Теорема Деррикса - Derricks theorem

Теорема Деррика - аргумент физика Г.Х. Derrick, который показывает, что стационарный локализованные решения к нелинейное волновое уравнение или же нелинейное уравнение Клейна – Гордона в пространственных измерениях три и выше неустойчивый.

Исходный аргумент

Бумага Деррика,^[1]которое считалось препятствием для интерпретации солитоноподобных решений как частиц, содержало следующий физический аргумент об отсутствии устойчивых локализованные стационарные решения к нелинейному волновому уравнению

${\displaystyle \nabla ^{2}\theta -{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{2}}f'(\theta ),\qquad \theta (x,t)\in \mathbb {R} ,\quad x\in \mathbb {R} ^{3},}$,

теперь известна под названием Теорема Деррика (см. выше ${\displaystyle f(s)}$ дифференцируемая функция с ${\displaystyle f'(0)=0}$.)

Энергия не зависящего от времени решения ${\displaystyle \theta (x)\,}$дан кем-то

${\displaystyle E=\int \left[(\nabla \theta )^{2}+f(\theta )\right]\,d^{3}x.}$

Необходимое условие устойчивости раствора. ${\displaystyle \delta ^{2}E\geq 0\,}$.Предполагать ${\displaystyle \theta (x)\,}$ является локализованным решением${\displaystyle \delta E=0\,}$. Определять ${\displaystyle \theta _{\lambda }(x)=\theta (\lambda x)\,}$ куда${\displaystyle \lambda }$ - произвольная константа, и напишем${\displaystyle I_{1}=\int (\nabla \theta )^{2}d^{3}x}$,${\displaystyle I_{2}=\int f(\theta )d^{3}x}$.Потом

${\displaystyle E_{\lambda }=\int \left[(\nabla \theta _{\lambda })^{2}+f(\theta _{\lambda })\right]d^{3}x=I_{1}/\lambda +I_{2}/\lambda ^{3}.}$

Откуда${\displaystyle (dE_{\lambda }/d\lambda )\vert _{\lambda =1}=-I_{1}-3I_{2}=0\,}$,и с тех пор ${\displaystyle I_{1}>0\,}$,

${\displaystyle (d^{2}E_{\lambda }/d\lambda ^{2})\vert _{\lambda =1}=2I_{1}+12I_{2}=-2I_{1}\,<0.}$

То есть, ${\displaystyle \delta ^{2}E<0\,}$ для вариации, соответствующей равномерному растяжению частицаОтсюда и решение ${\displaystyle \theta (x)\,}$ нестабильно.

Аргумент Деррика работает для ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geq 3\,}$.

Личность Похожаева

В более общем смысле,^[2]позволять ${\displaystyle g}$ быть непрерывным, с ${\displaystyle g(0)=0}$.Обозначить ${\displaystyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$.Позволять

${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,}$

быть решением уравнения

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=g(u)}$,

в смысле распределений. потом ${\displaystyle u}$ удовлетворяет соотношению

${\displaystyle (n-2)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx,}$

известный как Личность Похожаева (иногда пишется как Личность Похожаева).^[3]Этот результат аналогичен Теорема вириала.

Интерпретация в гамильтоновой форме

Мы можем написать уравнение${\displaystyle \partial _{t}^{2}u=\nabla ^{2}u-{\frac {1}{2}}f'(u)}$в Гамильтонова форма${\displaystyle \partial _{t}u=\delta _{v}H(u,v)}$,${\displaystyle \partial _{t}v=-\delta _{u}H(u,v)}$,куда ${\displaystyle u,\,v}$ являются функциями ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},\,t\in \mathbb {R} }$, то Функция Гамильтона дан кем-то

${\displaystyle H(u,v)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left({\frac {1}{2}}|v|^{2}+{\frac {1}{2}}|\nabla u|^{2}+{\frac {1}{2}}f(u)\right)\,dx,}$

и ${\displaystyle \delta _{u}H\,}$, ${\displaystyle \delta _{v}H\,}$являютсявариационные производные из ${\displaystyle H(u,v)\,}$.

Тогда стационарное решение ${\displaystyle u(x,t)=\theta (x)\,}$имеет энергию${\displaystyle H(\theta ,0)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left({\frac {1}{2}}|\nabla \theta |^{2}+{\frac {1}{2}}f(\theta )\right)\,d^{n}x}$и удовлетворяет уравнению

${\displaystyle 0=\partial _{t}\theta (x)=-\partial _{u}H(\theta ,0)={\frac {1}{2}}E'(\theta ),}$

с${\displaystyle E'\,}$ обозначающий вариационную производную функциональный${\displaystyle E=\int _{\mathbb {R} ^{n}}[\vert \nabla \theta \vert ^{2}+f(\theta )]\,d^{n}x}$.Хотя решение ${\displaystyle \theta (x)\,}$критическая точка ${\displaystyle E\,}$ (поскольку ${\displaystyle E'(\theta )=0\,}$), Аргумент Деррика показывает, что${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\lambda \,^{2}}}E(\theta (\lambda x))<0}$в ${\displaystyle \lambda =1\,}$,следовательно${\displaystyle u(x,t)=\theta (x)\,}$не является точкой локального минимума функционала энергии ${\displaystyle H\,}$.Поэтому физически решение ${\displaystyle \theta (x)\,}$ Ожидается, что будет нестабильным. Связанный результат, показывающий отсутствие минимизации энергии локализованных стационарных состояний (с аргументом, также записанным для ${\displaystyle n=3}$, хотя вывод действителен в размерах ${\displaystyle n\geq 2}$) был получен Р. Хобартом в 1963 г.^[4]

Связь с линейной нестабильностью

Более сильное заявление, линейная (или экспоненциальная) неустойчивость локализованных стационарных решений нелинейного волнового уравнения (в любом пространственном измерении) доказано П. Карагеоргисом и В.А. Штраусом в 2007 г.^[5]

Устойчивость локализованных периодических по времени решений

Деррик описывает некоторые возможные пути решения этой проблемы, включая гипотезу о том, что Элементарные частицы могут соответствовать стабильным, локализованным решениям, которые являются периодическими во времени, а не независимыми от времени.Действительно, позже было показано^[6] который периодический по времени уединенная волна ${\displaystyle u(x,t)=\phi _{\omega }(x)e^{-i\omega t}\,}$ с частотой ${\displaystyle \omega \,}$ может быть орбитально стабильный если Критерий устойчивости Вахитова – Колоколова. доволен.

Смотрите также

• Орбитальная стабильность
• Личность Похожаева
• Критерий устойчивости Вахитова – Колоколова.
• Теорема вириала

Рекомендации

1. G.H. Деррик (1964). «Комментарии к нелинейным волновым уравнениям как моделям элементарных частиц». J. Math. Phys. 5 (9): 1252–1254. Bibcode:1964JMP ..... 5.1252D. Дои:10.1063/1.1704233.
2. Берестыцкий Х., Лайонс П.-Л. (1983). «Нелинейные уравнения скалярного поля, I. Существование основного состояния». Arch. Rational Mech. Анальный. 82 (4): 313–345. Bibcode:1983ArRMA..82..313B. Дои:10.1007 / BF00250555.
3. Похожаев, С.И. (1965). «О собственных функциях уравнения ${\displaystyle \Delta u+\lambda f(u)=0}$". Докл. Акад. АН СССР. 165: 36–39.
4. Р. Хобарт (1963). «О неустойчивости одного класса унитарных моделей поля». Proc. Phys. Soc. 82 (2): 201–203. Дои:10.1088/0370-1328/82/2/306.
5. П. Карагеоргис и В.А. Штраус (2007). «Неустойчивость стационарных состояний для нелинейных уравнений волн и теплопроводности». J. Дифференциальные уравнения. 241: 184–205. arXiv:математика / 0611559. Дои:10.1016 / j.jde.2007.06.006.
6. Вахитов, Н. Г. и Колоколов, А. А. (1973). "Стационарные решения волнового уравнения в среде с насыщением нелинейности". Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 16: 1020–1028. Н.Г. Вахитов, А.А. Колоколова (1973). «Стационарные решения волнового уравнения в среде с насыщением нелинейности». Radiophys. Квантовый электрон. 16 (7): 783–789. Bibcode:1973R & QE ... 16..783V. Дои:10.1007 / BF01031343.