давления и поля ускорения частиц внутри системы, а производная от скаляра грамм не равна нулю и должна рассматриваться как материальная производная.

Анализ интегральной теоремы обобщенного вириала позволяет найти на основе теории поля формулу для среднеквадратичной скорости типичных частиц системы без использования понятия температуры:^[16]

${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{c}^{2}\sin ^{2}{\left({\frac {r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}}},}$

куда ${\displaystyle ~c}$ это скорость света, ${\displaystyle ~\eta }$ - постоянная поля ускорения, ${\displaystyle ~\rho _{0}}$ - массовая плотность частиц, ${\displaystyle ~r}$ - текущий радиус.

В отличие от теоремы вириала для частиц, для электромагнитного поля теорема вириала записывается следующим образом:^[17]

${\displaystyle ~E_{kf}+2W_{f}=0,}$

где энергия ${\displaystyle ~E_{kf}=\int {A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}}$ рассматривается как энергия кинетического поля, связанная с четырехтоковым ${\displaystyle ~j^{\alpha }}$, и

${\displaystyle ~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\int {F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}}$

задает энергию потенциального поля, найденную через компоненты электромагнитного тензора.

В астрофизике

Теорема вириала часто применяется в астрофизике, особенно в отношении гравитационно потенциальная энергия системы к ее кинетический или же тепловая энергия. Некоторые общие вириальные отношения:^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle {\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}={\frac {3}{2}}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m_{\mathrm {p} }}}={\frac {1}{2}}v^{2}}$

для массы M, радиус р, скорость v, и температура Т. Константы равны Постоянная Ньютона грамм, то Постоянная Больцмана k_B, а масса протона м_п. Обратите внимание, что эти отношения являются только приблизительными и часто являются ведущими числовыми факторами (например, 3/5 или же 1/2) полностью игнорируются.

Галактики и космология (вириальная масса и радиус)

Основная статья: Вириальная масса

В астрономия, масса и размер галактики (или общая избыточная плотность) часто определяются в терминах "вириальная масса " и "вириальный радиус "соответственно. Поскольку галактики и сверхплотность в сплошных жидкостях могут быть сильно расширены (даже до бесконечности в некоторых моделях, таких как изотермический шар ), может быть трудно определить конкретные, конечные меры их массы и размера. Теорема вириала и связанные с ней концепции часто предоставляют удобные средства для количественной оценки этих свойств.

В динамике галактик масса галактики часто определяется путем измерения скорость вращения газа и звезд, предполагая круговые кеплеровские орбиты. Используя теорему вириала, скорость рассеивания σ можно использовать аналогичным образом. Принимая кинетическую энергию (на частицу) системы как Т = 1/2v² ~ 3/2σ², а потенциальная энергия (на частицу) как U ~ 3/5 GM/р мы можем написать

${\displaystyle {\frac {GM}{R}}\approx \sigma ^{2}.}$

Здесь ${\displaystyle R}$ - радиус, на котором измеряется дисперсия скоростей, а M масса в пределах этого радиуса. Вириальная масса и радиус обычно определяются для радиуса, при котором дисперсия скорости максимальна, т. Е.

${\displaystyle {\frac {GM_{\text{vir}}}{R_{\text{vir}}}}\approx \sigma _{\max }^{2}.}$

Поскольку были сделаны многочисленные приближения, в дополнение к приблизительному характеру этих определений, константы пропорциональности порядка единицы часто опускаются (как в приведенных выше уравнениях). Таким образом, эти отношения верны только в порядок величины смысл или при последовательном использовании.

Альтернативное определение вириальной массы и радиуса часто используется в космологии, где оно используется для обозначения радиуса сферы с центром в галактика или скопление галактик, внутри которого имеет место вириальное равновесие. Поскольку этот радиус трудно определить наблюдательно, его часто аппроксимируют как радиус, в пределах которого средняя плотность в заданный раз больше, чем критическая плотность

${\displaystyle \rho _{\text{crit}}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}}$

куда ЧАС это Параметр Хаббла и грамм это гравитационная постоянная. Обычный выбор для множителя - 200, что примерно соответствует типичной избыточной плотности при сферическом коллапсе цилиндра (см. Вириальная масса ), и в этом случае вириальный радиус аппроксимируется как

${\displaystyle r_{\text{vir}}\approx r_{200}=r,\qquad \rho =200\cdot \rho _{\text{crit}}.}$

Затем вириальная масса определяется относительно этого радиуса как

${\displaystyle M_{\text{vir}}\approx M_{200}={\frac {4}{3}}\pi r_{200}^{3}\cdot 200\rho _{\text{crit}}.}$

В звездах

Теорема вириала применима к ядрам звезд, устанавливая связь между гравитационной потенциальной энергией и тепловой кинетической энергией (т.е. температурой). Как звезды на главная последовательность превращают водород в гелий в своих ядрах, средняя молекулярная масса ядра увеличивается, и оно должно сжиматься, чтобы поддерживать давление, достаточное для поддержания собственного веса. Это сжатие уменьшает его потенциальную энергию и, согласно теореме вириала, увеличивает его тепловую энергию. Температура ядра увеличивается даже при потере энергии, что фактически отрицательно удельная теплоемкость.^[18] Это продолжается за пределами основной последовательности, если ядро ​​не становится вырожденным, поскольку это приводит к тому, что давление становится независимым от температуры и вириальной связи с п равно −1 больше не выполняется.^[19]

Смотрите также

• Вириальный коэффициент
• Вириальный стресс
• Вириальная масса
• Тензор Чандрасекара
• Вириальные уравнения Чандрасекара
• Теорема Деррика
• Теорема о равнораспределении
• Теорема Эренфеста
• Личность Похожаева

Рекомендации

1. Клаузиус, RJE (1870). «Об одной механической теореме, применимой к теплу». Философский журнал. Серия 4. 40 (265): 122–127. Дои:10.1080/14786447008640370.
2. Коллинз, Г. В. (1978). "Вступление". Теорема вириала в звездной астрофизике. Pachart Press. Bibcode:1978вца.книга ..... C. ISBN  978-0-912918-13-6.
3. Гольдштейн, Герберт, 1922-2005. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли Паб. Co. ISBN  0-201-02918-9. OCLC  5675073.
4. Фок В. (1930). "Bemerkung zum Virialsatz". Zeitschrift für Physik A. 63 (11): 855–858. Bibcode:1930ZPhy ... 63..855F. Дои:10.1007 / BF01339281. S2CID  122502103.
5. Лорд Рэйли (1903). "Неизвестный". Cite использует общий заголовок (помощь)
6. Пуанкаре, Анри. Лекции по космологическим теориям. Пэрис: Германн.
7. Леду, П. (1945). «О радиальной пульсации газовых звезд». Астрофизический журнал. 102: 143–153. Bibcode:1945ApJ ... 102..143L. Дои:10.1086/144747.
8. Паркер, Э. (1954). «Тензорные вириальные уравнения». Физический обзор. 96 (6): 1686–1689. Bibcode:1954ПхРв ... 96.1686П. Дои:10.1103 / PhysRev.96.1686.
9. Чандрасекхар, С.; Лебовиц Н.Р. (1962). «Потенциалы и суперпотенциалы однородных эллипсоидов». Astrophys. J. 136: 1037–1047. Bibcode:1962ApJ ... 136.1037C. Дои:10.1086/147456.
10. Чандрасекхар, С.; Ферми Э (1953). «Проблемы гравитационной устойчивости в присутствии магнитного поля». Astrophys. J. 118: 116. Bibcode:1953ApJ ... 118..116C. Дои:10.1086/145732.
11. Поллард, Х. (1964). «Точная форма теоремы вириала». Бык. Амер. Математика. Soc. LXX (5): 703–705. Дои:10.1090 / S0002-9904-1964-11175-7.
12. Поллард, Гарри (1966). Математическое введение в небесную механику. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. ISBN  978-0-13-561068-8.
13. Колар, М .; О'Ши, С. Ф. (июль 1996 г.). «Высокотемпературное приближение для квантового метода Монте-Карло интегралов по путям». Журнал физики A: математические и общие. 29 (13): 3471–3494. Bibcode:1996JPhA ... 29,3471K. Дои:10.1088/0305-4470/29/13/018.
14. Шмидт, Джордж (1979). Физика высокотемпературной плазмы (Второе изд.). Академическая пресса. п. 72.
15. Федосин, С. Г. (2016). «Теорема вириала и кинетическая энергия частиц макроскопической системы в общей концепции поля». Механика сплошной среды и термодинамика. 29 (2): 361–371. arXiv:1801.06453. Bibcode:2017CMT .... 29..361F. Дои:10.1007 / s00161-016-0536-8. S2CID  53692146.
16. Федосин, Сергей Г. (2018-09-24). «Интегральная теорема обобщенного вириала в релятивистской однородной модели». Механика сплошной среды и термодинамика. 31 (3): 627–638. arXiv:1912.08683. Bibcode:2018CMT ... tmp..140F. Дои:10.1007 / s00161-018-0715-х. ISSN  1432-0959. S2CID  125180719 - через Springer Nature SharedIt.
17. Федосин С.Г. Интегральная теорема об энергии поля. Научный журнал Университета Гази. Vol. 32, No. 2, pp. 686-703 (2019). Дои:10.5281 / zenodo.3252783.
18. БАЙДЬЯНАТ БАСУ; ТАНУКА ЧАТТОПАДХЯЙ; СУДХИНДРА НАТ БИСВАС (1 января 2010 г.). ВВЕДЕНИЕ В АСТРОФИЗИКУ. PHI Learning Pvt. Ltd. с. 365–. ISBN  978-81-203-4071-8.
19. Уильям К. Роуз (16 апреля 1998 г.). Продвинутая звездная астрофизика. Издательство Кембриджского университета. С. 242–. ISBN  978-0-521-58833-1.

дальнейшее чтение

• Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-02918-5.
• Коллинз, Г. В. (1978). Теорема вириала в звездной астрофизике. Pachart Press. Bibcode:1978вца.книга ..... C. ISBN  978-0-912918-13-6.

внешняя ссылка

• Теорема вириала на MathPages
• Гравитационное сжатие и звездообразование, Государственный университет Джорджии